電力系統模型

(

0

)

¹²

－1 0

－2 0 2 0

0 Y 1 C Y -2CY cosθ Y′ = +









 + 

′ =

0

－1 0

0

－1 0 0

0 1- cos

arctan sin

CY θ

θ θ CY

θ

明顯地，利用戴維寧等效結果E₀′ 與Y₀′ E₀Y₀是相同的，其等效圖形表示於圖 2.3(b)。

(a)

(b)

圖 2.3:電力系統模型(a)原始電力系統模型加上變壓器(b)戴維寧等效

計算其網路中所消耗功率，在網路中無效功率損耗與有效功率損耗可以表示 全部的參數以標么值(per unit value)為單位，其角度以度數表示。

我們令x =₁ δ_m，

x =

₂

ω

，x =₃ δ，

x =

₄

V

，

2.4 VSC 設計控制律 設計控制律 設計控制律 設計控制律達到二項式之穩健輸出追蹤 達到二項式之穩健輸出追蹤 達到二項式之穩健輸出追蹤 達到二項式之穩健輸出追蹤

=αu² +βu+γ+∇h⋅d (2. 22)

4 − − ≥ 0

= ⋅

^∗

k t η t α

W ( x , ) ∆ ∆ ∆ ∆ ( x , )

(2. 27)

假設 2.3 意味著(2. 22)拋物線極值的絕對值必須大於不確定因素或外在干擾 的上限值κ(x,t)，也就是∆∆∆∆ 不會因 d 的大小變動導致^∗

∆ ∆ ∆ ∆

^∗

≤ 0

在此，我們選取

u

^re為

)) ( ( ts u^re α sgn

= 2 ⋅∆∆∆∆^∗

(2. 28)

由論文[1]，我們知道在滿足假設 2.3 系統將滿足迫近條件，在有限時間到達順 滑面。由上述的討論我們可以得到控制律為

)) ( ( ts α

α

u β sgn

2 2− + ⋅

= − ∆∆∆∆^∗ ∆∆∆∆^∗

(2. 29)

若我們在(2. 23)式選擇

u

^eq為正號，由論文[1]我們可以得到控制律為

)) ( ( ts α

α

u β sgn

2 2+ − ⋅

= − ∆∆∆∆^∗ ∆∆∆∆^∗

(2. 30)

因此，我們有下列的結果

定理2.1 若系統(2. 18)- (2. 19)滿足假設 2.1、2.2 及 2.3，控制律選定為(2. 29)或 (2. 30)，則系統將可達成輸出追蹤y(t)→ y_d之性能。

Chapter 3

二次多項式系統之穩健輸出追蹤

要使二次多項式系統達到穩健輸出追蹤，論文[1]利用可變結構控制來設計 控制律及提出所需的假設條件，但是在輸出追蹤的過程中系統狀態可能不滿足所 提出的假設條件。為了要使系統達到穩健輸出及維持內部狀態穩定，本論文先針 對無干擾系統(nominal system)利用預備回授(preliminary feedback)使系統達到輸 出追蹤並找出對應的平衡點，本論文所討論的不確定因素來自系統本身一個參數 的估計值與真實值之間的誤差，即此參數會隨時間改變並且此參數可由參數估計 值與參數不確定因素組成，對應的無干擾系統的平衡點可能隨估測參數變化而變 化，接著再設計控制律使系統在有參數不確定因素下達成輸出追蹤並使系統狀態 收斂到無干擾系統的平衡點，如此則同時可以達到穩健輸出追蹤及內部狀態穩定 的目的。

在本章中，我們將探討使二次多項式系統達到穩健輸出追蹤的方法。在 3.1

3.1 問題描述 問題描述 問題描述 問題描述

我們要解滿足(3. 5)與(3. 6)的解，此時有n+1個方程式與n+1個變數，假設滿足

其中 dt

我們利用下面假設

考慮a>0的情況:

當a>0時，(3. 11)的拋物線頂點高度不會因不確定因素或外在干擾的上限值 )

, e ( t

ρ 而出現大於等於 0，才能設計控制律使V& <0，如圖 3.1 所示。我們利用下 面的假設 3.3 並設計控制律。

假設假設

假設假設 3.3 當a>0，在

h ( e + x

₀

( t )) − y

_d

= ε

₁的鄰域存在不變集合(invariant set)且 滿足∆∆∆∆>0，我們將這個不變集合以

Ω Ω Ω Ω

₁表示。

控制律選取

一般來說 d 是無法預測的，我們選取

v

使得V& <0，我們選取

v

為

a v b

−2

= (3. 14)

由假設 3.3，在

Ω Ω Ω Ω

₁這不變集合裡，使用(3. 14)的控制律使控制李亞普諾夫函數遞 減，達到狀態誤差收斂的目的。

考慮a<0的情況:

