國 立 中 央 大 學
數 學 系 碩 士 論 文
教具融入高中平面向量教學之成效研究
A study on the Effect of Plane Vector Instructions Using Manipulative Models in Senior High School
研 究 生：黃 楷 文 指導教授：單 維 彰
中 華 民 國 101 年 6 月
國立中央大學圖書館 碩博士論文電子檔授權書
(100 年 9 月最新修正版)
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研究生簽名:
黃楷文
學號：992201017
論文名稱:教具融入高中平面向量教學之成效研究
指導教授姓名：
單維彰
系所 ：
數學系
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i
教具融入高中平面向量教學之成效研究
摘 要
本研究旨在根據高中數學課程中的「平面向量」單元，自行設計製作實體向 量教具及教學方法，藉由教師在課堂上操作實體向量教具教學，以探討學生對向 量概念的學習成效。
本研究採用前後測準實驗研究法，對桃園縣三所高級中學的 215 位二年級社 會組學生做教學實驗，其中 104 位為實驗組，接受向量教具融入教學，另 111 位為控制組，接受傳統方式教學。資料分析以二因子單變量共變數分析，來探究 接受不同教學策略對受試者在學習成效測驗上的差異情形。
根據研究結果顯示，接受向量教具融入教學的學生，其學習成效優於接受傳 統方式教學的學生，特別是對學業表現較弱的學生，學習成效達到顯著的差異。
因此推論使用「向量教具融入教學」的方式，能有效提昇低學業表現的學生學習
「平面向量」的單元之成效。
最後研究者依據研究結果，對向量教具融入教學以及未來之相關研究提出建 議。
【關鍵詞】： 實體教具、向量教具融入教學、向量概念、平面向量
ii
A study on the Effect of Plane Vector Instructions Using Manipulative Models in Senior High School
Abstract
This study aims at evaluating the learning effects on the part of students from the teacher-designed concrete vector classroom-teaching approach in Plane Vector course on the basis of the senior high school curriculum declared by the Ministry of Educations.
The research is conducted to 215 second-year students of the social science track from three senior high schools of Taoyuan County through the experimental pretests and post-tests approaches. Among these students 104 belong to the experimental group receiving the Vector-model teaching and 111 students of the manual control section receive the traditional teaching. The analysis of the data is made on the basis of the two-factor univariate of covariance approach for the purpose of finding out the different effects of learners from the different teaching strategies.
The result of the research shows those students accepting the vector-model teaching are superior to those receiving the traditional teaching. This is especially affirmative to mathematically challenged students. Therefor, we conclude that teachers who use the vector-model teaching can effectively improve the performance of Plane Vector learning for the specific group of students.
Finally, the researcher offers some suggestions related to the vector-model math teaching approach in the future.
Key Words: concrete model, vector-model teaching, vector concept, Plane Vector.
iii
誌 謝
論文完成之際，回首兩年來在中央的研究所生活，過程雖然忙碌，且無時無 刻都在學習成長，並過得很充實，是非常難得的經驗，心中滿是感激一路陪我走 來的師長、家人、同學，及朋友們，使我能順利完成學業與論文，為此階段畫下 美好的句點。
我的論文能順利完成，要感謝的人實在太多了。首先，要感謝恩師指導教授 單教授維彰，雖然這兩年您事務非常繁忙，但仍然鉅細靡遺不辭辛勞地悉心指導 與教誨，並適時地指引我方向，不吝給予鼓舞及關懷，使我能順利走過這段研究 之路，且如期完成這篇論文，在此獻上最誠摯的感謝。
再來要感謝本論文的口試委員袁媛教授，在我撰寫論文遇到瓶頭時給予適時 的指導與建議，讓學生排除了困難，並且詳細審閱我的論文，為此付出許多寶貴 的時間與精神，讓我能一步步踏實的完成論文；以及感謝口試委員劉柏宏教授，
在百忙中撥空審閱論文，並在論文審核上給予懇切的指導並提供寶貴的建議，使 本論文能更臻完備，真是非常的感謝。還有要特別感謝宋瓊珠教授，不論在我大 學時還是畢業後，何時何事去請教您，您都是親切又耐心的給我支持和指導，真 是萬分的感謝。
還有感謝曾經參與本研究三所高中的教務主任、老師，以及同學們的協助，
沒有你們，這份研究將無法完成，非常感謝大家的參與，讓我的論文順利完成。
還有要感謝我研究室 M-115 的同學們，在這兩年的生活與學習中，大家彼此 互相鼓勵與扶持。這段期間是我求學生涯中最愉快的時光，感謝大家帶給我許多 歡樂。
最後將最深的感謝留給關心、栽培我親愛的家人，因為有你們的體諒與支持，
讓我心無旁騖，全力以赴，順利完成學業。畢業了！我將這一份努力的成果與你 們大家分享，感謝一路上有你們的協助、鼓勵、支持，在此願以最真誠的心，祝 福所有關心我的人。
楷文 謹誌 101 年 6 月
iv
目 錄
中文摘要 ………i
英文摘要 ………ii
誌謝 ………iii
目錄 ………iv
表目錄 ………vi
圖目錄 ………viii
第一章 緒論 第一節 研究背景與動機 ………1
第二節 研究目的 ………4
第三節 研究問題與研究假設 ………4
第四節 名詞解釋 ………5
第五節 研究意義 ………7
第六節 研究範圍與限制 ………7
第二章 文獻探討 第一節 數學表徵 ………9
第二節 向量課程的內涵與教學 ………16
第三節 具體表徵融入數學教學之相關實證研究 ………23
第三章 研究方法與設計 第一節 研究設計與流程 ………28
第二節 研究對象 ………32
