應用CLF於二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究

國

立

交

通

大

學

電機與控制工程學系

碩士論文

應用 CLF 於二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研

究

Study of Robust Output Tracking for a Class of 2nd-Order

Polynomial Systems using CLF technique

研 究 生：吳家榮

指導教授：梁耀文 博士

應用 CLF 於二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究

Study of Robust Output Tracking for a Class of 2nd-Order

Polynomial Systems

using CLF technique

研 究 生：吳家榮 Student：Chia-Jung Wu

指導教授：梁耀文 博士 Advisor：Yew-Wen Liang

國立交通大學電機與控制工程學系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Electrical and Control Engineering

College of Electrical Engineering

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electrical and Control Engineering

June 2008

應用

應用

應用

應用 CLF 於

於

於

於二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究

二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究

二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究

二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究

研究生：吳家榮

指導教授：梁耀文 博士

國立交通大學電機與控制工程學系

摘要

本論文探討單輸入單輸出之二次多項式系統之穩健輸出追蹤及內

部狀態穩定化議題，所探討的不確定因素來自系統本身的一個參數的

估計值與真實值間的誤差。先利用預備回授(preliminary feedback)

使無干擾系統(nominal system)達到輸出追蹤並找出對應的平衡

點，再利用控制李亞普諾夫(Control Lyapunov Function)理論設計

控制律，使系統在有參數不確定因素下達成輸出追蹤並使狀態收斂到

無干擾系統的平衡點，同時達到穩健輸出與內部狀態穩定的性能表

現。所提出的方法改善了論文[1]利用可變結構控制技術來設計輸出

追蹤律但無法保證其內部狀態穩定之缺點。所獲得的結果也應用於變

壓器控制之電力系統的電壓調節研究。模擬結果驗證了所設計穩健控

制律之有效性。

Study of Robust Output Tracking for a Class of 2nd-Order

Polynomial Systems using CLF technique

Student：Chia-Jung Wu Advisor : Dr. Yew-Wen Liang

Department of Electrical and Control Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis investigates the issues of robust output tracking and

internal state stabilization for a class of SISO uncertain second-order

polynomial systems. The uncertainty comes from a parameter error

between the true value and its estimation. First, a preliminary feedback is

employed to achieve both output tracking performance and stability of the

associated equilibrium point for the nomial system. Second, we design an

additional controller using a known Control Lyapunov Function such that

the output tracking performance and the internal system stabilization can

simultaneously be achieved. The proposed scheme improves the design of

[1] in which the internal states might be unstable during the output

tracking procedure. The analytical results are also applied to a

tap-changer control based power system for voltage regulation.

誌 謝

本篇論文能夠順利完成，實在要感謝很多人關心與協助。首先，要感謝我的 指導教授梁耀文博士，感謝老師細心與耐心的指導以及對我的鼓勵，使我在這兩 年的學習中受益良多，除此之外老師對於日常生活以及做人處事的道理也不吝提 供幫助與提供正確且良好的觀念，對於往後的人生將有很大的助益。也要感謝系 上曾給予協助的老師，同時，也要感謝口試委員廖德誠博士、吳章銘博士和徐聖 均博士給予指正與寶貴的建議，使本論文更加完備。 接下來要感謝徐聖棟學長，徐益銘學長，邱紹偉學長及陳丞昶學長在我遇到 困難時能給予適時的幫助與鼓勵，再來要感謝實驗室的同學士昕，立偉陪伴了我 兩年研究所生活，在我心情低落的時候能夠協助我，並且在學業及生活上給我很 大的支持與幫助，而學弟源廷，宜展，旭志也都會適時的給予我一些意見，感謝 你們對於我的幫助，使我的論文研究能夠更加順利。感謝所有我認識的朋友，有 你們的陪伴讓我的研究所生活過得多采多姿且充滿快樂的回憶。 最後要感謝我的家人對我的包容，不管發生什麼事總是支持我，給我最大的 鼓勵，讓我可以無後顧之憂的在學業上勇往直前，進而完成研究所的學業，謹將 此論文獻給所有我愛的人，謝謝你們!

目錄

目錄

目錄

目錄

頁次 中文摘要 i 英文摘要 ii 誌謝 iii 目錄 iv 表目錄 vi 圖目錄 vii Chapter1 緒論 ... 1 1.1 研究背景... 1 1.2 研究動機:... 2 1.3 論文架構... 3 Chapter2 預備知識 ... 5 2.1 控制李亞普諾夫函數... 5 2.2 切換式系統... 7 2.3 電力系統模型... 10 2.4 VSC 設計控制律達到二項式之穩健輸出追蹤 ... 14 Chapter 3 二次多項式系統之穩健輸出追蹤 ... 17 3.1 問題描述... 18 3.2 控制律設計... 18

4.2 控制律設計... 30 4.2.1 系統平衡點分析:... 30 4.2.2 穩定點分析:... 32 4.2.3 控制律設計... 34 4.2.4 模擬結果... 46 4.3 VSC 與 CLF 兩種控制律的比較... 49 4.3.1 VSC 控制律設計 ... 49 4.3.2 VSC 與 CLF 兩種控制律的比較... 51 Chapter 5 結論與未來研究方向 ... 91 5.1 結論... 91 5.2 未來研究方向... 92 參考文獻... 93

表目錄

表目錄

表目錄

表目錄

表 4.1 CLF 與 VSC 控制律的性能比較... 55 表 4.2 CLF 與 VSC 控制律的性能比較... 55

圖

圖

圖

圖 目

目

目

目 錄

錄

錄

錄

圖 2.1 原始切換法則... 9 圖 2.2 新的切換法則... 9 圖 2.3 電力系統模型(a)原始電力系統模型加上變壓器(b)戴維寧等效...11 圖 3.1 a>0，∆∆∆∆>0，(3.10)示意圖……….25 圖 3.2 a<0，∆∆∆∆<0 ，(3.10)示意圖... 25 圖 3.3 a<0，∆∆∆∆<0，(3.10)示意圖... 26 圖 3.4 收斂區域式意圖... 26 圖 4.1 u 為正值，平衡點與₀ u 對₀ Q 的變化....………31 ₁₀ 圖 4.2 u 為負值，平衡點與₀ u 對₀ Q 的變化 ... ..31 ₁₀ 圖 4.3 (a)左邊三圖代表平衡點為x 控制律為₀₁ u ，₀₁ Q 對三個特徵值的影響... 33 ₁₀ 圖 4.4 e₄ =0，b=0發生的區域... 56 圖 4.5 a≈0的切換法則 ... 56 圖 4.6 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₄ =−0.3時，∆∆∆∆=0的等高曲面，兩 個黃色曲面所夾的區域是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為 a b v 2 − = 代入e& 所₃ 得e&₃ =0的等高曲面，兩個藍色曲面所夾的區域為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 < e& 的區域。 ... 57 圖 4.7 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₄ =−0.1時，∆∆∆∆=0的等高曲面，兩個 黃色曲面所夾的區域是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 = e& 的等高曲面，兩個藍色曲面所夾的區域為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 < e& 的區域。 ... 57 圖 4.8 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₂ =0時，∆∆∆∆=0的等高曲面，黃色區

面以上則是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為將 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ =0的等 高曲面，藍色區域以上則是 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ <0的區域。 ... 58 圖 4.9 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₂ =2時，∆∆∆∆=0的等高曲面，黃色區 面以上則是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為將 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ =0的等 高曲面，藍色區域以上則是 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ <0的區域。 ... 58 圖 4.10 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₄ =0.3時，∆∆∆∆=0的等高曲面，兩個 黃色曲面所夾的區域是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 = e& 的等高曲面，兩個藍色曲面所夾的區域為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 < e& 的區域。 ... 59 圖 4.11 黃色曲面在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₄ =0.1時，∆∆∆∆=0的等高曲面，兩個黃 色曲面所夾的區域是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 = e& 的等高曲面，兩個藍色曲面所夾的區域為 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ 0 3 < e& 的區域。 ... 59 圖 4.12 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₂ =0時，∆∆∆∆=0的等高曲面，黃色 區面以下則是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為將 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ =0的 等高曲面，藍色區域以下則是 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ <0的區域。 ... 60 圖 4.13 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及e₂ =2時，∆∆∆∆ =0的等高曲面，黃色 區面以下則是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面為將 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ =0的 等高曲面，藍色區域以下則是 a b v 2 − = 代入e& 所得₃ e&₃ <0的區域。 ... 60 圖 4.14 黃色曲面代表在Q =9，∆∆∆∆Q =0.2及 3 10− − = e 時，將(4. 22)式代入e& 所

