國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班
碩士論文
指導教授：李偉俊 博士
國中學生分數四則運算錯誤類型分析 與概念教學實驗之研究
研究生：馬湘怡 撰
中華民國一○三年六月
國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班
碩士論文
指導教授：李偉俊 博士
國中學生分數四則運算錯誤類型分析 與概念教學實驗之研究
研究生：馬湘怡 撰
中華民國一○三年六月
致 謝 詞
工作十幾年後，終於鼓起勇氣圓一個年輕時的夢，從新回歸學生身分，接受 新的挑戰。身為研究生，在學術殿堂下，我自許能夠謙卑求上進，除了應努力吸 取廣泛的知識外，更要能從中吸取豐富之經驗。這個養成的過程中，除了自己本 身的努力外，更要感謝所有遇到的人、事、物及環境。
無庸置疑地，這份論文之所以能夠圓滿、順利的完成，最感謝的是我的指導 教授─李偉俊博士，他是我研究所生涯的啟蒙者，第一次上他的課就令我驚艷並 印象深刻，老師授課的表達方式深入淺出，其教學方法除了能夠啟發想法，更能 引導我迅速地思考最佳之解決方法；簡言之，老師凡事能夠「切中要點」之精神，
及在論文方面「貼切中肯」之建議均影響我很深，也讓我這兩年來受益良多、收 穫豐碩。
再者，要感謝兩位口考教授─臺東大學何俊青老師、高師大涂金堂老師所給 予之專業意見，讓我的論文能夠更臻完美；同時也感謝審核試卷之三位數學教 師，與在電腦方面給我做大協助的家瑩；以及這一年來共同奮鬥之組員，過程中 的緊張與歡喜都與你們共同承擔、也共同分享；另外，也要感謝臺東大學教育系 的老師們、以及臺東縣立東海國中工作夥伴們，看似漫長的兩年其實是充實而有 趣的，你們給我的鼓勵隨時都放在心上，並將它化作一股力量全力衝刺以不辜負 你們的期望，今日論文能夠順利的產生，你們都功不可沒。
最後，要特別感謝我我生命中扮演很重要地位的家人們，他們永遠都是我最 強而有力的後盾，婆婆幫我承擔大部分的家務；先生在論文上給與我許多實質上 的建議，並負擔大部分照顧孩子的責任；巧兒、可兒的貼心讓我能順利地在預定 地時間內完成論文，謝謝你們！
中學生分數四則運算錯誤類型分析 與概念教學實驗研究
作者：馬湘怡 國立台東大學 教育學系
摘 要
歷年來分數的相關研究透露出學生學習的困難，若能建立學生正 確的分數概念，將會對學生日後的學習有所幫助。因此，本研究透過 研究者自編之「分數四則運算測驗」，比較「概念直述教學」和「概念 獲得教學」用於國中七年級「分數四則運算」之學習成效，針對學生 在分數四則運算中常出現的錯誤類型及錯誤題型，進行結果的整理與 分析。
本研究的實驗結果發現，學生在分數四則運算中的錯誤類型可歸 納為：計算上的錯、通分的錯、負分數運算的錯及誤用其他分數法則；
錯誤題型則可歸納為：在加法最易犯錯的題型是「負帶分數＋正整 數」，減法最易犯錯的題型是「帶分數－負帶分數」，乘法最易犯錯的 題型是「負帶分數×負整數」，除法最易犯錯的題型是「負真分數÷整 數」。而「概念獲得」法優於「概念直述」與「一般教學」法，「概念 直述」法與「一般教學」法並無顯著差異。
建議在教分數四則運算單元時，教師可提供多種類型的題目做比 較，使學生能熟練運算的題型與規則，讓學生能清楚了解運算的觀念。
此外，概念教學的模式，應在課前讓學生充分瞭解，避免有些學生因 不瞭解流程而跟不上活動進度。
關鍵詞：分數四則運算、概念直述教學、概念獲得教學、錯誤類型、錯誤題型
Analysis of Fraction Arithmetic Error Types and Experimental Study of Concept teaching in High
School Students
Shiang-Yi
Ma
Abstract
Over the years, research reveal of student learning difficulties in fraction arithmetic. It would be helpful for students to learn in the future by establishing student’s concept of fraction correctly. Therefore, this study uses “The fraction arithmetic testing” made by researcher. Compare the fraction arithmetic learning between direct presentation and concept attainment in high school students. Analysis and arrange the most error of fraction arithmetic error types and error questions.
Results found that error types of fraction arithmetic include:
miscalculation, common denominator error, miscalculate negative fraction and theorem misuse. Error questions of fraction arithmetic include:
negative mixed fraction plus positive integer in addition, mixed fraction minus negative mixed fraction in subtraction, negative mixed fraction multiply negative integer in multiplication and negative proper fraction divide integer in division. Concept attainment is better than direct presentation and normal teaching. There are no significant differences between direct presentation and normal teaching.
The research provides more types question for students in fraction teaching. Practice questions and rules. Understand the concept of fraction arithmetic. In addition, the concept of teaching mode should be fully understood before class. Avoid students not understanding the process and not keeping up with the progress of activities.
Keywords：Fraction Arithmetic, Direct Presentation, Concept attainment,
Error Type, Error Question
目 次
摘 要 ... i
Abstract ... ii
目 次 ... iii
表 次 ... iv
圖 次 ... vi
附 錄 次 ... vii
第一章 緒論 ...1
第一節 研究背景與動機 ...1
第二節 研究目的與問題 ...3
第三節 重要名詞釋義 ...3
第四節 研究範圍與限制 ...5
第二章 文獻探討 ...7
第一節 分數概念的相關研究 ...7
第二節 中小學分數課程分析與相關研究 ... 14
第三節 分數四則運算錯誤類型及錯誤原因相關研究之探討 ... 21
第四節 概念教學相關理論與研究 ... 30
第三章 研究方法與設計 ... 39
第一節 研究架構 ... 39
第二節 研究假設 ... 40
第三節 研究對象 ... 40
第四節 實驗設計 ... 41
第五節 研究工具 ... 46
第六節 實驗教學課程 ... 49
第七節 資料處理與分析 ... 51
第八節 研究流程與進度 ... 52
第四章 結果與討論 ... 55
第一節 分數四則運算錯誤類型的結果與討論 ... 55
第二節 分數四則運算錯誤題型的結果與討論 ... 91
第三節 教學活動對分數四則運算學習成效的結果與討論 ... 104