第三節 研究工具 ………33
v
3-3-1 向量教具 ………33
3-3-2 實驗教學施行者 ………34
3-3-3 向量概念的教學目標 ………34
3-3-4 向量概念的實驗教學活動 ………35
3-3-5 向量概念成效測驗 ………42
第四節 資料分析的統計方法 ………48
第四章 研究結果與討論 ……… 49
第五章 結論與建議 第一節 結論 ………63
第二節 建議 ………63
參考文獻 一、中文部分 ………69
二、英文部分 ………74
附錄 附錄一 A.第一堂課教學活動教案設計 B.課程教案的簡報檔 C.部分的教學 活動影片 ………79
附錄二 第二堂課教學活動教案設計 B.課程教案的簡報檔 C.部分的教學 活動影片 ………84
附錄三 向量概念成效測驗 A 卷 ………87
附錄四 向量概念成效測驗 B 卷 ………89
vi
表 目 錄
表 3-1-1 實驗設計模式 ………28
表 3-2-1 正式樣本分析表 ………32
表 3-2-2 正式樣本人數表 ………32
表 3-3-1 向量概念的教學目標 ………40
表 3-3-2 兩組在教學演釋方法的不同之處 ………41
表 3-3-3 向量概念成效測驗的雙向細目表 ………45
表 3-3-4 向量概念成效測驗的題型及配分方式 ………46
表 3-3-5 預試樣本分析表 ………46
表 3-3-6 預試樣本人數表 ………46
表 3-3-7 向量概念成效測驗的試題難度及鑑別度 ………47
表 3-3-8 向量概念成效測驗的信度、效度分析表 ………47
表 3-4-1 實驗研究假設的資料分析方法 ………48
表 4-1 高學業表現組學生在「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )」成績表現的摘要表………50
表 4-2 中學業表現組學生在「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )」成績表現的摘要表………50
表 4-3 低學業表現組學生在「這學期數學第一、二次段考成績的平均分數 ( 前測 )」成績表現的摘要表………50
表 4-4 高學業表現組學生在「向量概念學習成效測驗( 後測 )」成績表現的 摘要表………50
表 4-5 中學業表現組學生在「向量概念學習成效測驗( 後測 )」成績表現的 摘要表………51
表 4-6 低學業表現組學生在「向量概念學習成效測驗( 後測 )」成績表現的 摘要表………51
表 4-7 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的成 績表現分配表………51
表 4-8 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 B 卷」的成 績表現分配表………52
表 4-9 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」的組 內迴歸係數同質性檢定表………52
vii
表 4-10 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 組內迴歸係數同質性檢定表………52 表 4-11 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 A 卷」成
績之二因子共變數分析摘要表………53 表 4-12 不同教學模式與不同學業表現在「向量概念學習成效測驗 B 卷」成
績之二因子共變數分析摘要表………53 表 4-13 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，
限定 B 因子中的實驗組之摘要表………54 表 4-14 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，
限定 B 因子中的實驗組之變異數分析摘要表………55 表 4-15 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 A 因子作單純主要效果檢定，
限定 B 因子中的實驗組之多重比較摘要表………55 表 4-16 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的高學業表現組之摘要表………56 表 4-17 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的高學業表現組之變異數分析摘要表…………56 表 4-18 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的中學業表現組之摘要表………57 表 4-19 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的中學業表現組之變異數分析摘要表…………57 表 4-20 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的低學業表現組之摘要表………58 表 4-21 對「向量概念學習成效測驗 A 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，限 定 A 因子中的低學業表現組之變異數分析摘要表 ………58 表 4-22 對「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的高學業表現組之摘要表………59 表 4-23 對「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的高學業表現組之變異數分析摘要表…………59 表 4-24 對「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的中學業表現組之摘要表………60 表 4-25 對「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的中學業表現組之變異數分析摘要表…………60 表 4-26 對「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的低學業表現組之摘要表………61 表 4-27 對「向量概念學習成效測驗 B 卷」的 B 因子作單純主要效果檢定，
限定 A 因子中的低學業表現組之變異數分析摘要表…………61
viii
圖 目 錄
圖 1-1 向量圖形表徵 ………6
圖 2-1 數學學習的五種表徵 ………12
圖 2-2 兩個大小一樣的正方形，各自平分成四等份 ………24
圖 3-1-1 研究流程圖 ………31
圖 3-3-1 實體向量教具 ………33
1
第一章 緒論
本章分為六節，第一節為研究背景與動機；第二節為研究目的；第三節為研 究問題與研究假設；第四節為名詞解釋；第五節為研究意義；第六節為研究範圍 與限制。
第一節 研究背景與動機
美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)提出，表徵是數學學習過程中很重要的一部分 ( NCTM，2000 )。數學表徵 提供學習者有效的解題工具，也可幫助學習者理解抽象的概念、符號的意義，強 化理解進而建構自我知識，增進與他人溝通以及推理的目的 ( Greeno & Hall，
1997 )。還有研究報告指出，具體物的表徵以及圖形表徵是發展抽象符號表徵的 橋樑，並認為能夠根據學習情境，再加上適當的運用數學表徵，如具體教具、圖 像、語言、符號…等等具體或抽象的方式，在各個表徵方式之間靈活的轉換，將 有助於學生組織思考以及分析問題，這是發展數學思考和培養解決問題能力的基 本要素 ( Dreyfus & Eisenberg，1996；Fennell & Rowan，2001；NCTM，2000 ) 。 在布魯納 ( Bruner，1966 ) 的觀點中，他認為應讓學生自己探索、推理思考、