代表將(4. 29)式代入e& 所得₃ e&₃ =0的等高曲面，兩個藍色曲面所夾的是 0 3 < e& 的區域。 ... 61 圖 4.15 黃色曲面是在Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.2及 3 4 10 − − = e 時，∆∆∆∆=0的等高曲面， 兩個黃色曲面所夾的區域是∆∆∆∆ >0的區域，藍色曲面代表將(4. 22)式代入 4

e& 所得e&₄ =0的等高曲面，兩個藍色曲面所夾的是e&₄ >0的區域。 ... 61 圖 4.16 綠色線內部代表當e₃ =0、e₄ =0，控制律為u =u₀時，e₁、e₂的收斂範 圍，當Q₁₀ =9 ... 62 圖 4.17 綠色線內部代表當e₃ =0、e₄ =0，控制律為u =u₀時，e₁、e₂的收斂範 圍，當Q₁₀ =11... 62 圖 4.18 Q₁₀ =11，∆∆∆∆Q₁ =0，初始電壓為正值，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態 2 x ，(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。... 63 圖 4.19 a≈0時新的切換法則 ... 63 圖 4.20 Q₁₀ =11，∆∆∆∆Q₁ =0，初始電壓為正值，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態 2 x ，(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀 態誤差e₁，(h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切 換信號，(l) u值。 ... 64 圖 4.21 Q₁₀ =11，∆∆∆∆Q₁ =0，初始電壓為負值，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態 2 x ，(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀 態誤差e₁，(h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切 換信號，(l) u值。 ... 65 圖 4.22 Q₁₀ =11+0.2sin(t)，∆∆∆∆Q₁ =0，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態x₂，(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀態誤差e₁， (h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切換信號，(l) u值。 ... 66 圖 4.23 Q 在 11~11.5 之間變化，₁₀ ∆∆∆∆Q₁ =0，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態x₂，

(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀態誤 差e₁，(h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切換信 號，(l) u值。 ... 67 圖 4.24 Q₁₀ =10，∆∆∆∆Q₁ =0.2，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態x₂，(d) 狀態x ，₃ (e) 狀態x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀態誤差e₁，(h) 狀 態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切換信號，(l) u值。 ... 68 圖 4.25 Q₁₀ =10，∆∆∆∆Q₁在-0.2~0.2 之間變動，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態x₂， (d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀態誤 差e₁，(h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切換信 號，(l) u值。 ... 69 圖 4.26 Q₁₀ =10+0.2sin(t)，∆∆∆∆Q₁ =0.1sin(3t)，(a) Q₁值，(b) 狀態x₁，(c) 狀態

2 x ，(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調節值，(g) 狀 態誤差e₁，(h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤差₃ e₄，(k) 切 換信號，(l) u值。 ... 70 圖 4.27 Q 在 10~10.5 之間變化，₁₀ ∆∆∆∆Q₁在-0.1~0.1 之間變動，(a) Q₁值，(b) 狀態 1 x ，(c) 狀態x₂，(d) 狀態x ，(e) 狀態₃ x₄(負載電壓值)，(f) 變壓器調 節值，(g) 狀態誤差e₁，(h) 狀態誤差e₂，(i) 狀態誤差e ，(j) 狀態誤₃ 差e₄，(k) 切換信號，(l) u值。 ... 71 圖 4.28 ∆∆∆∆Q₁ =0時，狀態x₁、x 、₃ x₄滿足ΩΩΩΩ∗( tx, )的區域， ... 72 圖 4.29 Q₁₀ =10時，狀態x₁、x 、₃ x₄滿足ΩΩΩΩ∗( tx, )的區域... 73 圖 4.30 黃色曲面是在當a>0，Q₁₀ =9， ∆∆∆∆Q₁ =0及x₂ =0時，∆∆∆∆=0的等高曲 面，黃色區面以上則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色區面以下則是∆∆∆∆<0的區域，

圖 4.31 黃色曲面是在當a>0，當Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.3及x₂ =0時，∆∆∆∆=0的等高 曲面，黃色區面以上則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色區面以下則是∆∆∆∆<0的區 域，藍色曲面以上為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以下為不滿足∗ ΩΩΩΩ 的區∗ 域。 ... 74 圖 4.32 黃色曲面是在當a>0，Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0及x₂ =2時，∆∆∆∆ =0的等高曲面， 黃色區面以上則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色區面以下則是∆∆∆∆<0的區域，藍色 曲面以上為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以下為不滿足∗ _{ΩΩΩΩ 的區域。 ... 75} ∗ 圖 4.33 黃色曲面是在當a>0，Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.3及x₂ =2時，∆∆∆∆=0的等高曲 面，黃色區面以上則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色區面以下則是∆∆∆∆<0的區域， 藍色曲面以上為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以下為不滿足∗ _{ΩΩΩΩ 的區域。}∗ ... 75 圖 4.34 黃色曲面是在當a<0，Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0及x₂ =0時，∆∆∆∆=0的等高曲面， 黃色區面以下則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色曲面以上則是∆∆∆∆<0的區域，藍色 曲面以下為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以上為不滿足∗ ΩΩΩΩ 的區域。 ... 76 ∗ 圖 4.35 黃色曲面是在當a<0，Q₁₀ =9，∆∆∆∆Q₁ =0.3及x₂ =0時，∆∆∆∆ =0的等高曲 面，黃色區面以下則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色曲面以上則是∆∆∆∆<0的區域， 藍色曲面以下為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以上為不滿足∗ ΩΩΩΩ 的區域。∗ ... 76 圖 4.36 黃色曲面是在當a<0，Q₁₀ =9， ∆∆∆∆Q₁ =0及x₂ =2時，∆∆∆∆ =0的等高曲 面，黃色區面以下則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色曲面以上則是∆∆∆∆<0的區域， 藍色曲面以下為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以上為不滿足∗ _{ΩΩΩΩ 的區域。}∗ ... 77 圖 4.37 黃色曲面是在當a<0，Q₁₀ =9， ∆∆∆∆Q₁ =0.3及x₂ =2時，∆∆∆∆=0的等高 曲面，黃色區面以下則是∆∆∆∆ >0的區域，黃色曲面以上則是∆∆∆∆<0的區

域，藍色曲面以下為滿足ΩΩΩΩ 的區域，藍色曲面以上為不滿足∗ ΩΩΩΩ 的區∗ 域。 ... 77 圖 4.38 Q₁₀ =11.5、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x=[0.28,3,−0.028,0.8]在滿足ΩΩΩΩ 的區域∗ 內使用 VSC 設計的控制律無法達成電壓調節的例子，(a) 狀態x₁，(b) 狀 態x₂，(c) 狀態x ，(d) 狀態₃ x₄ ... 78 圖 4.39 Q₁₀ =11.5、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x=[0.28,3,−0.028,0.8]使用 4.2 節設計的 控制律並在其收斂範圍的系統狀態圖，(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，(c) 狀 態x ，(d) 狀態₃ x₄ ... 78 圖 4.40 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₁比較圖 ... 79 圖 4.41 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₂比較圖 ... 79 圖 4.42 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x 比較圖₃ ... 80 圖 4.43 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₄比較圖 ... 80 圖 4.44 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，u值比較圖. 81 圖 4.45 使用 CLF 控制律的切換信號... 81 圖 4.46 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₁放大比 較圖 ... 82 圖 4.47 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₂放大比 較圖 ... 82 圖 4.48 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x 放大比₃

較圖 ... 83 圖 4.50 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，u值放大比較圖 ... 84 圖 4.51 放大比較時使用 CLF 控制律的切換信號... 84 圖 4.52 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₁比較圖 ... 85 圖 4.53 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₂比較 圖 ... 85 圖 4.54 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x 比較₃ 圖 ... 86 圖 4.55 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₄比較 圖 ... 86 圖 4.56 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，u值比較圖 ... 87 圖 4.57 使用 CLF 控制律的切換信號... 87 圖 4.58 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態x₁模擬時 間 1 秒比較圖 ... 88 圖 4.59 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，狀態模擬時間 1 秒比較圖 ... 88 圖 4.60 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，模擬時間 1 秒比較圖 ... 89 圖 4.61 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，模擬時間 1 秒比較圖 ... 89 圖 4.62 Q₁₀ =10、∆∆∆∆Q₁ =0.2、初始狀態x =₀

[

0.4 0.3 0.1 0.8

]

，u值模擬時間 1 秒比較圖 ... 90 圖 4.63 模擬時間 1 秒時使用 CLF 控制律的切換信號... 90

Chapter 1

緒論

1.1

_研究背景

_研究背景

_研究背景

_研究背景

由於某些實際系統無法經由單一回授使系統穩定，必須透過控制律切換來使 系 統 穩 定 ， 例 如 : 在 [2] 、 [3] 、 [4] 中 所 提 的 非 完 整 系 統 ， 經 由 Brockett’s condition[2]、[5]可知無法使用單一回授使其穩定，在[6]使用了切換式系統的概 念來解決這問題。若系統需要兩組控制器輸入切換來達到穩定的目的，我們可以 將第一組控制律與受控體當作一個系統，將第二組控制律與受控體當作另一個系 統，此種形式也是屬於切換式系統的一種。 由於有些實際系統其系統動態方程式是多項式的形式，像是磁浮系統[7]、

