模擬結果

為了方便起見，我們將a>0時的系統搭配前述的控制律((4.18)式)，我們以 系統一表示；將a<0的系統搭配前述的控制律((4. 19)式或(4. 20)式)，我們以系 統二表示；將a≈0、b≠0的系統搭配前述的控制律((4. 22)式)，我們以系統三表 示；將a≈0、b≈0搭配前述的控制律((4. 23)式)，我們以系統四表示。但是若按 照前面的切換法則，可能在系統三與系統四之間產生切跳現象，我們舉下面例子 說明，考慮

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

的情形，當Q₁₀ =11時，我們選定初始值x₀ =[0.6,0.5,0.3,1.3] 進行模擬，如圖 4.18 所示。為了減輕切跳現象，我們重新定義a≈0時系統三與 系統四之間的切換法則，當在系統三時，當

b < ε

₂則切換到系統四，當在系統四 時當

b > ε

₃，則切換到系統三，其中ε 為很小的值且₃ ε₃ >ε₂，如圖 4.19 所示。

在此選取ε₂ =10⁻⁴，

ε

₃

= 5 * 10

⁻³。

首 先 考 慮

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

的 情 形 ， 當 Q₁₀ =11 時 ， 我 們 選 定 初 始 狀 ]

. , . , . , . [

x₀ = 06050313 進行模擬，此時使無干擾系統電壓固定在 1，所得的平衡點 與u 皆為固定值，觀察初始電壓誤差為正值，觀察是否能達到電壓調節並使狀₀ 態收斂到無干擾系統的平衡點，模擬結果如圖 4.20 所示。圖 4.20(a)是控制過程 中的

Q

₁ 值，圖 4.20(b)- 4.20(e)分別是狀態的變化情形，圖 4.20(f)是控制過程中 的變壓器變化顯示，圖 4.20(g)- 4.20(j)分別是狀態的變化情形，圖 4.20(k)是控制 過程中的切換信號，圖 4.20(l)是控制過程中的

u

值，由 4.20(e)我們可以看出電壓 由 1.3 收斂於 1，達到電壓調節的目的，而且由 4.20(g)- 4.20(i)可以看出狀態與無 干擾系統平衡點誤差會逐漸收斂到 0，達到內部狀態穩定的功能。接下來，一樣 在Q₁₀ =11，我們選定初始值x₀ =[0.5,0.2,0.1,0.9]，觀察初始電壓誤差為負值，

模擬結果如圖 4.21 所示，由 4.21(e)可以看出電壓由 0.9 收斂於 1，達到電壓調節 的目的，並且由 4.21(g)- 4.21(i) ，可以看出狀態與無干擾系統平衡點誤差會逐漸

收斂到 0，達到內部狀態穩定的目的。接下來我們考慮Q 隨著時間改變時，此₁₀ 時使無干擾系統的負載電壓固定在 1，所得的平衡點與u 值會隨著₀ Q 變化而變₁₀ 化，此時所得的無干擾系統的平衡點與u 值會隨時間改變，觀察系統動態變化₀ 情形。圖 4.22，我們設定Q₁₀ =10+0.2sin(t)，選定初始狀態x₀ =[0.5,0.2,0.1,1.1]， 由 4.22(e)，我們可以觀察電壓由 1.1 收斂到 1，由 4.22(g)- 4.22(i)可以觀察到狀態 與無干擾系統的平衡點的誤差會逐漸收斂到 0，達到內部狀態穩定的功能。在圖 4.23 中，我們使Q 在₁₀ t =3~ 3.5時，由 11 上升到 11.5，當t =6.5~ 7，在由 11.5 下降到 11，選定初始狀態x₀ =[0.3,0.2,0.1,0.9]，由 4.23(e)，我們可以看出電壓由 0.9 收斂到 1，由 4.23(g)- 4.23(i)可以觀察到狀態與標稱平衡點的誤差會逐漸收斂 到 0，達到內部狀態穩定的目的。

接 下 來 我 們 考 慮Q 值 固 定 及₁₀

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

≠ 0

進 行 模 擬 。 首 先 選 擇Q₁₀ =10，

2

1

= 0 .