解決問題，進而得到學習成就，後能提升對數學的興趣，激發創意成為手腦並用 的現代人。這也顯示出，數學表徵在數學學習的過程當中佔有相當重要的地位。
布魯納指出個體運用心像來掌握概念，或依靠照片、圖形等表徵獲得知識 時，即使物體已不存在，個體腦海中仍有其心像，而心像是外在實物的抽象意 義或影像，可作為運思活動的工具。由此可知，「表徵」對學生的學習的確發揮 很大的作用，憑藉著它，學生能夠發揮無限的想像力和創造力，來幫助自我的 運思。因此，當學生在學習數學概念時，一開始可以運用具體物的表徵，來幫 助自我了解知識的意義，在能夠掌握這些知識的意義後，表徵不管是以其它符 號或抽象的形式出現，學生依然可以在這些表徵之間自由運用和轉譯，以達成 解題的目的。所以老師在教學時，應該善用各種表徵，幫助學生從具體的運思 階段轉換到抽象的運思階段能更為順利（洪郁雯，2006）。
本研究的動機為研究者在多年數學教學經驗中，發現有些高中學生在數學學 習的過程中，對於數學上的抽象概念、符號意義、解題過程，若是沒有適當的媒 介幫助他們思考以建構自我知識，可能會因此無法理解概念的意義而發生學習困 難，甚至對數學失去信心而缺乏學習的興趣。因此，深感數學教師應負起責任，
幫助學生有效學習，增加學習興趣，以提昇學習成就。於是過去研究者在教學時，
2
經常嘗試透過各種表徵的方式，期望把抽象的數學概念，藉由某些具體表徵的呈 現，幫助學生更為順利地從具體的運思階段轉換到抽象的運思階段，並且鼓勵學 生在表達自己的數學想法時，也能夠運用多樣化的表徵來作推理和溝通。
過去研究者時常遇到數學性向較弱的學生，在「平面向量」單元中有關運用 向量概念解題時，由於需使用到向量平移的觀念，所以在題目的圖形裡畫上了許 多「向量」並解說，常常使得圖形中的「向量」越畫越多，越看越複雜。使用向 量概念來解題，理應是希望運用向量的概念把問題化繁為簡，結果往往因為圖形 中的「向量」變多了，看起來好像把問題變得更複雜，導致在這些學生的印象中，
使用向量概念來解題並不一定是個好方法。於是研究者開始反覆思索，希望找到 一些比較好的方式能幫助這些學生學習，有次偶然的機會用筆來當作「向量」，
筆尖當作箭頭，代表「向量的方向」，而筆身當作線段，代表「向量的長度」，如 此展示加上解說，特別是數學性向較弱的學生反應這樣就比較容易了解。這件事 引發研究者想設計一種正式的教具，來輔助教學，才有如今的這套教具雛形。
在高中階段數學領域中，平面向量是最基本且重要的概念之一，且向量具有幾 何和代數形式的雙重屬性，因此成為溝通代數、幾何、三角的橋樑。向量的概念 是從許多的生活實例和物理素材中發展出來的抽象工具，且其理論和方法也成為 解決實際問題和物理學的重要工具。向量之所以重要，主要關鍵是因為向量成為 聯繫多項內容的媒介，特別是在處理平面幾何、立體幾何、解析幾何、三角中有 關角度、平行、垂直、共線等問題時，若運用向量的運算性質來解題，可使複雜 問題簡單化、直觀化，使代數問題幾何化，也使幾何問題代數化，較使用一般傳 統方法更為便捷，這正是由於向量有獨特的數形二重性的關係。利用平面向量的 理論和方法，也可以有效地解決物理學中的力、速度、加速度、位移等許多問題，
這也讓數學與實際問題之間的聯繫開拓了一個新的途徑。
根據教育部 99 課綱所制定高中數學課程中的「平面向量」單元，高中階段 的學生將認識向量的實際背景，可藉由對物理學中的位移、力、速度等的認識來 學習。具體的教學目標是，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法 表述來解決數學和物理中的一些問題，並進一步領會數形結合的思想方法，以發 展數學運算和解決實際問題的能力（陳宜良等，2009）。
目前的學生除了會在國中理化力學相關單元中，學習到同時具有方向與大小 的量之外，要一直到高中二年級，當學習高中數學平面向量單元時，才算第一次 正式接觸到向量概念。李永貞（2008）研究向量概念對學習能力較弱的學生產生 困難的原因在於，向量的表徵與運算所呈現的幾何意義對於學生而言，是較抽象 而難以掌握的。尤其是當看到向量符號和題目中的圖形時，經常會忽略向量的方 向，而只注意到向量的長度。還有對於要使用向量表徵來描述他們心中想表達的
3
概念與性質時，也有相當的困難。江淑美（1985）對高一學生進行有關平面向量 單元的測驗，分析得到有些學生在測驗題目的敘述中無法感受到向量大小或方向 的概念，且未能體會出向量加法的起始點、終點、方向、反向量等相關概念，另 外還有很高比例的學生不習慣透過操作的方式來解題。林進發（2001）和陳俊廷
（2002）對於高中生在向量方面的研究，都發現高二和高三學生會把代數的乘法 運算性質過度類推到向量內積的運算性質，因而造成錯誤混淆，以及學生無法瞭 解向量內積的幾何意義。
以上幾個研究皆顯示，學生在向量概念與運算上所經常呈現的一些錯誤，而 為何學生會把舊經驗作過度類推，以及新概念為何會讓學生產生混淆，這些很有 可能是教師在教學的過程中，所帶給學生的影響。因此，在瞭解學生容易產生的 錯誤概念後，為了改善學生在向量學習上的錯誤概念，研究者設計製作向量教具 以及其教學方法，藉由教師在課堂上操作實體向量教具作教學，希望將有助於學 生得到正確的概念，也同時希望研究的結果能提供給數學教育工作者作為參考。
此外，研究者在過去的教學經驗中發現，有些學生在學完向量課程，尤 其是學過向量坐標化後，時常忘了有時當我們需要解決向量問題時，可使用 向量的基本概念及運算，例如：向量平移、加減運算、交換律、結合律，就 可輕易對向量作化簡，進而解決問題。有時候使用向量坐標化，不但沒有簡 化問題，反而把問題變得更複雜。所以設計此向量教具的另一個原因是，希 望學生在剛開始學習的時候，可對向量的基本概念能有較深刻的印象，期望 將來在學過向量坐標化後，記得還可使用向量基本概念來幫忙解決問題。
綜合上述，能夠讓學生快樂的學習與成長應是教師們心中的期盼，想要實現 這個想法，教師必須重視如何提昇學生的學習動機、態度，以及學習成就。於是 研究者在此提出具體教具融入向量教學的教學模式，就是希望學生能夠在此學習 過程中，藉由具體的操作而建構觀念，並有效增進認知思維，以及提高學習動機 與成就。
4
第二節 研究目的
本研究旨在研究者根據教育部 99 課綱所制定高中數學課程中的「平面向量」
單元，自行設計製作的向量教具及融入運用此教具之教學方法，藉由教師在課堂 上操作實體向量教具教學，以探討學生對向量概念的學習成效。
本研究主要的研究目的如下：
一、 設計以向量教具融入高中數學「平面向量」單元之教學方法，提供教師 教學，以幫助學生理解與運用向量概念，並增進其學習成效。
二、 欲了解向量教具及其教學方法融入高中數學「平面向量」單元教學中，
對不同學業表現（高、中、低）的學生在學習平面向量成效上之影響。
第三節 研究問題與研究假設
依據上節之研究目的，本研究之研究問題為不同型態的教學模式（使用教具 教學、傳統方式教學）與不同學業表現（高、中、低）之間，在學習平面向量成 效上是否有交互作用存在。
基於上述的研究問題，本研究擬定之虛無假設為不同型態的教學模式（使用 教具教學、傳統方式教學）與不同學業表現（高、中、低）之間，在學習平面向 量成效上沒有顯著的交互作用。
5
第四節 名詞釋義
為了使研究定義明確，將本研究所涉及的重要名詞，界定如下。
一、數學表徵：
「數學表徵」是指個人對於數學問題的理解情形，所形成的一種轉譯方式，
可用來幫助思考、溝通、以及解決問題。因此，數學表徵也可說是個人在數學思 考過程中的一種表達以及結果的呈現，並藉此可與他人溝通的一種方式。
在本研究中，主要探討的是「數學表徵」中的具體表徵。具體表徵是指藉由 操作具體物的經驗，對具體物的知覺在腦海中留下心像，來進行邏輯的思考。經 由研究者所設計的具體向量教具，融入高中數學課程「平面向量」單元中，探討 學生對向量概念是否有顯著的學習成效。
