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具體表徵融入數學教學之相關實證研究

第二章 文獻探討

第三節 具體表徵融入數學教學之相關實證研究

一般對於國小的學生來說,教師經常應用實體教具在數學課程學習上,其目 的主要是讓學生透過操作實體教具的吸引力,以加強在學習數學課程中所要呈現 的相關知識,進而提高學生的學習效果與興趣。在國內利用實體教具輔助數學學 習有相當豐富的相關文獻,在研究者閱讀這些相關文獻後,發現目前研究大都只 針對國小、國中的數學課程,但有關高中數學課程的研究仍有不足。因此,本研 究期望以實體向量教具輔助平面向量的單元教學,設計一套使用向量教具的教學 方法,並進一步去探討教師透過操作向量教具教學,對學生在學習向量概念的成 效影響。以下則針對與本研究相關的具體表徵融入數學教學之研究,進行整理如 下:

洪郁雯(2006)藉由三個教學實例,探究研究者將具體表徵融入小三數學教 學中,以幫助學生學習並理解數學概念。

(實例一)除法教學:

研究者剛開始在進行除法教學時,先讓學生透過實際去分具體花片的方式,

使得在過程中了解「分」的概念,並且透過分出去後,再與減法算式建立關係,

之後由減法引入除法算式的意義,而有剩下無法再分的部份就自然導入了餘數的 觀念。根據學生從具體的花片操作,研究者發現學生先利用分花片了解減法的概 念後,再經由老師的引導把這些概念內化,之後進一步用除法算式來表示,如此 表示學生能夠以有意義的形式來表徵問題的情境,可讓自我的解題及運思能力由 具體階段順利地提升到抽象階段。

(實例二)水平面教學:

水平面教學也是學生容易產生誤解觀念的其中之一,如在瓶中裝著約三分滿 的水,再把瓶身傾斜,此時水平面還是會呈現水平的狀態。但學生通常會認為水 平面也會跟著瓶身傾斜,於是研究者在課堂上利用許多不同形狀的瓶子,再把瓶 中裝水,當學生操作過這些具體教具後,把看到的結果紀錄在他們的學習單上。

研究者從學生的學習單中發現,許多學生一開始畫的水平面會跟著瓶身傾斜,因 受到瓶身傾斜的影響,聯想水平面應該也會跟著傾斜,然而再透過具體表徵之後,

他們才真正瞭解水平面還是會呈現水平狀態。

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(實例三)分數教學:

研究者出了一個題目來進行分數的教學,題目是有兩個大小一樣的正方形,

將它們各自平分成四等份,分法如下圖 2 - 2,請問兩個斜線部分的面積一樣大 嗎?

圖 2 - 2 兩個大小一樣的正方形,各自平分成四等份

有學生透過視覺上的直覺比較,認為上面兩個斜線面積是不一樣大的,且認 為三角形的斜線面積比長方形的斜線面積還要大,因受到圖形不同分法產生不同 形狀所造成的影響。於是研究者在課堂中請學生利用色紙作剪裁,直接將三角形 和長方形比比看大小。學生透過剪裁色紙的過程中,發現經過剪裁將三角形和長 方形重新組合比較之後,兩個斜線面積其實是一樣大的。也就是原本兩張一樣大 的色紙,不管是使用什麼方式把它平分成四等分,再取出其中一等份作比較,結 果兩面積是一樣大的。之後研究者進一步和學生作訪談,更加以確定藉由具體表 徵實際操作的方式,學生澄清了原本的迷思概念,並且確實理解了分數的概念。

在以上三個實際教學的過程中,研究者發現具體表徵是一個很好的學習媒介,

它不僅可以呈現教師所要表達的數學涵義,且學生也可以透過操作具體表徵來連 結數學概念的關係,更可以經由具體表徵去澄清一些原有的數學迷思,所以具體 表徵在數學教學與學習中是一個很重要的工具,它將有助於學生的運思、理解、

和他人溝通自己的想法。

劉秋木(1996)從數學問題解決的觀點出發,說明學生必須有隨著學習經驗 從具體操作物階段逐漸提升到運用抽象化表徵的能力。他說明學生理解整數加法 2 + 3 的問題,先請學生取 2 個積木,再取 3 個積木,全部數數看一共有 5 塊。

這樣以實際操作的方式來瞭解整數加法,在操作具體物的過程中可使學生在腦海 裡形成心像,之後再遇到此問題時,可在腦海中呈現 2 塊和 3 塊積木的圖像,

並對圖像進行計數活動,之後可再更進一步在圖像運思活動中,讓符號與圖像運 思形成對應關係,逐漸使其瞭解符號的意義,最後學生只要腦中呈現 2 和 3 的 符號,即可進行符號運思活動,而獲得 5 這個答案。

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Witzel(2005)指出美國許多州的數學標準,規定數學的學習需要讓學生透 過實際操作從中來體驗數學,以加強建立數學的問題解決與高層次的思考。在使 用具體物操作的活動中,可讓學生藉此進行表徵的轉譯活動,使其可從不同的表 徵系統中重新獲得訊息。此外,學生也可對操作具體物的過程和使用畫圖表徵兩 方式來進行概念的連結。以後當學生面臨到較困難的數學問題時,可藉由具體物 操作與圖像表徵間的連結方式,將操作具體物的過程畫下來解決問題,才得以逐 漸建立運用抽象化表徵的運思能力。

廖秀桔(2010)以「發展解題能力教學模式」探究國小二年級學生乘法概念 之行動研究,在多元表徵轉換下實施「倍」及「乘法」教學,瞭解學生數學解題 策略及對數學學習興趣、數學表達能力、學習成效提升之效果。研究對象為國小 二年級學生共 13 人,採行動研究法,透過教學活動記錄、課堂解題記錄、研究 日誌、半結構式晤談、課後學習單等資料蒐集,再將資料加以整理、分析與歸納。

