文獻回顧

關於具有裂縫矩形板之研究，大部分文獻探討靜態行為，即用各種方 法求取不同載重情況之應力強度因子（stress intensity factor），僅有少數研 究振動行為者，其中又以利用古典板理論者居多。

在應用積分方程求解矩形薄板振動問題方面大部分僅適用於四邊簡支 承或一對邊簡支承之矩形板，以下文獻分別利用了不同技巧建立所需之積 分方程：Lynn和Kumbasar（1967）分析了具裂縫四邊簡支承矩形板振動問 題，首先用Green’s函數來表示板之位移分量，並進一步將欲求問題轉換成 齊性Fredholm第一型積分方程（homogeneous Fredholm integral equations of the first kind），再求解積分方程；Stahl和Keer（1972）則將該振動問題以對 偶級數方程（dual series equations）表示，並將其化成齊性Fredholm第二型 積分方程（homogeneous Fredholm integral equations of the second kind），再 利用數值分析法求解Fredholm積分方程；Aggarwala和Ariel（1981）應用了 Stahl和Keer（1972）之方法，求解四邊簡支方形板具有位於中心點十字型 裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點之邊緣裂縫振動問題；Nezu（1982）

則是修正Lynn和Kumbasar（1967）之方法，以Levy解建立所須Green函數。

另外，Hirano和Okazaki（1980）針對一對邊界，具簡支承之裂縫矩形板，

利用Levy的解，將裂縫兩邊上不連續之位移與斜率當作未知函數，並進一 步利用Fourier series展開與加權餘數法（weighted residual method）去處理，

求解振動問題。Solecki（1983）之作法類似Hirano和Okazaki（1980），不過 使用四邊簡支承板之解析解，將描述裂縫處位移和轉角的不連續函數，進 行finite Fourier轉換，求解裂縫板振動問題。

於數值方法中，最常利用有限元素法與 Ritz 法分析具裂縫矩形板之振 動問題，而在有限元素法中：Qian 等人（1991）為了發展一有限元素的解 法，對裂縫尖端的元素，經由對應力強度因子的積分，建構含裂縫元素的 勁度矩陣。Krawczuk（1993）則提出類似 Qian 等人（1991）的解決方式，

唯一的不同是對裂縫尖端元素勁度矩陣，採用封閉形式（closed form）的積 分。Bachene 等（2009）討論在 Mindlin 板理論架構下利用延伸有限元素法

（extended finite element method（X-FEM））去分析含水平裂縫矩形薄板（厚 寬比h/b1/500）的自然振動頻率。

在利用 Ritz 法分析結構振動問題是否成功，主要決定於所使用允許函 數之恰當性。目前利用Ritz 法求解裂縫板振動問題文獻如下：根據 Reissner 定理，Lee 和 Lim（1993）利用區域分解的技巧去決定 Ritz 法求解含水平中 心裂縫簡支矩形Mindlin 板之允許函數，並求解振動頻率。Yuan 和 Dickinson

（1992）則將矩形板分成數個區塊，並加置人工彈簧於各區塊連結之邊界 上，因此，可用傳統的允許函數（regular admissible functions）於各區域來 求解，不必用特別的函數來描述裂縫。用類似於Yuan 和 Dickinson（1992）

之切割方法，Liew 等人（1994）則僅要求各區塊之允許函數於兩區塊交接 處，以積分形式滿足允許函數及其一階微分之連續性。Khaddem 和 Rezaee

（2000）利用 Levy’s solution 建立所謂修正比較函數（modified comparison functions），作為 Ritz 法所中的允許函數（admissible functions），分析具水 平裂縫簡支承矩形板於不同裂縫長度、深度與位置時之振動。然而，因為 Khadem 和 Rezaee（2000）使用之允許函數較為特殊，其僅適用於處理至少 一對邊是簡支承（two opposite edges simply supported）之裂縫矩形板振動問 題。近期，Huang 和 Leissa（2009），利用 Williams（1952）所推導裂縫尖 端之漸近解，提出了一組可準確描述邊緣裂縫奇異行為的允許函數，並將 此允許函數用於求解不同邊界條件下（四邊簡支承與自由端）含邊緣裂縫 薄板的振動問題。