第五章 結論與建議 ... 119
第一節 結論 ... 119
第二節 建議 ... 122
參考文獻 ... 125
（一）中文部分 ... 125
（二）英文部分 ... 128
表 次
表 2-1-1 分數概念的相關文獻 ... 8
表 2-2-1 九年一貫分數能力指標暫行綱要（90 暫時綱要，2000） ... 14
表 2-2-2 九年一貫分數能力指標（92 正式綱要，2003） ... 15
表 2-2-3 九年一貫分數能力指標（97 正式綱要，2008） ... 17
表 2-2-4 各年級分數教學單元的整理： ... 19
表 2-3-1 加法運算錯誤類型 ... 22
表 2-3-2 減法錯誤類型 ... 23
表 2-3-3 乘法錯誤類型 ... 25
表 2-3-4 除法錯誤類型 ... 26
表 2-3-5 分數四則運算的錯誤原因 ... 28
表 2-4-1 概念教學法的相關研究 ... 32
表 2-4-2 概念教學法三種方式 ... 33
表 3-3-1 研究樣本人數分配表 ... 41
表 3-4-1 實施概念教學之準實驗設計模式表 ... 42
表 3-4-2 概念直述法 ... 44
表 3-4-3 概念獲得法 ... 44
表 3-4-4 教學活動表 ... 45
表 3-5-1 計算題前後測試題內容分析 ... 48
表 3-6-1 教學活動摘要表 ... 50
表 4-1-1 正分數+正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 56
表 4-1-2 正分數+負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 58
表 4-1-3 負分數+正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 60
表 4-1-4 負分數+負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 62
表 4-1-5 正分數－正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 64
表 4-1-6 正分數－負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 66
表 4-1-7 負分數－正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 68
表 4-1-8 負分數－負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 70
表 4-1-9 正分數×正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 72
表 4-1-10 正分數×負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 74
表 4-1-11 負分數×正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 76
表 4-1-12 負分數×負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 78
表 4-1-13 正分數÷正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 80
表 4-1-14 正分數÷負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 82
表 4-1-15 負分數÷正分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 84
表 4-1-16 負分數÷負分數 錯誤類型及錯誤個數統計表 ... 86
表 4-2-1 加減法前後測錯誤率大於 50%題型分析表 ... 91
表 4-2-2 不同教學法在加減法錯誤率大於 50%題型分析表 ... 92
表 4-2-4 不同教學法在乘除法錯誤率大於 50%題型分析表 ... 94
表 4-3-1 「分數四則運算測驗」實驗組與控制組前測與後測之平均數與標差 104 表 4-3-2 「分數四則運算測驗」前後測迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 105
表 4-3-3 「分數四則運算測驗」實驗組與控制組組內共變數分析摘要表 .... 105
表 4-3-4 「加法」實驗組與控制組前測與後測之平均數與標差 ... 106
表 4-3-5 「加法」前後測迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 106
表 4-3-6 「加法」實驗組與控制組組內共變數分析摘要表 ... 107
表 4-3-7 「減法」實驗組與控制組前測與後測之平均數與標差 ... 108
表 4-3-8 「減法」前後測迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 108
表 4-3-9 「減法」實驗組與控制組組內共變數分析摘要表 ... 109
表 4-3-10 「減法」實驗組與控制組前測與後測之平均數與標差 ... 110
表 4-3-11 「乘法」前後測迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 110
表 4-3-12 「乘法」實驗組與控制組組內共變數分析摘要表 ... 111
表 4-3-13 「除法」實驗組與控制組前測與後測之平均數與標差 ... 112
表 4-3-14 「除法」學習成就測驗前後測迴歸係數同質性檢定摘要表 ... 112
表 4-3-15 除法實驗組與控制組組內共變數分析摘要表 ... 113
表 4-3-16 全體實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 114
表 4-3-17 全體實驗組與對照組前後測提升率比較表 ... 114
表 4-3-18 加法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 114
表 4-3-19 加法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 114
表 4-3-20 減法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 115
表 4-3-21 減法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 115
表 4-3-22 乘法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 115
表 4-3-23 乘法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 115
表 4-3-24 除法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 116
表 4-3-25 除法實驗組與對照組前後測正確率比較表 ... 116
表 4-3-26 分數四則運算教學法差異表 ... 116
圖 次
圖 3-1-1 研究架構圖 ... 39 圖 3-6-1 教材架構圖 ... 49 圖 3-8-1 研究實施流程圖 ... 52
附 錄 次
附錄一 概念教學流程圖 ... 129
附錄二 「通分」概念教學活動 ... 130
附錄三 「分數的加減」概念教學活動設計設 ... 131
附錄四 「分數的乘除」概念教學活動 ... 132
附錄五 分數四則運算的題目(加法) ... 133
附錄六 分數四則運算的題目(減法) ... 134
附錄七 分數四則運算的題目(乘法) ... 135
附錄八 分數四則運算的題目(除法) ... 136
附錄九 加法學習單（加一個負數） ... 137
附錄十 加法學習單（負數加負數） ... 138
附錄十一 減法學習單（負數-正數） ... 139
附錄十二 減法學習單（減一個負數） ... 140
附錄十三 乘法學習單(正×正) ... 141
附錄十四 乘法學習單(正×負、負×正) ... 142
附錄十五 乘法學習單(負×負) ... 143
附錄十六 除法學習單(正÷正) ... 144