∆ Q

∆

∆

∆

，選定初始狀態x₀ =[0.4,0.3,0.2,1.3]，模擬結果如圖 4.24 所示，圖 4.24(a)

是控制過程中的

Q

₁ 值，圖 4.24(b)- 4.24(e)分別是狀態的變化情形，圖 4.24(f)是 控制過程中的變壓器變化顯示，圖 4.24(g)- 4.24(j)分別是狀態的變化情形，圖 4.24(k)是控制過程中的切換信號，圖 4.24(l)是控制過程中的

u

值，由於Q 值固₁₀ 定，為了無干擾系統電壓固定在 1，所得的平衡點與u 皆為固定值，模擬結果如₀ 圖 4.24 所示，由圖 4.24 (e)，我們可以觀察到電壓從 1.3 收斂到 1，達到電壓調 節的目的，由 4.24(g)- 4.24(i)可以觀察到狀態與無干擾系統的平衡點的誤差會逐 漸收斂到 0，達到內部狀態穩定的目的。接下來，我們考慮

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁會隨著時間變動 的 情 形 ， 選 定 Q₁₀ =10 ，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁ 在 −0.2~ 0.2 隨 機 變 動 ， 初 始 狀 態

] . , . , . , . [

x₀ = 02030213 ，模擬結果如圖 4.25 所示，由 4.25 (e)，可以看出電壓從 1.3 收斂到 1，達到電壓調節目的，由 4.25(g)- 4.25(i)可以觀察到狀態與平衡點誤差 也逐漸收斂到 0，達到內部狀態穩定的目的。

接下來我們考慮

∆ ∆ ∆ ∆

會隨著時間變動，此時使無干擾

得的無干擾系統的平衡點與u 值會隨時間改變，觀察系統動態變化情形。圖₀ 4.26 ， 我 們 設 定 Q₁₀ =10+0.2sin(t) ，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 1 sin ( 3 t )

， 選 定 初 始 狀 態

] . , . , . , . [

x₀ = 03020109 ，由 4.26(e)，我們可以觀察電壓由 0.9 收斂到 1，由 4.26(g)- 4.26(i)可以觀察到系統狀態與無干擾系統的與平衡誤差收斂到 0，達到電壓調節 與內部狀態穩定的目的。

在圖 4.27 中，我們使Q 在₁₀ t=3~3.5時，由 10 上升到 10.5，當t =6.5~ 7，在 由 10.5 下 降 到 10 ，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁ 在 −0.1~ 0.1 隨 機 變 動 ， 選 定 初 始 狀 態

] . , . , . , . [

x₀ = 06050313，由圖 4.27(e)，我們可以觀察電壓由 1.3 收斂到 1，由圖 4.27(g)- 4.27(i)可以觀察到系統狀態與無干擾系統的與平衡誤差收斂到 0，達到電壓調節 與內部狀態穩定的目的。

由以上模擬結果，我們設計的控制律在系統具有參數不確定因素情形下，依 然可以達到輸出追蹤並使狀態收斂到無干擾系統的平衡點，同時達到輸出追蹤與 維持內部狀態穩定的目的。

4.3 VSC 與 與 與 與 CLF 兩種控制律的比較 兩種控制律的比較 兩種控制律的比較 兩種控制律的比較

由(4. 27)式，我們可以知道

4 26.1438cos(0.0873 - ) 1.9608sin(0.0873 - )

x +x x + +x x

=

[ ^{- 7.0327 14.5229 - 53.0961 104.5752 cos(0.0873 - )}

104.8608 + x

₄

x

₄²

+ x

₄

x

₃

的區域。由圖 4.29 可以觀察到，當

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁值愈大時，狀態滿足ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域愈小，

也就是系統狀態可能滿足假設 2.3 的區域會愈小。

4.3.2 VSC 與 與 CLF 兩種控制律的比較 與 與 兩種控制律的比較 兩種控制律的比較 兩種控制律的比較

本節中我們將探討在

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

與

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

≠ 0

時，應用 4.2 節設計的控制律與應 用 VSC 設計的控制律，在條件相同的環境下作性能的比較。首先，我們比較兩 種控制律可以達到電壓調節的範圍，我們以下面例子說明。首先考慮a>0的情 形，考慮Q₁₀ =9，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

，

x

₂

= 0

的情況下，我們可以在空間中畫出滿足∆∆∆∆>0 及ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，如圖 4.30 所示，黃色曲面代表的是∆∆∆∆=0的等高曲面，黃色 曲面以上是∆∆∆∆>0的區域，黃色曲面以下則是∆∆∆∆<0的區域，藍色曲面以上代表滿 足ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，以下則是不滿足ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，同樣的方式考慮Q₁₀ =9，

1

= 0

∆ Q

∆

∆ ∆

，

x

₂

= 2

的情況下，我們可以在空間中畫出滿足∆∆∆∆>0及ΩΩ^ΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，

如圖 4.31 所示，接著我們考慮Q₁₀ =9，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 3

，

x

₂

= 0

在空間中畫出滿足

>0

∆∆

∆∆ 及ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，如圖 4.32 所示，同樣方式考慮我們考慮Q₁₀ =9，

3

1

= 0 .

