分數四則運算錯誤類型的結果與討論

本節旨在了解概念教學介入前，國中學生分數四則運算的的錯誤情形，以完 成目的一「國中學生分數四則運算錯誤類型」，並回答問題一「國中學生分數四 則運算的錯誤類型為何？」，茲分數如下：

本研究使用「分數四則運算測驗」共 80 題，分加、減、乘、除各 20 題，調查 對象為台東市某國中一年級學生，三班共 84 人，以計算題的方式作答，前測的結 果作為錯誤類型分析的依據，單題錯誤率（％）=錯誤人數/84（總人數）×100％，

錯誤類型所佔比率（％）=錯誤類型總題數/錯誤總人次×100％；一般因粗心大意致 計算錯誤之外，單題錯誤率大於 50%以上的題型與錯誤類型高於 10%的類型整理 出來後，作為概念教學課程設計的參考依據，錯誤類型整理如下：

一、 加法的錯誤類型

加法錯誤類型分成四個型類討論，以下就「正分數+正分數」、「正分數+負分 數」、「負分數+正分數」、「負分數+負分數」分別討論。

(一) 正分數+正分數

表 4-1-1 是由研究者根據學生之答題，所歸納出之錯誤題型以供參考。

表 4-1-1

正分數+正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

由表 4-1-1 中可知「正分數+正分數」中錯誤率最高的題型是「帶分數+真分數」， 錯誤率達 24%，這類型的錯誤顯示出大多數的錯誤來自於計算上的錯(43%)，學生 會做分數的加法，因粗心而錯誤。其次是「不會通分」(14%)與誤認分數的加法是

「分子加分子、分母加分母」(12%)，此外受「乘法運算的法則影響的錯」比例也 很高。

根據表 4-1-1「正分數+正分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下幾種錯 誤類型：

1. 計算的錯大多是粗心的錯

2. 不會通分的錯，此分析與陳的慶（2010）、劉天民（1993）有類似的結果 3. 分子加分子、分母加分母的錯，此分析與王瑞慶（2003）、陳晚蓁（2004）、湯

錦雲（2002）有類似的結果

4. 只做分母通分，分子不變的錯，此分析與湯錦雲（2002）有類似的結果 5. 受乘法運算的法則影響的錯，此分析與王瑞慶（2003）有類似的結果

6. 帶分數變假分數後，被加數的整數直接加在分子上的錯

1. 不會通分 2. 分子加分子、分母加分母

(二) 正分數+負分數

4-1-2 表是根據學生之答題，所歸納出之「正分數+負分數」錯誤題型以供參考。

表 4-1-2

正分數+負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

由表 4-1-2 中可得知「正分數+負分數」中錯誤率最高的題型是「帶分數+負整 數」，錯誤率達 70%，其次是「真分數+負整數」(57%)與「帶分數+負真分數數」(37%)，

這類題型的錯誤類型顯示出大多數的錯誤來自於計算上的錯(22%)，學生會做分數 的加法，但因粗心或計算錯誤無法答對。另外學生在處理「帶分數+負整數」時最 容易忽略分數部分也要進行處理，而「真分數+負整數」中學生誤將整數與分數直 接相加而產生錯誤。此外「去括號未變號」比例也很高。

根據表 4-1-2「正分數+負分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下幾種錯 誤類型：

1. 先相加再加負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果 2. 計算錯誤，大多粗心的錯

3. 忽略加數的負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果 4. 去括號未變號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果

5. 不會通分的錯，此分析與陳的慶（2010）、劉天民（1993）有類似的結果 6. 分子加分子、分母加分母，此分析與湯錦雲（2002）、陳晚蓁（2004）有類似

