數值結果

0 ）之收斂分析，表2.4 與表 2.5 為不同邊界條件下（簡支、懸臂）矩形 中厚板之收斂結果；觀察可發現，當多項式項數I  J 9，角函數項數N 7 時，前五個振態皆可達3 位，甚至 4 位有效位數收歛。

2.5 數值結果

於2.3 節已經驗證加入裂縫函數確實能有效描述裂縫存在，因此本節 將其應用於分析具有邊緣裂縫之矩形厚板，討論在不同邊界條件和裂縫位 置、角度及長度下，對振動行為的影響。其中允許函數項數之取法，乃根 據表2.4 與表 2.5 之收歛探討，取法如下：當裂縫長度d a0.3時，取I  J 9

與N 8（總項數為 507 項），當裂縫長度d a0.3時，取I  J 9與N 7（總 項數為453 項）。表中列出前五個模態之無因次化頻率值，依簡化之收斂探 討可確認所得之解至少準確至三位有效數字。所有結果均針對h/b0.1及

3 .

0

 之矩形板。

表2.6 為具有邊緣裂縫四邊簡支承（SSSS）方形板之無因次化振動頻 率；表2.7 為其無因次化頻率折減量比，其定義為：

無裂縫 裂縫 無裂縫











^

 ；

其中，



無裂縫為完整板無因次化頻率值

， 

裂縫為具裂縫板之無因次化頻率 值。

表2.6 考慮不同裂縫位置（c_y b0.5與0.75）、角度（ 0^、15 、^ 30 、^ 45）、裂縫長度（d a0.1~0.6）與厚度（h/b0.1）之影響。觀察表2.6 與 表2.7 可發現以下現象

（1） 將無裂縫板（d a0）之結果與S. Hosseini-Hashemi 等（2005）利用 Mindlin 板理論所得之解析解做比較，可發現所得結果最少可達到四 位有效位數相同。

（2） 當裂縫長度增加時，無因次化頻率隨之下降；此乃裂縫長度增加，將 導致板勁度降低之故。當d a0.1，各案例之頻率折減量比皆小於 1%，表示裂縫較短時，各模態頻率值受裂縫引起的改變很小，勁度 降低量較不明顯。

（3） 比較水平裂縫隨位置(c_y/b0.5與0.75)對頻率值之影響，發現當

5 .

0 a

d 時，c_y/b0.5之前兩模態之頻率折減量比較c_y/b0.75者 大，而第三~第五模態則呈現相反趨勢。

（4） 觀察各模態頻率值隨角度增加（ 0^、15 、^ 30 、^ 45^）之變化情 形。發現當角度為30時，第一模態頻率相較其他角度有較小之頻率

（較大）。此外，各案例頻率最大值，除第二模態，大部分集中 在 為0或45。

表 2.8 為具頂部裂縫簡支（SSSS）矩形板（a/b2）之無因次化頻 率，表2.9 為其頻率折減量比，其中列出了不同裂縫角度（  90與135 ） 與位置（c_x/a0.25與0.5）之影響。觀察表2.8 與表 2.9 可發現

（1） 不同裂縫位置（c_x/a0.25、0.5且  90）對頻率之影響：當裂縫較 長時（d b0.3），位於c_x/a0.5之第一與第五模態頻率值比位於

25 . 0 /a

c_x 來的大，其餘模態則無明顯趨勢。

（2） 不同裂縫角度（  90、135 且c_x/a0.25）之影響：當 90 且裂 縫長度d b0.5時，第一、四模態之頻率折減量比較 135 者 大，而第二模態則呈現相反趨勢。

表 2.10 為具有邊緣裂縫懸臂（CFFF）方形板之無因次化頻率，表 2.11 為其頻率折減量比。觀察表 2.10 與 2.11 可發現以下現象

（1） 比較水平裂縫在不同位置 （c_y b0.5與0.75）情況下，其頻率值變

化之情形，發現第一模態變化並無明顯差距，而當裂縫位置在 5

.

0 b

c_y 時，第二、四及五模態之頻率折減量比較c_y b0.75者 大，第三模態則呈現相反趨勢。與簡支承方形板之結果（參看表2.6）

比較，可發現，不論是簡支承或懸臂支承，當裂縫位置由c_y b0.5移 至c_y b0.75時，第一模態並不會因位置的變化，造成頻率折減量比



 有較大的改變；而第五模態，在懸臂支承之頻率折減量比將

隨著位置由c_y b0.5移至c_y b0.75而跟著下降，簡支承則呈現相反 趨勢。

（2） 比較不同角度下（ 0^、15 、^ 30 、^ 45^且c_y /b0.75）各模態頻率

之大小。可發現第一模態最大值大部份都發生在 0 之時，第二 模態最大值則發生在 45 。同時觀察表 2.6 與 2.10，發現 SSSS 與 CFFF 裂縫板在第一、三、四及五模態的頻率最大值，大部分集 中在 為0或45。

（3） 觀察各模態頻率值隨角度增加（ 0^、15 、^ 30 、^ 45^且c_y/b0.75）

之變化情形。首先固定裂縫長度d a0.2，發現第一模態隨著角度增 加而下降，第二、四與五模態隨著角度增加而上升。若固定裂縫長度

6 .

