利用Ritz法分析具有裂縫之矩形Mindlin板振動

國立交通大學

土木工程學系碩士班

碩 士 論 文

利用 Ritz 法分析具有裂縫之矩形 Mindlin 板振動

Vibrations of rectangular cracked Mindlin plates via the Ritz

method

研 究 生：李榕師

指導教授：黃炯憲 博士

利用 Ritz 法分析具有裂縫之矩形 Mindlin 板振動

Vibrations of rectangular cracked Mindlin plates

via the Ritz method

研 究 生：李榕師 Student：Rong-Shi Li

指導教授：黃炯憲 Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Civil Engineering

September 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

利用 Ritz 法分析具有裂縫之矩形 Mindlin 板振動

研究生：李榕師 指導教授：黃炯憲 博士

國立交通大學土木工程學系碩士班

摘要

本研究使用

Ritz 法分析含裂縫矩形 Mindlin 板之自然振動頻率與模態，

其中考慮了邊緣與內部兩種裂縫。為能準確描述裂縫，在此提出一組新的

允許函數，此允許函數包含能滿足邊界條件之多項式函數與能準確描述裂

縫尖端之奇異性並滿足跨越裂縫位移與轉角不連續行為之函數。收斂性分

析中，隨著允許函數項數增加，自然振動頻率值當能從上界收斂至真解，

為了更有效求出振動頻率，本文將藉由大量的收斂性分析，並將其結果與

古典板理論之文獻比較以驗證本程式的正確性。最後，進一步探討不同邊

界、不同厚度、裂縫長度、角度與位置對板振動行為之影響。

Vibrations of Rectangular cracked Mindlin plates via the Ritz method

Student: Rong-Shi Li Adviser: Prof. Chiung-Shiann Huang

Department of Civil Engineering

National Chiao-Tung University

Abstract

This study applies the Ritz method to determine the frequencies and mode

shape of cracked Mindlin rectangular plates.Two types of cracked configuration

are considered, namely, side crack and internal crack. The work proposes a new

set of admissible functions that are able to properly describe boundary

conditions and the stress singularity behaviors near the tips of the crack and

meet the discontinuities of displacement and slope crossing the crack. The

present solutions monotonically converge to the exact frequencies of plates from

the upper-bounds as the number of admissible functions increase. The efficiency

and accuracy of the present solutions are confirmed through comprehensive

convergence studies and comparison with the published results based on the

classical thin plate theory. Finally, the present approach is applied to investigate

the effects of boundary conditions,thick,location, length and orientation of

cracks on the free vibration frquencies and mode shapes of rectangular plates

with cracks.

誌謝

在這兩年的研究期間，感謝指導教授黃炯憲老師在課業上的辛勤指導

與悉心教誨，耐心的指導論文研究，並提供良好的研究環境和設備，使論

文得以順利完成，師恩浩瀚，學生銘記在心。

論文口試期間，承蒙交通大學土木工程學系師長，洪士林教授、鄭復平

副教授以及林昌佑副教授餘口試期間提供寶貴的意見，使本文更臻完善，

在此表達最由衷的謝意。

在研究所期間，感謝研究室明儒學長、威智學長、志偉學長與昱成學

長的指導，在課業與研究上給予極大幫助。同時也感謝勝彥學長、增尉學

長、佳穎學姊、政寧學長、仲維學長、靖俞學長、同窗政淵以及學弟凱平、

學妹宛臻、嬿糧一起互相鼓勵，讓我在研究的路上不孤單。

最後將本論文獻給我最親愛家人，爸爸、媽媽與弟弟，感謝爸媽這二

十多年的養育、栽培與支持，給予我無後顧之憂的求學環境，你們的辛苦

我將銘記在心且繼續努力不讓你們失望。

目錄

中文摘要

...I

英文摘要

... II

誌謝

... III

目錄

... IV

表目錄

...VI

圖目錄

...IX

第一章 緒論... 1

1.1 研究背景 ... 1

1.2 文獻回顧 ... 2

1.3 究動機與方法 ... 5

1.4 內容概要 ... 6

第二章 具邊緣裂縫矩形 Mindlin 板之振動分析... ..7

2.1 Mindlin 板之應變能與動能 ... 7

2.2 利用 Ritz 法求解 Mindlin 板之自然振動頻率 ... 8

2.3 允許函數之建構 ... 10

2.4 收斂性分析 ... 14

2.5 數值結果 ... 16

2.6 厚度效應 ... 26

第三章 具內部裂縫矩形 Mindlin 板之振動分析... 28

3.1 允許函數之建構 ... 28

3.2 收斂性分析 ... 29

3.3 數值結果 ... 31

第四章 結論與建議

... 39

4.1 結論 ... 39

4.2 建議 ... 40

參考文獻

... 41

表目錄

表

2.1 具水平邊緣裂縫簡支矩形薄板(

a/b2

、

c_y/b0.5

、

d/a0.2

、

h/b0.01

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析... ...44}

表

2.2 具水平邊緣裂縫簡支矩形薄板(

a/b2

、

c_y/b0.5

、

d/a0.6

、

h/b0.01

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析... 45}

表

2.3 具水平邊緣裂縫簡支矩形薄板(

a/b2

、

c_y/b0.5

、

d/a0.8

、

h/b0.01

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析... 46}

表

2.4 具水平邊緣裂縫簡支矩形厚板(

a/b2.0

、

c_y/b0.5

、

d/a0.6

、

h/b0.1

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析... 47}

表

2.5 具水平邊緣裂縫懸臂矩形厚板(

a/b2.0

、

c_y/b0.5

、

d/a0.6

、

h/b0.1

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析... 48}

表

2.6 具不同邊緣裂縫簡支方形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_h/b0.1

_).