附錄十七 除法學習單(正÷負、負÷正) ... 145
附錄十八 除法學習單(負÷負) ... 146
附錄十九 加法概念教學教案示例 ... 147
第一章 緒論
隨著教改的腳步，許多教師紛紛投入數學教育的研究，在教育的改革中，不 論是 82 課綱或 92 課綱甚至目前最新的 12 年國教，數學學習領域應該是變動最小 的，且單獨自成一領域，可見數學教育已成很重要的學門。分數概念是國小階段 最複雜與最重要的概念（劉祥通，2007）。而分數的相關研究也透露出學生學習的 困難，若能建立學生正確的分數概念，將會對學生日後的學習有所幫助。
第一節 研究背景與動機
根據研究者在國中教學的經驗，國小銜接國中的階段，也就是七年級上學期，
學生程度差異非常明顯，有些學生很快可以做完簡單異分母的四則運算，而有些 學生卻是搞不清楚甚麼是分數，甚至到了國中開始討厭數學，事實上在國中分數 課程上的安排，內容精簡但計算過程較複雜，老師們迫於時間上的壓力，無法再 重述分數的基本概念及性質，卻又無奈的要走完進度。而數學概念是日常生活所 接觸的概念中最抽象的（林碧珍，1985）。教師最重要的任務就是增加學生的概念，
加強其思考的能力以及解決問題的能力（黃台珠，1984）。如果教師在教學過程中 能有效促進概念的發展及連結，對於活化教學及增進學生數學概念的連結有極大 的幫助。
回溯學生學習的歷程，從國小二年級開始學習分數的概念，到國小六年級應 具備簡單易分母的四則運算，接著七年級再加入負分數的概念，符合螺旋式的課 程設計，由簡入深，但是在教學過程中常發現學生分數的計算能力薄弱，特別是 加入負分數的計算，學生強記「負負得正」、「負正得負」、「正正得正」、「正負得 負」，時間久了就忘了口訣，甚至在去括號時不知如何處理負號的問題，負數的加 入在整個國中數學課程是非常的重要，而且在未來更高層次的數學學習過程更是 不可或缺的基石。
黃建榮在五、六年級負整數教學可行性之探討中認為，學習是需要情境來配 合的，而擁有愈長的情境時間來學習，效果是愈好（黃建榮，2004）。但是在教學 的現場會發現，七年級學生入學前已學過分數的運算，但是學完國中分數課程後，
能跟上進度或正確解答的人並不多，如何能強化學生既有的分數運算能力，並連 結新的數學知識，是在教學過程中過程中值得探討的問題。
分數的四則運算在國中及高中的教材裡皆佔有極重要的地位，凡是有關計算 的問題皆用得到它，相較於現在的負數教學，除了整數的四則運算加入負數的觀 念外，就是負分數的教學，而學生對於分數運算不熟悉的條件下，再加入負分數 的概念，使得許多七年級學生開始對數學產生抗拒。
然而，學習至此，真正的考驗才剛開始，分數四則運算後不論在解一元一次 方程式、二元一次方程式或多項式的四則運算等等，無一不使用到分數的運算。
李家同（2006）認為數學之所以難，是因為數學有所謂基礎問題，學生如果不會 做某一類的題目，其實是因為基礎不夠好的緣故。
而四則運算是代數的基礎，分數的四則運算難度更勝於整數的四則運算，如 果分數的四則運算不熟，不僅無法正確解析題目，更會打擊學生學習其他數學項 目的意願，對日後的影響甚鉅。分析國小數學教材，發現分數單元從二年級開始 即進入分數的初步認識，一直延續到六年級較高層次的概念，就可以知道分數是 一種既複雜又重要的概念，學生對分數不能理解，會阻礙他們在國小以後的數學 學習發展，這是因為數學概念具有抽象及前後連貫的特性（林碧珍，1988）。
國內以往的研究（楊壬孝，1989；呂玉琴，1991）也顯示，學生對分數概念 難以理解，分數的符號和分數的意義疏離，只會機械式的使用分數算則來解題而 不了解算則的意義等。
分數的概念及運算是一項很重要的數學知識及技能，小從日常生活中「分」
的概念、到科學的知識領域及高層次的學術研究，皆有分數的身影。此外，學生 一直停留在處理整數的數學方法，導致在分數學習上有諸多困難與迷思（洪繼賢、
劉祥通，2004）。學生在解這些分數題目時，常常會因為自己所經驗到的一些非正 式的分數知識，而對這些子概念產生了不同程度的錯誤想法或迷思概念（張朱俐，
2006）。
本研究利用分析學生答題的方式來呈現國中學生學習分數概念的情形，歸納 錯誤類型及題型，以了解學生的思考模式及解題策略和表達方式，期能做為日後 輔助學生學習的參考，此為本研究的主要研究動機。
第二節 研究目的與問題
本研究的目的是透過不同的教學設計，找出適合學生學習分數四則運算的教 法，特別是國中七年級加入了負分數概念，希望透過概念教學，可以讓學生在分 數學習上能有好的開始，降低運算上的錯誤。經由運用概念教學法，融入國中一 年級數學分數四則運算之實驗成效，達成以下研究目的：
一、瞭解概念教學設計介入前，國中學生分數四則運算的錯誤類型。
二、探究概念教學設計介入後，實驗組與控制組學生在分數四則運算單元的成效。
三、探討不同的概念教學設計在分數四則運算單元上的成效。
根據以上研究動機與目的，本研究的研究問題分述如下：
一、國中學生分數四則運算的錯誤類型為何？
二、概念教學設計的教學活動與對照組教學活動的錯誤題型有何異同？
三、概念教學設計的教學活動與對照組教學活動對國中學生分數加、減、乘、除 的學習成效如何？
四、不同的概念教學設計活動對國中學生分數加、減、乘、除的學習成效如何？
第三節 重要名詞釋義
一、分數的四則運算
指的是異分母的加、減、乘、除四則運算，不包括分數的四則混合及指數運 算。在本研究中分別是指加、減、乘、除之測驗題，學生得分越高表示學習效能 越好。
二、概念教學
運用大量正例與反例進行教學，本研究的概念教學方法是指「概念直接講述 法」（direct presentation approach）及「概念獲得法」（concept attainment approach）。
三、概念直述法
概念直接講述法（概念直述法）是指由教師直接舉例說明概念的定義和重要 屬性，教師的角色是知識的主導者，在教學過程運用大量的正例和反例，目的在 幫助學生有效學習。在本研究的主要教學程序是：（1）教材分析，建立概念架構；
（2）瞭解學習者既有概念；（3）選定概念；（4）提示概念名稱；（5）界定概念屬 性；（6）提示正、反例；（7）辨明屬性，檢驗正、反例；（8）整理概念屬性；（9）
評量與回饋。後測的得分越高，表示「概念直述法」的教學效能越高。
四、概念獲得法
「概念獲得法」是指教師提供大量的正例和反例，學生從中歸納出重要的屬 性並自行下定義，教師只是提供教材和協助。主要的目的在幫助學生界定新概念。
其教學程序是：（1）瞭解學習者概念發展水準；（2）分析教材內容；（3）選定概 念；（4）提示未標示的例子；（5）學生自行將例子分類，形成概念；（6）師生討 論，界定概念名稱；（7）透過比較界定概念屬性；（8）整理概念架構；（9）評量 與回饋。後測的得分越高，表示「概念獲得法」的教學效能越高。
五、錯誤類型分析
指學生在解答的過程中運用不同的解題方法，而產生不同種類的錯誤類型，
本研究收集受試者在「分數四則運算測驗」作答的結果，進行錯誤類型分析。
六、錯誤題型分析
根據分數的加、減、乘、除搭配「真分數」、「帶分數」、「整數」與「正、負」
性質符號作為題型設計，收集受試者在「分數四則運算測驗」作答的結果，進行 錯誤題型及類型分析。
第四節 研究範圍與限制
本研究以台東縣某國中七年級學生為對象，進行數學分數課程融入概念教學 之實驗研究，探討三組學生在實驗前、後其分數學習表現之差異情形。在研究過 程中，由於一些難以控制的客觀因素，產生對於研究範圍及研究限制等方面的影 響，茲分述如下：
一、研究範圍
本研究透過國內外文獻的分析，歸納出一般學生分數加、減、乘、除的錯誤 類型與「正、負」分數的概念。因此本研究的的研究範圍，主要偏重在探究學生 分數「加、減、乘、除」的運算能力與「正、負分數」的概念。為顧及學生的起 點能力，測驗題目以簡單異分母的題型為主，不含分數四則運算的混合題型及分 數的指數律運算類型。
二、研究限制
（一）研究對象
因考慮研究者時間、能力及現實環境等因素。本研究以台東市某國中一年級 學生為取樣對象。實驗組為研究者任教班級，控制組為同校另一教學理念相同之 數學教師任教之班級作為樣本。本研究的研究對象，僅限於研究者任教學校之部 分一年級學生，故研究結果的外推，應採謹慎與保留的態度。
（二）實驗工具的限制
本研究所用之分數運算問題，僅限於分數的「加、減、乘、除」法，不包括 四則運算的混合運算，因此在解釋不是本研究所指分數數學運算問題時，應有所 保留。
（三）教材的限制
本研究採用七年級上學期翰林版的教材進行教學，故研究結果僅限推論至相 同的教學材料中。
（四）教學的限制
本研究採用概念教學方法的教學活動，是針對分數的「加、減、乘、除」融
第二章 文獻探討