0 a

d 時，發現第一、三模態隨著角度增加而下降，第二與五模態

隨著角度增加而上升。比較簡支承（表2.6）可發現在當裂縫長度

2 .

0 a

d 時，第四模態頻率值同樣隨著角度增加而上升，但簡支承在

第二與五模態則呈現相反趨勢；而d a0.6時，只有在第五模態同樣 隨角度增加而上升。

表2.12 為具有頂部裂縫懸臂（CFFF）方形板之無因次化頻率，表 2.13 為其頻率折減比。考慮不同裂縫位置（c_x b0.25、0.5及0.75）、角度（ 90^、

30及60^）與長度（d a0.1~0.6），觀察表 2.12 與表 2.13 可發現以下現象：

（1） 比較垂直裂縫（ 90^）在不同位置（c_x b0.25、0.5及0.75）上之模

態頻率；固定裂縫為d a0.2時，發現c_x b0.75之前三個模態有最大 值，四、五模態有最小值，而c_x b0.25在一、二模態有最小值，第四 模態有最大值；固定裂縫為d a0.6時，發現c_x b0.75之第一、二及 五模態有最大值，四模態有最小值，而c_x b0.25在一、二及五模態有 最小值，第四模態有最大值。因此可知當頂部裂縫之位置越接近懸臂 端時，第一、二及五模態頻率值將逐漸下降，第四模態則呈現相反趨 勢。

（2） 比較各模態頻率值在不同角度下(  30、60、 90且c_x b0.75)之 變化情形。固定裂縫長度為d a0.2，發現最大值都發生在  30； 接著固定裂縫長為d a0.6，除第一模態，最大值發生在  90外，

其餘皆發生在  30。可知各模態（除第一模態）頻率值將隨角度 越偏向懸臂端而增加。

（3） 觀察方形板頂部垂直裂縫（表 2.12 且c_x/a0.5 ）與邊緣水平裂縫（表 2.10 且c_y/b0.5 ）。發現表2.10 中第二、四與五模態頻率折減量比 較表2.12 來的高。

（4） 比較表 2.10 與 2.12 中α30 者，發現表 2.10 中除第一模態頻率折 減量比隨裂縫長度增加(d a0.1~0.6)幅度明顯較小(2.57%)外，

其於模態降幅皆大於表 2.12 者。即裂縫交於板之xa處者似乎較

b

y 者受裂縫增加之影響較為顯著。

表2.14 為具有頂部裂縫懸臂（CFFF）矩形板（a b2），表 2.15 為其 折減量比，考慮不同裂縫位置（c_x b0.25、0.5及0.75）、角度（ 90^與135） 與長度（d a0.1~0.6）。觀察表2.14 與表 2.15 可發現以下現象：.

（1） 比較不同裂縫角度（ 90^、135^且c_x b0.25）之影響。當 90^時，

除第三模態，其餘各模態頻率折減量比皆較 135^來高。即裂 縫角度越遠離懸臂端時（ 135^），對振動模態（第三模態除外）

之影響將隨之降低。

（2） 觀察垂直（ 90^）裂縫在不同位置（c_x/a0.25與0.5）對頻率之影 響。當位於c_x/a0.25時其前兩個模態頻率折減量比較c_x /a0.5 大，其餘則呈現相反趨勢。

（3） 將表 2.14 與簡支矩形裂縫板（表 2.8）做比較，可發現在不同邊界 條件下，懸臂支承隨裂縫增加（d a0.1~0.6）的頻率折減量比， 多數皆較簡支承大。因此裂縫增加導致勁度下降之影響於懸臂邊界 條件有較明顯的趨勢。

表2.16 為四邊皆為自由端（FFFF）之方形板，表 2.17 為其折減量比，

考慮不同裂縫位置（c_y b0.5與0.75）、角度（ 0^、15 、^ 30 、^ 45^）與長 度（d a0.1~0.6）。觀察表2.16 與表 2.17 可發現以下現象：

（1） 考慮裂縫位置（c_y b0.5與0.75）對頻率值之影響，發現裂縫位於中 央（c_y b0.5）時，其頻率折減量比，在第一、二及五模態，比裂 縫位於c_y b0.75時要高。而比較不同邊界條件下（表2.6、表 2.10 及 表2.16）因為位置不同頻率之變化，可發現第一模態因位置改變在四 邊自由端時，有較大差異；另外四邊自由端與懸臂支承在第二與五模 態，當位置由c_y b0.5移至c_y b0.75時，頻率折減量比將跟著降 低。

（2） 比較當裂縫角度不同（α 0、15、30、45且c_y/b0.75）時頻率之變

化；若固定裂縫長度d a0.2，第一、三及四模態頻率最大值發生在

45



α 者，而在二與五模態最大值則發生在 0 。若固定裂縫長度

6 .

