本研究的目的在於了解有無接受向量教具融入教學，對高中二年級學生學習 平面向量成效的影響。本章欲探討的研究假設是不同型態的教學模式（使用教具 教學、傳統方式教學）與不同學業表現（高、中、低）之間，在學習平面向量成 效上沒有顯著的交互作用。最後將根據本實驗的研究假設進行分析與簡單歸納結 論。
研究者以這三所高中「當屆入學的基測最低的 PR 值」作為不同學業表現的 分組依據。甲高中的 PR＝93 分類為高學業表現組；乙高中的 PR＝84 分類為中學 業表現組；丙高中的 PR＝50 分類為低學業表現組。本研究以「教學模式、學業 表現」作為自變項，三組學生的「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數( 前 測 )」作為共變項，「向量概念成效測驗分數( 後測 )」作為依變項，並於教學 實驗結束後進行二因子共變數分析。其分析步驟如下。
一、學生在前後測的成績表現
本研究於進行施測前即蒐集實驗組與控制組兩組學生這學期數學第一、二次 段考成績，並將兩次段考分數取其平均值作為前測分數，如表 4-1、4-2、4-3。
施測之「向量概念學習成效測驗 A 卷」的滿分是 10 分，題型包括「多選題」、「填 充題」及「作圖題」，而「向量概念學習成效測驗 B 卷」的滿分是 13 分，題型 包括「作圖題」、「簡答題」、「配合題」、「選擇題」及「塡充題」，學生得分愈高，
表示學生之向量概念學習成效愈完善，反之，則愈不理想。這三組學生在「向量 概念學習成效測驗 A 卷」與「向量概念學習成效測驗 B 卷」的成績表現分配表，
如表 4-4、4-5、4-6。以及學生在不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學 習成效測驗 A 卷」與「向量概念學習成效測驗 B 卷」的成績表現分配表，如表 4-7、4-8。
從表 4-4 可知，高學業表現組的實驗組學生在「向量概念學習成效測驗 A 卷」成績的平均數 ( 8.59 ) 高於控制組的平均數 ( 8. 29 )，且實驗組學生在
「向量概念學習成效測驗 B 卷」成績的平均數 ( 11.39 ) 高於控制組的平均數 ( 10.44 )。從表 4-5 可知，中學業表現組的實驗組學生在「向量概念學習成效 測驗 A 卷」成績的平均數 ( 8.57 ) 高於控制組的平均數 ( 7.96 )，且實驗組 學生在「向量概念學習成效測驗 B 卷」成績的平均數 ( 10. 27 ) 高於控制組的 平均數 ( 9.71 )。從表 4-6 可知，低學業表現組的實驗組學生在「向量概念學 習成效測驗 A 卷」成績的平均數 ( 7.48 ) 高於控制組的平均數 ( 4.95 )，且
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實驗組學生在「向量概念學習成效測驗 B 卷」成績的平均數 ( 6. 67 ) 高於控 制組的平均數 ( 3.62 )。
表 4-1 高學業表現組學生在「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )」成績表現的摘要表
組別 這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )
實驗組 平均數 53.22 標準差 13.59 控制組 平均數 52.91 標準差 12.34 表 4-2 中學業表現組學生在「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數
( 前測 )」成績表現的摘要表
組別 這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )
實驗組 平均數 52.14 標準差 14.70 控制組 平均數 49.90 標準差 17.34 表 4-3 低學業表現組學生在「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數
( 前測 )」成績表現的摘要表
組別 這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )
實驗組 平均數 47.62 標準差 6.82 控制組 平均數 44.05 標準差 7.85 表 4-4 高學業表現組學生在「向量概念學習成效測驗( 後測 )」成績表現的
摘要表
組別 向量概念學習成效測驗
( 後測 )
A 卷 實驗組 平均數 8.59 標準差 1.72 控制組 平均數 8.29 標準差 2.46 B 卷 實驗組 平均數 11.39 標準差 2.02 控制組 平均數 10.44 標準差 2.89
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表 4-5 中學業表現組學生在「向量概念學習成效測驗( 後測 )」成績表現的 摘要表
組別 向量概念學習成效測驗
( 後測 )
A 卷 實驗組 平均數 8.57 標準差 1.52 控制組 平均數 7.96 標準差 2.60 B 卷 實驗組 平均數 10.27 標準差 3.07 控制組 平均數 9.71 標準差 2.16 表 4-6 低學業表現組學生在「向量概念學習成效測驗( 後測 )」成績表現的
摘要表
組別 向量概念學習成效測驗
( 後測 )
A 卷 實驗組 平均數 7.48 標準差 2.27 控制組 平均數 4.95 標準差 2.16 B 卷 實驗組 平均數 6.67 標準差 3.38 控制組 平均數 3.62 標準差 2.78 表 4-7 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的成 績表現分配表
教學模式 學業表現 樣本數 平均數 標準差
實驗組
高 41 42 21
8.59 8.57 7.48
1.72 1.52 2.27 中
低
控制組
