(
) ( ) ( )
(
x b
x b x a x u a
4
2 +
− +
= (2. 4)
控制律選取如(2. 4)式可以使控制李亞普諾函數V(x)遞減，達到狀態收斂的目的。
一般而言對於實際系統我們沒有一套建構控制李亞普諾夫函數的方法，但對 於一些特殊系統，我們知道如何建構控制李亞普諾夫函數，這也是目前在使用控 制李亞普諾夫函數常遇到的問題。
2.2 切換式系統 切換式系統 切換式系統 切換式系統
切換式系統一般來說是指系統包含數個子系統及有一套切換規則切換這數 個子系統，其子系統可由微分方程式或差分方程式來表示。為何要研究切換式系 統，其動機有很多，像是模糊控制(fuzzy control)，適應性控制(adaptive control)，
可變結構控制(variable structure control)這種有多重模式的控制技術，可以將切換 式系統的概念應用上去，除此之外，在[2]、[3]、[4] 中所提到的非完整系統 (nonholonomic control system)這類型的系統，經由 Brockett’s condition[2] 、[5]可 知無法只用單一回授控制使其穩定，在[6]中使用切換式系統的概念來解決這問 題。
系統，此種形式也是切換式系統的一種。
對於切換式系統，切換律選取是相當重要的，從[25]中，我們可以知道若子 系統都為穩定，但切換律選取不當導致整體系統會不穩定。對於切換式系統，若 子系統都不穩定，從[26]我們也可以知道對於不穩定之系統之間是有可能經過切 換達到穩定的目的。
目前對於切換式系統穩定性分析大多都是使用李亞普諾夫函數(Lyapunov function)來分析，這是一個使用能量觀點來分析系統是否穩定的理論，也是一種 常被用來討論系統穩定性的方法。
若子系統之間穩定切換律存在，卻可能出現有限時間內無限次切換的現象 (zeno)，這是我們不想要的，所以我們希望建構有限時間進行有限次切換(nonzeno) 之切換律，並且在這個切換律下達成穩定的目的，Decarlo 提出改善 zeno 的切換 策略[26]，我們以下面這個例子來說明 Decarlo 所提的切換策略
考慮以下切換式系統:
x
x& = Ai , i={ 21, } ,
x ∈ ℜ
n此時系統包含兩個子系統且子系統為線性系統，控制目標是希望透過適當切換律 使系統狀態收斂到原點。
一般切換式系統常會碰到如圖 2.1 之切換狀況，即系統可能在某一切換面上進行 來回不斷切換，這種在切換面上發生有限時間內無限次切換的現象(zeno)，雖然 仍可能會使系統狀態收斂到原點，但是我們這種現象通常不是我們不想要的。假 設選擇切換面一或切換面二作為系統的切換面，皆會在切換面上進行來回不斷切 換，在[26]，Decarlo 提出改善 zeno 的切換策略，切換概念如圖 2.2 所示，切換 面一為子系統一切換到子系統二的切換點，切換面二為子系統二切換到子系統一 的切換點，並且在切換面一與切換面二所夾的區域無論使用子系統一或子系統二
皆會使狀態往原點收斂，如此一來可改善 zeno 現象並使系統狀態收斂到原點。
圖 2.1: 原始切換法則
圖 2.2: 新的切換法則
切換面一 切換面二 子系統一
子系統二 子系統一
子系統二
切換面