二、學業表現：
在本研究中，「學業表現」是指某校學生在所有學科的整體學習成效表現，
並以該校「當屆入學基測成績的最低 PR 值」作為分類標準。本研究中把學業表 現分成三個層次，最低 PR 值 85 以上歸類為高學業表現；在 60 與 84 之間歸類為 中學業表現；59 以下歸類為低學業表現。
三、向量教具融入教學：
在本研究中，「向量教具融入教學」是指教師在課堂中操作向量教具進行教 學展示與引導，並在教學過程中有請學生上台親自操作教具進行學習。
四、教學模式：
「教學模式」是指教師在課堂中使用不同的方式來進行教學。在本研究中，
教學模式分為兩種，一種為「使用教具教學」，是指教師以研究者所設計的向量 教具，在課堂中進行操作教學，並搭配在黑板上用傳統的書寫及畫圖方式，使學 生從老師的展示與引導中進行學習，且在教學過程中有請學生上台親自操作教具
6
回答問題；另一種為「傳統方式教學」是指教師完全只使用在黑板上傳統的書寫 及畫圖方式進行教學，沒有使用任何教具輔助教學，而在教學過程中有請學生上 台回答問題，但學生只用傳統的書寫及畫圖方式作答。
五、向量：
在本研究中，「向量」是指在數學、物理學和工程科學等自然科學中，一個 同時具有大小和方向的幾何形體。向量是只有長度、方向意涵，而不管起始點所 在位置的抽象符號。在圖形表示上，向量被畫成為一個帶箭頭的線段（圖 1 - 1），
而線段的長度可以表示向量的大小，箭頭所指的方向可以表示向量的方向。在物 理上，使用向量表現位移、速度、力、動量、磁矩、電流密度等概念。此外，與 向量概念相對的是作為係數的純量（實數、複數）。
圖 1–1 向量圖形表徵
六、「平面向量」單元之課程：
在本研究中，「平面向量」單元之課程是根據教育部 99 課綱所制定的高中數 學課程，所編寫的高中數學教科書第三冊第三章第一節「平面向量」單元，再設 計出實驗教學的上課內容。教學目標主要分成三個概念類別：「向量的表示法」、
「平行向量」、「向量的運算性質」，每一概念類別又區分出次概念類別，次概念 為「向量的符號表示」、「向量的圖形表示」、「向量的相等」、「反向量」、
「向量的係數積」、「向量的加法」、「向量的減法」、「向量的結合律、交換 律」。其目的是讓學生認識及理解向量的基本概念與性質。
七、「向量概念」之學習成效：
「學習成效」是指學習者經歷某種學習活動一段期間後，對其進行某種型式 的評量測驗，所呈現出的學習效果。而「向量概念」之學習成效，即限定於向量 概念之相關內容。在本研究中，「向量概念」之學習成效是指受試學生在「向量 概念成效測驗」中的得分，得分越高則表示學習成效愈佳，反之亦然。
7
第五節 研究意義
本研究對於向量教具融入教學具有以下幾項意義：
一、 本研究探究學生在經歷不同教學策略及向量教具融入教學活動之情形，
可提供教學者就不同特性的學生給予適當的協助。
二、 本研究研發的向量教具及教學方法，可供其他教學者參考使用，幫助學 生學習向量概念，增進教學成效。
第六節 研究範圍與限制
為了達成前述的研究目的，於是將研究範圍與限制界定如下。
壹、 研究範圍
本研究旨在探討實施「向量教具融入教學」對高中二年級學生學習「平面向 量」單元中的向量概念之學習成效，於是將研究範圍界定如下：
一、研究對象
本研究以桃園縣的三所高級中學二年級社會組學生為研究對象，並以班級為 單位，每個學校高二社會組班級中隨機抽選兩班，一班為實驗組，另一班為控制 組。實驗組採取教師在課堂上操作實體向量教具教學，而控制組採取教師在黑板 上畫圖的傳統方式教學。
二、研究工具
本研究實驗課程之內容，主要依據教科書審定本「三民版本」《高中數學》
第三冊第三章「平面向量」單元中的向量概念之課程內容為主，內容以「向量的 表示法」、「平行向量」、「向量的運算性質」相關概念為主軸，次概念為「向
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量的符號表示」、「向量的圖形表示」、「向量的相等」、「反向量」、「向量 的係數積」、「向量的加法」、「向量的減法」、「向量的結合律、交換律」。
三、實驗設計之內、外在效度
本研究針對各組將採取不同的教學活動設計，但各組的教學目標、課程內容 均相同，並以教學方式不同之前後測準實驗設計與共變數統計分析進行研究，如 此可以排除影響實驗研究內在效度之選樣不等的因素。
貳、 研究限制
本研究由於人力、時問及客觀條件無法完全配合，有以下限制。
一、推論的限制
本研究僅以桃園縣的三所高級中學二年級社會組學生為實驗對象，進行實驗 教學與評估，故其研究結果推論有其限制。
二、研究內容的限制
在研究內容方面，本研究的內容範圍為高中數學「平面向量」單元中的向量 概念，所以研究結果不宜推論到其它科目或高中數學領域的其它單元。
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第二章 文獻探討
本章依研究主題進行相關文獻之探討，以作為本研究的理論基礎，並藉此建 立研究架構。本研究的主要目的是探討教師以實體向量教具融入平面向量的教學 中，並配合研究者針對向量教具所設計的平面向量教案，以及討論其對於不同學 習程度之高二學生的學習提昇成效。本章共分三節，第一節探討數學表徵的意義、
形式以及重要性，第二節論述平面向量課程的內涵與教學，第三節討論具體表徵 融入數學教學之相關實證研究。
第一節 數學表徵
一、數學表徵的意義
表徵（ representation ）是用某種形式將一種事物或想法重新表現出來，
以達成溝通的目的（蔣治邦，1994）。根據學者（ Lesh，1987；Heddens，1984 ） 對表徵所作的詮釋，認為「表徵」是指學習者在學習知識的過程中，透過各種不 同的方式（如具體操作物、圖形、圖像、語言文字、抽象符號等）來內化知識，
也就是讓學習者把內心的概念轉為具體化看得見的外在表現，並藉由這些方式呈 現想法與解法。另外有些學者（Brenner, Herman, Ho & Zimmer，1999；Dreyfus
& Eisenberg，1996；Fennell & Rowan，2001）指出善用多樣化的表徵形式，例 如：具體操作物、圖形、圖像、語言文字、抽象符號、數學方程式、 … 等等，
將有助於學生組織思考以及分析問題。
美國數學教師協會（NCTM，2000）提出，數學表徵是數學學習過程中很重要 的一部分，並主張數學表徵是可代表個人對於數學概念的理解與運用的一種呈現 方式。基本上，數學表徵是個人對於問題理解所形成的一種轉譯方式，用來幫助 學習者思考，強化理解抽象的概念與符號的意義，進而建構自我知識。數學表徵 也可作為學習者有效的解題工具，是數學思考過程的表達以及結果的呈現，並藉 此作為增進與他人溝通的方式（Greeno & Hall，1997）。
學習者對於問題的詮釋，能夠以不同的形式來表徵其存在。可說表徵是學習 者在解題過程中所使用的表達方式，也能代表其對問題情境的理解情形。還有學 習者會將問題的內在表徵，用外在的表徵形式來呈現，藉此達到溝通、解題的目 的。例如：畫簡圖、做記號、寫方程式、 … 等等來詮釋問題，藉此來輔助思考，
幫助記憶及理解（楊瑞智，1994；葉安琦，2000；羅素真，1996）。
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Mayer（1992）從認知心理學的觀點來看，學習者在面對新的問題情境時，
會先將收到的訊息轉譯成自己能理解的形式，這就是一種內化的心理表徵，接著 再經由問題整合、解題計畫與執行的解題過程，可將內在的思考過程轉化為外在 的解題表徵，以作為溝通數學想法的工具。因此，數學表徵可以說是內在數學思 考的過程，也是外在數學應用形式的展現。
綜合上述，在數學學習過程中，表徵可用外在具體化的形式來呈現數學概念 與思維，也是認知學習活動中的產物，可經由表徵的形式來了解知識的結構與 內涵。在數學教育上，教師必須使用某些方式，來與學生溝通數學問題，而學 生也需要使用某些方式，和教師或其他同學來溝通彼此的數學想法與解題過程。