高 41 49 21
8.29 7.96 4.95
2.46 2.60 2.16 中
低
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表 4-8 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 B 卷」的成 績表現分配表
教學模式 學業表現 樣本數 平均數 標準差
實驗組
高 41 42 21
11.39 10.27 6.67
2.02 3.07 3.38 中
低
控制組
高 41 49 21
10.44 9.71 3.62
2.89 2.16 2.78 中
低
二、組內迴歸係數同質檢定
首先進行組內迴歸係數同質性考驗，其結果如表 4-9、4-10 所示。若組內迴 歸係數同質檢定結果不顯著，則表示各分組之迴歸線之斜率係數相等，即在共變 項上均質，可進行共變數分析。
從表 4-9、4-10 中得知，因為組內迴歸係數同質性檢定之結果，均未達統計 上的顯著差異（P ＞ 0.05），表示二組之迴歸線斜率相同，即在共變項上均質，
符合共變數組內迴歸係數同質性分析的前提假設，即進行二因子共變數分析。
表 4-9 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的組 內迴歸係數同質性檢定表
F 檢定 df1 df2 顯著性
1.821 5 209 0.110
表 4-10 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 組內迴歸係數同質性檢定表
F 檢定 df1 df2 顯著性
3.056 5 209 0.072
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三、二因子共變數分析
再來進行二因子共變數分析，其結果如表 4-11、4-12 所示。若二因子共變 數分析中之交互作用項效果達顯著水準（P ＜ 0.05），則進行單純主要效果的分 析，並對有顯著者，進行事後比較。若交互作用項不顯著（P ＞ 0.05），則針對 各因子主要效果達顯著者，進行事後比較分析。
從表 4-11、4-12 的結果顯示，排除「這學期數學第一、二次段考成績的平 均分數」的影響後，不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」與「向量概念學習成效測驗 B 卷」的成績表現上皆有顯著的交互作用。「向
量概念學習成效測驗 A 卷」已達到統計上的顯著差異 ( F = 3.972，P = 0.020
＜ 0.05 )；而「向量概念學習成效測驗 B 卷」已達到統計上的顯著差異 ( F = 3.194，P = 0.043 ＜ 0.05 )。A、Ｂ兩卷的二因子交互作用均達顯著，
所以都需要再作單純主要效果檢定。顯示在不同的教學模式下，成績的高低會因 為不同學業表現而呈現不同的結果。
表 4-11 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」成 績之二因子共變數分析摘要表
變異來源 平方和 自由度 平均平方和 F 檢定 顯著性 教學模式組別
學業表現組別
教學模式組別*學業表現組別 誤差
總數
62.455 155.052
37.052 974.834 14695.000
1 2 2 209 215
62.455 77.526 18.526 4.664
13.390 16.621 3.972
0.000 0.000 0.020
表 4-12 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 B 卷」成 績之二因子共變數分析摘要表
變異來源 平方和 自由度 平均平方和 F 檢定 顯著性 教學模式組別
學業表現組別
教學模式組別*學業表現組別 誤差
總數
109.975 980.755 46.635 1525.595 21648.000
1 2 2 209 215
109.975 490.378 23.317
7.299
15.066 67.180 3.194
0.000 0.000 0.043
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以下將分別對「向量概念學習成效測驗 A 卷」與「向量概念學習成效測驗 B 卷」中，A 因子（學業表現）與 B 因子（教學模式）作單純主要效果檢定。
（一）對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，限定 B 因子中的實驗組
從表 4-13、4-14 的結果顯示，單純主要效果檢定已達到統計上的顯著差異
（F = 3.259，p = 0.042 ＜ 0.05）。顯示在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 學習成效上，對實驗組而言，不同的學業表現有顯著的差異，由於有高、中、低 學業表現三個比較水準，因此需要查看事後比較。
再從表 4-15 中，事後比較的結果顯示，在「向量概念學習成效測驗 A 卷」
的學習成效上，高、中、低學業表現組兩兩之間皆無顯著差異。高學業表現組的 平均數優於中學業表現組，而中學業表現組也優於低學業表現組。因為學業表現 即代表學習能力的表現情形，所以高學業表現組的學生在數學學習上的表現比低 學業表現組的學生來得較好，即使達到顯著差異也是自然現象，因此，並無討論 的意義。於是從這之後，A、B 兩卷就不再重複作 A 因子的單純主要效果檢定，
只針對 B 因子作單純主要效果檢定。
表 4-13 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，
限定 B 因子中的實驗組之摘要表
個數 平均數 標準差 標準誤
平均數的 95% 信 賴區間
最小值 最大值 成份間 變異數 下界 上界