∆ Q

∆

∆

∆

，

x

₂

= 2

在空間中畫出滿足∆∆∆∆>0及ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，如圖 4.33 所示，

由圖 4.30-圖 4.33，我們發現當a>0時滿足∆∆∆∆>0及ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域幾乎一樣。接 著我們考慮a<0的情形，考慮Q₁₀ =9，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

，

x

₂

= 0

的情況下，我們可以 在空間中畫出滿足∆∆∆∆>0及^ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，如圖 4.34 所示，黃色曲面代表的是

=0

∆∆

∆∆ 的等高曲面，黃色曲面以下是∆∆∆∆>0的區域，黃色曲面以上則是∆∆∆∆<0的區

樣的方式考慮Q₁₀ =9，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

，

x

₂

= 2

的情況下，當a<0我們可以在空間中 畫出滿足∆∆∆∆>0及^ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，如圖 4.35 所示，我們發現當a<0、

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

時 滿足∆∆∆∆>0及ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域幾乎重合，接著考慮Q₁₀ =9，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 3

，

x

₂

= 0

在 空間中畫出當a<0滿足∆∆∆∆>0及ΩΩ^ΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，如圖 4.36 所示，同樣方式考慮

我們考慮Q₁₀ =9，

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 3

，

x

₂

= 2

在空間中畫出當a<0滿足∆∆∆∆ >0及ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t

的區域，如圖 4.37，由圖 4.36-圖 4.37 可以發現當a<0、

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

≠ 0

時滿足∆∆∆∆>0的 區域會比滿足ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域來的大。

雖然使用 VSC 在滿足假設 2.3 條件下，可以使系統達到電壓調節的目的，

但內部狀態可能無法無持滿足假設 2.3 條件。系統要達到電壓調節目的必須滿足 假設 2.3，會影響ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的狀態只有

x

₁、x 與₃

x

₄，不包含

x

₂。由系統的動態方 程式可以知道

x &

₁

= x

₂，因此，當系統的初始狀態在ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 區域內的邊界附近時，

此時若

x

₂夠大的話，系統狀態有可能會跑出滿足ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，造成不穩定的 情況發生。 使用 4.2 節的控制律，我們可以估計出使收斂區域，使系統達到電 壓調節與內部狀態穩定的功能。考慮下面例子，我們選定Q₁₀ =11.5、

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

， 初使狀態選擇x=[0.28,3,−0.028,0.8]，初始狀態滿足ΩΩΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域內及 4.2 節設 計的控制率的收斂範圍內進行比較，使用 VSC 的控制律，狀態在經過一段時間 之後，就會跑出ΩΩ^ΩΩ^∗

( )

^x,t 的區域，隨即發生電壓崩潰的狀況，如圖 4.38 所示。但 是使用 4.2 節控制律卻能夠達成電壓調節與內部狀態穩定的功能，如圖 4.39 所示。

在電力系統電壓調節中，使用 VSC 控制律為了避免高頻切換的產生，我們 將控制律(4.35)式中的sgn( ts( ))以 



 



 ε

) (t

sat s 取代，且取

ε = 10

⁻²進行模擬。此外，

我們使用 CLF 控制律使系統達到電壓調節與內部狀態穩定的目的，在此我們選

取ε₁ =10⁻³、ε₂ =10⁻⁴、ε₂ = 5*10⁻³進行數值模擬。

接下來，考慮Q₁₀ =10、

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

，選定初始狀態x=[0.4,0.3,0.1,0.8]，此時 為了使無干擾系統達到電壓調節，所得的平衡點x₀ =[0.18453,0,0.0041,1] 及

1.2025

0

=

u

，應用 4.2 節介紹的控制律進行模擬。另外此時經由”MATLAB”計 算可以得到系統應用 VSC 控制的平

xˆ = [ 0.18454 , 0 , 0.00326 , 1 ]