因此，採用「表徵」來作溝通是一個在互動學習中不可或缺的媒介。表徵的功 能在於表達數學想法，並不只是用在與人溝通，也可是自我溝通運思的工具，還 可簡化記錄數學的解題過程，並使數學概念能以某種方式呈現，以便作事後的反 省。
二、數學表徵的形式
Bruner（1966）、Lesh，Post，Behr（1987）、Heddens（1984）分別從不同 的觀點將表徵予以分類，茲分述如下。
（一） Bruner（1966）將人類對周遭環境中的事物 ， 經知覺而將外在物體或事 件轉換為內在心理事件的過程，稱為認知表徵（cognitive representation）
或稱知識表徵（representation of knowledge）。意指人類是經由認知表徵的 過程獲得知識。他認為人類的表徵方式會隨著年齡而發展，於是他將認知表徵的 發展過程分成以下三個階段。
1. 動作表徵（enactive representation）：個體接收外來的刺激後，所引發 的行動反應，而藉由這些行動反應，來掌握知識概念或事物所代表的意義。
例如：可被實際操作的具體教具，都可稱為動作表徵。Piaget (1977）提出 學習者若透過實體的操作經驗，能夠幫助其增強心理的認知並可獲得具體的 知識。此外，兒童的運思必須借助於對具體物的實際操弄來達成，並且在 操 弄 過 程 中 獲得知識 及學習處理周遭的事物。而兒童對於某些名稱的意義，
也是經由動作表徵才學得的。所以對人類而言，動作表徵是求知的基礎，雖然 最早出現在幼兒期，但卻是一直可延長使用到終生。
2. 圖像表徵（iconic representation）： 個體藉由操作具體物的經驗，對 具體物的知覺在腦海中留下心像，之後當物體消失時，能依據物體在記憶
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中的影像，憑著自行製作的心像即可進行內在運思，來獲得知識概念的過程。
所以對人類而言，圖像表徵的求知方式，是由具體進入抽象的開始。
3. 符號表徵（symbolic representation）：個體運用抽象符號、語言文字來 掌握概念，而符號本身即是一種任意選擇的記號，代表了實物或心像的抽象 意義。所以對人類而言，符號表徵的求知方式，是用邏輯思維去推理周遭的 事物，不必靠動作或是圖像的幫助，即可直接從事抽象思維，並從彼此相關的 事件中，發現原理原則，進而解決問題。
Bruner 認為人類認知發展的歷程，即是形成表徵系統的過程。心智能力的 發展首先是經由動作的過程與結果獲得經驗，接著是運用感官記憶自製事物的心 像，來了解周圍的事物與現象，而當思想接近成熟時，則可運用抽象符號、語言 文字來代表知識概念的抽象意義。
Bruner 雖然將人類認知的發展分為三個階段，但在實際教學時，他並不主張 按年齡或年級採取三種表徵方式教學生。原因是同年齡或同年級的學生，在學習 經驗上，彼此之間會存在著許多個別差異。所以他主張應根據學習者之智力發展，
注重其表徵的運用方式，在教材的難度與邏輯先後順序上，採取「螺旋課程」之 設計，即由簡單到複雜、由具體到抽象、由動作表徵到符號表徵，這可幫助學習 者在新舊經驗間建立良好的連結。並強調教師教學的主要任務是應配合學生身心 發展，教學生如何思維，且如何從求知活動中發現原理原則，進而整合統整，再組 織成為屬於自己的知識經驗。
因此，研究者設計教材的觀點，恰巧也與Bruner 不謀而合。研究者所設計的 向量教具，即是 Bruner 所指的具體教具，且在研究中此教具是針對高中學生作教 學，此種教學方式破除傳統的觀念認為兒童才適用教具教學。這即是與 Bruner 主張不應按年齡採取表徵教學，而是注重表徵的運用方式，且教材設計也是採用 由具體到抽象、由動作表徵到符號表徵意義相同。
（二）Lesh 等人（1987）以溝通的觀點，將 Bruner 的動作、圖像、和符號表 徵的運思活動以線性方式的發展修正為網狀式的互動發展，認為數學學習有以下 五種不同的表徵，並強調表徵轉換的重要性。
1. 實際情境（real script）：運用在真實世界中所存在的物體或是知識，來 表達問題情境並藉以解決問題。
2. 靜態圖畫（static pictures）：靜態的圖形模式，透過此圖形模式的操作，
能夠將其內化為心像。
3. 教具模型（manipulative models）：藉由操作具體教具模型，建立符合問
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題情境的關係和運算。
4. 口語符號（spoken symbols）：以平常生活所用的口語作敘述，來解釋數學 概念或是數學問題，或是能夠舉出符合生活情境的實例來加以說明。
5. 書寫符號（written symbols）：約定俗成的數學表徵系統，一般常用的數 學算式或是數學符號。
在數學學習方面，Lesh 等人（1987）認為讓學習者了解多樣化的表徵是很 重要，但若能夠根據問題的情境，可彈性的轉換這些表徵形式（圖 2-1 ) ，以 較適當的表徵方式來幫忙解決問題，則更是重要。因此他們強調學生是否可在各 種不同的表徵方式中自由作轉譯，即可表示其對此知識概念的掌握程度。於是他 們主張教師應利用不同的表徵方式來解題，可增進學生的思考活動。
現階段高中數學課程中，老師教授有關平面向量的單元，皆採用在黑板上畫 出向量圖形的傳統方式，這種方式無法表達向量平移的動作，而只是單純靜態的 向量圖形模式。研究者所設計的向量教具，不僅是具體的教具模型，也是讓老 師與學生皆能隨意平移的教具，在經過一系列的動態畫面，可呈現出向量圖形的 視覺變化，以協助學生觀察與記憶，可使其對向量有較具體、深刻的理解。學生 在學習過程中，對向量概念較能透過具體的操作而建構，也能提升學生正確的認 知思維，並提高學習動機，使學習事半功倍。
（三）Heddens（1984）將學習者的學習階段分成以下四個連續的階段。
1. 具體物表徵階段（concrete level）：在平常生活中真實存在的實體。
2. 半具體表徵階段（semiconcrete level）：用圖片或照片來表示實體。
3. 半抽象表徵階段（semiabstract level）：用符號或圖形來代表實體。
4. 抽象表徵階段（abstract level）：用數學的算式與符號來學習解題。
圖 2-1 數學學習的五種表徵（Lesh，Post，Behr，1987）
圖畫
書寫符號
實際情境 教具模型
口語符號
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Heddens 主張學習者應在學習的具體階段，將新的知識加以內化，並且有系 統的沿著這四個學習階段，能夠將所學的新知識賦予抽象化的表徵。經由這些階 段，學生才能夠在真實與抽象的關係之間建立良好的連結，進而改善在數學理解 方面的困難之處。
（四）本研究所受的啟發
根據上述的文獻報告，不論是哪一位學者所提出分類數學表徵的方式，我們 可觀察到，操作具體物是所有表徵方式中最基本、也是最容易讓學習者進入學習 情境的方式。
在高中階段的數學課程中，很少看見教師在課堂上拿出教具來輔助教學。一 般而言，教具只發生在中小學的課堂上，例如：小學老師進行加減法教學時，讓 學生實際拿取具體花片的方式，使得在過程中了解「加減」的概念。
Piaget（1977）在認知發展理論中談到，大約從七到十一歲的兒童屬於具體 運思期的階段。在這個階段的兒童，多是根據真實世界中的具體事物來作思考，
較難進行抽象符號思考。大多會採取具體實用方式的問題解決取向，且會持續地 注意面前所能知覺和推理的實體，直到形式運思期，才會逐漸發展出抽象思考的 問題解決能力。而他也認為必需使用具體運思的方式雖然最早出現在兒童時期，