針對多項式系統的研究，文獻[7]、[9]-[10]都有探討。文獻[7]針對一個自由 度的磁浮系統(Levitation system)，其系統形式為一個單輸入的二次多項式系統， 在某些條件下利用二階順滑模式控制(sliding mode control)設計控制律，使系統達 到穩定的效果。文獻[9]針對單輸入的的多項式系統利用控制李亞普諾夫函數 (Control Lyapunov Function，CLF) 探討使系統穩定的條件及對應穩定控制律的 建構，並將其結果應用到穩定磁浮系統上[7]。文獻[10]將文獻[9]的結果推廣到多 輸入的二次多項式系統，利用 CLF 找出使系統穩定得條件及對應之穩定的控制 律的建構，並能將使系統穩定的控制律作參數化，並探討片段連續的穩定控制律 之 存 在 條 件 及 設 計 。 此 外 文 獻 [9] 及 [10] 都 不 考 慮 系 統 不 確 定 因 素 (model uncertainty)及外在干擾(external disturbance) 。

1.2

_研究動機

_研究動機

_研究動機

_研究動機

針對單輸入單輸出具有不確定因素之二次多項式系統在非控系統不存在平 衡點的情況下，論文[1]透過可變結構控制理論設計控制律，使系統達到穩健輸 出追蹤的目的，但系統內部狀態在輸出追蹤過程中可能因不滿足達成輸出追蹤所 需的假設條件而造成系統不穩定的現象發生。 在本論文中，我們將針對單輸入單輸出具有參數不確定因素之二次多項式系 統在非控系統不存在平衡點的狀況下，先針對無干擾系統利用預備回授使系統達 到輸出追蹤並找出對應的平衡點，接著在設計控制律使系統在有參數不確定因素 下達成輸出追蹤並使狀態收斂到無干擾系統的平衡點，如此則可以達到穩健輸出 追蹤與內部狀態穩定的目的。 在本論文中，我們也將針對二項式系統輸出追蹤及內部狀態穩定化所獲得的 結果應用到以變壓器控制之電力系統中[11]之電壓調節上，此電力系統原始模型

是由 Dobson 和 Chiang[17]所提出，系統模型中包含發電機、無限匯流排與非線 性負載，並且系統會呈現有電壓崩潰的現象 [12-13,16-17]，其電壓崩潰發生於鞍 點分歧處(saddle node bifurcation)附近[17-18]。發生電壓崩潰現象的原因可歸納於 電力系統操作在穩定邊界，負載損耗增加所造成[13,18]。為了使系統能達到電壓 調節的目的，因此我們在原始系統加入控制點，在原始系統加入一個變壓器(tap changer)。當負載損耗有所變化時，利用調整變壓器來達到電壓保持穩定值，避 免電壓崩潰的發生。對於變壓器用於電力系統的效果，在文獻[15,19-21]有被討 論。 我們將針對二項式系統輸出追蹤及內部狀態穩定化所獲得的結果應用到以 變壓器控制之電力系統之電壓調節問題。在論文[1]利用可變結構控制設計來設 計以變壓器控制之電力系統的控制律，在滿足適當假設條件下，論文[1]證明電 壓調節的功能，但是在電壓調節過程中系統內部狀態可能會不滿足其所提出之假 設條件，造成不穩定的現象發生。在本論文中，我們針對以變壓器控制之電力系 統中之無干擾系統，先利用預備回授使系統達到電壓調節並找出對應的平衡點， 再在以控制李亞普諾夫函數的理論所設計的控制律，使系統在有參數不確定因素 時達成電壓調節並使狀態收斂到無干擾系統的平衡點，達到同時電壓調節與維持 內部狀態穩定的功能。

1.3

_論文架構

_論文架構

_論文架構

_論文架構

此篇論文主要可分為下列四章，第二章介紹控制李亞普諾夫的理論，以及切 換式系統的概念，然後介紹 Dobson 和 Chiang[17]所提出的電力系統，在原始系

到輸出追蹤的目的。第三章針對單輸入單輸出的二次多項式系統，系統相對階數 為一階，先針對無干擾系統利用預備回授使系統達到輸出追蹤並找出對應的平衡 點，在以控制李亞普諾夫的理論設計控制律，使系統在有參數不確定因素下達成 輸出追蹤並使狀態收斂到無干擾系統的平衡點，同時達到輸出追蹤及內部狀態穩 定的目的。第四章將第三章介紹的控制律應用於變壓器調節的電力系統，以電力 系統的變壓器為控制輸入點，調整變壓器匝數比來達到電壓調節的目的並使內部 狀態穩定，並且比較以第三章設計出的控制律與可變結構控制律兩者的效能。第 五章是將此篇論文作一個總結，並且提供一些未來的研究方向。

Chapter 2

預備知識

2.1

_{控制李亞普諾夫函數}

_{控制李亞普諾夫函數}

_{控制李亞普諾夫函數}

_{控制李亞普諾夫函數}

考慮一個非線性系統如下: ) x ( f x =& 且 f(0)=0 (2. 1) 要 判 斷 系 統 (2. 1) 平衡 點 在 原點 的 穩定 度， 我 們 可以 使 用李 亞普 諾 夫 函 數 (Lyapunov function)來判斷系統在原點的穩定度，給定一個連續可微的純量函數 ) x ( V ，若為系統(2. 1)的李亞普諾夫函數，必須滿足下列兩個條件:

條件

= > ∀ ∈ ≠

其中 ψ 為原點的鄰域，由李亞普諾夫直接方法(Lyapunov Direct Method)，我們可 以得到原點為區域漸進穩定，在原點的鄰域 ψ 的狀態都會收斂到原點，但是由李 亞普諾夫直接方法(Lyapunov Direct Method)來判斷系統在平衡點穩定度，只能在 系統只包含狀態變數。在系統包含狀態和未知控制律時，是不是能用李亞普諾夫 理論來判斷系統是否可以被穩定化，在 Artstein 和 Sontag[22]將李亞普諾夫函數 (Lyapunov Function)的概念推廣到控制李亞普諾夫函數，將李亞普諾夫理論的概 念推廣到系統包含未知控制律時，系統是否可以被穩定化。 考慮一個非線性控制系統如下: ) u , x ( f x =& (2. 2) 我們可以使用控制李亞普諾夫函數判斷(2. 2)式系統是否可被穩定化，給定一個 正定且連續可微的純量函數V(x)，若V(x)為系統(2. 2)的控制李亞普諾夫函數， 必須滿足下列兩個條件:

條件

3: V(0)=0且 V(x)>0 ∀x∈ψ,x≠0

條件

4 : (x), (x,u) x ,x 0 u ≠ ∈ ∀ < ∇V f 0 ψ inf 若可以找到控制李亞普諾夫函數，則針對空間每一點狀態一定可以找到控制力使 控制李亞普諾夫函數遞減。針對非線性仿射系統(affine system) [23]，由[24] Sontag 提出，若能找到控制李亞普諾夫函數，Sontag 提出建構連續控制律使控制 李亞普諾夫遞減，達到狀態收斂到平衡點的目的。我們以下面例子說明 考慮一個非線性系統如下: u x g x f x& = ( )+ ( ) (2. 3) 我們選取平滑純量函數V(x)，並且可以得到 ) ) ( ) ( ( ) (x f x g x u V V& =∇ ⋅ + u x b x a( )+ ( ) =

其中a(x)=∇V(x)⋅ f(x)、b(x)=∇V(x)⋅g(x)，我們利用下面條件

由文獻[24] ，針對(2. 3)式為非有理項(ration case)，若存在平滑控制李亞普諾夫 函數V(x)，若V(x)滿足小控制特性(small control property) ，我們可以建構連續 控制律為 ) ( ) ( ) ( ) ( x b x b x a x a u 4 2 ₊ + − = (2. 4) 控制律選取如(2. 4)式可以使控制李亞普諾函數V(x)遞減，達到狀態收斂的目的。 一般而言對於實際系統我們沒有一套建構控制李亞普諾夫函數的方法，但對 於一些特殊系統，我們知道如何建構控制李亞普諾夫函數，這也是目前在使用控 制李亞普諾夫函數常遇到的問題。