... 49

表

2.7 具不同邊緣裂縫簡支方形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

h/b0.1

) ... 50

表

2.8 具不同頂部裂縫簡支矩形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_a/b2

_、

1 . 0 /b h

)... 51

表

2.9 具不同頂部裂縫簡支矩形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

a/b2

、

h/b0.1

)... 52

表

2.10 具不同邊緣裂縫懸臂方形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_h/b0.1

₎

... 53

表

2.11 具不同邊緣裂縫懸臂方形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

h/b0.1

) ... 54

表

2.12 具不同頂部裂縫懸臂方形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_h/b0.1

₎

... 55

表

2.13 具不同頂部裂縫懸臂方形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

h/b0.1

) ... 56

表

2.14 具不同頂部裂縫懸臂矩形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_a/b2

_、

1 . 0 /b h

)... 57

表

2.15 具不同頂部裂縫懸臂矩形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

a/b2

、

h/b0.1

)... 58

表

2.16 具 不 同 邊 緣 裂 縫 四 邊 自 由 端 之 方 形 中 厚 板 無 因 次 化 頻 率

D h a2 _ / 

(

h/b0.1

) ... 59

表

2.17 具不同邊緣裂縫四邊自由端之方形中厚板無因次化頻率折減量比

 

（％）(

h/b0.1

) ... 60

表

2.18 具不同邊緣裂縫簡支方形 Mindlin 板之厚度效應(

  0

、

c_y /b0.5

)

... 61

表

2.19 具不同邊緣裂縫懸臂方形 Mindlin 板之厚度效應(

  0

、

c_y /b0.5

)

... 62

表

3.1 具水平內部裂縫簡支方形薄板(

x₀ /a y₀/b0.5

、

d/a0.6

、

h/b0.01

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析... 63}

表

3.2 具水平內部裂縫簡支方形中厚板(

x₀/a  y₀ /b0.5

、

d/a0.3

、

h/b0.1

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析}

_{... 64}

表

3.3 具水平內部裂縫簡支方形中厚板(

x₀/a  y₀ /b0.5

、

d/a0.6

、

h/b0.1

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析}

_{... 65}

表

3.4 具水平內部裂縫簡支方形中厚板(

x₀/a  y₀ /b0.5

、

d/a0.6

、

  30

、

1 . 0 /b h

)之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析}

_{... 66}

表

3.5 具水平內部裂縫懸臂方形中厚板(

x₀/a  y₀ /b0.5

、

d/a0.6

、

h/b0.1

)

之無因次化頻率

_a2 _h/D

_{收斂性分析}

_{... 67}

表

3.6 具不同內部裂縫簡支方形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_h/b0.1

₎

... ...68

表

3.7 具不同內部裂縫簡支方形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

h/b0.1

)

... 69

表

3.8 具不同內部裂縫懸臂方形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_h/b0.1

_).

... 70

表

3.9 具不同內部裂縫懸臂方形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

h/b0.1

)

... 71

表

3.10 具不同內部裂縫懸臂矩形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_a/b2

_、

5 . 0 / / ₀ 0 a y b x

、

h/b0.1

)

... 72

表

3.11 具不同內部裂縫懸臂矩形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

a/b2

、

x₀/a y₀ /b0.5

、

h/b0.1

)

... 73

表

3.12 具不同內部裂縫懸臂矩形中厚板無因次化頻率

_a2 _h/D

₍

_a/b2

_、

25 . 0 / 0 a x

、

y₀/b0.5

、

h/b0.1

)... 74

表

3.13 具不同內部裂縫懸臂矩形中厚板無因次化頻率折減量比



（％）

(

a/b2

、

x₀/a0.25

、

y₀/b0.5

、

h/b0.1

)