0 a

d ，第二、四與五模態最大值在 0 ，其餘第一與三模態最大 值則分別在α 45 與 15 。综合比較表2.6、表 2.10 與表 2.16，可 發現前五個模態最大值，大部份集中在 0 與 45 。

（3） 將表 2.16 與簡支方形裂縫板（表 2.6）和懸臂方形裂縫板（表 2.10）

做比較。其中懸臂方形裂縫板除第一模態頻率折減量比（0.06％）

較小外，其餘第二～第五模態頻率折減量比皆大於另外兩種邊界 條件。而簡支方形裂縫板中，第二～四模態頻率折減量比則皆較 表2.10 與表 2.16 小。可知因裂縫增加導致勁度下降之影響於懸臂邊 界條件有較明顯之趨勢，簡支承相較於其他邊界下降幅度不明顯。

圖2.4 為具有邊緣裂縫簡支方形板之模態圖（圖中虛線為位移=0 之節 點線（nodal line）），其中僅列出表2.6 中d/a 0.2與0.6之圖形。觀察之現象 如下：

（1） 當裂縫位於中間(c_y/b0.5)且為水平（  0）時，可發現其自由振 動之模態圖皆為對稱或反對稱於裂縫軸(yb/2)。

（2） 觀察c_y/b0.75之圖形與c_y/b0.5比較之，當裂縫移至c_y/b0.75

時，因為其幾何逐漸失去原有之對稱性，節點線亦出現較多扭曲之 形式。觀察d/a0.2第四模態，發現原兩相交垂直節點線產生分離。

（3） 觀察圖形隨角度(  0、15、30、45且c_y/b0.75)之變化情形。

2 . 0 /a

d 者第一~四模態圖皆為相似，而第五模態有明顯差異；而

6 . 0 /a

d 者圖形受角度影響之變化愈趨明顯，其中第四與第五模態

圖形有較大差異。

圖2.5 為具有頂部裂縫簡支矩形板（a/b2）之模態圖，裂縫與yb 相交，其中僅列出表2.8 中d/b0.2與0.6之圖形。可觀察到：

（1） 當裂縫長度較短時（d/b0.2），第一～四模態變化與無裂縫之模態 相當類似，第五模態則因裂縫產生而有較大差異。

（2） 由於四個邊皆為簡支承（SSSS），因此將裂縫位於c_x/a0.5之結果

轉90，與圖2.4 位置c_y/b0.5之結果做比較；首先固定裂縫長度為

2 . 0 /a

d 發現，其前兩個模態類似，方形板第三個模態也與矩形板

第四個模態相近；當裂縫長度增加為d/a 0.6時，發現前兩個模態 一樣相當類似，而方型板第三模態則與矩形板第五模態類似。

圖 2.6 為具有邊緣裂縫懸臂方形板之模態圖(其中虛線為位移=0 之 連線)，其中僅列出表 2.10 中d/a0.2與0.6之圖形。觀察之現象如下：

（1） 當水平裂縫位於c_y/b0.5時，該板幾何對稱於yb/2，故其節點線 呈現對稱與反對稱形式。

（2） 觀察圖形隨裂縫角度之變化(0°、15°、30°、45°且c_y/ =0.75b )。發現裂

縫較短（d/a0.2）者各模態圖形皆為相似；裂縫較長（d/a0.6） 者，當角度為45時與其他角度有較明顯之差異。

圖2.7 為具有頂部裂縫懸臂方形板之模態圖(其中虛線為位移=0 之連 線)，其中僅列出表 2.12 中d/a0.2與0.6之圖形。觀察之現象如下：

（1） 比較裂縫在不同位置（c_x/a0.25、0.5及0.75）其模態圖之變化。當

裂縫長度較短（d/a0.2）時，前三個模態圖形皆相類似，第四模態 有較明顯之差異，而第五模態則是在裂縫靠近固定端時（c_x/a0.25） 才有較大之變化。

（2） 觀察圖形隨裂縫角度之變化(30、60、90且c_x/a0.75)。當裂縫較

短（d/a0.2）時，除第四模態有較大之差異，其餘各模態圖形皆 為相似；而裂縫較長（d/a0.6）者，當裂縫垂直（  90）時，

短（d/a0.2）時，除第四模態有較大之差異，其餘各模態圖形皆 為相似；而裂縫較長（d/a0.6）者，當裂縫垂直（  90）時，

在文檔中 利用Ritz法分析具有裂縫之矩形Mindlin板振動 (頁 28-38)