2.2

_{切換式系統}

_{切換式系統}

_{切換式系統}

_{切換式系統}

切換式系統一般來說是指系統包含數個子系統及有一套切換規則切換這數 個子系統，其子系統可由微分方程式或差分方程式來表示。為何要研究切換式系 統，其動機有很多，像是模糊控制(fuzzy control)，適應性控制(adaptive control)， 可變結構控制(variable structure control)這種有多重模式的控制技術，可以將切換 式系統的概念應用上去，除此之外，在[2]、[3]、[4] 中所提到的非完整系統 (nonholonomic control system)這類型的系統，經由 Brockett’s condition[2] 、[5]可 知無法只用單一回授控制使其穩定，在[6]中使用切換式系統的概念來解決這問 題。

系統，此種形式也是切換式系統的一種。 對於切換式系統，切換律選取是相當重要的，從[25]中，我們可以知道若子 系統都為穩定，但切換律選取不當導致整體系統會不穩定。對於切換式系統，若 子系統都不穩定，從[26]我們也可以知道對於不穩定之系統之間是有可能經過切 換達到穩定的目的。 目前對於切換式系統穩定性分析大多都是使用李亞普諾夫函數(Lyapunov function)來分析，這是一個使用能量觀點來分析系統是否穩定的理論，也是一種 常被用來討論系統穩定性的方法。 若子系統之間穩定切換律存在，卻可能出現有限時間內無限次切換的現象 (zeno)，這是我們不想要的，所以我們希望建構有限時間進行有限次切換(nonzeno) 之切換律，並且在這個切換律下達成穩定的目的，Decarlo 提出改善 zeno 的切換 策略[26]，我們以下面這個例子來說明 Decarlo 所提的切換策略 考慮以下切換式系統: x x& = A_i , i={ 21, } , x∈ℜn 此時系統包含兩個子系統且子系統為線性系統，控制目標是希望透過適當切換律 使系統狀態收斂到原點。 一般切換式系統常會碰到如圖 2.1 之切換狀況，即系統可能在某一切換面上進行 來回不斷切換，這種在切換面上發生有限時間內無限次切換的現象(zeno)，雖然 仍可能會使系統狀態收斂到原點，但是我們這種現象通常不是我們不想要的。假 設選擇切換面一或切換面二作為系統的切換面，皆會在切換面上進行來回不斷切 換，在[26]，Decarlo 提出改善 zeno 的切換策略，切換概念如圖 2.2 所示，切換 面一為子系統一切換到子系統二的切換點，切換面二為子系統二切換到子系統一 的切換點，並且在切換面一與切換面二所夾的區域無論使用子系統一或子系統二

皆會使狀態往原點收斂，如此一來可改善 zeno 現象並使系統狀態收斂到原點。 圖 2.1: 原始切換法則 圖 2.2: 新的切換法則 切換面一 切換面二 子系統一 子系統二 子系統一 子系統二 切換面

2.3

_{電力系統模型}

_{電力系統模型}

_{電力系統模型}

_{電力系統模型}

本節中，我們主要是研究 Dobson 和 Chiang [17] 的電力系統數學模型。利 用 Dobson 和 Chiang 的 模 型 ， 並 且 在 原 始 模 型 中 加 入 一 個 變 壓 器 (tap changer)[11]，以變壓器的匝數比作為控制器輸入，達到電壓調節的目的。 在電力系統模型中，主要包含了無限匯流排、非線性負載、變壓器、負載平 衡電容與發電機，其模型描述可以分為負載模型與電力系統模型兩大部分，其描 述如下： 負載模型：非線性負載模型的表示是採用於 Walve[27]，並且在[17]將其化簡， 其非線性模型是描述在感應馬達動態與 PQ 負載在並聯情況之下。而馬達與 PQ 負載所組成的非線性模型，表示如下： ) ( P₀ P₁ K δ K V TV P = + + _pw&+ _pv + & (2. 5) 2 2 1 0 Q Q K δ K V K V Q = + + _qw&+ _qv + _qv (2. 6) 在此，P 與₀ Q 分別代表馬達中所消耗的有效功率與無效功率，₀ P₁與Q₁是表示為 PQ 負載的消耗功率。 電力系統模型：原始模型中加入變壓器的圖形表示於圖 2.3(a)。在模型中，發電 機的動態方程式可利用搖擺方程式(swing equation)獲得，表示如下： m m m m m m m m m m d ω P E VY δ-δ -θ E Y θ δ

M&& =- + + sin( )+ 2 sin (2. 7) 在此， M 、d 與_m P 分別表示發電機的慣量、阻尼與機械功率。在模型中，包含_m 一個負載平衡電容 C ，來使電壓能提升到標么值為 1.0 的附近。為了方便使用， 我們利用戴維寧等效將 C 、Y 、₀ E 化簡，其表示如下： ₀

(

)

2 1 0 1 － 0 2 － 0 2 0 0 E 1 C Y -2CY cosθ E′ = +

(

)

12 0 1 － 0 2 － 0 2 0 0 Y 1 C Y -2CY cosθ Y′ = +         + = ′ 0 1 － 0 0 1 － 0 0 0 cos -1 sin arctan θ CY θ CY θ θ 明顯地，利用戴維寧等效結果E₀′ 與Y₀′ E₀Y₀是相同的，其等效圖形表示於圖 2.3(b)。 (a) (b) 圖 2.3:電力系統模型(a)原始電力系統模型加上變壓器(b)戴維寧等效

計算其網路中所消耗功率，在網路中無效功率損耗與有效功率損耗可以表示 如下：

(

_m, ,

)

_{0 0} sin( ₀)- 1 E_mY_mVsin(δ-δ_m-θ_m) n θ δ V Y E V δ δ P = ′ ′ + 2 2 0 0 sin 1 sin Y θ V n θ Y _{m m}      _{′ ′ +} + (2. 8)

(

_m, ,

)

_{0 0} cos( ₀) 1 E_mY_mVcos(δ-δ_m-θ_m) n θ δ V Y E V δ δ Q = ′ ′ + + 2 2 0 0 cos 1 cos 　 - Y θ V n θ Y _{m m}      _{′ ′ +} (2. 9) 由(2. 5)-(2. 7)以及(2. 8)-(2. 9)，我們可以得到電力系統的動態方程式如下： ω δ&_m = (2. 10) m m m m m m m m m E Y V δ-δ θ E Y θ n P ω d ω

M& = - + + 1 sin( + )+ 2 sin (2. 11)

1 0 2 2 - ( , , )- K V K V Q δ δ V Q Q δ K_qw& = _{qv qv} + _m (2. 12) K_qwK_pvV& = K_pwK_qv2V2+

(

K_pwK_qv-K_qwK_pv

)

V

(

)

(

Pδ ,δ,V -P0 -P1

)

-K

(

Q

(

δ ,δ,V

)

-Q0-Q1

)

K_{qw m pw m} + (2. 13) 我們的系統參數是採用於[17]，其參數值如下： 負載參數 0.4 = pw K ，K_pv =0.3，K_qw =-0.03，K_qv =-2.8，K_qv2 =2.1，T =8.5，P₀ =0.6， 1.3 0 = Q ，P₁ =0 網路與發電機參數 20.0 0 = Y ，θ₀ =-5.0，E₀ =1.0，C=12.0，Y₀′ =8.0，θ₀′ =-12.0，E₀′ =2.5， 5.0 = m Y ，θ_m =-5.0，E_m =1.0，P_m =1.0，d_m =0.05，M =0.3 全部的參數以標么值(per unit value)為單位，其角度以度數表示。

我們令x =₁ δ_m，x =₂ ω，x =₃ δ，x =₄ V ， n u= 1 ，由(2. 10)-(2. 13)，我們 可將動態方程式表示為 2 1 x x& = (2. 14)

[

x x x

]

u x x 1.8807-0.1667 16.6667 sin(0.0873- ) &₂ = ₂ + _{4 1}+ ₃ (2. 15)

(

3

)

4 2 4 4 3 43.3333-93.3333 334.1297 -666.6667 cos0.0873 x& = x + x x x

[

x x x

]

u Q - 166.6667 cos(0.0873 - ) 33.3333 _{1 4} + _{1 3} + 3 2 2 4 166.0325x u +d + (2. 16) ) -cos(0.0873 104.5752 53.0961 -14.5229 7.0327 x&₄ = + x₄ x₄2 + x₄ x₃ +7.8431x₄sin(0.0873-x₃)-5.2288Q₁

[

26.1438x₄cos(0.0873+x₁-x₃)+1.9608x₄sin(0.0873+x₁-x₃)

]

u + 4 2 2 4 26.2152 - x u +d (2. 17) 其中 T 4 3, ) , 0 , 0 ( d d = d 代表系統可能具有的不確定因素或外在干擾。有兩種類型的 d 在文獻[17,23]中提到，其中一種起因於負載的變動，也就是Q₁隨著電力的需求 所產生的變動；另一種則來自於動態感應馬達模型的參數。

