第三章 研究方法
3.1 自我迴歸移動平均整合（ARIMA）模式
3.1.1 分辦模式
Stephen（1998）所著的「Forecasting Principles and Applications」一 書中指出，數據資料普遍存在著序列水準和變異數不穩定的現象，所以在 做模式配適或是序列預測之前，必須先檢定其水準與變異數的穩定性。
進行時間序列分析前，必須先確定時間序列是否屬平穩性，並對原始 資料進行消除數列不穩定的處理。依據Dickey & Fuller（1976）提出的單 根檢定方法，對原始數進行稱定性測試之單根檢定與對數檢定。
所謂具有單根（unitroot），意指時間序列在經過差分後能夠達到穩定 性。D-F test 用來檢定時間序列資料是否具有穩定性或是用來決定不穩定 序列需要差異化多少時間來達到穩定性，其假說如下：
H0：時間序列具有單根 H1：時間序列具穩定性
對非平穩時間序列，進行差分處理，得到一個新的時間序列，根據樣 本自我相關函數（Autocorrelation Function，簡稱 ACF）與偏自我相關函 數（Partial Autocorrelation Function，簡稱 PACF）的統計特徵，初步分辦 模式和確定模式階數，如果自我相關係數是q 步截尾，而且偏自我相關係 數呈現指數衰減，具有拖尾性，則 MA（q）模式比較適合，如果偏自我 相關係數是 p 步截尾，且自我相關係數呈現指數衰減，具有拖尾性，則 AR（p）模式比較適合，如果自我相關係數偏自我相關係數皆不截尾，但 都收斂到0，則可能是 ARMA 序列。
二、ARIMA 模式組合
時間數列本身之觀測值或及干擾項之間不同關係，分成三種時間數列 模式：自我迴歸模式（AR 模式）、移動平均模式（MA 模式）與結合 AR 模式與MA 模式之整合自我迴歸移動平均模式（ARIMA）。
(一)自我迴歸模式（AR 模式：Autoregressive Model）
先假設時間數列屬於平穩性，p 階自我迴歸模式 AR（p）之涵義 為時間數列觀測值y1 為過去 p 期觀測值（yt-1，yt-2，yt-3，yt-4…，yt-p） 以及當期的干擾項（ t）所組成的迴歸方程式。
y1=c+ψ1yt-1+ψ2yt-2+ψ3yt-3+……+ψpyt-p+ 1 （1）
後移項因子（B）之定義為：
By1=yt-1
B2y1=yt-2
B1y=yt-1 j=1,2,…
後移項因子計算（1）式
Yt=c+ψ1yt-1+ψ2yt-2+ψ3yt-3+……+ψpyt-p+t
=c+ （ ψ1B+ψ2B2+ψ3B3+…+ψpBp ） yt+t+ψ1Byt+ψ2B2yt+ψ3B3yt+……+ψpBpyt+ t
=c+（ψ1B+ψ2B2+ψ3B3+…+ψpBp）yt+
t移項後
（ψ1B+ψ2B2+ψ3B3+…+ψpBp）yt=
t+c （2）ψpByt=
t+c （3）其中ψpB=（1-ψ1B+ψ2B2+ψ3B3+…+ψpBp）
ψ1……ψp：自我迴歸參數 yt：第t 期時間數列觀測值
t：第 t 期時間數列干擾項(二)平均移動模式（MA 模式：Movng-Average Model）
同樣假設時間數列屬於平穩性，q 階自我迴歸模式 MA（q）之涵 義為時間數列觀測值y1 是由過去 q 期以及當期干擾項（
t、
t-1、
t-2、
t-3、
t-q）加權平均構成之移動平均方程式：yt=μ+
t－θ1
t-1－θ2
t-2-……－θ1
t-1=μ+
t－θ1
t-1－θ2B2
t－……－θqBq
t=μ+（1－θ1B－θ2B2－……θqBq）
tyt=μ+θq(B)
t （4）其中θq(B)=（1－θ1B－θ2B2－……－θqBq） θ1……θq：移動平均參數
yt：第t 期時間數列觀測值
t：第t 期時間數列干擾項（ 三 ） 整 合 自 我 迴 歸 移 動 平 均 模 式 （Autoregressive Integrated Moving Avrage Model）
根據 Stephen 所述，在序列的分析上，通常可以利用序列的對數 轉換來達到變異數的穩定，對具有趨勢性或是周期性時間數列，必須 用差分的方式轉換才能使時間數列呈現平穩性。
差分轉換可分為一般差分與季節差分：
1.一般差分
一階差分：▽yt=yt－yt-1=(1-B)yt
二階差分：▽2yt=(1-B2)yt
D 階差分：▽dyt=(1-Bd)yt （5）
2.季節差分
▽syt=yt－yt-s=(1-Bs)yt （6）
對於同時具有趨勢性與季節性之資料，在進行時間數列分析時，採取 一般差分及季節差分兩項合用，來消除趨勢生與季節性。
▽Ds▽dyt=(1-Bs)D(1-B)dyt （7）
S：季節性資料之週期性，D：季節差分之階數，d：一般差分之 階數對於非平穩型時間數列模式，原始數列經由差分後轉為平穩型時 間數列，再結合ARMA 模式後，此模式稱為（p,d,q）階整合自我迴歸 移動平均模式（Autoregressive Integrated Moving Average Model）。
以ARIMA（p,d,q）表示，其中 p 為自我迴歸過階數、q 為移動平 均過程階數。
(1－ψ1B－ψ2B2－ψ3B3－……－ψpBp)(1－B)d(yt－μ)= (1－θ1B－θ2B2
－……－θpBq)
t （8）如果時間數列在連續數年中每隔 S 期的數個觀測時間存在高度相 關的特性，但許多時間數列亦常在連時期的數個觀測值彼此具有相依 性時，必須同時考慮一般連續生與季節性模式，形成一個(p,d,q) × (P,D,Q)s階的季節相成模式。
ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s
Φp(Bs)ψp(B)▽sD▽dyt=Θq(Bs)θq(B)
t （9）p：一般自我迴歸階數 d：一般連續差分階數 q：一般移動平均階數 P：季節性自我迴歸階數 D：季節性連續差分階數 Q：季節性移動平均階數