當∆∆∆∆ 為負值且a<0，代表此時拋物線頂點的高度不會因為 d 的大小變動而使拋 物線頂點高度大於等於零，此時拋物線開口向下，此時任意的

v

皆可使V& <0， 如圖 3.2 所示，所以，我們將控制律選取如(3. 15)可使V& <0。當∆∆∆∆ 為正值且a<0， 代表此時拋物線頂點的高度不會因為 d 的大小變動而使拋物線頂點高度小於等 於零，此時拋物線開口向下，我們一定可以找到

v

使V& <0，我們將控制律選取 如(3. 16)可使V& <0，如圖 3.3 所示，我們利用下面的假設 3.4 並設計控制律。

假設 假設 假設

假設 3.4 當a<0，在

h ( e + x

₀

( t )) − y

_d

= ε

₁的鄰域存在不變集合，我們將這個不 變集合以

Ω Ω Ω Ω

₂表示

當a<0，控制律選取

一般來說 d 是無法預測的，當∆∆ 為負值，我們選∆∆

v

使V& <0，我們選取

v

為(3. 15)式

a v b

−2

= (3. 15)

一般來說 d 是無法預測的，當∆∆ 為正值，我們選∆∆

v

使得V& <0，，我們選取

v

為(3.

16)式，並利用下面假設 3.5

) (a a sgn a

v b ∆∆∆∆ +

−

= 2 (3. 16)

由假設 3.4，在

Ω Ω Ω Ω

₂這不變集合裡，使用(3. 15)或(3. 16)的控制律可使控制李亞普 諾夫函數遞減，達到狀態誤差收斂的目的。

考慮a≈0、b≠0的情況:

當a≈0、b≠0，V& 可以進似成

v

的一次多項式形式，我們利用下面假設 3.5 並 設計控制律。

假設 假設 假設

假設 3.5 當a≈0，在

h ( e + x

₀

( t )) − y

_d

≤ ε

₁區域存在不變集合使狀態不會進入

>0

a 、∆∆∆∆<0造成狀態誤差發散的情形，我們將此不變集合以ΩΩΩΩ 表示並且₃

3 1 3 ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩ

ΩΩ ∩ ⊆ 、ΩΩΩΩ₃∩ΩΩΩΩ₂ ⊆ΩΩΩΩ₃，如圖 3.4 所示。

當a≈0，由(3. 11)可以得到

Pd e

^T

c bv

V & ≈ + +

(3. 17) 當a≈0、b≠0，由(3. 17)式我們選取控制律

v

為

b

b t

v −c−ρ(e, )−0.5

= (3. 18)

變動而使V& ≥0。

假設 3.5 代表使用(3. 18)的控制律在ΩΩΩΩ 這不變集合內能維持₃ a≈0，且使控制李 亞普諾夫函數遞減，使落在ΩΩΩΩ 區域的狀態誤差收斂。 ₃

考慮a≈0、b≈0的情況:

當a=0、b=0時，無法透過

v

改變V& 的正負號，我們利用下面假設 3.6 並設計 控制律。

假設假設

假設假設 3.6 當a=0、b=0，控制律選取(3. 19)，在此情況下系統狀態誤差會收斂 到原點。

當a≈0、b≈0，我們選取的控制律

v

為

=0

v (3. 19) 假設 3.6 代表當a=0、b=0時，無法透過

v

改變V& 的正負號，此時若控制律選 取為v=0仍能使落在

a

、b 等於零區域的狀態誤差會收斂到原點，則系統狀態誤 差即可達到收斂到原點的目標。

定理3.1 在系統(3. 9)滿足假設 3.1、3.2，在a>0滿足假設 3.3，控制律選取為(3.

14) ，在a<0滿足假設 3.4，控制律選取為(3. 15)或(3 16)，a≈0、b≠0滿足假 設 3.5，控制律選取為(3. 18)，在a≈0、b≈0滿足假設 3.6，控制律選取為(3. 19)，

則在ΩΩΩΩ₁∪ΩΩΩΩ₂ ∪ΩΩΩΩ₃的區域我們可以達到使狀態誤差收斂到原點之目的，因此系 統將可以達到輸出追蹤與內部狀態穩定的目的。

圖 3.1: a>0，∆∆∆∆>0，(3.10)示意圖

圖 3.3: a<0，∆∆∆∆<0，(3.10)示意圖

圖 3.4: 收斂區域式意圖

Chapter 4

應用於變壓器控制之電力系統的電 壓調節研究

在本章中我們將應用 3.2 節中設計的控制律於 Dobson 和 Chiang[17]的電力系統 模型，在原始模型中加入一個變壓器[11]，如 2.3 節所介紹的電力系統模型，以 變壓器為控制輸入點，藉由調整變壓器的匝數比，使系統負載電壓能穩定在我們 希望的電壓值，來達到電壓調節的功能及內部狀態穩定的目的。在 4.1 節中，為 在 Dobson 和 Chiang 的電力系統模型加入變壓器，推導系統動態方程式表示式。