本研究的主要目的在探究國中學生分數加、減、乘、除的錯誤類型及錯誤題 型，並探討「概念教學法」對學生解題表現的影響；因此，必須對以下課題進行 文獻探討。首先是分析分數意義與分數概念，其次是分析分數課程，之後則是探 討分數四則運算錯誤類型及錯誤原因，最後再進行概念教學之相關研究。綜合以 上四部分的文獻探討，以前人的智慧結晶方能進一步對國中學生分數四則運算的 錯誤類型及犯錯的原因，做深入的探究。
第一節 分數概念的相關研究
一、分數的意義
分數的學習是抽象不易學習的，關於分數概念的研究，國內外已有不少的研 究結果，依照分數的意義來分類，大致包括：部分與整體；子集合與全體集合；
數線模式；商模式；比與比值模式，今將相關文獻概述如下：
（一）分數當作全部與部分模式（整體與部分模式）
分數有部分與整體並置的意涵。在整體與部分模式中是屬於連續量的概念，
是部分與整體相對比較的結果（林碧珍，1987）。
（二）子集合與全體集合（集合與部分集合模式）
在子集合與全體集合模式中是屬於離散量的概念，此時將分數表徵成一個集 合等分後，其中的幾組與該集合相對比較的結果（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳 毓瑩，2009）。
（三）商的意義（商模式）
是兩數相除結果的表示，從等分割活動的觀點來看，分數在等分除法中等分 除的意義是一單位等分的結果（呂玉琴等人，2009）。
（四）數的意義（數線模式）
是數線上一個點所代表的數值，也就是分數可在數線上找到一個相對應的 點，包括整數系、小數及有理數（呂玉琴等人，2009；劉祥通 2007）。
（五）比的意義
是兩個集合（離散量）或兩個量（連續量）的比較結果（呂玉琴等人，2009）。
（六）運算子的意義
視為一種操作或函數，例如 （呂玉琴等人，2009；劉祥通，2007）。 研究分數概念的文獻相當多，茲整理列表如下：
表 2-1-1
分數概念的相關文獻
研究者 年代 研究結果
楊孝任 1989 一個整體之相等部分、一個集合等分組後的幾 組、線上的一個數值、兩數相除的結果 林碧珍 1990 分數視為某區域的一部分、看成小數、商、數
線上的數值、集合的一部分、用來比較、單位 分數的相加、看成比值當作運算、當作度量 湯錦雲 2002 部分/全部、線上的一個數值、整數相除的結
果、比例與比值、分數是一個數
由以上文獻可知分數隨著不同的情境具有不同的意義，造成學生在分數概念 上有許多學習困難，為避免學生在學習上的困擾，教師應在課程內容上做更深入 的了解，讓學生了解分數的意義，降低學生學習困難，因此分數的教學問題是值 得探討的議題。
二、學童分數概念的發展
「概念」（concept）是一種心理表徵，也是人類思考和了解的工具，亦即學習 的基本單位（何俊青，2003）。很多數學概念，來自於我們的日常生活經驗，這些 經驗經過抽象化後形成初級概念，初級概念再經抽象形化後成次級概念。從分數 意義的複雜性，我們不難理解學童對分數概念的學習困難。
Piaget 研究四到七歲兒童對面積的分割行為分數概念的發展，以探討兒童如何 建構部分與全體的關係，來形成分數的概念，國外學者也有對學童分數發展提出 相關研究，依發展順序整理如下（引自湯錦雲，2002）：
（一）四歲到四歲半的兒童
將一物分成兩份是有困難度的，在分割之前並不會有任何預想的計畫。此階 段的最大特徵是缺少部分與全體之間的任何關係，兒童不會想到他所接觸的部分
是某個全體之中所含的部分元素。對於不同形狀之分割，為長方形比較容易，圓 形次之，正方形較難。
（二）四到六歲的兒童
具有將簡單物體分半的能力，但將物體分成相等的三部分以上的能力還未表 現。如果原來全體的大小增大了，分割成一半的能力更要延緩，在分割圖形中利 用長方形來分割的比較容易解決。
（三）六到七歲的兒童
具有將整體分成三等分的能力，此年齡的兒童不必利用嘗試錯誤的方法，但 僅限於操作上的了解，還是停留在具體的操作層次，在這個階段的兒童具有整體 性的保留概念，以一個餅為例，他們能夠了解各個分割塊數集聚所得到的總量與 整個餅是一樣的。
（四）十歲左右的兒童
能進行六等分的分法，首先是將物體分成三等份，然後再將所分的三等份，
每塊用二分法再分一次。
（五）十到十二歲的學生
對「子集合－集合模式」與「部份－整體模式」的學習難度相同。對於分數 是「比值模式」具有除法的概念所以發展較「部份－整體模式」及「子集合－集 合模式」的發展為慢。
（六）十一歲年齡群的學生
約有一半的學生對於「子集合－集合模式」的分數概念很差而且對於分數是 除法運算結果的概念很弱。
（七）十二歲到十三歲的學童
有 89﹪能知道圖形等分須等面積，而不是任意分割。
（八）十二到十四歲的學生
僅有 13﹪能確認 ，不了解分數具有除法的意義。
（九）十二到十五歲學生的分數概念有下列現象
1. 同一種分數概念放在應用題與計算題上，學生沒辦法將之連結。分數概 念無法活用，以至於學習效果大打折扣。
2. 不認為分數是一個數，而是將分母與分子視為獨立的數。
3. 圖形雖然能幫學生瞭解某方面的分數概念，但會對別的方面的分數概念 造成困擾，例如常用圓形作分割示範，學生誤認為只有圓形才能等分割。
4. 對於等值分數有不熟悉的困擾，形成不會通分的情況。
5. 雖然能處理簡單的等價分數，但卻無法將圖示的等價分數與計算法的等 價分數相連結，也就是分數的圖形表徵無法和數字表徵連結。
6. 無法將部份－全部的意義遷移到分數是二個數相除的結果及子集－集合 的意義上，影響等值分數的概念及通分的概念。
（十）十三到十七歲中學生所缺乏的分數概念 1. 對分數的意義不瞭解，只能機械式的解題。
2. 對分數缺乏數感，面對測驗題時無法判斷解題方法。
3. 不了解分數是數，在做分數加減時會產生分母加（減）分母，分子加（減）
分子的現象。
4. 不知分數有大小之分，會以分母或分子的大小作為判斷的依據。
5. 以機械式的記憶規則來完成計算，不瞭解分數的意涵。
國內楊壬孝（1989）在國小五年級、六年級、國中一年級的學生分數概念研 究中指出，學生對分數概念的認知，會隨著分數概念的增加而層次提高。我們的 課程應提供更多的活動來促進學生分數概念的發展。藉由課程或教學活動幫助學 生建構分數的知識，了解學生實際發展的層次。
Piage, Inhelder, and Szeminska（1960）並簡要地指出，學童在瞭解分數運算之 前必須具有下列七個子概念：
1. 整體是可分割的且能由可分的部份所組成。
2. 一個分數蘊含所指的份數。
3. 再細分的部分必須被用盡沒有餘數。
4. 所指定的份數與全體切割數之間有固定的關係。
5. 當兒童操作了再細分的部分概念時，了解到此細分部分是全體的一部份 同時此細分部分本身也是一可再分割的全體。
6. 不論如何細分其全體始終不變。
7. 所有的部分必須相等的。
可見兒童分數概念的發展具有層次性，四歲到六歲的兒童才開始有把東西分 一半的能力，六歲到七歲的兒童具有整體性的保留概念，十歲左右的國小四年級
兒童才知道怎麼做六等分，十一歲的兒童對分數除法的運算結果概念薄弱，而且 兒童在了解分數運算之前必須具有一些子概念，因此應等兒童在至少四年級以 後，具備了一些分數的基本概念再開始學習分數運算為宜。在實際的教學過程中 發現，七年級的學生雖然學過異分母的四則運算，但對於分數的概念仍然一知半 解，形成兩極化的反應，有些學生只會機械式的解題，卻不清楚分數的運算法則，
有些學生甚至直接放棄這一部份的學習，本研究中希望能在眾多錯誤類型中，找 出分數運算的真正意義，進一步幫助學生在這方面的學習。
三、學童運思方式的發展
82 年版數學課程將國小學童運思方式，依序分為序列性合成運思、累進性合 成運思、部分—全體運思、測量運思及形式運思等五個發展階段，分述如下：
（一）序列性合成運思
此運思將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位（例如：10 或 16）。
（二）累進性合成運思
此運思可以使用一個集聚單位（例如：20 或 14）為基礎，繼續合成新的「1」，
而形成新的集聚單位，例如以 12 為起點，繼續合成 2 個「1」，而形成 14。
（三）部分—全體運思
此運思掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位（例如： 10 或 100）
間的部份—全體關係。例如，能區辨 3 個「十」與 3 個「一」這兩個 3 具有不 同意義，而將 33 視為 3 個「十」與 3 個「一」的合成結果。
（四）測量運思
此運思以掌握「1」與集聚單位（例如：5 或 50）間的部分—全體關係為基 礎，進而能掌握集聚單位（例如：「5」與以此集聚單位為單位量所合的另一個新 集聚單位（例如： 10 個「5」，也就是「50」）間的部分—全體關係。
