研究工具

本研究的研究工具是研究者設計製作的向量教具及其教學方法。為探測此教 具與教學方法，是否能有效的提升高中二年級學生對向量概念的學習成效。我們 設計向量教具、向量概念的實驗教學活動、向量概念成效測驗，進行試教與評量，

並依據一份教學目標來查核教學的內容，其內容分述如下。

3 - 3 - 1 向量教具

由於平面向量的表徵是在平面上畫一條直線段，並在其中一個端點畫上箭 頭，就是向量的圖形表示法，而直線段的長度代表向量的長度，箭頭的方向代表 向量的方向。所以研究者設計及製作向量教具的理念為，使用彩色的塑膠瓦楞紙 剪裁出長條形作為直線段，再特別使用紅色的塑膠瓦楞紙剪裁出三角形作為箭 頭，之後再把兩者接合成實體向量教具（圖 3-3-1）。研究者在此教具內放入磁 鐵，使其可吸附在黑板上有利於拿取操作，且長度分成三種規格，大約是 13 cm，

25 cm，42 cm。此教具主要是設計給教師在課堂中操作，當教師需使用向量平移 時，直接移動整個向量教具，在黑板上操作非常靈活與醒目。而學生並沒有每人 一套教具，但在教學活動中有設計安排學生在課堂中上台親自操作，這樣能讓學 生對向量平移的感覺印象更深刻。

圖 3-3-1 實體向量教具

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3 - 3 - 2 實驗教學施行者

因顧慮到各校各班的學習環境不同，將會造成學生學習表現上的落差，所 以每個實驗組都是由同一位教師進行使用向量教具融入教學活動，而每個控制 組都是由另一位教師進行傳統教學活動。擔任本實驗研究教學的兩位教師均為 研究者的同學，皆有修過教育學程，且具有二、三年的數學教學經驗，兩位教 師的教學程度相當。

在正式實驗教學前，研究者先擬好教學流程，讓兩位教師完全了解後，再演 練整個教學過程，指導教授與研究者仔細觀察討論兩位教師的模擬實驗教學，經 過一再改進演練，確定符合研究者希望達到的效果，才到三所高中去作正式的實 驗教學。兩位教師在正式實驗教學時部分的教學活動影片參見附錄。

3 - 3 - 3 向量概念的教學目標

本研究為了設計向量概念的實驗教學活動與向量概念成效測驗，將先統整出

「向量概念的教學目標」。剛開始研究者先閱覽高中數學有關「平面向量」不同 版本之教材內容、教師手冊以及文獻資料等，參考並分析，最後統整出「向量概 念的教學目標」，如表 3-3-1。

此教學目標主要分成三個概念類別：「向量的表示法」、「平行向量」、「向量 的運算性質」，每一概念類別又區分出次概念類別，其主要目的是使研究者對教 材內容中所應包含內容細目能有更進一步的了解，及檢核設計教學活動與測驗試 題之用。研究者將依據此教學目標，發展向量概念成效測驗，以評量學生在向量 概念中的理解情況及學習狀況。

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3 - 3 - 4 向量概念的實驗教學活動

( 一 ) 各組實驗教學活動之設計編製及實施方式

本研究教學實驗活動之設計，將以三民版《高中數學》第三冊第三章「平面 向量」單元為主軸，再對照「向量概念的教學目標」，補充適當之概念命題。研 究者設計之教學活動及教學實施，分列如下。

1. 單元教學活動設計，包括單元名稱、適用對象、教學時間、教學目標、教學 準備、單元簡介 ( 學習情境 )、教學流程、教學活動參考過程與教學說明、

分段性評量 ( 向量概念成效測驗 )。

2. 在教材編製方面，皆符合高級中學數學科 99 課程綱要所提示的課程目標。

3. 實驗教學中兩組採取的教學方式各異，實驗組採取教師在課堂上操作實體向 量教具教學，而控制組採取教師在黑板上畫圖的傳統方式教學。本研究針對 各組將採取不同的教學活動設計，以符合各組所使用的教學方式。