2.4 VSC

_{設計控制律}

_{設計控制律}

_{設計控制律}

_{設計控制律達到二項式之穩健輸出追蹤}

_{達到二項式之穩健輸出追蹤}

_{達到二項式之穩健輸出追蹤}

_{達到二項式之穩健輸出追蹤}

考慮一個非線性系統如下 d x g x g x f x& = ( )+ ₁( )u+ ₂( )u2+ (2. 18) ) h( x = y (2. 19) 其中 _∈ℜn x 為系統狀態變數，u∈ℜ為控制輸入，y∈ℜ為控制輸出及 _∈ℜn d 為 模型的不確定因素或外部雜訊。假設f(⋅)、g₁(⋅)、g₂(⋅)及h(⋅ 為平滑向量場。因) 為動態方程式(2. 18)中有 2 u 項，我們可以得知此動態方程式不是非線性仿射系統 (nonlinear affine system)。在本章中，我們將利用可變結構控制設計出一個控制器

u，使得系統輸出即使在有不確定因素與外部雜訊干擾的情況下，依然可以達到 所要的輸出值y_d(t)，完成y(t)→ y_d(t)當t →∞。 針對(2. 18)- (2. 19)，由論文[1]可以利用可變結構控制設計出一個控制律，使 系統輸出即使在有不確定因素與外部雜訊干擾下，依然可以達到所要的輸出值， 完成y(t)→ y_d(t)當t →∞。 我們選定順滑面為 0 = − = ( ) ( ) ) (t y t y t s _d (2. 20) 若系統狀態到達順滑面並且維持在順滑面上，則輸出追蹤就可以達成，因此控制 器必須有到達順滑平面與保持在順滑平面的控制能量。 我們選擇控制器為 re eq u u u= + (2. 21) 其中 re u 要使得系統狀態在有限時間到達順滑面， eq u 要使系統狀態保持在順滑面 中。從(2. 18)- (2. 20)我們可以得到 d y h u h u h h s&=∇ ⋅f(x)+∇ ⋅g₁(x) +∇ ⋅g₂(x) 2 +∇ ⋅d− &

=αu2 +βu+γ+∇h⋅d (2. 22) 其中 h∇ 為h(x)的梯度向量，α =α(x)=∇h⋅g₂(x)， β = β(x)=∇h⋅g₁(x) ， d y h γ γ= (x)=∇ ⋅f(x)− & ，並利用下面假設 假設 假設 假設 假設 2.1

在控制期間α=∇h⋅g₂(x)≠0 假設 假設 假設 假設 2.2

存在一個非負函數κ(x,t)，且∇h⋅d ≤κ(x,t) 假設 2.1 代表系統(2. 18)- (2. 19)的相對階數為 1，並且 2 u 永遠不會消失。除 此之外，我們也藉由假設 2.2 限制 d 的上限。 為了保持系統狀態維持在順滑平面， eq u 是選擇無雜訊存在時滿足s&(t)=0 當∇ dh⋅ =0，由(2. 22)可得 α β ueq 2 ∗ ± − = ∆∆∆∆ (2. 23) 其中 αγ β2 −4 = ∗ ∆ ∆ ∆ ∆ (2. 24) 滿足(2. 23)的 eq u 有兩個，在此我們先選取 α β ueq 2 ∗ − − = ∆∆∆∆ (2. 25) eq u 的選取是為了系統狀態在有限時間到達順滑面，系統必須滿足迫近條件 ) ( ) ( ) (t s t ηs t s & ≤− (2. 26) 其中 η 為正數，我們利用下面假設 假設 假設 假設 假設 2.3 函數 ( tx, ) α −κ ⋅ ∗ 4 ∆ ∆ ∆ ∆ 為正值。並且存在一個正數 η ，使得在控制期間

0 4⋅ − − ≥ = ∗ k t η α t W(x, ) ∆∆∆∆ (x, ) (2. 27) 假設 2.3 意味著(2. 22)拋物線極值的絕對值必須大於不確定因素或外在干擾 的上限值κ(x,t)，也就是∆ 不會因 d 的大小變動導致∆∆∆∗ ∆∆∆∆∗ ≤0 在此，我們選取 re u 為 )) ( ( ts α ure sgn 2 ⋅ = ∆∆∆∆∗ (2. 28) 由論文[1]，我們知道在滿足假設 2.3 系統將滿足迫近條件，在有限時間到達順 滑面。由上述的討論我們可以得到控制律為 )) ( ( ts α α β u sgn 2 2 + ⋅ − − = ∆∆∆∆∗ ∆∆∆∆∗ (2. 29) 若我們在(2. 23)式選擇 eq u 為正號，由論文[1]我們可以得到控制律為 )) ( ( ts α α β u sgn 2 2 − ⋅ + − = ∆∆∆∆∗ ∆∆∆∆∗ (2. 30) 因此，我們有下列的結果

定理

2.1 若系統(2. 18)- (2. 19)滿足假設 2.1、2.2 及 2.3，控制律選定為(2. 29)或 (2. 30)，則系統將可達成輸出追蹤y(t)→ y_d之性能。

Chapter 3

二次多項式系統之穩健輸出追蹤

要使二次多項式系統達到穩健輸出追蹤，論文[1]利用可變結構控制來設計 控制律及提出所需的假設條件，但是在輸出追蹤的過程中系統狀態可能不滿足所 提出的假設條件。為了要使系統達到穩健輸出及維持內部狀態穩定，本論文先針 對無干擾系統(nominal system)利用預備回授(preliminary feedback)使系統達到輸 出追蹤並找出對應的平衡點，本論文所討論的不確定因素來自系統本身一個參數 的估計值與真實值之間的誤差，即此參數會隨時間改變並且此參數可由參數估計 值與參數不確定因素組成，對應的無干擾系統的平衡點可能隨估測參數變化而變 化，接著再設計控制律使系統在有參數不確定因素下達成輸出追蹤並使系統狀態 收斂到無干擾系統的平衡點，如此則同時可以達到穩健輸出追蹤及內部狀態穩定 的目的。 在本章中，我們將探討使二次多項式系統達到穩健輸出追蹤的方法。在 3.1

3.1

_問題描述

_問題描述

_問題描述

_問題描述

考慮如下之單輸入單輸出之二次多項式系統: ) ( p ) x ( g ) x ( g ) x ( f x& = + ₁ u+ ₂ u2 + t (3. 1) ) x ( h y = (3. 2) 其中 _∈ℜn x 為系統狀態變數，u∈ℜ為控制輸入，y∈ℜ為系統輸出， n t)∈ℜ ( p 為 系統其中一個參數且會隨時間改變，假設p t 可寫成如下型式( ) p(t)=p₀(t)+d(t) ，其中d t₀( )代表我們事先可以預測或是量測到的系統參數，d t 為系統參數的( ) 不確定因素。假設f(⋅ 、) g₁(⋅)、g₂(⋅)為平滑向量場。由於系統動態方程式有 2 u 項， 我們可以得知此動態方程式不是非線性仿射系統(nonlinear affine system)[23]。主 要的控制目標是設計控制器使系統在具有參數不確定因素的情況下，依然可以達 到所要的輸出值y ，完成_d y(t)→ y_d，且y 為常數，當_d t →∞，及內部動態要維 持穩定。

3.2

_{控制律設計}

_{控制律設計}

_{控制律設計}

_{控制律設計}

考慮無干擾系統之動態方程式如下: ) ( p ) x ( g ) x ( g ) x ( f x& = + ₁ u+ ₂ u2 + ₀ t (3. 3) ) x ( h y= (3. 4) 由於d t 一般是無法預測的，先針對無干擾系統設計預備控制律使無干擾系統達( ) 到輸出追蹤下並找出對應的平衡點，此時系統必須滿足下列的(3. 5)與(3. 6)式 0 0 2 0 0 0 0 0)+g (x ) +g (x ) +p ( )= x ( f ₁ u ₂ u t (3. 5) 0 0 −yd = h(x ) (3. 6)

我們要解滿足(3. 5)與(3. 6)的解，此時有n+1個方程式與n+1個變數，假設滿足 (3. 5)與(3. 6)的解的解存在，則我們可以解得滿足輸出追蹤對應的平衡點x 與控₀ 制律u ，由於系統已知的估測參數₀ p t₀( )會隨著時間改變，對應滿足輸出追蹤的 平衡點x 與控制律₀ u 會隨著₀ p t₀( )改變。接著我們希望在有參數不確定因素d t( ) 的情況下，我們能設計控制律使系統狀態收斂到平衡點x 達到輸出追蹤與內部₀ 狀態穩定的目的。 設計控制器為: v t u u = ₀( )+ (3. 7) 其中u₀(t)為針對無干擾系統使系統達到輸出追蹤對應解出的預備回授，v為使系 統狀態在有系統參數不確定因素下能克服參數不確定因素使系統達到輸出追蹤 及系統狀態收斂到平衡點x 的控制律。 ₀ 定義狀態誤差為: ) ( x x e= − ₀ t (3. 8) 其中x₀(t)=