（五）形式運思
以掌握兩個集聚單位間的關係為運思的起點，形成新的單位來描述此關係，
亦即掌握比值或有理數的概念。
四、分數概念與運思活動的關係
甯自強（1993）指出分數的建構需配合合成運思才算完整，根據兒童在不同 階段的運思方式所呈現的分數概念與分割活動為基準，將分數詞做為區分兒童的 分數詞意義區分如下：
（一）序列性合成運思與分數的前置概念
1. 是指兒童雖然具有數概念和分割活動，但其數概念只是序列性合成運 思。分割活動的結果，未能將子分割單位數值化，因為此時並未具有分 數概念，因此稱為分數概念的前身。
2. 在分數概念的前身時期，兒童只是靠知覺做判斷去比較分數的大或小。
將其撕斷成一個撕得的部分及一個撕餘的部分。撕得的部分與撕餘的部 分不一定相等。另外，由於兒童無法使用不同分數詞去表示不同分割情 境的意義，如「一半」對兒童而言，只是將一物件分成兩部分，並不代 表將物件等分成兩等份。
（二）累進性合成運思與起始單位分數
是指兒童具有累進性合成運思時的內嵌數概念，但尚無子分割單位數值化的 概念。由於兒童能將一單位量內嵌於全體做比較（如：兒童知道將一連續量等分 成 3 份，其中的 1 份），顯示兒童能將子分割的結果單位化。但是，此時的單向「部 分—全體」關係並不明確，即部分是在全體之中，混淆部分和全體的關係。此階 段兒童尚無法正確的運用「部分—全體」運思，因此若問兒童 1/3 加 1/3，由於 1 被複製時，分割數也同時被複製，兒童此時會以 2/6 來回答。
（三）部分─全體運思與單位分數
當兒童把 1/3 看成「以三份為單位的一份部分」，所具備的則是單位分數的概 念。造成「起始單位分數」與「單位分數」概念間的差異，主要來自於兒童是否 已能利用部分—全體運思（甯自強，1997a；Ning, 1992）來同化數的情境。此時最 主要的特徵是：自整體中取出一個部分後卻不會摧毀其整體。因此，當「起始單 位分數」質變成「單位分數」之後，兒童才能開始了解所謂的「真分數」概念。
（四）部分─全體運思與加法性分數
此時兒童具有「部分—全體」運思連同子分割單位轉換活動，因此，能將 1/4 的數詞看成「四等份中的一份為全體中的一份部分」。可以理解 8 個積木的 1/4 是 2
個，8 個積木的 3/4 是 6 個。然而，值得注意的是，8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 雖然相同，但是 3/4 和 6/8 是不同的。因為 3/4 和 6/8 是源自不同的子分割活動。
此外，由於此時兒童能運思分數的累加活動，如：1/3＋1/3 是 2/3，因此稱為 加法性分數。在加法性分數中，兒童具有單向「部分－全體」運思。
（五）測量運思與巢狀分數
巢狀分數是指在分數的活動中具有部分－全體運思，能處理單位分數的內容 物不是 1 個物的情境、可以用等分割的方式來思考且可以理解等值分數的形成。「巢 狀分數」與「加法性分數」的主要區分在於其部分全體關係可以出現在單位分數 的內容物為多個離散量的情境中，例如：若在遮布下放置 4 個花片，在遮布外放 置 2 個花片，問所見的 2 個花片是全部的三分之一，全部是幾個時，兒童知道是 6，
此時的單位分數的內容物是 2(2 個花片是全部的三分之一)且可以察覺到 8 個積木 的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一份量的測量值時，分數單位已由加法性分數質變成 巢狀分數，而巢狀分數則是測量運思的產物。因此，我們發現，能將分數應用於 單位分數的內容物為多個離散量的情境中，是了解等值分數的根本（甯自強，
1997b）。
綜合以上文獻得知，兒童對分數概念的發展是循序漸進的，在分數概念的前 段時期，無法進行等分割活動也無法比較分割後的分得量與單位量，當兒童能了 解分割的意義開始進行分割活動後，就能將等分割後的分得量與單位量放在一起 比較，此時便具備起始單位分數概念，但對單位量的掌控尚不明確；當兒童已能 明確的掌握單位量與分量之間的關係時，便具有加法性分數的概念，但此時尚缺 乏通分的概念；當兒童能以通分的概念來進行分數的解題活動時，則具備了巢狀 分數概念，但仍缺乏等值分數的概念；然而，當兒童能以共測單位理解不同分數 詞之間的等值或次序關係，知道分數詞之間的稠密性，便進入有理數概念的階段。
從本節文獻研究得知，兒童分數概念的發展是循序漸進的，學生在學習分數 運算前如能對 Piaget 分數運算的七個子概念有較深入的認識，而且教學課程能與 學生分數概念的發展相結合，再搭配學生運思形式，才可以發揮最大功效。
第二節 中小學分數課程分析與相關研究
本節主要在說明分數的相關教材內容，以下是九年一貫分數能力指標暫行綱 要（90 暫綱）、九年一貫分數能力指標 92 年正式綱要（92 正綱）及九年一貫分數 能力指標 97 年正式綱要（97 正綱）與分數相關的能力指標，分列如下：
一、九年一貫分數能力指標暫行綱要（90 暫綱）教材內容
從表 2-2-1 可知 90 暫綱分數概念教學年段，在二、三年級時進行單位分數的 內容物為單一個物的真分數概念；四、五年級時進行單位分數的內容物為多個物 的真分數概念、假分數、帶分數及分數數線，90 暫綱分數教材範圍整理如表 2-2-1：
表 2-2-1
九年一貫分數能力指標暫行綱要（90 暫時綱要，2000）
代碼 能力指標
N-1-7 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體生活情境中（包含連續量、離散 量），能以真分數（分母在 20 以內）描述內容物為單一個物的幾份，並 能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成、分解活動（和<1）
N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分 數內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解活動，並 理解等值分數的意義
N-2-6 在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，並能解決分數的合 成、分解以及簡單整數倍的問題
N-2-19 能利用等分好的線段上，做出一條簡單的整數數線，並能進一步延伸至 簡單的分數和小數的數線
N-3-3 在具體情境中，理解通分的意義並運用通分解決異分母分數的合成、分 解問題
N-3-4 在具體情境中，解決分數乘以分數的問題，進而形成分數倍的概念 N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結果（除的結果為有限小數）
N-3-7 能用分數倍的概念，整合以分數為除數的包含除和等分除的運算格式
註：第一碼 N 代表數與量單元；第二碼代表階段，第一階段是一～三年級，第二階段是四、五年級，第三階 段是六、七年級；第三碼代表指標的流水號。
二、九年一貫分數能力指標暫行綱要（92 正綱）教材內容
從表 2-2-2 可知 92 正綱分數概念教學年段：二年級時做分母在 12 以內的單位 分數；三年級時開始認識分數；四年級時能認識真分數、假分數與帶分數；五年 級認識分數數線及簡單異分母加減；六年級能做分數的除法，92 正綱分數教材範 圍整理如表 2-2-2：
表 2-2-2
九年一貫分數能力指標（92 正式綱要，2003）
能力指標 分年細目 能力指標
N-1-109 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減 問題
2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，
並比較不同單位分數的大小
3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數 的比較與加減問題
N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵
4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整
數倍計算，並解決生活中的問題
4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分 數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶 分數的整數倍的計算
