Chapter 3 二次多項式系統之穩健輸出追蹤
3.2 控制律設計
4.2.2 穩定點分析:
平衡點為x 控制律為01 u 時，所得到01 A 特徵值的實部對0 Q 變化如圖 4.3(a)所10 示，由圖 4.3(a)我們可以知道特徵值實部皆在左半平面，故加入u 所得的平衡點01 x 為一個穩定平衡點；當平衡點為01 x 控制律為02 u 時，所得到02 A 特徵值的實部0 對Q 變化如圖 4.3(b)所示，由圖 4.3(b)我們可以知道當10 Q10 ≤11.2特徵值實部皆 在右半平面，故當Q10 ≤11.2加入u 所得的平衡點02 x 為一個不穩定平衡點。 02
8 9 10 11 12
-120 -100 -80
Q10
8 9 10 11 12
-92 -90 -88
Q10
8 9 10 11 12
-0.15 -0.1
Q10
8 9 10 11 12
0 1 2 3
Q10
8 9 10 11 12
-0.14 -0.12 -0.1
(a) Q10
8 9 10 11 12
-3 -2 -1 0
(b) Q10
圖 4.3: (a)左邊三圖代表平衡點為x 控制律為01 u ，01 Q 對三個特徵值的影響 10 (b)右邊三圖代表平衡點為x 控制律為02 u ，02 Q 對三個特徵值的影響 10
4.2.3 控制律設計 控制律設計 控制律設計 控制律設計
2new,2(e, t)=0
)
首先，我們選取控制李亞普諾夫函數:
)
我們選取ε1 =10−3，代表a≈0時，(4. 16)式等號右邊可以近似
v
的一次多項式，此時我們需要切換控制律使控制李亞普諾夫函數遞減。
當a≈0，其中 b 可能在某些區域發生等於 0，當
e
4= 0
時，b=0發生在e3 =0 如圖 4.4 所示，我們以b = ε
2當控制律切換的分界點，ε
2為很小的值，以b ≤ ε
2 為b≈0的情形，以b > ε
2為b≠0的情形，。當a≈0、b≈0時，代表此時無法透過
v
改變V& 的正負號，且此時e3 ≈0、4
≈ 0
e
，此時控制律選取為v=0，若系統狀態誤差在此情況下會收斂到原點，則 可以達到狀態誤差收斂到原點的目的。當a≈0，系統則在a≈0、b≈0的情形與a≈0、b≠0的情形，在這兩種情 況下作切換，達到狀態誤差收斂到原點的目標，如圖 4.5 所示
由於
a
、b 可能在某些區域等於零，我們可分為四個情形討論分別為a>0、<0
a 、a≈0且b≠0、a ≈0且b≈0的情況，設計適當的控制律及對應穩定的條 件。
考慮a>0的情形:
當a>0，控制律選取
一般來說 d′ 是無法預測的，我們選取
v
使得V& <0，我們選取v
為a v b
−2
= (4. 18)
當a>0，必須在滿足∆∆∆∆>0的限制我們才可以設計控制律使控制李亞普諾夫函數 遞減，若在滿足∆∆∆∆>0的區域內存在某個區域
Ω Ω Ω Ω
1( t e , )
，且Ω Ω Ω Ω
1( t e , )
為不變集合，則
Ω Ω Ω Ω
1( t e , )
為可達成使狀態誤差收斂的區域。由(4. 13)、(4. 16)及(4. 17)的形式，我們可以知道滿足∆∆∆∆>0將受到
e
1、e
2、e 、3e
4、Q 及10∆ ∆ ∆ ∆ Q
1的影響，因此，若選定Q ，10∆ ∆ ∆ ∆ Q
1值不同，則滿足∆∆∆∆>0的狀態區因此當a>0，我們可以在∆∆∆∆( te, )>0的區域估計出不變集合
Ω Ω Ω Ω
1( t e , )
，且在Ω Ω Ω Ω
1( t e , )
這不變集合裡，由於控制李亞普諾夫函數會遞減，達到狀態誤差收斂的目的。考慮a<0的情形:
一般來說 d′ 是無法預測的，當∆∆∆∆<0，我們選
v
使V& <0，我們選取v
為a v b
−2
= (4. 19)
一般來說 d′ 是無法預測的，當∆∆∆∆>0，我們選
v
使得V& <0，，我們選取v
為) (a a sgn a