在 4.2 節中，我們將 3.2 節中針對單輸入單輸出的二次多項式系統設計的控制律 應用於電力系統中，設計出適合的控制律，應用於電力系統使系統達到電壓調節 與維持內部狀態穩定的目的，並且討論可以達到電壓調節與內部狀態穩定的範 圍，並分析模擬結果。在 4.3 節中，我們將 3.2 節設計出的控制律與 VSC 設計出 的控制律作一些效能的比較。

4.1 系統動態方程式 系統動態方程式 系統動態方程式 系統動態方程式

g_2,1(x) = 0

4.2 控制律設計 控制律設計 控制律設計 控制律設計

20 166667sin(0.0873 -1667

示，但u 為負，由於控制輸入點為變壓器匝數比倒數，₀ u 為負得到負的匝數比₀

4.2.2 穩定點分析 穩定點分析: 穩定點分析 穩定點分析

平衡點為x 控制律為₀₁ u 時，所得到₀₁ A 特徵值的實部對₀ Q 變化如圖 4.3(a)所₁₀ 示，由圖 4.3(a)我們可以知道特徵值實部皆在左半平面，故加入u 所得的平衡點₀₁ x 為一個穩定平衡點；當平衡點為01 x 控制律為₀₂ u 時，所得到₀₂ A 特徵值的實部₀ 對Q 變化如圖 4.3(b)所示，由圖 4.3(b)我們可以知道當₁₀ Q₁₀ ≤11.2特徵值實部皆 在右半平面，故當Q₁₀ ≤11.2加入u 所得的平衡點₀₂ x 為一個不穩定平衡點。 ₀₂

8 9 10 11 12

-120 -100 -80

Q₁₀

8 9 10 11 12

-92 -90 -88

Q₁₀

8 9 10 11 12

-0.15 -0.1

Q₁₀

8 9 10 11 12

0 1 2 3

Q₁₀

8 9 10 11 12

-0.14 -0.12 -0.1

(a) Q₁₀

8 9 10 11 12

-3 -2 -1 0

(b) Q₁₀

圖 4.3: (a)左邊三圖代表平衡點為x 控制律為₀₁ u ，₀₁ Q 對三個特徵值的影響 ₁₀ (b)右邊三圖代表平衡點為x 控制律為₀₂ u ，₀₂ Q 對三個特徵值的影響 ₁₀

4.2.3 控制律設計 控制律設計 控制律設計 控制律設計

2new,2(e, t)=0

)

首先，我們選取控制李亞普諾夫函數:

)

我們選取ε₁ =10⁻³，代表a≈0時，(4. 16)式等號右邊可以近似

v

的一次多項式，

此時我們需要切換控制律使控制李亞普諾夫函數遞減。

當a≈0，其中 b 可能在某些區域發生等於 0，當

e

₄

= 0

時，b=0發生在e₃ =0 如圖 4.4 所示，我們以

b = ε

₂當控制律切換的分界點，

ε

₂為很小的值，以

b ≤ ε

₂ 為b≈0的情形，以

b > ε

₂為b≠0的情形，。

當a≈0、b≈0時，代表此時無法透過

v

改變V& 的正負號，且此時e₃ ≈0、

4

≈ 0

e

，此時控制律選取為v=0，若系統狀態誤差在此情況下會收斂到原點，則 可以達到狀態誤差收斂到原點的目的。

當a≈0，系統則在a≈0、b≈0的情形與a≈0、b≠0的情形，在這兩種情 況下作切換，達到狀態誤差收斂到原點的目標，如圖 4.5 所示

由於

a

、b 可能在某些區域等於零，我們可分為四個情形討論分別為a>0、

<0

a 、a≈0且b≠0、a ≈0且b≈0的情況，設計適當的控制律及對應穩定的條 件。

考慮a>0的情形:

當a>0，控制律選取

一般來說 d′ 是無法預測的，我們選取

v

使得V& <0，我們選取

v

為

a v b

−2

= (4. 18)

當a>0，必須在滿足∆∆∆∆>0的限制我們才可以設計控制律使控制李亞普諾夫函數 遞減，若在滿足∆∆∆∆>0的區域內存在某個區域

Ω Ω Ω Ω

₁

( t e , )

，且

Ω Ω Ω Ω

₁

( t e , )

為不變集合，

則

Ω Ω Ω Ω

₁

( t e , )