N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義
4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用 來做簡單分數與小數的互換
5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算
N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減
（續下頁）
能力指標 分年細目 能力指標
N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題
5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中 的問題
N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上
N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數 約成最簡分數
6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的 意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並 能將分數約成最簡分數
7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、
最簡分數的計算
N3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中
的問題
N-3-11 能熟練分數的兩步驟四則混合計算
6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算
7-n-12 能理解負數的特性並熟練正負數（含小數、分數）的 四則運算
註：第一欄中的一碼 N 代表數與量單元；第二碼代表階段，第一階段是一～三年級，第二階段是四、五年級，
第三階段是六、七年級；第三碼代表指標的流水號。第二欄中的的第一碼代表年級；第二碼 n 代表數與 量單元；第三碼代表指標的流水號。
三、九年一貫分數能力指標暫行綱要（97 正綱）教材內容
從表 2-2-3 可知 97 正綱分數概念教學年段：二年級開始進行平分概念的教學；
三年級認識分數並能做同分母的比較；四年級認識帶分數、假分數及分數數線；
五年級學會簡單異分母加減；六年級能理解除法的意義；七年級加入負分數的概 念，並能熟練正負分數的四則運算，97 正綱分數教材範圍整理如表 2-2-3：
表 2-2-3
九年一貫分數能力指標（97 正式綱要，2008）
能力指標 分年細目 能力指標
N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動
2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動 N-2-09 能在具體情境中，初步認識分數
3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的 比較與加減問題
N-2-10 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整 數倍計算，並解決生活中的問題
4-n-08 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數 的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的 計算
N-2-11 能理解分數之「整數相除」的意涵
4-n-07 能理解分數之「整數相除」的意涵 N-2-12 能認識等值分數，並做簡單的應用
4-n-09 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來 做簡單分數與小數的互換
N-2-16 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數 4-n-10 能將簡單分數標記在數線上
能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的三步驟問題
6-n-05 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計 算
N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數 化成最簡分數
6-n-02 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數 6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數 N-3-06 能理解等值分數、約分、擴分的意義
5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算
（續下頁）
能力指標 分年細目 能力指標
N-3-07 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題 5-n-07 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減
N-3-09 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題
5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的 問題
N-3-10 能理解分數（含小數）除法的意義及計算方法，並解決生活的問題 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的
問題。
6-n-04 能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生活中的 問題
N-3-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上
N-4-02 能熟練求質因數分解、最大公因數、最小公倍數的短除法，並解決 生活中的問題
7-n-03 能以最大公因數、最小公倍數熟練約分、擴分、最簡分 數及分數加減的計算
N-4-08 能熟練正負數的四則混合運算
7-n-06 能理解負數的特性並熟練數（含小數、分數）的四則混 合運算
註：第一欄中的一碼 N 代表數與量單元；第二碼代表階段，第一階段是一～二年級，第二階段是三、四年級，
第三階段是五、六年級、第四階段是七～八；第三碼代表指標的流水號。第二欄中的的第一碼代表年級；
第二碼 n 代表數與量單元；第三碼代表指標的流水號。
四、分數概念的教學歷程
透過能力指標的分析，可以清楚看出各階段分數概念教學的重點，若能搭配 各學期的教學單元（表 2-2-4），更能了學生的所擁有的先備知識。
由表 2-2-4 可知，學生在各階段分數概念學習的重點，並且在七年級後即告一 段落；因此，七年即為學生學習分數概念的最後一學年，如若不能在這一學年中 建立分數概念，則往後數學的學習將形成斷層。
表 2-2-4
各年級分數教學單元的整理：
年級 上學期 下學期
三年級 分數 1.認識分數 2.1 是四分之幾
3.分數的比較大小（同分母）
4.解應用題
分數的加減 1.認識真分數 2.全部的幾分之幾 3.同分母分數的加減
四年級 分數的運算
1.真分數與假分數的加減 2.真分數與假分數的整數倍 3.帶分數的加減
4.分數的兩步驟運算 5.分數的兩步驟運算
等值分數
1.整數相除用分數表示 2.認識等值分數
3.簡單異分母的比較 4.用等值分數記錄問題
五年級 擴分與約分 1.擴分 2.約分
3.通分比大小
4.分數的加減（異分母）
分數的乘法 1.分數成以整數 2.整數乘以真分數 3.真分數乘以真分數 4.帶分數和假分數的乘法 5.分數的分配律
六年級 分數的除法 1.最簡分數 2.分數除以整數 3.同分母分數相除 4.整數除以分數 5.異分母分數相除 6.帶分數的除法
7.被除數、除數和商的關係
分數的四則運算
1.兩步驟分數加減（通分→加減運算）
2.兩步驟分數乘除 3.分數四則混合運算
七年級 分數的運算
1.正負分數的加減混合計算 2.正負分數的乘除混合計算 3.正負分數的四則混合運算
分數的四則運算
1.兩步驟分數加減（通分→加減運算）
2.兩步驟分數乘除 3.分數四則混合運算
五、課程分析