高 41 8.5854 1.71720 .26818 8.0434 9.1274 4.00 10.00 中 42 8.5714 1.51646 .23399 8.0989 9.0440 4.00 10.00 低 21 7.4762 2.27198 .49579 6.4420 8.5104 2.00 10.00 總和 104 8.3558 1.80570 .17706 8.0046 8.7069 2.00 10.00 模式 固定效果 1.76735 .17330 8.0120 8.6996 隨機效應 .32579 6.9540 9.7575 .21182
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表 4-14 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，
限定 B 因子中的實驗組之變異數分析摘要表
平方和 自由度 平均平方和 F 顯著性
組間 20.362 2 10.181 3.259 .042
組內 315.475 101 3.124
總和 335.837 103
表 4-15 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，
限定 B 因子中的實驗組之多重比較摘要表
(I)學業表現 (J)學業表現 平均差異 (I-J) 標準誤 顯著性
95% 信賴區間
下界 上界
高 中 .01394 .38801 .999 -.9501 .9780
低 1.10918 .47426 .070 -.0691 2.2875
中 高 -.01394 .38801 .999 -.9780 .9501
低 1.09524 .47234 .073 -.0783 2.2688
低 高 -1.10918 .47426 .070 -2.2875 .0691
中 -1.09524 .47234 .073 -2.2688 .0783
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（二）對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，限定 A 因子中的高學業表現組
從表 4-16、4-17 的結果顯示，單純主要效果檢定未達到統計上的顯著差異
（F = 0.390，p = 0.534 ＞ 0.05）。顯示在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 學習成效上，對高學業表現組而言，不同的教學模式沒有顯著的差異。這也表示 高學業表現組的同學有無接受向量教具融入教學沒有顯著的差異。
表 4-16 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的高學業表現組之摘要表
個數 平均數 標準差 標準誤
平均數的 95% 信 賴區間
最小值 最大值 成份間 變異數 下界 上界
實驗組 41 8.5854 1.71720 .26818 8.0434 9.1274 4.00 10.00 控制組 41 8.2927 2.46215 .38452 7.5155 9.0698 1.00 10.00 總和 82 8.4390 2.11460 .23352 7.9744 8.9037 1.00 10.00 模式 固定效果 2.12261 .23440 7.9725 8.9055 隨機效應 .23440 5.4606 11.4174 -.06706
表 4-17 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的高學業表現組之變異數分析摘要表
平方和 自由度 平均平方和 F 顯著性
組間 1.756 1 1.756 .390 .534
組內 360.439 80 4.505
總和 362.195 81
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（三）對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，限定 A 因子中的中學業表現組
從表 4-18、4-19 的結果顯示，單純主要效果檢定未達到統計上的顯著差異
（F = 1.804，p = 0.183 ＞ 0.05）。顯示在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 學習成效上，對中學業表現組而言，不同的教學模式沒有顯著的差異。這也表示 中學業表現組的同學有無接受向量教具融入教學沒有顯著的差異。
表 4-18 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的中學業表現組之摘要表
個數 平均數 標準差 標準誤
平均數的 95% 信 賴區間
最小值 最大值 成份間 變異數 下界 上界
實驗組 42 8.5714 1.51646 .23399 8.0989 9.0440 4.00 10.00 控制組 49 7.9592 2.59775 .37111 7.2130 8.7053 .00 10.00 總和 91 8.2418 2.17736 .22825 7.7883 8.6952 .00 10.00 模式 固定效果 2.16770 .22724 7.7902 8.6933 隨機效應 .30602 4.3534 12.1302 .08353
表 4-19 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的中學業表現組之變異數分析摘要表
平方和 自由度 平均平方和 F 顯著性
組間 8.477 1 8.477 1.804 .183
組內 418.204 89 4.699
總和 426.681 90