為可達成使狀態誤差收斂的區域。

由(4. 13)、(4. 16)及(4. 17)的形式，我們可以知道滿足∆∆∆∆>0將受到

e

₁、

e

₂、e 、₃

e

4、Q 及₁₀

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁的影響，因此，若選定Q ，₁₀

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁值不同，則滿足∆∆∆∆>0的狀態區

因此當a>0，我們可以在∆∆∆∆( te, )>0的區域估計出不變集合

Ω Ω Ω Ω

₁

( t e , )

，且在

Ω Ω Ω Ω

₁

( t e , )

這不變集合裡，由於控制李亞普諾夫函數會遞減，達到狀態誤差收斂的目的。

考慮a<0的情形:

一般來說 d′ 是無法預測的，當∆∆∆∆<0，我們選

v

使V& <0，我們選取

v

為

a v b

−2

= (4. 19)

一般來說 d′ 是無法預測的，當∆∆∆∆>0，我們選

v

使得V& <0，，我們選取

v

為

) (a a sgn a

v=− b + ∆∆∆∆

2 (4. 20) 當a<0，我們一定可以找到控制律使控制李亞普諾夫函數遞減，若在滿足a<0 的區域內存在某個區域

Ω Ω Ω Ω

₂

( t e , )

，且

Ω Ω Ω Ω

₂

( t e , )

為不變集合，則

Ω Ω Ω Ω

₂

( t e , )

為可達成使 狀態誤差收斂的區域。

我們以下面這個例子來說明，考慮Q =9，₁₀

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 2

，

e

₄

= 0 . 3

，我們可以在空 間中畫出滿足ΩΩΩΩ( te, )的區域如圖 4.10 所示。在圖 4.9 中，圖形在

e

₁的方向上是週 期的，因此我們擷取範圍在

− π ~ π

來表示，圖中黃色的曲面代表的是∆∆∆∆( te, )=0的 等高曲面，兩個黃色曲面所夾的區域是∆∆∆∆( te, )>0的區域，以外則是∆∆∆∆( te, )<0的 區域，在∆∆∆∆( te, )<0的區域，我們可以選取控制律

a v b

−2

= 使控制李亞普諾夫函數

遞減，我們將

a v b

−2

= 代入e& ，藍色的曲面代表的是將₃

a v b

−2

= 代入e& 所得到₃

3 =0

e& 的圖形，兩個藍色區面所夾的是e&₃ <0的圖形，以外則是e&₃ >0的圖形，

因此我們可以發現在a<0區域存在不變集合，同樣的方式當Q =9，₁₀

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 2

，

1

4

= 0 .

e

，從圖 4.11 可以發現滿足∆∆∆∆( te, )>0的區域的區域會變大，e 範圍越大，₃ 仍存在不變集合。接著考慮Q =9，₁₀

∆ ∆ ∆ ∆ Q

₁

= 0 . 2

，

e

₂

= 0

，我們可以在空間中畫出 滿足∆∆∆∆( te, )>0的區域，如圖 4.12 所示。在圖 4.12 中，圖形在

e

₁的方向上是週期

的，因此我們擷取範圍在

− π ~ π

來表示，圖中黃色的曲面代表的是∆∆∆∆( te, )=0的 等高曲面，黃色曲面以下是∆∆∆∆( te, )>0的區域，以上則是∆∆∆∆( te, )<0的區域，我們 可以知道e 要介在某個範圍₃ ∆∆∆∆( te, )>0，藍色的曲面代表的是將

a v b

−2

= 代入e&₃ 所得到e&₃ =0的圖形，藍色區面以下的是e&₃ <0的圖形，以上則是e&₃ >0的圖形，

因 此 我 們 可 以 發 現 在a<0區 域 存 在 不 變 集 合 ， ， 同 樣 的 方 式 當Q =9 ，₁₀

2

1

= 0 .

∆ Q

∆

∆

∆

，

e

₂

= 2

，從圖 4.13 可以發現滿足∆∆∆∆( te, )>0的區域幾乎沒有什麼變化，

在a<0依然存在不變集合。

因此當a<0，我們可以在a<0的區域估計出不變集合

Ω Ω Ω Ω

₂

( t e , )

，且在

Ω Ω Ω Ω

₂

( t e , )

這 不變集合裡，由於控制李亞普諾夫函數會遞減，達到狀態誤差收斂的目的。

考慮a≈0、b≠0的情形:

由(4. 16)可以得到

) , e ( t ρ c bv

V& ≈ + + (4. 21) 選取控制律為:

b

b t

ρ

v −c− (e, )−0.5

= (4. 22)

當a≈0，我們需要估計收斂範圍，避免系統狀態誤差進入a>0、∆∆∆∆<0，造成

當a≈0，我們需要估計收斂範圍，避免系統狀態誤差進入a>0、∆∆∆∆<0，造成

在文檔中 應用CLF於二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究 (頁 25-0)