此外，以雷射為基礎的光學干涉方法已廣泛的應用在量測技術上，其 中在量測含裂縫板之振動問題方面。Maruyama 和 Ichinomiya（1989）採用 均時全像干涉法（time-averaged holographic interferometry）之即時（real-time）

技術，去決定含平直裂縫懸臂薄版（厚寬比h/b1/187.5）的自然振動頻率 與模態。Ma 和 Hung（2001）與 Ma 和 Hsieh（2001）則應用振幅變動法電

子斑點干涉術（AFESPI），以獲得具水平或垂直邊緣裂縫懸臂薄板（厚寬比

0 6 / 1 /b

h ）之自然振動頻率與模態，並利用有限元素軟體ABAQUS 去分析 相同案例，與實驗結果做比較。

1.3 研究目的與方法

本論文主要目的分為兩部份（1）提出在利用 Ritz 法求解含直線裂縫 Mindlin 板所需的允許函數（2）擴展現今文獻中含裂縫中厚板之自然振動 頻率值。Ritz 法自提出後就被廣泛用於求解板之振動問題，因其具有完整 之數學理論背景與較佳之精確度。本文亦將利用此方法，以Mindlin 板理論 為基礎，分析具裂縫矩形板之振動行為。而在應用Ritz 法求解具裂縫板振 動問題的文獻中，絕大部分文獻均透過切割次區域（sub-domain）之技巧處 理（Yuan 和 Dickinson、Liew 等與 Lee 和 Lim），先於各次區域選擇適當 之允許函數，再利用各種近似連續條件，建構全域之允許函數。但這些文 獻忽略了 Ritz 法頻率從上限收斂的特性，因為其允許函數在兩個次區域連 接處並不是處處連續，而且若像 Yuan 和 Dickinson（1992）安裝人造彈簧 於次區域之連接處，強迫滿足必要之連續條件，彈簧的勁度也將影響答案 之準確性。

為了修正上述因允許函數不連續所造成的缺陷，本文首先根據 Huang

（2003）所推導一階剪力變形板理論架構下，尖銳點所產生剪力與彎矩奇

異性之漸近解，接著利用 Huang 和 Leissa（2009）所使用求解含邊緣裂縫 薄板之技巧，將漸近解用於討論直線裂縫所造成之奇異性，創造出一組新 的允許函數，使允許函數可滿足裂縫點所產生之奇異性與跨越裂縫造成位 移與轉角不連續性，並進一步去求解不同情況下，含邊緣或內部裂縫之矩 形Minldin 板振動問題。

1.4 內容概要

本論文共分為四章，其內容如下：

第一章 說明本文研究動機與目的，提出相關文獻之回顧並指出研究之方法 與內容。

第二章 以 Ritz 法求解邊緣裂縫矩形 Mindlin 板之振動，在此將提出一組新 的可描述邊緣裂縫之允許函數，除驗證本允許函數之優點，並用於 分析不同案例之振動問題。

第三章 以 Ritz 法求解內部裂縫矩形 Mindlin 板之振動，在此將修正前章所 提之允許函數，使其適用於描述內部裂縫，並用於分析不同案例之 振動問題。

第四章 本研究之結論與建議。

第二章 具邊緣裂縫矩形 Mindlin 板之振動分析

本章將討論Mindlin 板理論架構下，利用 Ritz 法求解含裂縫板（參考 圖2.1 與圖 2.2）振動問題時，所需之允許函數。首先為驗證允許函數正確 性，先將其用於薄板（h/b0.01）分析，並與文獻結果比較，最後進一步探 討裂縫長度、位置、角度與厚度等不同參數對振動行為之影響。