研究結果發現藉由具體物操作與圖像表徵可澄清迷思概念,以建立穩固之概念。

在倍與乘法多元表徵轉換的教學過程中,學生有時以畫圖解題,有時以操作具體 物解題,兩種方式穿插著進行教學。透過畫圖或操作具體物讓學生看見不同題型 解題後之差異,並從操作具體物的過程中,發現雖然總數相同但是在單位量與單 位數上分別表示的是不相同的。而本研究透過提問的方式讓學生再次看見所拿出 的具體物與題目中的問題是相符合的,以確立其所做出的解答之正確性。讓解題 錯誤的學生再次操作具體物,把題目中的問題實際動手做出來,並透過教師的提 問作思考,再將解題過程用語言表達出來,這樣的解題模式正是教學模式中的具 體操作運思法。具體物的操作對低年級的學生而言相當重要,學生透過具體物的 操作將對單位量及單位數有更深一層的概念,進而達成有意義之連結。另外,研 究者發現研究對象 13 位學生中有 11 位,對於把倍的語言轉換成為具體物操作皆 能正確地做出來,顯示出學生對幾的幾倍之概念十分穩固。在操作具體物的教學 過程中之師生對話,也了解到學生對數學學習的興趣有極大的提升,並且能從操 作具體物的過程中去連結加法概念,進而求得解答。此外,解題信心的提升對於 學習低成就的學生而言十分重要,從教學過程中透過操作具體物的方式,讓學習 低成就的學生對「倍」及「乘法」建立了穩固之概念,自然從學習中得到了解題 的樂趣,因從解決問題中提升信心,解題的成功是最大的學習動力,有了解題的 動力,學習才能更進步。

許紋菁(2007)利用七巧板之特性,進行四年級分數補救教學活動,並探討 實施活動之歷程及成效。七巧板是我國傳統的益智玩具,由七塊簡單幾何圖形所 組成的正方形。許紋菁發現由正方形分割而成的這七塊圖形,特性包括具有明顯 的部分與全體的關係,其中還有 3 塊圖形,雖然它們的形狀不同,但大小卻是一 樣的,這些形成了等積異形的教具,剛好可適用於分數的教學,並利用這七塊圖 形面積大小間的關係,也適合當作分數教學的輔助教具。研究對象為四位在分數

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概念有錯誤想法的四年級學生。此研究之補救教學活動以學生具體操作和融入生 活情境為原則。教學活動包含:(一)釐清簡單分數及等分的意義,(二)鞏固分 數符號的意義及等分的概念,(三)釐清分數單位量概念的錯誤想法,(四)釐清 分數等量概念的錯誤想法等。此研究資料包括質性資料和量化資料。利用筆試前 測及訪談,篩選出有錯誤想法的四位個案,進行補救教學。補救教學後對個案實 施筆試後測,並進行訪談,以瞭解個案錯誤想法改變的成效。此研究結果顯示利 用七巧板所設計的補救教學活動能有效改變學童之錯誤想法。

Behr,Wachsmuth,Post 和 Lesh(1984)所進行的分數教學實驗(Rational Number Project,簡稱 RNP)則是強調讓學生從操作具體教具開始建構分數的概 念,進而引導學生進入心像的理解。RNP 的教學實驗結果顯示,學生在經過操作 具體物的學習情境下,比接受傳統算則教學的學生更可以建構對分數概念的理解。

Cramer,Post 和 delMas(2002)更進一步的發展 RNP 課程,與一般課程進行教 學實驗,以比較學生的學習成效。RNP 課程特別強調使用具體操作物來幫助學生 建構分數概念,並且將教學適時的轉移至半具體,語言,以及抽象符號的表徵。

其教學實驗結果也證實了學生在此學習環境下分數概念的學習成效比一般的 好。

Murray,Oliver 和 Human(1996)對教學者提出許多在分數概念教學上的一 些建議,可運用實際的情境、幾何圖形、繪圖或電算器的操作等方式,讓學生瞭 解分數的概念。教學者可多舉一些例子,讓學生能多有一些經驗,才能體會到分 數其實就是一個數,而分數的運算要在確定學生真正瞭解「分數是一個數」的概 念之後,再作學習比較適合。從這幾位學者的建議中,可發現分數概念的教學要 從具體的情境或操作具體物開始,以豐富學生的經驗,並作為學習的根基。

從國內外學者對於分數教學的建議,可發現研究者皆認為應從具體物、具體 情境中進行分數的教學。學者建議教學者使用各種模型或圖形可讓學生發現部分 與整體的關係,也可以分割圓形或其他圖形以理解等分的概念,並從等分的具體 物分辨幾份中的一份,以及在離散量情境中可用錢幣為教具,類化分數的概念。

國內教科書的教學活動設計也都是以具體情境來佈題,並以具體物操作的方式來 理解分數的概念,例如:分數圖卡、分數板、繩子、花片等。

綜合上述,在數學教育中,具體表徵對於教師的教學方法與學生的學習方式,

皆具有舉足輕重的地位,尤其是對國小的學生而言。並且在上述的一些國內外專 家學者指出,學生可透過具體物的操作,來呈現學生的數學概念,並且具體物還 能幫助學生在解題時作為思考的依據,再加上教師透過教學的介入,可帶領學生 並引導提升至抽象的概念。因此,教師提供給學生一些適當的具體學習經驗是 重要的,應先讓學生實際地去操作具體物,再藉由反覆操作具體物,進而成為

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