，接著我們針對這兩 種控制律作效能比較，定義輸出電壓的收斂時間為

{

^{∗ < ∀ ≥ ∗}

}

= t x t t t

t_f min ₄( )-1 0.001, (4. 31)

也就是狀態

x

₄最後一次進入

x

₄

( t ) - 1 < 0.001

的區域後就永遠在此區域內的時 間點。比較應用兩種控制律使電壓收斂到我們希望的電壓值所花費的時間、在模 擬期間最大的控制力、花費的能量總合、負載電壓與 1 的誤差平方總和以及狀態 誤差平方總合。模擬結果如圖 4.40-圖 4.51 所示，實線代表使用 CLF 設計的控制 律，虛線代表使用 VSC 設計出的控制律，圖 4.40-4.43 分別為四個狀態的圖形，

圖 4.34 為

u

值，圖 4.45 為使用 CLF 控制律的切換信號。圖 4.46-4.49 分別為四個 狀態的模擬時間 1 秒的圖形，圖 4.50 為模擬時間 1 秒的

u

值，圖 4.51 為模擬時 間 1 秒使用 CLF 控制律的切換信號。我們將比較結果整理如表 4.1 所示，其中t_f

為收斂時間， T 為模擬時間， tu( ) _∞其模擬期間最大的控制力， ∫₀^Tu(t)²dt為花

費的能量總和，_∫0^T

(

^x₄^(t)-1

)

^2dt為負載電壓與 1 的誤差平方總和，∫₀^T(e(t)^Te(t)dt狀 態與平衡點誤差平方總合。

由圖 4.40-圖 4.51 及表 4.1 的比較，我們可以發現，在

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0

的情況下，我們先 利用預備回授使無干擾系統達到電壓調節並找出對應的平衡點，在以 CLF 設計 的控制律使系統狀態收斂到無干擾系統的平衡點，可以在非常短時間內調節到我

負載電壓與 1 的平方誤差都有非常優異的表現，此外兩者的控制律剛開始幾乎一 樣，但在t =0.054秒時，使用 CLF 設計出的控制律的

u

值突然從 0.36 跳到 1.23，

這是因為此時從系統一切換到系統三，之後一段時間維持在系統三，到t=0.09從 系統三切換到系統四，之後一直維持在系統四，所以控制律並不平滑。

接下來我們考慮

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

≠ 0

的情況下，在Q₁₀ =10、

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 2

，比較兩種控制 律的表現。選擇初始狀態x₀ =[0.4,0.3,0.1,0.8]，輸出電壓收斂時間為(4. 31)式，

模擬結果如圖 4.52-圖 4.63 所示，實線代表使用 CLF 設計的控制律，虛線代表使 用 VSC 設計出的控制律，圖 4.52-4.55 分別為四個狀態的圖形，圖 4.56 為

u

值，

圖 4.57 為使用 CLF 控制律的切換信號。圖 4.58-圖 4.61 分別為四個狀態的模擬 時間 1 秒的圖形，圖 4.62 為模擬時間 1 秒的

u

值，圖 4.63 為模擬時間 1 秒使用 CLF 控制律的切換信號。由圖 4.52-圖 4.63 及表 4.2 的比較，我們可以發現，在

2

1

= 0 .

∆ Q

∆

∆

∆

的情況下，我們先利用預備回授使無干擾系統達到電壓調節並找出對

應的平衡點，在以 CLF 設計的控制律使系統狀態在有負載不確定因素下收斂到 無干擾系統的平衡點，可以在非常短時間內調節到我們希望的電壓值，狀態與平 衡點的誤差平方上與使用 VSC 設計的控制律差不多。此外，我們使用 CLF 設計 的控制律在有不確定因素或外在干擾下，電壓收斂時間、負載電壓與 1 的平方誤 差都有非常優異的表現，另外兩者的控制律剛開始幾乎一樣，但在t =0.058秒 時，使用 CLF 的

u

值突然從 0.36 跳到 0.7，這是因為此時從系統一切換到系統三，

之後一段時間維持在系統三，但此時控制律很不規則，到t =0.1從系統三切換到

之後一段時間維持在系統三，但此時控制律很不規則，到t =0.1從系統三切換到

在文檔中 應用CLF於二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究 (頁 61-0)