... 75

圖目錄

圖

2.1 具邊緣裂縫矩形板示意圖（裂縫與

xa

軸相交）

... 76

圖

2.2 具邊緣裂縫矩形板示意圖（裂縫與

yb

軸相交）

... 77

圖

2.3 座標轉換示意圖... 78

圖

2.4 具邊緣裂縫簡支方形板模態圖... 79

圖

2.5 具頂部裂縫簡支矩形板模態圖（

a/b2

）... 81

圖

2.6 具邊緣裂縫懸臂方形板模態圖... 82

圖

2.7 具頂部裂縫懸臂方形板模態圖... 84

圖

2.8 具頂部裂縫懸臂矩形板模態圖（

a/b2

）... 86

圖

2.9 具邊緣裂縫四邊自由端方形板模態圖... 87

圖

3.1 具邊內部縫矩形板示意圖... 89

圖

3.2 內部裂縫奇異點與連續線段示意圖... 90

圖

3.3 具內部裂縫簡支方形板模態圖... 91

圖

3.4 具內部裂縫懸臂方形板模態圖... 93

圖

3.5 具內部裂縫懸臂矩形板模態圖（

a/b2

、

x₀ /a0.5

）

... 95

圖

3.6 具內部裂縫懸臂矩形板模態圖（

a/b2

、

x₀ /a0.25

）

... 96

第一章 緒論

1.1 研究背景

近代工業發展上，厚板及薄板已廣泛應用於各類工程領域中，例如：

土木運輸、機電通訊及化學、生醫工程等，因此各種厚板及薄板理論均扮

演著重要的角色。其中常用來分析板的理論有三種，分別是：古典薄板理

論（CPT）

、一階剪力變形板理論（FSDT）

、高階剪力變形板理論（HSDPT）。

在古典板理論中，假設平板變形前後，平面仍保持平面（plane remain

plane），而忽略了側向剪力變形（transverse shear deformation）與旋轉慣量

（rotary inertia）所帶來之影響，用其分析，將會有低估撓度及高估振動頻

率情況，因此僅適用於寬厚比（

b/h

）大於

10 之薄板結構，並不適用於厚

板分析。然而現今科學技術常應用於高速、高壓、高溫、強輻射及特殊複

合材料之工程環境要求，板厚度增加是趨勢所致。隨著寬厚比減少，所造

成之剪力變形與旋轉慣量問題則相形重要。因此由

Mindlin（1951）考慮剪

力變形與旋轉慣量對板之影響，並利用剪力修正因子

_2

_{（shear correction}

factor），作為厚板理論之基礎，所發展之一階剪力變形板理論（FSDT），將

逐漸受到重視。其中，以厚板理論當成分析基礎的特殊材料與功能梯度材

料，也已廣泛的應用於工程中。

另外在板結構之設計上，常會面臨奇異點（singularity）之問題，而其

發生的原因有：（1）幾何形狀之不連續，如裂縫尖端處或邊界條件所造成

之不連續；（2）載重，如集中載重或衝擊載重；（3）材料性質，如複合材

料之性質陡變。當所分析之結構元件含有奇異點時，須找到能夠正確描述

奇異點特性之漸近解，方能得到準確之解。

1.2 文獻回顧

關於具有裂縫矩形板之研究，大部分文獻探討靜態行為，即用各種方

法求取不同載重情況之應力強度因子（stress intensity factor），僅有少數研

究振動行為者，其中又以利用古典板理論者居多。

在應用積分方程求解矩形薄板振動問題方面大部分僅適用於四邊簡支

承或一對邊簡支承之矩形板，以下文獻分別利用了不同技巧建立所需之積

分方程：Lynn和Kumbasar（1967）分析了具裂縫四邊簡支承矩形板振動問

題，首先用Green’s函數來表示板之位移分量，並進一步將欲求問題轉換成

齊性Fredholm第一型積分方程（homogeneous Fredholm integral equations of

the first kind），再求解積分方程；Stahl和Keer（1972）則將該振動問題以對

偶級數方程（dual series equations）表示，並將其化成齊性Fredholm第二型

積分方程（homogeneous Fredholm integral equations of the second kind），再

利用數值分析法求解Fredholm積分方程；Aggarwala和Ariel（1981）應用了

Stahl和Keer（1972）之方法，求解四邊簡支方形板具有位於中心點十字型

裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點之邊緣裂縫振動問題；Nezu（1982）

則是修正Lynn和Kumbasar（1967）之方法，以Levy解建立所須Green函數。

另外，Hirano和Okazaki（1980）針對一對邊界，具簡支承之裂縫矩形板，

利用Levy的解，將裂縫兩邊上不連續之位移與斜率當作未知函數，並進一

步利用Fourier series展開與加權餘數法（weighted residual method）去處理，

求解振動問題。Solecki（1983）之作法類似Hirano和Okazaki（1980），不過

使用四邊簡支承板之解析解，將描述裂縫處位移和轉角的不連續函數，進

行finite Fourier轉換，求解裂縫板振動問題。

於數值方法中，最常利用有限元素法與

Ritz 法分析具裂縫矩形板之振

動問題，而在有限元素法中：Qian 等人（1991）為了發展一有限元素的解

法，對裂縫尖端的元素，經由對應力強度因子的積分，建構含裂縫元素的

勁度矩陣。Krawczuk（1993）則提出類似 Qian 等人（1991）的解決方式，

唯一的不同是對裂縫尖端元素勁度矩陣，採用封閉形式（closed form）的積

分。Bachene 等（2009）討論在 Mindlin 板理論架構下利用延伸有限元素法

（extended finite element method（X-FEM））去分析含水平裂縫矩形薄板（厚

寬比

h/b1/500

）的自然振動頻率。

在利用

Ritz 法分析結構振動問題是否成功，主要決定於所使用允許函

數之恰當性。目前利用

Ritz 法求解裂縫板振動問題文獻如下：根據 Reissner

定理，Lee 和 Lim（1993）利用區域分解的技巧去決定 Ritz 法求解含水平中

（1992）則將矩形板分成數個區塊，並加置人工彈簧於各區塊連結之邊界

上，因此，可用傳統的允許函數（regular admissible functions）於各區域來

求解，不必用特別的函數來描述裂縫。用類似於

Yuan 和 Dickinson（1992）

之切割方法，Liew 等人（1994）則僅要求各區塊之允許函數於兩區塊交接

處，以積分形式滿足允許函數及其一階微分之連續性。Khaddem 和 Rezaee

（2000）利用 Levy’s solution 建立所謂修正比較函數（modified comparison

functions），作為 Ritz 法所中的允許函數（admissible functions），分析具水

平裂縫簡支承矩形板於不同裂縫長度、深度與位置時之振動。然而，因為

Khadem 和 Rezaee（2000）使用之允許函數較為特殊，其僅適用於處理至少

一對邊是簡支承（two opposite edges simply supported）之裂縫矩形板振動問

題。近期，Huang 和 Leissa（2009），利用 Williams（1952）所推導裂縫尖

端之漸近解，提出了一組可準確描述邊緣裂縫奇異行為的允許函數，並將

此允許函數用於求解不同邊界條件下（四邊簡支承與自由端）含邊緣裂縫

薄板的振動問題。

此外，以雷射為基礎的光學干涉方法已廣泛的應用在量測技術上，其

中在量測含裂縫板之振動問題方面。Maruyama 和 Ichinomiya（1989）採用

均時全像干涉法（time-averaged holographic interferometry）之即時（real-time）

技術，去決定含平直裂縫懸臂薄版（厚寬比

h/b1/187.5

）的自然振動頻率

子斑點干涉術（AFESPI）

，以獲得具水平或垂直邊緣裂縫懸臂薄板（厚寬比

0 6 / 1 /b h

）之自然振動頻率與模態，並利用有限元素軟體

ABAQUS 去分析

相同案例，與實驗結果做比較。

1.3 研究目的與方法