[

x₁₀ x₂₀ L x_n0

]

T為針對無干擾系統利用預備回授達成輸出追蹤 下對應解出之平衡點，x=

[

x1 x2 L x_n

]

T為系統狀態。 由(3. 1)- (3. 2)與(3. 7)- (3. 8)，我們可將原始系統動態方程式整理為: ) ( d ) , e ( g ) , e ( g ) , e ( f

e&= _new t + _1new t v+ _2new t v2 + t (3. 9)

其中 dt t d t t u t t u t t t new ) ( x ) ( p ) ( )) ( x e ( g ) ( )) ( x e ( g )) ( x e ( f ) , e ( f = + ₀ + ₁ + _{0 0} + ₂ + _{0 0}2 + ₀ − 0

其中 dt t dx₀( ) 代表無干擾系統的平衡點隨時間的變化率，由於參數估計值隨時間變 化率 dt t dp₀( ) 我們可以獲得，且無干擾系統的平衡點對參數估計值的變化率 ) ( p ) ( x t t 0 0 ∂ ∂ 我們也可以求得，所以 dt t dx₀( ) 我們可以透過鍊鎖律(chain rule)得知。 接著我們針對(3. 9)式的動態方程式，設計控制律v使在有系統參數不確定因 素情形下使e→0，則可以達到穩健輸出追蹤與內部狀態穩定的目的。 一般我們要使狀態誤差收斂到原點，我們可以選取控制李亞普諾夫函數，並 設計控制律使控制李亞普諾夫函數遞減，來達到系統狀態誤差收斂的目的，但可 能找不到平滑(smooth)或連續的控制律使控制李亞普諾夫函數遞減，本論文將使 用切換控制律來達到控制李亞普諾夫函數遞減的目的。 針對(3. 9)式的系統，我們選取控制李亞普諾夫函數 Pe eT V 2 1 = (3. 10) 由(3. 9)式與(3. 10)式可得 ) ( Pd e t c bv av V& = 2 + + + T (3. 11) 其中 T _new t a a= (e, )=e Pg₂ ， T _new t b b= (e, )=e Pg₁ ， T _new t c c= (e, )=e Pf ，且a、 b 可能在某些區域等於零。 當a不為零時，(3. 11)式等號右邊為v的二次多項式，我們可以在滿足一些 假設條件下設計控制律v使系統之控制李亞普諾夫函數遞減，當a為零且 b 不為 零時，(3. 11)式等號右邊為v的一次多項式，我們可以設計另一個控制律v使控 制李亞普諾夫函數遞減，當a、 b 等於零，v不會出現在(3. 11)中，v無法決定V& 的正負號，若此時不加控制(v=0)仍能使落在a、 b 等於零區域的狀態誤差會收 斂到原點，則系統狀態誤差即可達到收斂到原點的目標。

我們利用下面假設 假設 假設 假設 假設 3.1

假設存在正定矩陣 P ，可使得a=0發生在h(e+x₀(t))−y_d =0 假設 假設 假設 假設 3.2

存在非負函數ρ( te, )，使得eTPd ≤ ρ(e,t) 假設 3.1 代表(3. 11)式等號右邊的 2 v 項在h(e+x₀(t))−y_d =0會消失，此時 為非線性仿射系統。除此之外，假設 3.2 說明了eTPd(t)上限。 因為a=0發生在h(e+x₀(t))−y_d =0，我們以h(e+x₀(t))−y_d ≤ε₁作為控制 律切換的分界點，其中ε₁為很小的值，即以h(e+x₀(t))−y_d ≤ε₁為a≈0的情形， 代表a≈0時(3. 11)等號右邊可以近似為v的一次多項式。除此之外， b 可能在使 0 0 − = + t y_d h(e x ( )) 的某些子區域等於零，我們以 b ≤ε₂作為控制律切換分界 點，其中ε₂為很小的值，以b ≤ε₂為b≈0的情形，當a≈0、b≈0時，代表無 法透過v改變V& 的正負號，此時若控制律選取為v=0仍能使落在a、b 等於零區 域的狀態誤差會收斂到原點，則系統狀態誤差即可達到收斂到原點的目標。。 當a≠0，在(3. 11)式，等號右邊是v的二次多項式形式，且一般來說 d 是無 法預測的，考慮V& 在最差情況下，由(3. 11)式及假設 3.2 可得 ) , e ( t ρ c bv av V& = 2 + + + (3. 12) 定義∆∆∆∆ 為(3. 12)式的判別式 )) , e ( (c ρ t a b − + = 2 4 ∆ ∆∆ ∆ (3. 13) 由於a、b 可能在某些區域等於零，我們可分為四個情形討論分別為a>0、 0 < a 、a≈0且b≠0、a ≈0且b≈0的情況，設計適當的控制律及對應穩定的條

考慮a>0的情況: 當a>0時，(3. 11)的拋物線頂點高度不會因不確定因素或外在干擾的上限值 ) , e ( t ρ 而出現大於等於 0，才能設計控制律使V& <0，如圖 3.1 所示。我們利用下 面的假設 3.3 並設計控制律。 假設 假設 假設 假設 3.3

當a>0，在h(e+x₀(t))−y_d =ε₁的鄰域存在不變集合(invariant set)且 滿足∆∆∆∆>0，我們將這個不變集合以ΩΩΩΩ₁表示。 控制律選取 一般來說 d 是無法預測的，我們選取v使得V& <0，我們選取v為 a b v 2 − = (3. 14) 由假設 3.3，在ΩΩΩΩ₁這不變集合裡，使用(3. 14)的控制律使控制李亞普諾夫函數遞 減，達到狀態誤差收斂的目的。 考慮a<0的情況: 當∆∆∆∆ 為負值且a<0，代表此時拋物線頂點的高度不會因為 d 的大小變動而使拋 物線頂點高度大於等於零，此時拋物線開口向下，此時任意的

v

皆可使V& <0， 如圖 3.2 所示，所以，我們將控制律選取如(3. 15)可使V& <0。當∆∆∆∆ 為正值且a<0， 代表此時拋物線頂點的高度不會因為 d 的大小變動而使拋物線頂點高度小於等 於零，此時拋物線開口向下，我們一定可以找到v使V& <0，我們將控制律選取 如(3. 16)可使V& <0，如圖 3.3 所示，我們利用下面的假設 3.4 並設計控制律。 假設 假設 假設 假設 3.4

當a<0，在h(e+x₀(t))− y_d =ε₁的鄰域存在不變集合，我們將這個不 變集合以ΩΩΩΩ₂表示

當a<0，控制律選取 一般來說 d 是無法預測的，當∆∆ 為負值，我們選∆∆ v使V& <0，我們選取v 為(3. 15)式 a b v 2 − = (3. 15) 一般來說 d 是無法預測的，當∆∆ 為正值，我們選∆∆ v使得V& <0，，我們選取v為(3. 16)式，並利用下面假設 3.5 ) (a sgn a a b v=− + ∆∆∆∆ 2 (3. 16) 由假設 3.4，在ΩΩΩΩ₂這不變集合裡，使用(3. 15)或(3. 16)的控制律可使控制李亞普 諾夫函數遞減，達到狀態誤差收斂的目的。 考慮a≈0、b≠0的情況: 當a≈0、b≠0，V& 可以進似成v的一次多項式形式，我們利用下面假設 3.5 並 設計控制律。 假設 假設 假設 假設 3.5

當a≈0，在h(e+x₀(t))− y_d ≤ε₁區域存在不變集合使狀態不會進入 0 > a 、∆∆∆∆<0造成狀態誤差發散的情形，我們將此不變集合以ΩΩΩΩ 表示並且₃ 3 1 3 ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ Ω Ω Ω Ω ∩ ⊆ 、ΩΩΩΩ₃∩ΩΩΩΩ₂ ⊆ΩΩΩΩ₃，如圖 3.4 所示。 當a≈0，由(3. 11)可以得到 Pd eT c bv V& ≈ + + (3. 17) 當a≈0、b≠0，由(3. 17)式我們選取控制律v為 b b t c v= − −ρ(e, )−0.5 (3. 18)