( 二 ) 實驗教學之模擬準備

在教學內容及教材設計完成後，邀請一位教授及多位數學研究所同學參與模 擬實驗教學，在模擬教學後，根據大家在觀摩過程中對向量教具及教學內容所給 予的意見進行適當的修正調整，冀求正式實驗教學活動能臻於完善。

( 三 ) 實驗教學之實施

正式實驗教學中，以班級為單位，每個學校隨機抽選兩班，一班為實驗組，

另一班為控制組，而兩組採取的教學方式各異，實驗組採取教師在課堂上操作實 體向量教具教學，而控制組採取教師在黑板上畫圖的傳統方式教學。本研究針對 各組將採取不同的教學活動設計，以符合各組所使用的教學方式。

本研究正式實驗教學時間為兩堂課，共 90 分鐘。不論是實驗組或控制組，

第一堂課實驗教學 ( 30 分鐘 ) 結束後，緊接著施行向量概念成效測驗 A 卷 ( 15 分鐘 )，之後第二堂課實驗教學 ( 30 分鐘 ) 結束後，緊接著施行向量概 念成效測驗 B 卷 ( 15 分鐘 )。兩組詳細之實驗教學活動教案設計，詳見附錄一 及附錄二。而關於向量概念教學內容兩組在教學演釋方法的不同之處，整理如表 3-3-2 所示。

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( 四 ) 實驗教學活動內容介紹

按照實驗教學過程，將教學內容編寫成課程教案如下。

一、第一堂實驗教學

依據「向量概念的教學目標」，本堂課分為六個活動，教材以「向量的表示 法」、「平行向量」、「向量的運算性質」相關概念為主軸，次概念為「向量的 符號表示」、「向量的圖形表示」、「向量的相等」、「反向量」、「向量的係 數積」、「向量的加法」、「向量的減法」。詳細課程教案參見附錄一。

以下為第一堂實驗教學課程教案中活動（四）向量的加法的簡報檔。

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二、第二堂實驗教學

依據「向量概念的教學目標」，本堂課分為四個活動，教材以「向量的運算 性質」相關概念為主軸，次概念為「向量的結合律、交換律」。詳細課程教案參 見附錄二。

以下為第二堂實驗教學課程教案中活動（一）向量加法的交換律的簡報檔。

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此活動完成後，接著就介紹向量相加的平行四邊形作法，此處從略，詳情參 見附錄二。