本論文主要目的分為兩部份（1）提出在利用 Ritz 法求解含直線裂縫

Mindlin 板所需的允許函數（2）擴展現今文獻中含裂縫中厚板之自然振動

頻率值。Ritz 法自提出後就被廣泛用於求解板之振動問題，因其具有完整

之數學理論背景與較佳之精確度。本文亦將利用此方法，以

Mindlin 板理論

為基礎，分析具裂縫矩形板之振動行為。而在應用

Ritz 法求解具裂縫板振

動問題的文獻中，絕大部分文獻均透過切割次區域（sub-domain）之技巧處

理（Yuan 和 Dickinson、Liew 等與 Lee 和 Lim），先於各次區域選擇適當

之允許函數，再利用各種近似連續條件，建構全域之允許函數。但這些文

獻忽略了

Ritz 法頻率從上限收斂的特性，因為其允許函數在兩個次區域連

接處並不是處處連續，而且若像

Yuan 和 Dickinson（1992）安裝人造彈簧

於次區域之連接處，強迫滿足必要之連續條件，彈簧的勁度也將影響答案

之準確性。

為了修正上述因允許函數不連續所造成的缺陷，本文首先根據

Huang

（2003）所推導一階剪力變形板理論架構下，尖銳點所產生剪力與彎矩奇

異性之漸近解，接著利用

Huang 和 Leissa（2009）所使用求解含邊緣裂縫

薄板之技巧，將漸近解用於討論直線裂縫所造成之奇異性，創造出一組新

的允許函數，使允許函數可滿足裂縫點所產生之奇異性與跨越裂縫造成位

移與轉角不連續性，並進一步去求解不同情況下，含邊緣或內部裂縫之矩

形

Minldin 板振動問題。

1.4 內容概要

本論文共分為四章，其內容如下：

第一章 說明本文研究動機與目的，提出相關文獻之回顧並指出研究之方法

與內容。

第二章 以 Ritz 法求解邊緣裂縫矩形 Mindlin 板之振動，在此將提出一組新

的可描述邊緣裂縫之允許函數，除驗證本允許函數之優點，並用於

分析不同案例之振動問題。

第三章 以 Ritz 法求解內部裂縫矩形 Mindlin 板之振動，在此將修正前章所

提之允許函數，使其適用於描述內部裂縫，並用於分析不同案例之

振動問題。

第四章 本研究之結論與建議。

第二章 具邊緣裂縫矩形 Mindlin 板之振動分析

本章將討論

Mindlin 板理論架構下，利用 Ritz 法求解含裂縫板（參考

圖

2.1 與圖 2.2）振動問題時，所需之允許函數。首先為驗證允許函數正確

性，先將其用於薄板（

h/b0.01

）分析，並與文獻結果比較，最後進一步探

討裂縫長度、位置、角度與厚度等不同參數對振動行為之影響。

2.1 Mindlin 板之應變能與動能

由於分析矩形板，以

xy

直角座標系統表示

Mindlin 板之應變能與動

能。Mindlin 板之應變能可以張量分量表示成：



M m Q q



dA U A



  _{   } 2 1

_（2.1）

其中

α，β 代表

x

或

y

獨立變數，

M

、

m

、

Q

與

q

分別定義為



x,x y,y



xx Dψ ψ M  

，

m_xx ψ_x,x

， （2.2a）



y,y x,x



yy Dψ ψ M  

，

m_yy ψ_y,y

， （2.2b）







_{x,y y,x}



yx xy ψ ψ D M M   1  2

，

mxy ₂



ψx,yψy,x



1

_{， （2.2c）}



,x x



x κ Gh w ψ Q  2 

_，

x ,x x w ψ q  

，

（2.2d）



,y y



y κ Ghw ψ Q  2 

_,

y ,y y w ψ q  

， （2.2e）

式(2.2a)～(2.2e)中，下標”, ”代表對其後自變數

x

或

y

之微分。

M_xx

為垂直於

x

面上沿

y

方向每單位長度的彎曲力矩，

M_yy

為垂直於

y

面上沿

x

方向每單位

長度的彎曲力矩，

M_xy

為垂直於

x

面（或

y

面上）沿

y

方向（或

x

方向）每單

位長度的扭轉力矩，

Q_x

為垂直

x

之面上沿

z

方向每單位長度的剪力（shear

force intensity）

，

Q_y

為在垂直

y

之面上沿

z

方向每單位長度的剪力，

ψ_x

、

ψ_y

、

w

為板中平面之轉角與位移函數，

h

為板厚度，

E

為彈性模數，

為波松比，

G

為剪力模數（

_

_

   1 2 E G

）

，

D

為撓曲剛度(

) 1 ( 12 2 3    Eh D

)，

_2

_{為剪力修正因}

子。Reissner (1945)取

_2

_為

6 5

，而

Mindlin (1951)則取為

12 2 

，本研究中取

12 2 2   

。

若將式(2.1)中之彎矩與剪力用轉角與位移函數表示，則式(2.1)之應變能

可表示成







_ _      _  A xx yy xx yy xy yx D U 2 _{, , , ,} 2 , 2 , 2 1 2 2       











w w



dA Gh y y x x        2 , 2 , 2 2   

_（2.3）

另外，Mindlin 板之動能表示成



z z w



dV T V x y



   2 2 2 2 2 2 1      

（2.4）

其中



為單位面積的質量。

2.2 利用 Ritz 法求解 Mindlin 板之自然振動頻率

利用

Ritz 法求解矩形板之自然振動頻率，其能量函數定義為

max max T U   

（2.5）

其中，

T_max

為一振動週期內最大動能；

U_max

為一振動週期內最大應變能；

令





 

i t x x x,y,t Ψ x,y e ψ   

，





 

i t y y x,y,t Ψ x,y e ψ   

，

_w



_x,y,t



_W

 

_{x,y e}it 0

（2.6）

其中，

為自然振動頻率。依式（2.3）及（2.4）可得

最大應變能及動能分別為







_ _      _ 

A x,x y,y x,x y,y Ψx,y Ψy,x

υ Ψ υΨ Ψ Ψ D U 2 2 2 max 2 1 2 2











Ψ W Ψ W



dA Gh κ ,y y ,x x        2 2 2 2

（2.7）



Ψ Ψ



ρhW dA ρh ω T A y x



_       2 3 2 2 2 max _{2 12}

（2.8）

將

Ψ_x

、

Ψ_y

、

W

利用具完備性之允許函數序列展開，假設表示成



   1 i xi i x AΨ Ψ

，

_yi i i y BΨ Ψ



   1

，

_i i iW C W



   1

（2.9）

其中

A_i

、

B_i

、

C_i

為待定係數，

Ψ_xi

、

Ψ_yi

、

W_i

為滿足邊界條件之允許函數。

將式（2.6）、式（2.7）與式（2.8）代入式（2.5），再對能量式



取最小值

即

0            i i i B C A

（2.10）

整理可得一組特徵方程式

                                         i i i i i i C B A M M M C B A K K K K K K K K K 33 22 11 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 0 0 0 0 0 0 

（2.11）

求解式（2.11）之特徵根與特徵向量可求得板之自然振動頻率與模態。

勁度矩陣

 

K

與質量矩陣

 

M

，經推導可得各矩陣元素表示式為：

 

_





_{ }

_

     _  D Ψ Ψ υ Ψ Ψ dA κ Gh Ψ Ψ dA K ij _{xi,x xj,x xi,y xj,y} 2 _{xi xj}

11 2 1

_，

_（2.12a）

 