但卻是可以一直延長使用到終生。透過親自操作實體教具的學習方式，對數學性 向較弱的學生而言極為重要。在一些相關教育理論中，認為數學性向較弱的學生 其實並非是智能不足或者學習不夠努力積極，而是由於抽象思考能力較弱，無法 在短時間內運用抽象符號作運思，以致於造成學生只能靠記憶或背誦來學習，而 這樣的學習效果當然就不佳。所以這類的學生非常需要使用實體教具的輔助，將 有助於他們作運思。
高中階段的數學學習大部分還是依賴教材的內容和教師的教學活動。因此，
研究者認為當教師進行向量概念的教學時，應考量課程與學生思考層次之間的落 差，並在教學過程中觀察學生的行為和思考方式，據此設計一個適當的教學實作 情境。透過操作實體教具的經驗，可增強學生的心像能力，之後再運用抽象符號 作運思，將能提昇學生學習向量概念的成效。空間的視覺化是需要藉由持續地操 作具體物來加強心像的建構，讓學生能夠運用空間思考的推演，強化數學表徵，
以及在操作時所得到的相關資訊（Clements & Battista，1992）。所以，教師應 透過實體教具的操作，循序漸進的幫助學生增強心像能力。當實際經驗足夠之後，
教師才能夠帶領學生進入更高的思考層次。所以本研究主要是藉由教師在課堂上 操作實體向量教具教學，以探討學生對向量概念的學習成效提昇情形。
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三、數學表徵的重要性
Davis（1984）認為數學概念的理解包含兩個面向，一個是能以一套符號或 是系統來表徵數學概念，另一個則是能以多樣化的表徵方式來呈現某一個數學概 念，並且能夠在不同的表徵系統之間作轉換。Lesh 等人（1987）認為經由不同 形式的數學表徵轉換過程，能夠得知學生對於概念意義的掌控情形。有些學者
（Brenner,et al.，1999；Dreyfus & Eisinberg，1996）認為表徵系統的轉換 方式可分為兩類，一類是在某一個表徵系統內做轉換；另一類是在各個不同形式 的表徵系統之間做轉換。經由這兩類的數學表徵轉換方式，不但能幫助學生用有 意義的方式來學習數學概念，也還能提供學生一些可克服認知失衡的契機（Behr , Wachsmuth , Post , & Lesh，1984；Post , Wachsmuth , & Behr，1985）。當 學生遇到數學問題時，想把問題轉換為符號表徵的過程中若發生困難，則具備良 好表徵轉換能力的學生，會選擇先從其他的表徵方式著手，例如先用圖形或是操 作具體物來代表對於問題的詮釋，再用自己的話來解釋對於問題的想法以及做法，
這樣透過各種不同表徵系統的轉換，藉以解決當前所面臨的問題，甚至能夠透過 另一種表徵方式來增進原先所缺乏的符號表徵能力，有機會去修正自己的認知結 構，還可增強對於數學概念的理解（黃芳玉，2003）。
靈活運用表徵系統是數學思考能力的一項特徵（Dreyfus & Eisinberg，1996）。
Cifarelli（1998）認為學習者如果能夠靈活的轉換表徵系統，並且會彈性地選 擇適當的表徵方式來解題，代表學習者對於問題情境有深入且完整的了解，因每 個表徵所呈現出的是學習者對於問題結構的不同觀點，故可說明學習者對數學概 念之間的關係自我建構了完善的連結方式。Yerushalmy（1997）探討學生是如何 創造出多樣化的表徵方式，並認為這些由學生所創造出來的表徵方式，能有效的 增進數學概念的理解能力。 Brenner（1997）對接受多樣化數學表徵教學的實驗 組，與只用傳統解答為導向的控制組作研究，結果顯示實驗組呈現較優異的問題 表徵技巧，並更容易成功的解決數學問題。由以上這些研究可得知，在數學學習 的過程中，教師若多提供學生運用多樣化數學表徵的機會，不僅讓學生增進數學 思考的能力，還可對數學概念的學習有莫大的助益。
在美國數學教師協會（NCTM，1989）出版的「數學課程與評量標準」中，強 調數學表徵是溝通和思考的重要工具。在 NCTM（2000）「學校數學課程之原則與 標準」中，更是強調數學表徵的重要性，並期望學生在運用數學表徵這方面能夠 達到以下三個程度：
（一）會創造和使用表徵來組織、記錄、溝通數學想法。
（二）會選擇和轉換數學表徵來解題。
（三）會運用表徵來解釋科學、社會以及數學現象。
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總而言之，數學表徵是在數學學習中不可缺少的重要元素。在數學教育中，
數學表徵可說是幫助學生思考、溝通、解題、以及詮釋各種事物現象之重要工具，
而且透過各種不同數學表徵的運作，可以得知學生內部的數學思考情形，因此培 養學生數學表徵的能力確實有其必要性。適當的運用多樣化的數學表徵，不但能 增進數學概念的理解，並且在相關的數學概念之間建立連結，還能作為與他人溝 通數學想法的媒介，若將其應用在真實的問題情境中，可進一步解決生活當中所 面臨的問題。
綜合上述，在向量概念教學中，教師應先培養學生透過操作實體向量教具作 運思，來強化抽象概念的理解，並善用各種表徵方式教學，鼓勵學生運用各種表 徵方式表達自己的想法，將有助於使學生深入理解向量觀念。因此，研究者將在 設計教材的難度與邏輯先後順序上，採取「螺旋課程」之設計，即由簡單到複雜、
由具體到抽象、由動作表徵到符號表徵，而在進行教學實驗時有計畫地引導學生 討論、表達學習內容，提供適合的情境鼓勵學生思考、探索，最後再統整相關知 識。希望藉此幫助學生學習，以提升其學習成效。
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第二節 向量課程的內涵與教學
本節分兩部份來探討，第一部分為探討向量課程的內涵，以向量的概念所涵 蓋的範圍與內容為主，第二部分為探討有關向量概念的教學與學習，以建立本研 究的內容分析架構。
一、向量課程的內涵
向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，因向量是有別於數量的一種 新的量，它有其特殊的表徵，能同時表達具有大小與方向的幾何意義，並能以簡 潔明確的代數式呈現蘊含的幾何意義與性質。因此，向量具有代數與幾何形式的 雙重身份，因而成為數形結合的橋樑，也是溝通代數、幾何、三角的工具。向量 有著極其豐富的實際背景，它的概念從大量的生活實例和豐富的物理素材中抽象 出來，而它的理論和方法也成為解決實際問題和物理學的重要工具。向量之所以 重要，關鍵在於它具有一套良好的運算性質，可使複雜問題簡單化，使代數問題 幾何化，使幾何問題代數化，這使它成為聯繫多項數學知識內容的媒介，尤其在 高中數學教學內容中有廣泛的應用。利用平面向量的理論和方法可以有效地解決 平面幾何、立體幾何、解析幾何、三角以及物理學中的力、速度、加速度、位移 等許多問題，也為數學聯繫實際開拓了新的途徑（許志農，2007；李永貞，2009）。
1. 向量在三角中的應用
當利用單位圓來研究三角函數的幾何意義時，這就顯示出三角函數與平面向 量密不可分的關係。由於使用向量來解決問題時，經常會從三角形開始著手，使 得向量在三角函數中用來解決有關三角形的問題發揮重要作用，還可利用向量的 相關知識導出部分與三角函數有關的公式，而餘弦定理的證明就是一個最明顯的 證據，只需利用向量的運算性質即可得出結論，比使用其他方法作證明要簡捷得 多。
2. 向量在代數中的應用
向量的運算及規律是代數的基本研究物件。向量可以進行多種運算，如向量 的加減法、向量的係數積 … 等，而這些運算具有一系列豐富的運算性質，與數 的運算相比，向量運算相當於是擴充運算的物件與運算的性質。此外，用向量建 立的數形對應也可以用來證明代數中的一些恆等式、不等式問題。
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根據複數的幾何意義，在複數平面上可以用向量來表示複數。因此，複數的 加減法就可看成是用向量來作加減，而複數的乘除法則可用向量的旋轉和向量的 係數積而得到。實際上，使用向量的運算來作複數的運算，這就使得有關複數的 概念內容比較不難理解。