分析 90 暫綱、92 正綱及 97 正綱，可以將分數的正規教學歷程歸納出以下幾 點：
（一）帶分數和假分數的互換
1. 89 暫綱使用合成或分解的方式進行帶分數與假分數互換。
例如
2. 92 及 97 正綱引入分數為整數相除的概念，來進行帶分數和假分數的互換。
例如
（二）分數的加減
1. 89 暫綱六年級開始學習異分母的加減。
2. 92 正綱六年級學習異分母分數的合成、分解。
3. 97 正綱五年級學習異分母加減的概念與熟練分數加減運算。
（三）分數是整數相除的結果 1. 89 暫綱在六年級時學習。
2. 92 正綱於四年級談到平分的處理，用以理解整數相除的概念。
3. 97 正綱於五年級時談到除數為整數的分數除法。
（四）分數的乘法運算
1. 89 暫綱在國小階段進行到分數的分數倍。
2. 92 正綱在國小四、五年級已學習分數的乘法。
3. 97 正綱四年級加入分數的整數倍，五年級進行分數乘法的熟練。
（五）分數的除法運算
1. 89 暫綱六、七年級進行分數的除法。
2. 92 正綱五、六年級進行分數的除法。
3. 97 正綱五、六年級進行分數的除法。
（六）化為最簡分數
1. 89 暫綱於第二階段出現等值分數的意義，未特別強調化成最簡分數。
2. 92 正綱強調化為最簡分數並於六年級時進行課程。
3. 97 正綱強調化為最簡分數於六年級時進行程課程。
由此節的文獻可知分數概念的學習已在國小階段有完整的課程規劃及設計，
在小學畢業前應能熟練簡單分數四則運算，以便國中階段時能與負分數的概念相 結合。在小學畢業前應能熟練簡單分數四則運算，分數學習乃是國小階段的延續，
首先要引入的是「負數」的觀念，對學生而言，這是一個抽象且難理解的概念，
因為在日常生活的具體情境中幾乎看不到「負數」的存在。因此本研究針對引入
「負數」的觀念來探討國中學生解決分數四則運算問題時的表現情形。
第三節 分數四則運算錯誤類型及錯誤原因相關研究之探討
早期的心理學加認為錯誤有兩種：一種是不小心的錯，稱為疏忽；另一種是 由於學習錯誤的觀念或程序而產生的錯誤，稱為系統性錯誤。以下就學生在解分 數四則運算過程中，所產生的錯誤類型及錯原因兩方面進行探討。
一、分數四則運算的錯誤類型
學生學習分數困難的原因在於學生對分數的意義不了解，不會使用等值分數 的規則應用公分母通分、帶分數轉換成假分數以及對分數計算的運算規則不熟 悉，以下分別就學生分數運算錯誤的類型之加法錯誤類型、減法錯誤類型、乘法 錯誤類型、除法錯誤類型進行相關研究列表整理。
（一）加法錯誤類型
以下是國內外學者針對學生分數加法運算錯誤類型的研究，整理如表 2-3-1：
表 2-3-1
加法運算錯誤類型
作者 年代 錯誤類型
劉天民 1993
1. 通分的錯誤。例如：
2. 被加數加上加數的分子成為答案的分子 例如：
湯錦雲 2002 1. 被加數分子加上加數的分子、分母成為答案的分子、分母 例如：
2. 運算符號的錯誤。例如：
王瑞慶 2003 1. 認為兩異分母分數的加減，可以將兩分數分子部份和分母部 份分開來，各自去做加減運算。例如：
2. 認為兩分數相加跟分數相乘一樣，可以用約分的方法把不同 分數分子與分母的公因數消去。例如：
3. 分數擴分時，看錯乘以分子的乘數。例如：
陳晚蓁 2004 分數相加時，會有分子加分子、分母加分母的情形 陳的慶 2010 1. 通分的錯誤，分子乘錯通分的倍數
例如：
2. 去括號時，負號消失。例如：
3. 負數加正數時，保留負號，其餘分數相加。例如：
4. 誤用乘法中的「負負得正」。例如：
Painter
（引自湯 錦雲，
2002）
1989 1. 通分時，求公分母的錯誤
2. 帶分數化成假分數後，分子與分母各自相加
3. 分母進行通分後，分子不變，直接分子加分子、整數加整數 例如：
4. 分母相乘、分子相加。例如：
由表 2-3-1 的資料可歸納出加法錯誤的類型大致有以下幾類：
1. 分子加分子，分母加分母。
2. 求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。
3. 負數乘以負數等於正數的規則運用到加法運算。
4. 通分的錯誤。
5. 帶分數化成假分數的錯誤。
6. 計算的錯誤。
7. 受乘法影響的錯誤。
（二）減法錯誤類型
以下是減法錯誤類型，資料整理如表 2-3-2：
表 2-3-2 減法錯誤類型
作者 年代 錯誤類型 劉天民 1993
1. 直接計算的錯。例如：
2. 運算的錯誤。例如：
3. 帶分數化成假分數的錯誤。例如：
湯錦雲 2002 1. 例如：整數減帶分數，只減整數部分，分數部分用加法 計算。例如：
2. 計算錯誤。例如：
3. 借位的錯誤
例如： ？時， ， ，答：
王瑞慶 2003 1. 減法運算時，忘記或疏忽被減數有被借位 例如：
2. 在運算過程中，沒有注意到運算子的符號，減法的問題 用加法來算
（續下頁）
作者 年代 錯誤類型 尤志弘
簡清華
2008 當分數部份不夠減時，需要向整數借 1 的計算，易受到 10 進位的影響。例如：
陳的慶 2010
1. 減負數時沒變號。例如：
2. 正數減負數時，保留負號，其餘分數相減。例如：
Painter
（引自湯 錦雲，
2002）
1989 1. 通分後，計算時分子用大數減小數 例如：
2. 分母減分母、分子減分子，而且是大數減小數 例如：
3. 求出公分母後放分母，分子為原分子相減 例如：
4. 借位的錯誤：一是向整數借 1 時，卻在分子加 10；二 是向整數借 1 時，忘了在整數部分減 1
5. 假分數化成帶分數的錯誤 例如：
6. 大數減小數的錯誤。例如：
依據表 2-3-2 歸納減法的錯誤有以下幾項：
1. 通分後，分子為大數減去小數。
2. 分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。
3. 求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。
4. 計算時，完全用大數減小數。
5. 負數乘以負數等於正數的規則運用到減法運算。
6. 通分的錯誤。
7. 帶分數化成假分數的錯誤。
8. 計算的錯誤。
9. 約分的錯誤。
10. 借位的錯誤。
（三）乘法錯誤類型
以下是乘法錯誤類型，資料整理如表 2-3-3：
表 2-3-3 乘法錯誤類型
作者 年代 錯誤類型
劉天民 1993
約分的錯誤。例如：
湯錦雲 2002
1. 假分數化成帶分數的錯。例如：
2. 只做真分數部分的乘法，整數部分則不相乘。例如：
3. 被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母則不 相乘。例如：
4. 乘數的整數部分用乘法，真分數部分用加法。例如：
？時，4 ， 陳晚蓁 2004 1. 不同的分數算則易混淆使用
2. 帶分數乘以帶分數時，會將整數與分數部分分開處理 蘇聖峰 2005 1. 沒有將帶分數化成假分數，直接整數、分子、分母各自
相乘。例如：
2. 負號處理的錯誤。例如：
陳的慶 2010 負號乘以負號，得到負號。例如：
黃寶葵 劉曼麗
2012 1.乘法受到除法的影響，產生將乘數顛倒之後再相乘的情 形。例如：
2.在整數乘以分數中，出現整數同乘以分子和分母的情形
（續下頁）
作者 年代 錯誤類型 Painter
（引自湯錦 雲，2002）
1989 1. 將第二個數顛倒再計算 例如：
2. 交叉相乘得到新分子分母 例如：
3. 分母相乘，分子作加法運算。例如：
4. 帶分數乘整數時，出現整數、分數自行做乘法運算 綜合表 2-3-3 乘法錯誤類型大致可歸納出下列幾項：
1. 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。
2. 分數乘整數時，分數不變，只處理分數部分。
3. 帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法運算。
4. 帶分數乘帶分數的錯誤，整數相乘再加分數相乘。
5. 受除法影響，除數顛倒後才相乘。
6. 帶分數換成假分數的錯誤。
7. 計算上的錯誤。
8. 負號處理的錯誤。
9. 整數計算的錯誤。
（四）除法錯誤類型
以下是乘法錯誤類型，資料整理如表 2-3-4：
表 2-3-4 除法錯誤類型
作者 年代 錯誤類型
劉天民 1993 1. 除法改成乘法，除數未顛倒的錯誤 例如：
2. 誤認
（續下頁）
作者 年代 錯誤類型
湯錦雲 2002 把被除數當成分母，除數當成分子。例如：
蘇聖峰 2005 忘記除變成乘，除數要變成倒數 例如：
陳的慶 2010 1. 分數相除，被除數與除數直接約分 例如：
2. 負號除以負號，得到負號 例如：