_





_      _  D υΨ Ψ υ Ψ Ψ dA K ij _{xi,x yj,y xi,y yj,x}

2 1 12

，

（2.12b）

  _{κ Gh}

_

_{Ψ W dA} K ij 2 _{xi j,x} 13

，

（2.12c）

  _{D Ψ Ψ}



υ



_{Ψ Ψ dA κ Gh Ψ Ψ dA}

K ij



_{yi,y yj,y yi,x yj,x }



_{yj yj}

     _   2 22 2 1

_，

_（2.12d）

  _{κ Gh}

_

_{Ψ W dA} K ij 2 _{yi j,y} 23

，

（2.12e）

  _Gh



_{W W W W}



_dA K ij _



_{ix jx  iy jy} , , , , 2 33 

，

（2.12f）

 _ω ρh

_

_{Ψ Ψ dA} M ij _{xi xj} 12 3 2 11

，

（2.13a）

  _ω ρh

_

_{Ψ Ψ dA} M ij _{yi yj} 12 3 2 22

，

（2.13b）

  _{ h}

_

_WWdA M ij _2_{ i j} 33

，

（2.13c）

且

   

K21 _ K12 T

_，

   

_K32 _{ K}23 T

_，

   

_K31 _{ K}13 T

_。

_（2.14）

2.3 允許函數之建構

在

Ritz 法中所用之允許函數必須滿足自然邊界條件。本文所使用之允

許函數含完備的多項式函數集合(

Ψ_xp

 

x,y

、

Ψ_yp

 

x,y

、

W_p

 

x,y

)與能正確描述尖

端處奇異應力行為及沿裂縫位移及斜率不連續現象之函數集（

Ψ_xc

 

r,θ

、

 

r,θ Ψ_yc

、

W_c

 

r,

），即令

 

x,y Ψ

 

x,y Ψ

 

r,θ Ψ_x  _xp  _xc

（2.15a）

 

x,y Ψ

 

x,y Ψ

 

r,θ Ψ_y  _yp  _yc

（2.15b）

 

x,y W

 

x,y W

 

r, W  _p  _c

（2.15c）

其中

 

x,y

及

 

r,

座標系統之定義如圖

2.1 及 2.2 所示。

依

Bhat (1985)所提之正交多項式函數之建構方法，

Ψ_xp

、

Ψ_yp

、

W_p

可利用正

交多項式表示成：

 

_

   

   I i J j j i ij xp x,y a x y Ψ 0 0  

（2.16a）

 

_

   

   I i J j j i ij yp x,y b x y Ψ 0 0 ˆ ˆ _ 

（2.16b）

 

_

   

   I i J j j i ij yp x,y c x y W 0 0  

（2.16c）

其中，

I

和

J

為多項式之項數，

a_ij

、

b_ij

、

c_ij

為待定係數，

_i

 

x 、ˆ_i

 

x 、_i

 

x 、

 

y j 

、

ˆ_j

 

y 、_j

 

y

是經由

Gram-Schmidt 的演算程序所獲得之正交多項式函

數。

以建構

_i (x)

為例，考慮

x0

及

xa

處簡支承；

0( )x x a x( )   

（2.17a）

1( ) (x x 1) ( )0 x    

（2.17b）

1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) i x x i i x Ci i x    _  _

（2.17c）

其中

2 1 2 1 ( ) = ( ) a i o i a i o x x dx x dx     





，

1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a i i o i a i o x x x dx C x dx       





，

) (x i 

須滿足

( ) ( ) 0, , a k l o kl k l x x dx a k l   _{ }  _   



使用正交多項式可改善使用多項式造

成病態矩陣之現象。

若只使用式（2.16）之允許函數於 Ritz 法中，將無法辨識裂縫是否存在。

因此，所得之結果將與無裂縫板結果一致。為使允許函數符合裂縫尖端之

應力奇異性，以及跨越裂縫之位移與轉角不連續性，必需引入另一組函數

集。依

Hunag（2003）利用特徵函數展開法求解扇形 Mindlin 板在各種徑向

邊界條件組合下之應力奇異解，其中考慮尖端處之彎矩奇異性時，其轉角

（

_ra、_a

）與位移（

w_a

）漸近解在極座標系統（極座標

 

r,

之原點設定於

裂縫尖端，其中

  

（參考圖

3.1 與圖 3.2））表示如下

 

_





_



_



_



_



_



_



_



_





_ra r,  A₁cos 1 A₂sin 1 A₃cos 1 A₄sin 1 r

（2.18a）

 























         

 _a r,  A₂cos 1 A₁sin 1 k₂A₄cos 1 k₂A₃sin 1 r

（2.18b）

 





















1 4 1 3 1 2

1cos 1 sin 1 cos 1 sin 1

,_  _{C } _ _{C } _ _{ A } _ _{ A } _{ r} r w_a

（2.18c）

其 中



_



_

 

_{ }



_



_



_

1 1 1 2 1 1 1 2 2 _{   }             k

，

           3 1 1

， 而



及 係 數

Ai

與

Cj

（

i1, 2 ,, 3 4

，

j1, 2

）可由延著尖銳點兩端之徑向邊界條件決定，當取延

著尖銳點兩端之邊界為自由端時，根據

Hunag（2003）推導之結果，



必須

滿足以下之特徵方程式：



sin sin



sin sin



0

（2.19）

對 應 本 文 所 考 慮 之 裂 縫 問 題 （ 即

  360

）， 可 得 其 特 徵 根 為

 n/2

（

n1, 2 ,, 3 ,...4

）；

A_i

與

C_j

之關係可由文獻中（Hunag, 2003）獲得。

當考慮尖端處之剪力奇異性時，其漸近解可以極座標方式表示成

 













1 4 3 2

1cos sin cos2 sin 2

,_{          }  _ra r A A A A r

（2.20a）

 













1 3 4 2

1cos sin cos2 sin 2

, _{     } 

       

 _a r B B A A r

（2.20b）

 

_r



_l



_{A  A }

 

_{l B  B }





_r

w_a ,  _{1 1}cos  ₂sin  _{2 2}cos  ₁sin

（2.20c）

其中



















       3 1 1 2 2 1 Gh D l

，







 









     21 1 2 2 2 Gh D l

；在同樣考慮延

著尖銳點兩端之邊界為自由端時，



必須滿足以下之特徵方程式：



cos/2



sin/2



0

（2.21）

同樣取

  360

，可得

 n/2

（

n1,2 ,,3 ,...4

）

，而係數

A₁, A₂, A₃, A₄, B₁

及

B₂

之

關係可由文獻中（Hunag, 2003）獲得。

由於式（2.18）與式（2.20）所表示之漸近解過於複雜，仔細觀察後，

可發現式（2.18）與式（2.20）中，當



與



為非整數時（即

, 2 1    , 2 3 ,... 2 5

）

，

此兩組式子可看成下面函數集之線性組合：

          _{| 0,1,2.... 1,2,3...} 2 1 2 sin 2 1 2 cos (2 1)/2 1)/2 (2 l _r l _{l n n} r n _{ 及} n _{ 且}