3. 向量在幾何中的應用
向量在解析幾何、平面幾何和立體幾何中有廣泛的應用，特別是可用來解決 立體幾何中有關度量、角度、平行、垂直等問題，使用向量可以很便捷的來解決 這類問題。例如在空間中的直線和平面，有關它們之間的平行、相交、包含以及 計算夾角、距離等問題，使用傳統的方法往往會較為繁瑣，但若利用向量的運算 後這些都變成為數的符號運算，這些運算都有法則可循，而且也比傳統的方法要 容易得多。
在現今的高中數學課程中，與向量相關課程內容有平面向量、空間向量、平 面與直線的關係、球面與平面的關係、一次方程組求解（高斯消去法、克拉瑪公 式）、行列式的應用（計算空間中平行四邊形面積與平行六面體體積）、矩陣運算 等等，由此可看出向量在高中課程中占有相當重要的份量，因此學習向量概念對 於整個高中數學的學習非常重要。所以學生在一開始學習平面向量時，若有錯誤 與迷思的概念，卻沒有立即診斷發現到，並及時作糾正與補救，這將會影響日後 學生在平面幾何與空間幾何的學習情形（李永貞，2009）。
「 99 年普通高級中學必修選修科目數學課程綱要」對向量有詳細的說明：
物理上用向量表現力與速度。向量是只有長度、方向意涵，而不管起始點的抽象 符號。由幾何角度而言，用坐標幾何探討幾何性質時，應與所架設坐標系的原點 所在何處無關，這正符合向量與起始點無關的概念。因此向量成為探討平面與空 間幾何自然且精簡的語言。向量概念與運算要將有向線段的意涵與位置向量的坐 標意涵緊密結合。位置向量所形成的向量空間具有代數運算的結構，即線性組合、
內積與外積。它就如同實數系般，是平面與空間至精至簡的表現，可將幾何問題 代數化，也可將線性方程組的問題賦予幾何意涵，是學生未來學習線性代數、多 變量微積分、向量分析和多變量統計分析的基礎（教育部，2008）。
江淑美（1985）研究高一學生是否能有效學習向量的概念與運算，並檢驗學 生在學習過程中，可能會遇到學習困難的地方。因此，他選用英國 CSMS（Concepts in Secondary Mathematics and Science）研究小組（1974 ~ 1979）特別針對 14 歲與 15 歲的學生設計了一份試題，此試題是為了研究學生在學習向量的概念 與運算時，可能發生錯誤的類型。於是他將題目直接翻譯成中文，再對國內高一 學生進行測驗，並分析學生對向量所造成的迷思概念之原因有：
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1. 自由向量中相等向量轉換的錯誤。
2. 向量有關概念（大小，方向，逆向量，等式的運算）尚未建立。
3. 透過操作解題不習慣。
4. 用文字表達數學情境的能力較差。
5. 受舊經驗的影響而誤答。
6. 粗心錯誤。
林福來（1987）參考英國 CSMS 研究小組（1981）在「向量與矩陣的概念」
研究報告中有關向量平移的概念，以及 Beilin（1985）對中學生在有關向量剛 性變換概念中所作的研究報告，Grenier（1985）對中學生在有關向量反射概念 中所作的研究報告等。他根據以上這些研究報告製作了對中學生在有關向量平移、
旋轉、反射概念發展的研究試題。並在研究中發現有關向量平移的部分所牽涉到 的向量概念最多，且容易造成錯誤的迷思概念，尤其是方向不分與沒有距離長度 之概念。
蔡承哲（1996）對高二學生在向量解題歷程中所使用的解題策略，提出教學 與評量上的建議有：
1. 在向量教學時應加強學生在定義、定理的使用與應用。
2. 以開放式問題的評量方式，來瞭解影響學生解題的相關因素。
3. 教師應掌握學生成長與犯錯的特徵，以便有效提升教與學的品質。
4. 數學教學只有工具式的知識或瞭解是不夠的，應重視概念的深層瞭解。
5. 在教學中應該引導學生如何回顧解答。
陳俊廷（2002）研究指出，有部分高二學生在學習空間向量時有困難，因不 瞭解向量不僅有大小而且還有方向。因此，他建議教師在教學時，應多舉例子、
畫圖、操作教具模型、 … 等，並可與物理中的力、位移、速度、加速度、 … 等 物理量做結合，讓學生能親身感受到向量的存在，以達到良好的教學成效。
由以上相關文獻發現，學生在經過有關向量的教學後，對向量的定義、定理 會產生一些錯誤的迷思概念，尤其是常受到向量的大小與方向之特性影響，如在 作向量平移時，容易忘了向量的方向不會改變。如果此時教師忽略學生對向量的 定義、定理的迷思概念，直接切入向量性質與運算的介紹，則對於向量的學習可 能會產生更多的迷思概念，使得要再深入學習下去頗為困難。研究者認為教師在 教材的設計上，首要重視向量起始課程的概念教學，不要以解題代替教學，應把 要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學中，並在概念的背景引 導上多作著墨，以提供學生充分認識本質特徵的機會。李邦河院士認為數學根本 上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。他認為以解題教學代替概念教學的 做法嚴重偏離了數學的正軌，必須要做糾正，否則學生在學習數學上耗費大量的
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時間與精力，結果可能是對數學的內容、方法和意義知之甚少，這就遠離了學習 數學的目的（章建躍、陶維林，2010）。
二、向量概念的教學與學習
向量概念的教學目標是要讓學生體會向量集數與形於一身的特徵。而概念教 學的課程首重讓學生感受到數學概念產生、發展的基本過程，體會到研究數學問 題的基本思路，進而培養提出問題、研究問題的能力。且教與學是一體兩面的關 係，教師透過教學過程、原則、方法，以幫助學生達到學習效果。於是研究者整 理有關數學概念的教學與學習文獻，發現應掌握幾項原則，方可在向量概念的教 學與學習的模式中發揮效果。
Henderson（1970）把概念分成兩大類，一類為具體概念，另一類為抽象概 念。所謂的具體概念為具有物理上實質的例子，如書、尺等；而抽象概念則為不 具有物理上實質的例子，如數學中的分數、複數、多項式等。而數學概念屬於抽 象概念，因數學概念是由真實事物或現象的現實原型抽象而得出相應的概念，這 種在形成數學概念時的抽象思維反應，不是某一特定事物或現象的特徵，而是一 類事物或現象的共同特性（鄭毓信，1998）。
楊弢亮（1982）在中學數學教學法通論提到，人類經常會運用比較、分析、
綜合、抽象、概括等一系列邏輯方法來獲取概念。對於數學概念而言，每一個概 念都有其質和量，即數學概念的內涵和外延。所謂概念的內涵是指一個概念所反 應的對象中所有本質屬性，而概念的外延是指適合該概念的一切對象的範圍。
Pines 用圓錐的結構來說明概念的內涵和外延，圓錐的底部稱為延伸，代表由概 念延伸出的部分，包含所有屬於此概念的事件。而圓錐的頂端稱為內涵，代表萃 取出此概念的特質、規律性、共同性、定義等。在學習時，若由底部概念延伸的 部分推至頂端概念內涵的部分，此過程稱為概念化過程，即是一種歸納方式，可 從事件中發現其共同性。若由頂端概念內涵的部分推至底部概念延伸的部分，此 過程稱為應用化過程，即是一種演繹方式，將概念的規律性應用於事件中。若是 對於概念的延伸部分在概念化的過程中導出不正確的概念內涵，則會影響到對概 念的內涵特質不清楚，此時在應用化的過程中將概念應用於事件中，就會產生錯 誤。
施良方（1996）從許多文獻中歸納出三種概念形成的方式，分別為：
1. 聯結理論：若學生能正確識別出某個概念，就強化他的認知，告訴他是對的；
若學生識別錯誤，則告訴他是錯的，如此就不會形成錯誤的聯結。再經過一 系列的嘗試，當正確的反應與刺激連結起來時，這時概念也就形成了。
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2. 假設檢驗理論：Bruner（1956）為使用假設檢驗理論來解釋概念形成的主要 代表，他的觀點是在概念形成的過程中，學生不是被動地等待各種刺激以形 成聯想，而是主動地追究概念，再通過一系列的假設檢驗來發現概念。且學 生在概念形成的過程中，還會採取各種策略方法，以求加快發現概念的過程。