的結果

1. 先相加再加負號的錯 2. 忽略加數的負號的錯

3. 去括號未變號的錯

(三) 負分數+正分數

4-1-3 表是根據學生之答題，所歸納出「負分數+正分數」之錯誤類型以供參考。

表 4-1-3

負分數+正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

由表 4-1-3 中可得知各類題型錯誤率皆達 30%，特別是「負帶分數+整數」錯 誤率高達 67%，在這類題型的錯誤類型中，除了計算錯誤外「相加後加負號的錯

（18%）誤用負正得負的錯」（13%）與「忽略被加數負號的錯」（14%）都是學生 常出現的錯，特別是「忽略分數的加減」在「負帶分數+整數」的題型中出錯率最 高。

根據表 4-1-3 中，「負分數+正分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下幾 種錯誤類型：

1. 計算錯誤

2. 相加後加負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果 3. 忽略分數的加減

4. 忽略被加數負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果 5. 誤用負正得負的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果

6. 不會通分，此分析與陳的慶（2010）、劉天民（1993）有類似的結果

1. 相加後加負號的錯 2. 忽略分數的加減

3. 忽略被加數負號的錯 4. 誤用負正得負的錯

(四) 負分數+負分數

表 4-1-4 是根據學生之答題，所歸納出「負分數+負分數」之錯誤類型以供參 考。

表 4-1-4

負分數+負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

由表 4-1-4 中可得知「負帶分數+負帶分數」、「負帶分數+負真分數」錯誤率最 高，錯誤率皆為 54%，其次是「負真分數+負真分數」(37%)。在錯誤類型中除了計 算錯誤外，以「不會通分」的比率最高(25%)，其次是誤用「負負得正」(24%)，顯 示學生將乘法與兩個負分數加法易混淆。在「忽略被加數負號直接相減的錯」中，

知道去括號要變號，但忽略被加數的負號。

根據表 4-1-4 中，「負分數+負分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下幾 種錯誤類型：

1. 計算錯誤

2. 誤用負負得正，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果

3. 不會通分，此分析與陳的慶（2010）、劉天民（1993）有類似的結果 4. 忽略被加數負號直接相減的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果 5. 分母加分母、分子加分子，此分析與湯錦雲（2002）、陳晚蓁（2004）有類似

的結果

6. 誤用分數乘法法則，此分析與王瑞慶（2003）有類似的結果

1. 誤用負負得正 2. 不會通分

3. 忽略被加數負號直接相減的錯

根據表 4-1-1~4-1-4 在加法方面的錯誤類型可歸納為 1. 計算錯誤

2. 不會通分 3. 負號處理的錯

4. 受乘法運算的法則影響的錯

二、 減法的錯誤類型

減法錯誤類型分成四個型類討論，以下就「正分數－正分數」、「正分數－負 分數」、「負分數－正分數」、「負分數－負分數」分別討論。

(一) 正分數－正分數

表 4-1-5 是根據學生之答題，所歸納出之「正分數－正分數」錯誤題型以供參 考。

表 4-1-5

正分數－正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

根據表 4-1-5，「帶分數－整數」錯誤率為高，錯誤率達 49%，其次是「真分數

－整數」(45%)與「帶分數－真分數」(32%)。除了計算錯誤外又以「通分錯誤」比 率最高(28%)，其次是「大數－小數的錯」(19%)與「忽略分數部分加減的錯」(12%)。