_（2.22）

另外，在此處不取



與



為整數，因取整數時，所得函數集，可由有限

項之多項式函數展開得到。因此

Ψ_xc

 

r,θ

、

Ψ_yc

 

r,θ

與

W_c

 

r,θ

可表示成：

 

 

       _  







      1 1 21 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 sin ~ 2 1 2 cos N n N n n m n ij n m n ij x xc θ m r a θ m r a x,y f r,θ Ψ

（2.23a）

 

 

       _  







      2 1 22 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 sin ~ 2 1 2 cos N n N n n m n ij n m n ij y yc θ m r b θ m r b x,y f r,θ Ψ

（2.23b）

 

 

      _   







      3 1 23 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 sin ~ 2 1 2 cos N n N n n m n ij n m n ij w c θ m r c θ m r c x,y f r,θ W

（2.23c）

上式函數

f_x

 

x,y

、

f_y

 

x,y

與

f_w

 

x,y

，為使

Ψ_xc

、

Ψ_yc

及

W_c

滿足幾何邊界條件。

若考慮簡支承，則可表示成

  

x,y y BL y



f_x  

（2.24a）

  

x,y x AL x



f_y  

（2.24b）

 

x,y xy



AL x



BL x



f_w   

（2.24c）

式（2.23）之函數集稱為〝邊緣裂縫函數〞

。取式（2.23）中

N_1k N_2k N

（

k 1, , 2 3

）

。將式（2.16）與式（2.23）代回式（2.15），可得到

3



IJ N



N 3





條

對應於待定係數

a_ij

、

a_ij

、

a~_ij

、

b_ij

、

b_ij

、

b~_ij

、

c_ij

、

c_ij

、

c~_ij

之線性代數方程式。

以上所定義之

Ψ_xc

 

r,θ

、

Ψ_yc

 

r,θ

與

W_c

 

r,θ

皆以極座標(可參考圖 2.3)表示

之，其中卡式座標(x,y)與極座標

(r,



)

之轉換關係如下:

2 2

_y

x

r





，

(2.25)

x

y

θ

_

_tan

1

，

(2.26)

其中，

x





x



A

x



cos







y



A

y



sin



，

(2.27a)



x

A

_x



sin





y

A

_y



cos



y









，

(2.27b)



A ,x Ay



為裂縫尖端之之

 

x,y

座標，

為裂縫與水平軸之夾角。

2.4 收斂性分析

數學上，無限多項之允許函數構成ㄧ完備函數集合；當使用夠多的允

許函數時，利用

Ritz 法求得之解當能收斂至真解。於收斂性分析中，首先

分析薄板（

h/b0.01

）之振動頻率，並與文獻值比較，以驗證本研究所提允

許函數的正確性；接著進一步探討邊緣裂縫函數項數對數值收斂之影響。

本文之數值解乃利用

Fortran 程式語言，為求其精確之收斂解，以 128-bit

之變數撰寫電腦程式。所得之數值結果僅列出前五個模態之無因次化之自

然振動頻率值

_a2 _h/D

_{，而其中所使用之參數，波松比（}

_

_）取為

_0.3，剪

力修正因子為

12 2 

_。

a

、

b

、

c_x

、

c_y

、

d

等幾何參數定義於圖

2.1 與圖 2.2 中。

表

2.1～2.3 為具不同長度水平邊緣裂縫之簡支矩形薄板（

a/b2

,

c_y/b 5 . 0 

,

d/a0.2

、

0.6

、

0.8

,

h/b0.01

）的自然振動頻率收斂性分析。使用之允

許函數乃依式（2.16）與式（2.23）所定義者。表中第一欄代表振態數，S

及

A 分別表示對稱與反對稱之振動模態。文獻之結果乃利用古典板理論所

得者，其中

Stahl 和 Keer（1972）精準地求解 Fredholm 積分方程；Liew

等人（1994）則是使用 19×9 項正交多項式函數於各切割區域，並以積分方

式強制各區域連結處之位移與斜率連續，然而這樣的方式並無法滿足位移

及斜率處處連續。由於

Liew 等人（1994）之解無法滿足無裂縫處位移及斜

率處處連續之條件，因此他們的解無法保證從上限收斂至真值。

表

2.1 中顯示裂縫長度與長邊比為

d/a0.2

時之結果。在各模態首列是

未加入任何裂縫函數(

N 0

)所得的無因次化頻率，可發現只使用多項式函

數，無因次化頻率雖可收斂，但此收斂值只是〝無裂縫〞矩形板的收斂頻

率，因此單使用多項式函數並無法知道裂縫之存在。將式（2.23）之裂縫函

數加入允許函數時可發現，隨著裂縫函數項數提高所得到的結果也逐漸與

文獻值接近。當

I  J 7

及

N 6

（總項數 309）時，可達至少 3 位有效位

數之收斂值。

觀察表

2.1～表 2.3 之收斂頻率，可發現隨裂縫長度增加，所需之裂縫

函數項數也必須提高，方可達到至少三位有效位數之收斂；另外可發現其

收斂的數值結果皆低於

Stahl 和 Keer (1972)解析解，因為 Stahl 和 Keer (1972)