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表 3-3-1 向量概念的教學目標

概念類別 次概念類別 教學目標

向量的表示法

向量的符號表示 1. 認識向量的定義。

2. 能判別及使用符號表示向量。

向量的圖形表示 1. 能判別及畫出圖形表示向量。

平行向量

向量的相等

1. 能了解向量相等的意義。

2. 能判別兩向量是否相等。

3. 能運用向量相等的概念作向量平移。

4. 能了解向量與它所在的位置無關。

反向量

1. 認識反向量的定義。

2. 能判別及使用符號表示反向量。

3. 能判別及畫出圖形表示反向量。

向量的係數積 1. 能了解向量係數積的意義。

2. 能判別及使用符號表示向量係數積。

3. 能判別及畫出圖形表示向量係數積。

向量的運算性質

向量的加法 1. 能了解向量加法的意義。

2. 能使用向量平移的方式作向量加法運算。

向量的減法 1. 能了解向量減法的意義。

2. 能運用反向量的概念，及使用向量平移的 方式作向量減法運算。

向量的結合律、交換律 1. 能了解向量的結合律、交換律的意義。

2. 能運用向量的結合律、交換律化簡運算。

3. 能了解向量的運算與其順序無關。

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表 3-3-2 兩組在教學演釋方法的不同之處

節次 第一堂實驗教學 第二堂實驗教學

教材內容 「向量的表示法」、「平行向量」、

「向量的運算性質」相關概念為主 軸，次概念為「向量的符號表示」、

「向量的圖形表示」、「向量的相 等」、「反向量」、「向量的係數積」、

「向量的加法」、「向量的減法」。

「向量的運算性質」相關概念為主 軸，次概念為「向量的結合律、交 換律」。

實驗組 1. 教師操作向量教具，並搭配在黑 板上傳統的書寫及畫圖方式，讓 學生了解向量的基本概念。

2. 教師主要使用平移向量教具呈現 向量相等的概念與作向量的加減 法運算。

3. 課堂中邀請同學上台自行操作向 量教具做有關向量加減法的練習 題。

1. 教師主要使用向量教具，隨意 平移實體的向量，並搭配在黑 板上傳統的書寫及畫圖方式，

讓學生了解向量的結合律、交 換律的運算性質，並運用此性 質作向量的加減綜合運算。

2. 課堂中邀請同學上台自行操作 向量教具做有關向量加減綜合 的練習題。

控制組 1. 教師完全只使用在黑板上傳統的 書寫及畫圖方式，讓學生了解向 量的基本概念。

2. 教師主要使用在黑板上傳統的書 寫及畫圖方式解說向量相等的概 念與作向量的加減法運算。

3. 課堂中邀請同學上台使用傳統的 書寫及畫圖方式做有關向量加減 法的練習題。

1. 教師完全只使用在黑板上傳統 的書寫及畫圖方式，讓學生了 解向量的結合律、交換律的運 算性質，並運用此性質作向量 的加減綜合運算。

2. 課堂中邀請同學上台使用傳統 的書寫及畫圖方式做有關向量 加減綜合的練習題。

綜合以上所述，本研究中兩組受試者接受不同的教學方法，兩者之間最大差 異，在於實驗組進行教師在課堂上操作實體向量教具教學，大量引用具體形式教 學表徵，抽象與具體之教學表徵相互接引，創造多元的學習情境及輕鬆和諧的教 學氛圍。正式實驗教學的分析，留待第四、五章有詳細的分析及討論，在此不作 贅述。

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3 - 3 - 5 向量概念成效測驗

本研究之向量概念成效測驗的主要目的，是用來評量學生在進行實驗教學 後，對向量概念的學習成效。

( 一 ) 向量概念成效測驗的編製方式

本測驗題目的編製主要以向量的基本概念為主，參考三民版《高中數學》第 三冊第三章「平面向量」單元的課本內容，以及三所高中的平常考與段考題目，

還有近幾年學測與指考的試題。從這些試題中挑選出難度合宜的題目加以改編，

再參酌本研究整理的「向量概念的教學目標」（參閱表 3-3-1）審閱相關概念，

以形成向量概念成效測驗的命題。因為本研究的教學實驗是兩堂課，所以測驗卷 設計成 A、B 兩卷，A 卷是第一堂實驗教學結束後施行的，測驗時間預計 15 分鐘；

B 卷是第二堂實驗教學結束後施行的，測驗時間預計 15 分鐘。

( 二 ) 向量概念成效測驗的編修

研究者將編製好的題目與指導教授及多位數學研究所同學，對這些題目進行 篩選、指導及修正，修改題目的內容一直到確定試題的完整性，最後才選定測驗 的題目。根據本測驗題目對應的教學目標及學習內容範圍，製作 A、B 兩測驗卷 的雙向細目表（如表 3-3-3），而本測驗題目的題型及配分方式（如表 3-3-4）。

最後選定的 A、B 兩卷測驗內容詳見附錄三、附錄四。

以下是向量概念成效測驗 B 卷第一題題目的修改歷程：

1. 最初題目內容

2. 第一次題目修正

把三個已知向量畫在方格圖上，與在學生作圖區中畫上方格圖，並且要求學 生在方格圖中作答。題目中增加方格圖的目的是，為了讓學生清楚看出向量的方 向和長度，方便作圖，並可避免原來沒有方格圖時作圖所產生的誤差，此誤差容 易造成學生在作答時錯誤的判斷。另外，在第三小題中加上詢問學生為什麼，此 目的是想了解學生是否知道兩向量相等的條件（因為它們的長度和方向都相同）。