v=− b + ∆∆∆∆
2 (4. 20) 當a<0，我們一定可以找到控制律使控制李亞普諾夫函數遞減，若在滿足a<0 的區域內存在某個區域
Ω Ω Ω Ω
2( t e , )
，且Ω Ω Ω Ω
2( t e , )
為不變集合，則Ω Ω Ω Ω
2( t e , )
為可達成使 狀態誤差收斂的區域。我們以下面這個例子來說明，考慮Q =9，10
∆ ∆ ∆ ∆ Q
1= 0 . 2
，e
4= 0 . 3
，我們可以在空 間中畫出滿足ΩΩΩΩ( te, )的區域如圖 4.10 所示。在圖 4.9 中，圖形在e
1的方向上是週 期的，因此我們擷取範圍在− π ~ π
來表示，圖中黃色的曲面代表的是∆∆∆∆( te, )=0的 等高曲面，兩個黃色曲面所夾的區域是∆∆∆∆( te, )>0的區域，以外則是∆∆∆∆( te, )<0的 區域，在∆∆∆∆( te, )<0的區域，我們可以選取控制律a v b
−2
= 使控制李亞普諾夫函數
遞減，我們將
a v b
−2
= 代入e& ，藍色的曲面代表的是將3
a v b
−2
= 代入e& 所得到3
3 =0
e& 的圖形，兩個藍色區面所夾的是e&3 <0的圖形，以外則是e&3 >0的圖形，
因此我們可以發現在a<0區域存在不變集合，同樣的方式當Q =9，10
∆ ∆ ∆ ∆ Q
1= 0 . 2
，1
4
= 0 .
e
，從圖 4.11 可以發現滿足∆∆∆∆( te, )>0的區域的區域會變大，e 範圍越大，3 仍存在不變集合。接著考慮Q =9，10∆ ∆ ∆ ∆ Q
1= 0 . 2
，e
2= 0
，我們可以在空間中畫出 滿足∆∆∆∆( te, )>0的區域，如圖 4.12 所示。在圖 4.12 中，圖形在e
1的方向上是週期的，因此我們擷取範圍在
− π ~ π
來表示，圖中黃色的曲面代表的是∆∆∆∆( te, )=0的 等高曲面，黃色曲面以下是∆∆∆∆( te, )>0的區域，以上則是∆∆∆∆( te, )<0的區域，我們 可以知道e 要介在某個範圍3 ∆∆∆∆( te, )>0，藍色的曲面代表的是將a v b
−2
= 代入e&3 所得到e&3 =0的圖形，藍色區面以下的是e&3 <0的圖形，以上則是e&3 >0的圖形，
因 此 我 們 可 以 發 現 在a<0區 域 存 在 不 變 集 合 ， ， 同 樣 的 方 式 當Q =9 ，10
2
1
= 0 .
∆ Q
∆
∆
∆
，e
2= 2
，從圖 4.13 可以發現滿足∆∆∆∆( te, )>0的區域幾乎沒有什麼變化，在a<0依然存在不變集合。
因此當a<0，我們可以在a<0的區域估計出不變集合
Ω Ω Ω Ω
2( t e , )
，且在Ω Ω Ω Ω
2( t e , )
這 不變集合裡，由於控制李亞普諾夫函數會遞減，達到狀態誤差收斂的目的。考慮a≈0、b≠0的情形:
由(4. 16)可以得到
) , e ( t ρ c bv
V& ≈ + + (4. 21) 選取控制律為:
b
b t
ρ
v −c− (e, )−0.5
= (4. 22)
當a≈0，我們需要估計收斂範圍，避免系統狀態誤差進入a>0、∆∆∆∆<0，造成 狀態誤差發生發散的情形。我們以下面這個例子說明，考慮Q =9，10
∆ ∆ ∆ ∆ Q
1= 0 . 2
，3 4 =−10−
e ，我們將(4. 292 式控制律代入
e &
4、e& ，可以在空間中畫出3e &
4相關的圖 形如圖 4.14 所示，圖中黃色曲面代表的是e &
4= 0
的等高曲面，兩個黃色曲面所夾 的是e &
4> 0
的區域，以外則是e &
4< 0
的區域，我們可以發現e 要在某個範圍才能3使
e &
4> 0
，圖中藍色區面代表的是e&3 =0的等高曲面，兩個藍色區域所夾的是式控制律代入
e &
4，可以在空間中畫出e &
4的圖形如圖 4.15 所示，圖中藍色曲面代57)