探討之問題是架構在薄板理論下，相對於

Mindlin 一階板理論會有高估自然

振動頻率的現象。

以上結果確認本研究所提解法之正確性。將其進一步用於中厚板（

h /b 1 . 0 

）之收斂分析，表

2.4 與表 2.5 為不同邊界條件下（簡支、懸臂）矩形

中厚板之收斂結果；觀察可發現，當多項式項數

I  J 9

，角函數項數

N 7

時，前五個振態皆可達

3 位，甚至 4 位有效位數收歛。

2.5 數值結果

於

2.3 節已經驗證加入裂縫函數確實能有效描述裂縫存在，因此本節

將其應用於分析具有邊緣裂縫之矩形厚板，討論在不同邊界條件和裂縫位

置、角度及長度下，對振動行為的影響。其中允許函數項數之取法，乃根

據表

2.4 與表 2.5 之收歛探討，取法如下：當裂縫長度

d a0.3

時，取

I  J 9

與

N 8

（總項數為

507 項）

，當裂縫長度

d a0.3

時，取

I  J 9

與

N 7

（總

項數為

453 項）。表中列出前五個模態之無因次化頻率值，依簡化之收斂探

討可確認所得之解至少準確至三位有效數字。所有結果均針對

h/b0.1

及

3 . 0  

之矩形板。

表

2.6 為具有邊緣裂縫四邊簡支承（SSSS）方形板之無因次化振動頻

率；表

2.7 為其無因次化頻率折減量比，其定義為：

無裂縫 裂縫 無裂縫















_；

其中，



無裂縫

為完整板無因次化頻率值

，



裂縫

為具裂縫板之無因次化頻率

值。

表

2.6 考慮不同裂縫位置（

c_y b0.5

與

0.75

）

、角度（

_{ 0}

_、

_{15 、} _{30 、}  45

）

、裂縫長度（

d a0.1~0.6

）與厚度（

h/b0.1

）之影響。觀察表

2.6 與

表

2.7 可發現以下現象

（1） 將無裂縫板（

d a0

）之結果與

S. Hosseini-Hashemi 等（2005）利用

Mindlin 板理論所得之解析解做比較，可發現所得結果最少可達到四

位有效位數相同。

（2） 當裂縫長度增加時，無因次化頻率隨之下降；此乃裂縫長度增加，將

導致板勁度降低之故。當

d a0.1

，各案例之頻率折減量比



皆小於

1%，表示裂縫較短時，各模態頻率值受裂縫引起的改變很小，勁度

降低量較不明顯。

（3） 比較水平裂縫隨位置(

c_y/b0.5

與

0.75

)對頻率值之影響，發現當

5 . 0  a d

時，

c_y/b0.5

之前兩模態之頻率折減量比



較

c_y/b0.75

者

大，而第三~第五模態則呈現相反趨勢。

（4） 觀察各模態頻率值隨角度增加（

_{ 0}

_、

_{15 、} _{30 、} ₄₅

_{）之變化情}

形。發現當角度為

30

時，第一模態頻率相較其他角度有較小之頻率

（



較大）。此外，各案例頻率最大值，除第二模態，大部分集中

在

為

0

或

45

。

表

2.8 為具頂部裂縫簡支（SSSS）矩形板（

a/b2

）之無因次化頻

率，表

2.9 為其頻率折減量比，其中列出了不同裂縫角度（

  90

與

135

）

與位置（

c_x/a0.25

與

0.5

）之影響。觀察表

2.8 與表 2.9 可發現

（1） 不同裂縫位置（

c_x/a0.25

、

0.5

且

  90

）對頻率之影響：當裂縫較

長時（

d b0.3

），位於

c_x/a0.5

之第一與第五模態頻率值比位於

25 . 0 /a c_x

來的大，其餘模態則無明顯趨勢。

（2） 不同裂縫角度（

  90

、

135

且

c_x/a0.25

）之影響：當

 90

且裂

縫長度

d b0.5

時，第一、四模態之頻率折減量比



較

 135

者

大，而第二模態則呈現相反趨勢。

表

2.10 為具有邊緣裂縫懸臂（CFFF）方形板之無因次化頻率，表

2.11 為其頻率折減量比。觀察表 2.10 與 2.11 可發現以下現象

（1） 比較水平裂縫在不同位置 （

c_y b0.5

與

0.75

）情況下，其頻率值變

化之情形，發現第一模態變化並無明顯差距，而當裂縫位置在

5 . 0  b c_y

時，第二、四及五模態之頻率折減量比



較

c_y b0.75

者

大，第三模態則呈現相反趨勢。與簡支承方形板之結果（參看表

2.6）

比較，可發現，不論是簡支承或懸臂支承，當裂縫位置由

c_y b0.5

移

至

c_y b0.75

時，第一模態並不會因位置的變化，造成頻率折減量比

 