在「大數－小數的錯」中會使用大數減小數而忽略「小數－大數」是負的，在「忽 略分數部分加減的錯」中最常出現在「減整數」時，學生只記得整數部分運算，

忽略分數部分計算。

根據表 4-1-5，「正分數－正分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下幾種 錯誤類型：

1. 計算錯誤的錯，此分析與劉天民（1993）、湯錦雲（2002）有類似的結果。

2. 通分錯誤。

3. 大數－小數的錯，此分析與湯錦雲（2002）、有類似的結果。

4. 忽略分數部分的加減的錯，此分析與湯錦雲（2002）有類似的結果。

5. 相加後加負號的錯，此分析與王瑞慶（2003）、陳的慶（2010）有類似的結果。

1. 通分錯誤 2. 大數-小數的錯

3. 忽略分數部分的加減的錯

(二) 正分數－負分數

表 4-1-6 是根據學生之答題，所歸納出「正分數－負分數」之錯誤類型以供參 考。

表 4-1-6

正分數－負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

根據表 4-1-6 中錯誤率最高的題型分別是「帶分數－負帶分數」(56%)，其次是

「帶分數－負真分數」(33%)。在錯誤類型中除計算錯誤外(22%)以「通分錯誤」(19%) 最多，其次是「大數－小數的錯」與「忽略負負得正」的錯，「大數－小數的錯」

以「帶分數－負帶分數」的題型最多。

根據表 4-1-6 中，「正分數－負分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下 幾種錯誤類型：

1. 計算錯誤，此分析與劉天民（1993）、湯錦雲（2002）有類似的結果。

2. 不會通分。

3. 大數－小數的錯，此分析與湯錦雲（2002）有類似的結果。

4. 忽略負負得正，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果。

5. 分子加分子，分母加分母：此分析與湯錦雲（2002）有類似的結果。

6. 相加再加負號的錯誤用分數乘法法則。

1. 不會通分 2. 大數-小數的錯

3. 忽略負負得正

(三) 負分數－正分數

表 4-1-7 是由根據學生之答題，所歸納出之錯誤類型以供參考。

表 4-1-7

負分數－正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

根據表 4-1-7 中錯誤率皆達 30%以上，「負帶分數－帶分數」、「負真分數－真 分數」錯誤率更高達 50%，在錯誤類型中除計算錯誤外以「大數－小數的錯加負 號」(16%)、「誤用負負得正」(13%)為最多。

根據表 4-1-7 中，「負分數－正分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下 幾種錯誤類型：

1. 計算錯誤，此分析與劉天民（1993）、湯錦雲（2002）有類似的結果。

2. 大數－小數加負號的錯：此分析與湯錦雲（2002）有類似的結果。

3. 誤用負負得正。

4. 不會通分。

5. 大數－小數的錯，此分析與湯錦雲（2002）有類似的結果。

6. 忽略被減數負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果。

7. 分子減分子、分母減分母的錯，此分析與劉天民（1993）有類似的結果。

1. 大-小加負號的錯 2. 誤用負負得正

(四) 負分數－負分數

表 4-1-8 是由根據學生之答題，所歸納出「負分數－負分數」之錯誤類型以供 參考。

表 4-1-8

負分數－負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表

根據表 4-1-8 錯誤率皆達 30%以上，「負帶分數－負整數」及「負分數－負帶 分數」高達 50%，顯示有半數以上同學有解題困難，「相加後加負號的錯」(20%) 中，學生知道去括號可使用「負負得正」但忽略被加數是負的，使用相加後再加 負號。「忽略分數部分加減」最常發生在減「負整數」。

根據表 4-1-8，，「負分數-負分數」錯誤類型統計資料，大致可歸納出以下幾 種錯誤類型：

1. 計算錯誤，此分析與劉天民（1993）、湯錦雲（2002）有類似的結果。

2. 相加後加負號的錯。

3. 不會通分。

4. 忽略分數部分加減。

5. 連續變號的錯 (負負得正 負正得負) 。

6. 相減後加負號的錯，此分析與劉天民（1993）有類似的結果，正數減負數時，

保留負號，其餘分數相減。

7. 分子加分子、分母加分母的錯：此分析與劉天民（1993）有類似的結果，分母、

分子直接相加減。

1. 相加後加負號的錯 2. 忽略分數部分加減

根據表 4-1-5~4-1-8 在減法方面的錯誤類型可歸納為：

1. 計算錯誤，此分析與劉天民（1993）、湯錦雲（2002）有類似的結果。

2. 不會通分。

3. 處理負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果。

3. 處理負號的錯，此分析與陳的慶（2010）有類似的結果。