2.1 Mindlin 板之應變能與動能

由於分析矩形板，以xy直角座標系統表示Mindlin 板之應變能與動 能。Mindlin 板之應變能可以張量分量表示成：



^{M m Q q}



^dA

U



A ^

 _{   } 2

1 （2.1）

其中α，β 代表x或y獨立變數，M^ 、m^、Q與q分別定義為



x,x y,y



xx Dψ ψ

M   ， m_xx ψ_x,x， （2.2a）



y,y x,x



yy Dψ ψ

M   ， m_yy ψ_y,y， （2.2b）

  

x,y y,x



yx

xy D ψ ψ

M

M   1 

2 ， mxy 



ψx,yψy,x



2

1 ， （2.2c）



_{,x x}



x κ Gh w ψ

Q  ²  ， q_x w_,xψ_x， （2.2d）



,y y



y κ Ghw ψ

Q  ²  , q_y w_,y ψ_y ， （2.2e）

式(2.2a)～(2.2e)中，下標”, ”代表對其後自變數x或y之微分。M_xx為垂直於x

面上沿y方向每單位長度的彎曲力矩，M_yy為垂直於y面上沿x方向每單位 長度的彎曲力矩，M_xy為垂直於x面（或y面上）沿y方向（或x方向）每單

位長度的扭轉力矩，Q_x為垂直x之面上沿z方向每單位長度的剪力（shear force intensity），Q_y為在垂直y之面上沿z方向每單位長度的剪力，ψ_x、ψ_y、

w為板中平面之轉角與位移函數，h為板厚度，E為彈性模數，為波松比，

G為剪力模數（ 







1 2

G E ），D為撓曲剛度(

) 1 (

12 ²

3



 Eh

D )，²為剪力修正因 子。Reissner (1945)取²為

6

5，而Mindlin (1951)則取為 12

2

，本研究中取

12

2 2

  。

若將式(2.1)中之彎矩與剪力用轉角與位移函數表示，則式(2.1)之應變能 可表示成

 



_^ _^{     } _^

 A xx yy xx yy xy yx

U D ²_, ²_{, , , , ,} ²

2 2 1

2       

   



^{w w}



^dA

Gh

y y x

x 







 ² _, ² _, ²

2  

 （2.3）

另外，Mindlin 板之動能表示成



^{z z w}



^dV

T ^₂¹



V^{ 2}x^{2 2}y^{2 2} （2.4）

其中為單位面積的質量。

2.2 利用 Ritz 法求解 Mindlin 板之自然振動頻率

利用Ritz 法求解矩形板之自然振動頻率，其能量函數定義為

max

max T

U 



 （2.5）

其中，T_max為一振動週期內最大動能；U_max為一振動週期內最大應變能；

令

 

 





^_^{   }_^{ }

 υ Ψ Ψ dA κ Gh Ψ Ψ dA Ψ

Ψ D

K₁₁^ij _{xi,x xj,x xi,y xj,y} ² _{xi xj} 2

1 ， （2.12a）

 

 



^_^{   }_^

 υ Ψ Ψ dA

Ψ Ψ υ D

K ^ij _{xi,x yj,y xi,y yj,x} 2

1

12 ， （2.12b）

  ^{κ Gh}



^{Ψ W dA}

K₁₃^{ij 2} _{xi j,x} ， （2.12c）

 



υ



_{Ψ Ψ dA κ Gh Ψ Ψ dA}

Ψ Ψ D

K^{22ij }



^_^ _{yi,y yj,y}^{ 1}_{2 yi,x yj,x}^_^{  2}



_{yj yj} ^， （2.12d）

  ^{κ Gh}



^{Ψ W dA}

K₂₃^{ij 2} _{yi j,y} ， （2.12e）

  ^Gh



^{W W W W}



^dA

K^{33ij 2}



_i^,_{x j}^,_x ^ _i^,_{y j}^,_y ^， （2.12f）

 ^{ω ρh}



^{Ψ Ψ dA}

M ^ij _{xi xj}

12

2 3

11 ， （2.13a）

  ^{ω ρh}



^{Ψ Ψ dA}

M ^ij _{yi yj}

12

2 3

22 ， （2.13b）

  ^{ h}



^WWdA

M₃₃^ij ² _{i j} ， （2.13c）

且

   

^{K21  K12 T，}

   

^{K32  K23 T，}

   