黃寶葵 劉曼麗
2012 知道要將分數除法換乘分數乘法來計算，但因被所背的算是 混淆而未將除數顛倒後再相乘
Painter
（引自湯錦 雲，2002）
1989 1. 忽略被除數中的分母
例如： ，把被除數中的 4 忽略 2. 相消得 0。例如：
3. 帶分數除以一個分數時，整數不變，只處裡分數部分。例 如：
由表 2-3-4 資料可知除法錯誤類型大致可歸納出下列幾項：
1. 受乘法影響，除數顛倒後才相乘。
2. 帶分數換成假分數的錯誤。
3. 計算上的錯誤。
4. 負號處理的錯誤。
5. 整數計算的錯誤。
從國內之研究可以了解學生在分數四則運運算上可能發生的錯誤類型，根據 這些錯誤類型，探討與推測影響學生錯誤的原因，作為本研究測驗題型之參考。
二、分數四則運算的錯誤原因
在四則運算上，學生常會有錯誤發生，所以將相關錯誤原因之研究列表如表 2-3-5：
表 2-3-5
分數四則運算的錯誤原因
研究者 年代 研究結果
陳和貴 2002 1. 對於哪一個數該放在分子或分母的概念尚不清楚 2. 在處理分數的大小比較及等價分數時，僅以分子或分
母作為判斷的依據 湯錦雲 2002 1. 缺乏先備知識
2. 先前知識的錯誤類推 3. 概念之間缺乏連結
4. 學生以既有的錯誤想法作答 李浩然 2003 1. 概念的過度類化
2. 學生自行建構的錯誤 3. 概念的不瞭解
4. 文字語意的影響 5. 運算法則的錯誤 郭正仁
謝哲仁
2003
符號運算的混淆。例如： （ ） 和小學帶分數
的 混淆
黃寶彰 2003 1. 除數與被除數顛倒、分子分母顛倒、用錯運算所形成 的錯誤
2. 七年級對分數意義中「兩數相除的結果」概念也不清 楚，有不會用分數來表示兩數相除的結果或會用分數 來表示兩數相除的結果，但卻有除數與被除數數字顛 倒、分子分母顛倒所形成的錯誤
3. 在分數的運算方面，發現學童對分數的加、減、乘、
除的運算並不熟練，造成學童在解決有關分數運算的 應用問題時出現許多運算上的錯誤
（續下頁）
研究者 年代 研究結果
蘇聖峰 2005 1. 沒有確實了解分數四則運運算的規則，喜歡從簡單或 容易的部分著手，而造成錯誤
2. 在測驗中因過程運算錯誤、看錯題目或筆誤的錯誤 陸雅林 2007 分數乘除法中分數概念過度類化、運算法則錯誤 曾筱倩 2008 1. 先備知識的不足，例如不會通分
2. 新舊學習經驗的互相干擾，例如整數的運算法則類推 到分數運算法則
3. 定義概念不清楚，例如負分數的四則運算，不知最後 是正數還是負數
4. 粗心的錯誤 Booth（引自湯
錦雲，2002）
1984
1. 等價概念薄弱，誤認為 是 乘以 2 的結果 2. 將分數看成兩個分離的數，將 計算成
3. 無法將分數視為整數相除，在 的計算中會有 1 餘 1、 、 的答案產生
Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, &
Peled
1989 1. 將學過的運算規則類化並過度外推到其他情境，例如
「負負得正」類推到加、減法上（ ） 2. 忘記演算公式或規則限制，例如
綜合學者們的研究，錯誤的原因大致有：新舊知識無法連結、使用錯誤的運 算規則、先前知識的不精熟、所學的知識或技能與先前的知識錯用，這些都是造 成錯誤的原因，使得學習知識互相干擾，在教學及課程設計上應適時的提醒學生 會有這種錯誤產生，使得學生的學習獲得最好的效果。
因此，數學錯誤類型是分析診斷學生學習的第一個步驟，當教師掌握學生錯 誤學習的類型，就能在教學的過程中適時的給予學生提醒，盡早發掘學生的錯誤，
給予適當的補強。
根據分數錯誤類型及錯誤原因的探討，配合學生擁有的先備知識及搭配分數 課程的進行，本研究的施測題目，以簡單異分母的計算為主，加入負數的概念，
作為施測的內容。
第四節 概念教學相關理論與研究
本研究中以概念教學進行實驗研究，首要之重即是要探討概念教學的相關理 論，藉由對前人在概念教學相關理論與研究方面的探討，可概略得知概念教學的 意義與數學概念的選擇，再經由對概念教學法內涵的探討，可確定出概念教學設 計與實施步驟，並應用於本研究中。
一、概念的意義
對於概念的定義，近期有許多位學者提及，列舉如下：
張景媛（2007）認為概念是一種理念或一種抽象思考活動，是將一些由觀察 中得到的訊息加以分類的結果。
鄭麗玉指出「概念是包括主要屬性（attribution）或特徵（features）的同類事 物」；藉著概念的形成，可以將訊息進行歸類（categorization），據以進行推理、決 策獲問題解決等思考活動，故概念形成是思考的基礎。」（鄭麗玉，1993）。
然而概念並非是靜態的，是學習者接受外來資訊號將新訊息統整於原有的概 念架構中，發展出來的（郭重吉，1992）。因此概念會不斷修正，成長。
Ausubel 也有相同的看法，認為學習者在學習新概念時會，會用自己既有的概 念去核對新概念，並試圖將新概念納入自己既有的認知結構中，同化成為自己的 知識（張春興，1994）。
綜合上述學者的看法，概念會隨著新資訊的進入而不斷更新，學習者會應用 既有的知識將新資訊加以分類、連結。此外概念具有比較、分析、綜合、記憶、
聯想、推理等作用，所以能夠作為人類思考、理解的工具。
因此在教學的過程中，如能善用教學的巧，可以避免學生在概念上的錯誤認 知，達到有效的學習。
二、數學概念的選擇
單維彰與陳鵬昌（2001）認為數學概念的建立對數學能力有決定性的影響力，
現階段所學得的概念，將是下一個階段的得先備經驗。
而數學課程中最重要的就是強調基礎概念的建立與問題的解決，尤其是數學 概念的掌握，在於正確理解數學概念，進而獲得數學知識，培養數學能力。數學 課堂內師生互動及語言的使用會影響學生數學概念的學習（湯錦雲，2002）。
周筱亭（1991）認為數學活動應該讓學生有表達自己想法的機會，透過與他 人討論溝通的過程，建構自己的數學概念。
秦麗花（2007）強調數學教學是數學概念傳遞的過程，而數學概念是以數學 詞彙為核心的教學，必須重視此概念的精確性，並將文字詞彙與數字符號、圖示 產生連結，才能協助學生掌握概念的完整性。
一般教科書定義概念時，有時使用專有名詞，學生無法從字面去連結數學符 號，有時在定義專有名詞時又無法用精確的數學語言來說明，像這樣的教科書，
需要倚賴教師的指導，老師要熟悉教材的結構，也要掌握學生的認知水準，才能 進行有效的概念教學。
綜合以上文獻可知，數學概念的傳遞是非常重要的，教師擔任篩選及傳授知 識的任務，藉由正確的選擇，可以幫助學生理解新的概念，並與舊經驗結合，作 為延伸學習的橋樑。由於國小五年級已學過通分及簡單異分母的加減，在七年級 的課本中僅以少量篇幅介紹「正、負分數」的概念，學生練習稍嫌不足，故在本 研究中選取「正、負分數」的概念作為概念教學的主體、配合學生學習經驗及現 有教材，協助學生理解「正、負分數」的運算。
三、概念教學法的內涵
概念教學法是一種透教學引導學生對正例和反例進行觀察和比較，對概念進 行假設和驗證從而幫助學生正確學習和掌握概念的有效教學模式。採用概念教學 模式進行教學，一方面可以幫助學生在課堂上有意義的學習概念，另一方面通過 對概念的學習體驗，培養學生歸納、對比、邏輯推理多方面思維能力，在授課的 過程中藉由分類的活動，幫助學生進行概念的學習。
國內學者近期對概念教學的研究結果頗豐，經整理如表 2-4-1 所示：
表 2-4-1
概念教學法的相關研究
研究者 年代 研究文獻 研究內容 研究結果
何俊青
1995 國民小學概念 教學實驗研究
探討概念教學對國小 學生概念發展、學科單 元概念學習及學業成 就之教學效果，並比較 不同智力水準、不同實 驗處理的學生於實驗 處理後的差異情形
証實數學科概念教學顯 著影響學生數學科單元 概念的學習，特別是接受 概念教學的中智力學生 於辨識層次之數學概念 的教學效果顯著高於接 受一般教學中智力的學 生
林生傳
1996 概念教學對概 念發展的實驗 效果－階次理 論模式的概念 教學實驗
研發概念教學的模式 與系統，並進行實驗，
以驗証所研發的溉念 教學系統的有效性與 可行性
証實概念教學的確能提 升概念的學習與發展
何俊青
2000 建構式概念教 學在國民小學 社會科的實驗 研究
探討建構式概念教學 對我國國小學生社會 科概念之教學成效
建構式概念教學對促進 學生社會科學業成就表 現有顯著的實驗效果
蘇雅君
2003 概念教學模式 在歷史教學上 的應用--以高 中「中國歷史 的起源」教學 單元為例
探討歷史概念的學習 應包含概念的形成、概 念的發展與概念的運 用，並針對學生概念學 習的歷程，進行歷史科 概念教學模式的建構
研究結果認為概念教學 對其概念的形成、概念的 清晰、學科的考查有幫助