3. 範例理論：Rosch（1977）提出一種完全不同於前面兩種概念形成的理論，前 面兩種是以概念所具有的共同特性為前提，他則認為人類記憶中的概念，應 是以概念的具體例子來表示，不是以抽象的規則或相關特徵來表示。例如對
「花」這個概念，人類是用之前所見過的各種不同種類的花來表示。對於任 何一個概念來說，都有一些比較典型和比較不典型的範例。因此，人們對日 常概念的理解，必須著重於最典型的範例的認知與其相關內容。
Skemp（1987）對數學概念的學習提出，一般與數學有關的例子有些多少又 含有其他的概念，所以每當教師需要舉例時，應先確定學生對這個例子已有一些 預先的概念，否則若牽涉到太多其他的概念，就會使學生對抽象概念的形成造成 干擾。因此，當學生在學習新概念時，教師最好使用造成干擾較低的例子，並盡 量將概念具體化、直觀化，且須把預先概念預備在新概念的旁邊，好讓學生能順 利建立新的概念。他認為若某個概念超過個人先前已有的概念，此時就不適合直 接使用定義的方式來學習了解，只能多蒐集一些與概念相關的例子，以提供其經 驗，之後再靠個人思考想像以形成概念。此外，他還提到在學習新概念的過程中，
經過一連串的抽象思考，其中若誤解了某部分的概念，則之後在建立概念的過程 裡，就會有不少概念錯誤的風險，這種情形在學習數學概念時尤其顯著。
Henderson（1970）認為數學概念的教學策略有兩種方式，一種是例示化教 學策略，是以正例和反例來進行，主要用於概念的獲得，另一種是屬性描述化教 學策略，是在描述概念的屬性，主要用於概念的同化。他認為在概念教學的過程 中，這兩種教學策略若是能夠交替進行，將會更有成效。他也認為應先運用例示 化教學策略，之後再使用屬性描述化教學策略，這樣屬性描述化教學策略就能促 進例示化教學策略的達成。但若在還未使用例示化教學策略之前，就直接使用屬 性描述化教學策略，將可能會造成這兩種教學策略皆沒有達成的情況。
Sowder （1980）指出在概念教學的過程中著重於概念的獲得與同化。概念 的獲得主要是來自許多例子的呈現來作為新的例子或口頭的描述，並加以定義與 作適當的分類。而概念的同化主要是來自以既有的概念基模為準，再選擇環境中 的事物或已有的認知結構，作辨識及解釋環境中的事物，就可把新經驗同化到舊 經驗中。又因概念的定義或文字描述可視為概念的核心，所以在概念的同化過程 中，有時會需要使用到正例或反例來幫忙概念同化。
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楊弢亮（1982）把引入數學概念的方式分成下列幾種：
1. 利用學生日常生活經驗：教師運用實際生活中能反映數學概念的事例。所以 教師在數學概念的教學中，不僅需積極地充分利用學生已有的日常概念，但 必須特別注意到，數學概念與日常概念還是有一些區別的。
2. 利用教材提供學生直觀印象：使用實際物、模型、圖表等讓學生先對新概念 有較直觀鮮明的印象，之後再提出此概念的定義。
3. 利用舊概念引入新概念：在原來舊概念的基礎上，再增加內涵引入新的概念，
可使新概念能順利融入舊概念。還可採用概念對比的方式，就是把兩種概念 根據它們相似或區別之處，互相對照某些屬性再引入新的概念。也可利用逆 反關係引入新概念，逆反關係包括逆運算、反函數、逆反性問題等。再來還 可把概念作推廣，也就是讓概念從特殊化到一般化的過程，從中看出概念之 間的聯繫。最後還可運用一般性概念的特例，來作為聯繫新概念的方式。
一般學生在學習新的數學概念時，容易遇到的問題就在於數學概念常過於抽 象化。因此大多建議教師在教新的數學概念時，可盡量多使用舉許多例子來作開 始，好讓學生從許多各式各樣的例子中歸納、理解出數學概念。
表徵是學習數學概念的一個重要的媒介。同樣的數學概念也可以利用許多不 同種類的表徵方式來作瞭解，且若對同一個數學概念能使用不同的表徵形式來說 明其意義，即可表示對此概念有所感覺。此外，表徵間的轉換是學習和表達向量 概念最重要的基本能力（蔣邦治，1994；林福來，1997；李永貞，2008）。
表徵間的轉換主要是依賴學習者自我內在的想法，由其看見的圖像和符號表 徵，在內心中產生聯結、對照、區分，才能把思考與理解出的想法使用表徵的方 式傳達出來。此外，學習數學概念的方式還牽涉到內在表徵與外在表徵。所謂的 內在表徵指的是個人對某概念在心智中所建立的圖像和符號，個人可以利用此概 念心像來作推理運思，且他人無法觀察到。所謂的外在表徵指的是個人對某概念 使用具體形式存在的表徵，不僅可透過外在表徵來表達自我的想法，還可與他人 作溝通（Hiebert & Carpenter，1997；Tall & Vinner，1981；黃永和，1997）。
Skemp（1987）提出對概念理解的看法，進而建立以下幾項概念教學輔助的 原則：
1. 學生在學習概念的階段，教師儘量以實物來引導說明概念。
2. 教師在教一個新的概念前，要先分析與其相關的基本概念是否都已教過，以 便讓學生能將新的概念與原有的舊概念作適當的同化。
3. 學生在學習概念的階段，教師儘量多用口頭解釋，而少用文字解釋。
4. 當教師要教學生正式的符號之前，可以先使用非正式、暫時約定的符號，或 是學生自行指定的，如此學生的概念就易自動與符號作結合。之後由於符號
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不一致所造成的困擾，可讓學生逐漸體會到約定標準符號的好處。
徐于婷（2005）認為幾何概念的建立和圖形表徵關係密切。Skemp（1987）
認為在幾何中的圖形和它所代表的概念更為接近，也就是如果只是光看文字符號 的敘述，通常不容易得到什麼想法，但配合一起看圖形，就容易立刻瞭解文字符 號所代表的意義。這是因為幾何圖形比文字符號更能夠顯示出概念之間的關聯性。
此外，他認為要理解幾何概念也必須發展視覺圖形式的論證，因為用圖形會比用 文字敘述要容易與他人作溝通，且圖形更能顯示其中的關聯。
Skemp（1987）以文字符號和圖形兩種方式進行幾何推論，經過實驗比較後，
結果發現使用圖形的方式來進行推論，會比使用文字符號較清楚易懂。就以向量 運算而言，若教師只用文字符號書寫「 」，卻沒有搭配畫出向量 圖形，好讓學生瞭解這些向量之間的相關位置，此時學生可能會覺得這些向量符 號複雜且不易理解，而造成學習上的困擾。張景媛（1995）對國中生在建構幾何 概念的研究中發現，具體影像的呈現將有助於學生建構內在的心理表徵，因此若 能讓學生親自操作或自行設計圖形，可使其在幾何概念的學習過程中對圖形的理 解有所幫助。
由以上對數學概念的學習方式可知，教師在教學時必須先注重以具體影像的 呈現來幫助學生建構向量概念的心像，使得學生可以把外在符號與其內在表徵作 完善的聯結。因此，教師應該盡量透過具體影像的感官操作活動來進行教學，以 幫助學生在學習過程中進行運思向量的抽象概念，如此學生才能順利建構向量圖 形的心像，並在運思過程中培養思考、分析與推理的能力，以增進向量概念的學 習成效。教師還需增強學生內在概念結構的認知，此時教師的用語就非常重要，
若教師在教學時能多花一些時間在概念的澄清上，而不是讓學生只看到反覆地操 弄這些符號作運算，而不知其真正的意義，甚至將舊經驗中類似的概念或符號，
對新概念作不當的推測，如此學生才能學習使用數學符號進行表達思考，否則只 是在模仿教師的演算方式而已，卻無法達到有效的概念學習。此外，教師還必須 注重學生能在圖形中發現向量運算概念的圖形表徵。因此，本研究在教材設計與 教學活動中特別利用向量教具作為具體媒介，並以向量圖形為基礎，讓教師與學 生透過親自操作教具，可協助引導學生學習向量概念，同時在圖像化的過程中，
使其建立概念心像，並幫助學生對向量圖形表徵與向量符號表徵之間順利地產生 聯結。