^{K31  K13 T。} （2.14）

2.3 允許函數之建構

在Ritz 法中所用之允許函數必須滿足自然邊界條件。本文所使用之允 許函數含完備的多項式函數集合(Ψ_xp

 

x,y、Ψ_yp

 

x,y 、W_p

 

x,y )與能正確描述尖 端處奇異應力行為及沿裂縫位移及斜率不連續現象之函數集（Ψ_xc

 

r,θ 、

 

r,θ

Ψ_yc 、W_c

 

r, ），即令

 

x,y Ψ

 

x,y Ψ

 

r,θ

Ψ_x  _xp  _xc （2.15a）

 

x,y Ψ

 

x,y Ψ

 

r,θ

Ψ_y  _yp  _yc （2.15b）

 

x,y W

 

x,y W

 

r,

W  _p  _c （2.15c）

其中

 

x,y 及

 

r, 座標系統之定義如圖2.1 及 2.2 所示。

依 Bhat (1985)所提之正交多項式函數之建構方法，Ψ_xp、Ψ_yp、W_p可利用正

集。依Hunag（2003）利用特徵函數展開法求解扇形 Mindlin 板在各種徑向

著尖銳點兩端之邊界為自由端時， 必須滿足以下之特徵方程式：



cos/2



sin/2



0 （2.21）

同樣取  360，可得 n/2（n1,2 ,,3 ,...4 ），而係數A₁, A₂, A₃, A₄, B₁及B₂之 關係可由文獻中（Hunag, 2003）獲得。

由於式（2.18）與式（2.20）所表示之漸近解過於複雜，仔細觀察後，

式（2.23）之函數集稱為〝邊緣裂縫函數〞。取式（2.23）中N_1k N_2k N（k 1, ,

2 3）。將式（2.16）與式（2.23）代回式（2.15），可得到³



^{IJ N}



^{N 3}

 

^條

對應於待定係數a_ij、a_ij、a~_ij、b_ij、b_ij、b~_ij

、c_ij、c_ij、c~_ij之線性代數方程式。

以上所定義之Ψ_xc

 

r,θ 、Ψ_yc

 

r,θ 與W_c

 

r,θ 皆以極座標(可參考圖 2.3)表示 之，其中卡式座標(x,y)與極座標(r,



)之轉換關係如下:

2 2

y x

r  

_， (2.25)

x

θ  tan^1 y， (2.26)

其中，x 



x Ax



^cos

^





y Ay



^sin

^

， (2.27a)



x Ax



^sin

^ 

y Ay



^cos

^

y    ， (2.27b)



A ,x Ay



為裂縫尖端之之

 

x,y 座標， 為裂縫與水平軸之夾角。

2.4 收斂性分析

數學上，無限多項之允許函數構成ㄧ完備函數集合；當使用夠多的允 許函數時，利用Ritz 法求得之解當能收斂至真解。於收斂性分析中，首先 分析薄板（h/b0.01）之振動頻率，並與文獻值比較，以驗證本研究所提允 許函數的正確性；接著進一步探討邊緣裂縫函數項數對數值收斂之影響。

本文之數值解乃利用Fortran 程式語言，為求其精確之收斂解，以 128-bit 之變數撰寫電腦程式。所得之數值結果僅列出前五個模態之無因次化之自 然振動頻率值a² h/D，而其中所使用之參數，波松比（）取為0.3，剪

力修正因子為 12

2。a、b、c_x、c_y、d等幾何參數定義於圖2.1 與圖 2.2 中。

表2.1～2.3 為具不同長度水平邊緣裂縫之簡支矩形薄板（a/b2,c_y/b 5

.

0 ,d/a0.2、0.6、0.8,h/b0.01）的自然振動頻率收斂性分析。使用之允 許函數乃依式（2.16）與式（2.23）所定義者。表中第一欄代表振態數，S 及A 分別表示對稱與反對稱之振動模態。文獻之結果乃利用古典板理論所 得者，其中Stahl 和 Keer（1972）精準地求解 Fredholm 積分方程；Liew 等人（1994）則是使用 19×9 項正交多項式函數於各切割區域，並以積分方

0 ,d/a0.2、0.6、0.8,h/b0.01）的自然振動頻率收斂性分析。使用之允 許函數乃依式（2.16）與式（2.23）所定義者。表中第一欄代表振態數，S 及A 分別表示對稱與反對稱之振動模態。文獻之結果乃利用古典板理論所 得者，其中Stahl 和 Keer（1972）精準地求解 Fredholm 積分方程；Liew 等人（1994）則是使用 19×9 項正交多項式函數於各切割區域，並以積分方

在文檔中 利用Ritz法分析具有裂縫之矩形Mindlin板振動 (頁 14-0)