變動而使V& ≥0。 假設 3.5 代表使用(3. 18)的控制律在ΩΩΩΩ 這不變集合內能維持₃ a≈0，且使控制李 亞普諾夫函數遞減，使落在ΩΩΩΩ 區域的狀態誤差收斂。 ₃ 考慮a≈0、b≈0的情況: 當a=0、b=0時，無法透過v改變V& 的正負號，我們利用下面假設 3.6 並設計 控制律。 假設 假設 假設 假設 3.6 當a=0、b=0，控制律選取(3. 19)，在此情況下系統狀態誤差會收斂 到原點。 當a≈0、b≈0，我們選取的控制律v為 0 = v (3. 19) 假設 3.6 代表當a=0、b=0時，無法透過v改變V& 的正負號，此時若控制律選 取為v=0仍能使落在a、b 等於零區域的狀態誤差會收斂到原點，則系統狀態誤 差即可達到收斂到原點的目標。

定理

3.1 在系統(3. 9)滿足假設 3.1、3.2，在a>0滿足假設 3.3，控制律選取為(3. 14) ，在a<0滿足假設 3.4，控制律選取為(3. 15)或(3 16)，a≈0、b≠0滿足假 設 3.5，控制律選取為(3. 18)，在a≈0、b≈0滿足假設 3.6，控制律選取為(3. 19)， 則在ΩΩΩΩ₁∪ΩΩΩΩ₂ ∪ΩΩΩΩ₃的區域我們可以達到使狀態誤差收斂到原點之目的，因此系 統將可以達到輸出追蹤與內部狀態穩定的目的。

圖 3.3: a<0，∆∆∆∆<0，(3.10)示意圖

Chapter 4

應用於變壓器控制之電力系統的電

壓調節研究

在本章中我們將應用 3.2 節中設計的控制律於 Dobson 和 Chiang[17]的電力系統 模型，在原始模型中加入一個變壓器[11]，如 2.3 節所介紹的電力系統模型，以 變壓器為控制輸入點，藉由調整變壓器的匝數比，使系統負載電壓能穩定在我們 希望的電壓值，來達到電壓調節的功能及內部狀態穩定的目的。在 4.1 節中，為 在 Dobson 和 Chiang 的電力系統模型加入變壓器，推導系統動態方程式表示式。 在 4.2 節中，我們將 3.2 節中針對單輸入單輸出的二次多項式系統設計的控制律 應用於電力系統中，設計出適合的控制律，應用於電力系統使系統達到電壓調節 與維持內部狀態穩定的目的，並且討論可以達到電壓調節與內部狀態穩定的範 圍，並分析模擬結果。在 4.3 節中，我們將 3.2 節設計出的控制律與 VSC 設計出 的控制律作一些效能的比較。

4.1

_{系統動態方程式}

_{系統動態方程式}

_{系統動態方程式}

_{系統動態方程式}

在 2.3 節中，將 Dobson 和 Chiang [17] 的電力系統模型加入一個變壓器[11]，經 過參數的選取與整理得到(2. 17)-(2. 20)式，在本論文中，我們假設 d 只來自於Q₁ 的變動，我們可將(2.17-(2.20)表示成如下的形式 我們可將(2.17-(2.20)表示成如下的形式 ) ( p x g x g x f x& = ( )+ ₁( )u+ ₂( )u2 + t (4. 1) 其中               =               =             = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2,4 2,3 2,2 2,1 2 1,4 1,3 1,2 1,1 1 4 3 2 1 x x x x x g x x x x x g x x x x x f g g g g g g g g f f f f ，             − = 1 1 2288 5 3333 33 0 0 Q Q . . p f₁(x) = x₂ f₂(x) = 1.8807-0.1667x₂ f₃(x) = 43.3333-93.3333x₄ +334.1297x₄2 -666.6667x₄cos

(

0.0873-x₃

)

) -cos(0.0873 104.5752 53.0961 -14.5229 7.0327 ) ( _{4 4}2 _{4 3} 4 x x x x f x = + + ) -sin(0.0873 7.8431x₄ x₃ + g_1,1(x) = 0 g_1,2(x) = 16.6667x₄sin(0.0873-x₁ +x₃) g_1,3(x) = -166.6667x₄cos(0.0873+x₁-x₃) g_1,4(x) = 26.1438x₄cos(0.0873+x₁-x₃)+1.9608x₄sin(0.0873+x₁-x₃)

g_2,1(x) = 0 g_2,2(x) = 0 g_2,3(x) = 166.0325x₄2 g_2,4(x) = -26.2152x₄2 p₁ = 0 p₂ = 0 p₃ = 33.3333Q₁ p₄ = -5.2288Q₁ 其中Q₁為系統中的一個參數，代表負載的無效功率消耗，我們可以將Q₁以 1 10 1 Q Q Q = +∆∆∆∆ 表示，其中Q₁代表實際的負載無效功率消耗，Q 代表量測的負₁₀ 載無效功率消耗，∆∆∆∆Q₁代表負載無效功率的誤差量。 則我們可以將 d 表示成如下的形式: d p p= ₀ + 其中             − =             − = 1 1 10 10 0 2288 5 3333 33 0 0 , 2288 5 3333 33 0 0 Q Q Q Q ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ . . d . . p 則電力系統可以表示成如下的形式 d p x g x g x f x& = ( )+ ₁( )u+ ₂( )u2 + ₀ + (4. 2) 在此，我們選擇系統電壓為系統輸出 4 x y = (4. 3)

4.2

_{控制律設計}

_{控制律設計}

_{控制律設計}

_{控制律設計}

4.2.1

_{系統平衡點分析}

_{系統平衡點分析:}

_{系統平衡點分析}

_{系統平衡點分析}

考慮無干擾系統如下: 0 2 2 1( ) ( ) ) (x g x g x p f x& = + u+ u + (4. 4) 由於控制目標是讓負載電壓固定穩定在 1，我們針對無干擾系統設計預備控制律 0 u 使負載電壓固定在 1，並找出對應之平衡點x ，則必須滿足下列(4. 5)-(4. 8) ₀ 20 0=x (4. 5) 0 30 10 20 166667sin(0.0873 -1667 0 8807 1 0= . − . x + . x +x )u (4. 6) 10 30 333333 0873 0 cos 6667 666 1297 284 0= . − . ( . −x )+ . Q −166.6667cos(0.0873−x₁₀ +x₃₀)u₀ +166.0325u₀2 (4. 7) 10 30 30 78431sin 00873 52288 0873 0 cos 5752 104 6059 45 0=− . + . ( . −x )+ . ( . −x )− . Q +[26.1438cos(0.0873+x₁₀−x₃₀)+1.9608sin(0.0873+x₁₀−x₃₀)]u₀ 2 0 2152 26. u − (4. 8) 由(4. 5)-(4. 8)中，要解得符合的平衡點x 與₀ u 並非容易，且₀ x 與₀ u 的值會₀ 隨Q 值變化而變化，由(4. 9) 可以得知₁₀ x₂₀ =0，我們利用”AUTO”來求得(4. 10)-(4. 13)的平衡點與u 。經由”AUTO”計算後，我們可以得到兩組衡點與₀ u 為₀ 正的解，分別為{ T x x x₀₁ =[ ₀₁₁,0, ₀₁₃] 、u }及{₀₁ x₀₂ =[x₀₂₁,0,x₀₂₃]T、u }，我們將₀₂ 兩組平衡點與u 分別以實現與虛線來表示如圖 4.1 所示，同時也可以得到兩組衡₀ 點與u 為負的解，我們將兩組平衡點與₀ u 分別以實現與虛線來表示如圖 4.2 所₀

示，但u 為負，由於控制輸入點為變壓器匝數比倒數，₀ u 為負得到負的匝數比₀ 與實際系統不符，故選用u 為正的解。由圖 4.1 我們可以觀察在₀ Q₁₀ ≥12.45就無 平衡點與u 存在。接下來我們將利用系統線性化來判斷所得的平衡點是否為穩₀ 定的平衡點。 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 0 2 4 x 1 0 Q₁₀ 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 -0.04 -0.02 0 x 3 0 Q₁₀ 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 0 0.5 1 1.5 u 0 Q 10 x 011 x 021 x 013 x₀₂₃ u₀₁ u₀₂ 圖 4.1: u 為正值，平衡點₀ x 與₀ u 對₀ Q 的變化 ₁₀ 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 -4 -2 0 x 1 0 Q₁₀ 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 -0.05 0 0.05 x 3 0 Q₁₀ 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 -1.5 -1 -0.5 0 u 0 Q 10