有較大的改變；而第五模態，在懸臂支承之頻率折減量比



將

隨著位置由

c_y b0.5

移至

c_y b0.75

而跟著下降，簡支承則呈現相反

趨勢。

（2） 比較不同角度下（

_{ 0}

_、

_{15 、} _{30 、} ₄₅

_且

_{c /b0.75} y

）各模態頻率

之大小。可發現第一模態最大值大部份都發生在

 0

之時，第二

模態最大值則發生在

 45

。同時觀察表

2.6 與 2.10，發現 SSSS

與

CFFF 裂縫板在第一、三、四及五模態的頻率最大值，大部分集

中在

為

0

或

45

。

（3） 觀察各模態頻率值隨角度增加（

_{ 0}

_、

_{15 、} _{30 、} ₄₅

_且

_{c /b0.75} y

）

之變化情形。首先固定裂縫長度

d a0.2

，發現第一模態隨著角度增

加而下降，第二、四與五模態隨著角度增加而上升。若固定裂縫長度

6 . 0  a d

時，發現第一、三模態隨著角度增加而下降，第二與五模態

隨著角度增加而上升。比較簡支承（表

2.6）可發現在當裂縫長度

2 . 0  a d

時，第四模態頻率值同樣隨著角度增加而上升，但簡支承在

第二與五模態則呈現相反趨勢；而

d a0.6

時，只有在第五模態同樣

隨角度增加而上升。

表

2.12 為具有頂部裂縫懸臂（CFFF）方形板之無因次化頻率，表 2.13

為其頻率折減比。考慮不同裂縫位置（

c_x b0.25

、

0.5

及

0.75

）

、角度（

_{ 90}

_、

 30

及

60

）與長度（

d a0.1~0.6

）

，觀察表

2.12 與表 2.13 可發現以下現象：

（1） 比較垂直裂縫（

_{ 90}

_{）在不同位置（}

_{c b0.25} x

、

0.5

及

0.75

）上之模

態頻率；固定裂縫為

d a0.2

時，發現

c_x b0.75

之前三個模態有最大

值，四、五模態有最小值，而

c_x b0.25

在一、二模態有最小值，第四

模態有最大值；固定裂縫為

d a0.6

時，發現

c_x b0.75

之第一、二及

五模態有最大值，四模態有最小值，而

c_x b0.25

在一、二及五模態有

最小值，第四模態有最大值。因此可知當頂部裂縫之位置越接近懸臂

端時，第一、二及五模態頻率值將逐漸下降，第四模態則呈現相反趨

勢。

（2） 比較各模態頻率值在不同角度下(

  30、60、 90

且

c_x b0.75

)之

變化情形。固定裂縫長度為

d a0.2

，發現最大值都發生在

  30

；

接著固定裂縫長為

d a0.6

，除第一模態，最大值發生在

  90

外，

其餘皆發生在

  30

。可知各模態（除第一模態）頻率值將隨角度

越偏向懸臂端而增加。

（3） 觀察方形板頂部垂直裂縫（表 2.12 且

c_x/a0.5

）與邊緣水平裂縫（表

2.10 且

c_y/b0.5

）

。發現表

2.10 中第二、四與五模態頻率折減量比



較表

2.12 來的高。

（4） 比較表 2.10 與 2.12 中

α30

者，發現表

2.10 中除第一模態頻率折

減量比



隨裂縫長度增加(

d a0.1~0.6

)幅度明顯較小(2.57%)外，

其於模態降幅皆大於表

2.12 者。即裂縫交於板之

xa

處者似乎較

b y

者受裂縫增加之影響較為顯著。

表

2.14 為具有頂部裂縫懸臂（CFFF）矩形板（

a b2

）

，表

2.15 為其

折減量比，考慮不同裂縫位置（

c_x b0.25

、

0.5

及

0.75

）

、角度（

_{ 90}

_與

_135

_）

與長度（

d a0.1~0.6

）。觀察表

2.14 與表 2.15 可發現以下現象：.

（1） 比較不同裂縫角度（

_{ 90}

_、

₁₃₅

_且

_{c b0.25} x

）之影響。當

 90

時，

除第三模態，其餘各模態頻率折減量比



皆較

_{ 135}

_{來高。即裂}

縫角度越遠離懸臂端時（

_{ 135}

_{），對振動模態（第三模態除外）}

之影響將隨之降低。

（2） 觀察垂直（

_{ 90}

_{）裂縫在不同位置（}

_{c /a0.25} x

與

0.5

）對頻率之影

響。當位於

c_x/a0.25

時其前兩個模態頻率折減量比



較

c_x /a0.5

大，其餘則呈現相反趨勢。

（3） 將表 2.14 與簡支矩形裂縫板（表 2.8）做比較，可發現在不同邊界

條件下，懸臂支承隨裂縫增加（

d a0.1~0.6

）的頻率折減量比



，

多數皆較簡支承大。因此裂縫增加導致勁度下降之影響於懸臂邊界

條件有較明顯的趨勢。

表

2.16 為四邊皆為自由端（FFFF）之方形板，表 2.17 為其折減量比，

考慮不同裂縫位置（

c_y b0.5

與

0.75

）

、角度（

_{ 0}

_、

_{15 、} _{30 、} ₄₅

_）與長

度（

d a0.1~0.6

）。觀察表

2.16 與表 2.17 可發現以下現象：

（1） 考慮裂縫位置（

c_y b0.5

與

0.75

）對頻率值之影響，發現裂縫位於中

央（

c_y b0.5

）時，其頻率折減量比



，在第一、二及五模態，比裂

縫位於

c_y b0.75

時要高。而比較不同邊界條件下（表

2.6、表 2.10 及

表

2.16）因為位置不同頻率之變化，可發現第一模態因位置改變在四

邊自由端時，有較大差異；另外四邊自由端與懸臂支承在第二與五模

態，當位置由

c_y b0.5

移至

c_y b0.75

時，頻率折減量比



將跟著降

低。

（2） 比較當裂縫角度不同（

α 0、15、30、45

且

c_y/b0.75

）時頻率之變

化；若固定裂縫長度

d a0.2

，第一、三及四模態頻率最大值發生在

45  α

者，而在二與五模態最大值則發生在

 0

。若固定裂縫長度

6 . 0  a d

，第二、四與五模態最大值在

 0

，其餘第一與三模態最大

值則分別在

α 45

與

 15

。综合比較表

2.6、表 2.10 與表 2.16，可

發現前五個模態最大值，大部份集中在

 0

與

 45

。

（3） 將表 2.16 與簡支方形裂縫板（表 2.6）和懸臂方形裂縫板（表 2.10）

做比較。其中懸臂方形裂縫板除第一模態頻率折減量比



（0.06％）

較小外，其餘第二～第五模態頻率折減量比



皆大於另外兩種邊界

條件。而簡支方形裂縫板中，第二～四模態頻率折減量比



則皆較

表

2.10 與表 2.16 小。可知因裂縫增加導致勁度下降之影響於懸臂邊

界條件有較明顯之趨勢，簡支承相較於其他邊界下降幅度不明顯。

圖

2.4 為具有邊緣裂縫簡支方形板之模態圖（圖中虛線為位移=0 之節

點線（nodal line））

，其中僅列出表

2.6 中

d/a 0.2

與

0.6

之圖形。觀察之現象

如下：

（1） 當裂縫位於中間(

c_y/b0.5

)且為水平（

  0

）時，可發現其自由振

動之模態圖皆為對稱或反對稱於裂縫軸(

yb/2

)。

（2） 觀察

c_y/b0.75

之圖形與

c_y/b0.5

比較之，當裂縫移至

c_y/b0.75

時，因為其幾何逐漸失去原有之對稱性，節點線亦出現較多扭曲之

形式。觀察

d/a0.2

第四模態，發現原兩相交垂直節點線產生分離。

（3） 觀察圖形隨角度(

  0

、

15、30、45

且

c_y/b0.75

)之變化情形。

2 . 0 /a d

者第一~四模態圖皆為相似，而第五模態有明顯差異；而

6 . 0 /a d

者圖形受角度影響之變化愈趨明顯，其中第四與第五模態

圖形有較大差異。

圖

2.5 為具有頂部裂縫簡支矩形板（

a/b2

）之模態圖，裂縫與

yb

相交，其中僅列出表

2.8 中

d/b0.2

與

0.6

之圖形。可觀察到：

（1） 當裂縫長度較短時（

d/b0.2

）

，第一～四模態變化與無裂縫之模態

相當類似，第五模態則因裂縫產生而有較大差異。

（2） 由於四個邊皆為簡支承（SSSS），因此將裂縫位於

c_x/a0.5

之結果