4.2.2

_{穩定點分析}

_{穩定點分析:}

_{穩定點分析}

_{穩定點分析}

利用 4.2.1 所得的平衡點與u 進行線性化分析，來判斷系統在₀ x₄ =1是否有穩定 平衡點存在，我們令e=[e₁,e₂,e₃]，在此 10 1 1 x x e = − 20 2 2 x x e = − 30 3 3 x x e = − 其中(x₁₀,x₂₀,x₃₀)分別代表(x₁,x₂,x₃)的平衡點將系統(4. 5)-(4. 8)對平衡點進行 線性化，可得 e e& = A₀ (4. 9) 在此           = 33 31 23 22 21 0 0 0 1 0 a a a a a A 0 30 10 21 166667cos 00873 x x u a =− . ( . − + ) 1667 0 22 =− . a 0 30 10 23 166667cos 00873 x x u a = . ( . − + ) 0 30 10 31 166667sin 00873 x x u a = . ( . + − ) 0 30 10 31 166667sin 00873 x x u a = . ( . + − ) 0 30 10 30 33 6666667sin 00873 x 1666667sin 00873 x x u a =− . ( . − )− . ( . + − ) 將由 4.2.1 節所得的平衡點x 、₀₁ x 與控制律₀₂ u 、₀₁ u 分別帶入(4. 9)，其中₀₂

平衡點為x 控制律為₀₁ u 時，所得到₀₁ A 特徵值的實部對₀ Q 變化如圖 4.3(a)所₁₀ 示，由圖 4.3(a)我們可以知道特徵值實部皆在左半平面，故加入u 所得的平衡點₀₁ 01 x 為一個穩定平衡點；當平衡點為x 控制律為₀₂ u 時，所得到₀₂ A 特徵值的實部₀ 對Q 變化如圖 4.3(b)所示，由圖 4.3(b)我們可以知道當₁₀ Q₁₀ ≤11.2特徵值實部皆 在右半平面，故當Q₁₀ ≤11.2加入u 所得的平衡點₀₂ x 為一個不穩定平衡點。 ₀₂ 8 9 10 11 12 -120 -100 -80 Q₁₀ 8 9 10 11 12 -92 -90 -88 Q₁₀ 8 9 10 11 12 -0.15 -0.1 Q₁₀ 8 9 10 11 12 0 1 2 3 Q₁₀ 8 9 10 11 12 -0.14 -0.12 -0.1 (a) Q₁₀ 8 9 10 11 12 -3 -2 -1 0 (b) Q₁₀ 圖 4.3: (a)左邊三圖代表平衡點為x 控制律為₀₁ u ，₀₁ Q 對三個特徵值的影響 ₁₀ (b)右邊三圖代表平衡點為x 控制律為₀₂ u ，₀₂ Q 對三個特徵值的影響 ₁₀

4.2.3

_{控制律設計}

_{控制律設計}

_{控制律設計}

_{控制律設計}

在 4.2.1 節中，我們設計預備控制律使無干擾系統滿足輸出追蹤並找出對應 的平衡點，在 4.2.2 節中，我們利用線性化技術探討系統平衡點的穩定度。接下 來我們將 3.2 節針對單輸入單輸出的二次多項式系統設計控制律的方法，設計控 制律使系統在有參數不確定因素 d 下，達到電壓調節與系統狀態收斂到無干擾系 統的平衡點，如此則可同時達到輸出追蹤與內部狀態穩定的功能。 我們設計控制律為 v t u u= ₀( )+ (4. 10) 其中u 為針對無干擾系統使達到輸出追蹤對應解出的預備回授，且₀ u 的值會隨₀ 10 Q 值變化而變化，v為使系統在有不確定因素下能克服參數不確定因素使系統 達到輸出追蹤及系統狀態收斂到平衡點x 的控制律。 ₀ 定義狀態誤差為 ) ( x x e= − ₀ t (4. 11) 其中x₀(t =)

[

x₁₀ 0 x₃₀ 1

]

為針對無干擾系統使達到輸出追蹤下對應解出之平 衡點，且x t₀( )的值會隨Q 變化， x 為系統狀態 ₁₀ 由(4. 10)、(4. 11)，我們可將(4. 2)重新整理得到 d ) (e g ) (e g ) (e f

e& = _new ,t + _1new ,t v+ _2new ,t v2 + (4. 12) 其中 dt t d u t u t t new ) ( x p )) ( x (e g )) ( x (e g )) ( x f(e ) , e ( f t = + ₀ + ₁ + _{0 0} + ₂ + _{0 0}2 + ₀− 0 ) ( )) ( x e ( g )) ( x (e g ) , e ( g_1new t = ₁ + ₀ t +2 ₂ + ₀ t u₀ t )) ( x (e g ) , e ( g_2new t = ₂ + ₀ t

              = ) (e, ) (e, ) (e, ) (e, ) , ( f t f t f t f t f e new, new, new, new, new 4 3 2 1 t               = ) (e, ) (e, ) (e, ) (e, ) (e, g t g t g t g t g new, new, new, new, new 4 1 3 1 2 1 1 1 1 t               = ) (e, ) (e, ) (e, ) (e, ) (e, g t g t g t g t g new, new, new, new, new 4 2 3 2 2 2 1 2 2 t             = 4 3 2 1 d d d d d dt (t) dx e t f_new, 10 2 1(e, )= − ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) (e,t e e e x t e x t u t f_new,2 =1.8807−0.1667 ₂ +16.6667 ₄ +1sin 0.0873− ₁− ₁₀ + ₃ + _{30 0} ) 0.0873 cos 1 666.6667 334.1297 574.9261 284.1297 _{4 4}2 _{4 3 30} 3(e,t) e e (e ) ( e x (t) f_new, = + + − + − − −166.6667(e₄+1)cos(0.0873+e₁+x₁₀(t)−e₃−x₃₀(t))u₀(t) dt (t) dx Q t u e₄ 1 2 ₀2 33.3333 ₁₀ 30 166.0325 + + − + ( ) ( ) )) ( ( ) ( ) (e,t e e e e x t f_new,4 = −45.6059 −91.6693 ₄ −53.0961 ₄2 +104.5752 ₄ +1 cos 0.0873 − ₃ − ₃₀ +7.8431(e₄ +1)sin(0.0873−e₃ −x₃₀(t)) +26.1438(e₄ +1)cos(0.0873+e₁+x₁₀(t)−e₃−x₃₀(t))u₀(t) ) ( )) ( ) ( ( ) e x t e x t u t e₄ 1sin 0.0873 _{1 10 3 30 0} 1.9608( + + + − − + 10 2 0 2 4 1 5.2288 26.2152(e + u t − Q − ) ( ) 0 = ) (e,t g_1new,1 )) ( ) ( ( ) ( ) (e,t e e x t e x t g_1new,2 =16.6667 ₄ +1sin 0.0873− ₁− ₁₀ + ₃+ ₃₀ ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) (e,t e e x t e x t e u t g_1new,3 =-166.6667 ₄ +1cos 0.0873+ ₁+ ₁₀ − ₃− ₃₀ +332.065 ₄ +12 ₀ )) ( ) ( ( ) ( ) (e,t e e x t e x t g_1new,4 =26.1438 ₄ +1cos 0.0873+ ₁+ ₁₀ − ₃− ₃₀ ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) (e 1sin 0.0873 e x t e x t 52.4304 e 1 2u t 1.9608 + + + − − − + +

0 2new,2(e, t)= g 2 4 3 2 (e,t)=166.0325(e +1) g _new, 2 4 4 2 (e,t)=−26.2152(e +1) g _new, 0 1 = d 0 2 = d 1 3 33.3333∆Q d = 1 4 5.2288∆Q d =− 由 4.1.1 小節我們可以知道x 、₁₀ x 、₃₀ u 會隨₀ Q 變化如圖 4.1 所示，我們可₁₀ 以利用曲線契合(curve fitting)得到x 、₁₀ x 對₃₀ Q 的函數，並且₁₀ Q 對時間的變化₁₀ 我們一般可以量測的到，由鍊鎖律(chain rule)我們可以得知 dt (t) dx₁₀ 、 dt (t) dx₃₀ 。 由於(4. 12)式，我們可以知道 dt (t) dx e e&₁ = ₂ − 10 ，由圖 4.1 若Q 變動不大則₁₀ dt (t) dx₁₀ 很小，則e ≈&₁ e₂，若能使e +₁ e₂收斂到零，則可以使e₁、e₂收斂到零。 我們定義z(e)=

[

e₁+e₂ e₃ e₄

]

T 並且可以得到 d ) (e g ) (e g ) (e f ) e (

z& = _new′ ,t + ₁′_new ,t v+ ′_2new ,t v2 + ′ (4. 13)

其中           ′ ′ ′ = ′ ) , e ( ) , e ( ) , e ( ) , e ( f , , , t f t f t f new new new new 3 2 1 t           ′ ′ ′ = ′ ) , e ( ) , e ( ) , e ( ) (e, g , , , t g t g t g new new new new 3 1 2 1 1 1 1 t           ′ ′ ′ = ′ ) , e ( ) , e ( ) , e ( ) (e, g , , , t g t g t g new new new new 3 2 2 2 1 2 2 t           ′ ′ ′ = ′ 3 2 1 d d d ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ d