前言

台灣處於地震發生頻繁之地震帶上，於建築法規中常以韌性設計來抵抗地震力，以避 免地震造成結構物之破壞倒塌。於921 大地震中，許多新舊結構物倒塌。加速隔減震裝置 廣泛地用於補強或修復舊有結構物。以及新結構物之設計。許多半主動控制元件（如半主 動控制磁流變消能器、電流變阻尼器、蓄壓式油壓半主動減震器、半主動摩擦阻尼器等）

亦相繼被研發與應用。若將此類半主動控制元件裝置於結構物上，則該結構系統之勁度或 阻尼於地震中將隨時間而改變。此即為系統識別領域中所稱之時變系統。在此類工程應用 問題中，若能透過系統識別技巧識別該結構系統隨時間改變之動態特性，將有助於檢驗半 主動控制元件應用於結構物之設計，及評估結構系統健康情況。另外，若結構系統於地震 中展現材料非線性行為；其亦可被視為一時變系統。若能透過系統識別估算該系統隨時間 改變之動態特性，則有助於吾人了解該結構系統產生非線性行為對整體動態行為之影響。

因此，可知發展一準確且有效率之時變系統識別技巧於土木工程應用之重要性。

一般而言，識別時變系統之方法分成兩類：（I）非參數法；（II）參數法。

（I）非參數法：

此類方法將反應訊號視為一非穩態(nonstationary)訊號，利用時間－頻率表示法來識別 訊號頻率隨時間改變之特性；例如短時富利葉轉換法 (STFT) (Cohen, 1989)、Wigner-Ville distribution (WVD) (Cohen, 1989；Martin and Flandrin, 1985)、Choi-Williams distribution (CWD) (Choi and Williams, 1989)、adaptive optimal kernel distribution (AOKD) (Jones and Baraniuk, 1995)、Hilbert-Huang transformation (Huang et al., 1998; Yang et al., 2003)以及小波 轉換 (Qian, 2002; Kijewski and Kareem, 2003)等。一般而言，此類方法大部分只能適用於結 構系統無外力之反應訊號（例如自由振動反應）分析，識別結構系統隨時間改變之頻率或 阻尼。對於識別模態有其困難性。另外，此類方法如同非時變系統於頻率域分析技巧，其 識別頻率解析度不是很高，對互相干擾嚴重之模態不易識別。

（II）參數法：

時變參數法提供了簡潔且高解析度之方法，並被廣泛地被應用至工程問題。識別時變 系統有兩種方法較普遍被採用，分別是遞迴（recursive）識別技巧以及基底函數展開技巧。

（A） 遞迴識別技巧

假設一個非穩態過程，為局部穩態或者於一個有限之時間區間中變化相當緩慢；如 此，則有很多種遞迴估算之技巧可以應用。這些方法包括有 RLS(Recursive Least-Squares method) (Liung, 1987; Johansson, 1993; Parkum et al., 1992)、RPLR (Recursive PseudoLinear Regression method) (Liung, 1987)和 RIV (Recursive Instrumental Variable method) ( Liung,

1987)等。這些方法可以處理平緩變化之非穩態訊號；但是，對於處理突然改變之系統，這 些方法將不再有效。雖然以狀態空間模型結合 Kalman filtering algorithm(Liung, 1987;

Kalouptsidis and Theodoridis, 1993)可以追蹤突然變化之過程。但是，這個方法常常高估參 數值，而且參數估算值之變異性相當大。

（B） 基底函數展開技巧

基底函數展開技巧是一種具有發展潛力及目前備受關切之方法。其基本觀念為：對每 一個時變系統參數，利用基底函數展開；再以最小平方差法，計算每一基底函數之係數。

此等識別之基底函數不隨時間改變。利用基底函數最主要之目地，乃是考慮減少所須之資 料量以獲得必須之時變係數。因此，識別快速變化之非穩態過程，以基底函數處理會比以 遞迴識別技巧處理更為恰當。但是，必須注意的是，如同遞迴識別技巧一般，基底函數展 開之方式對於波型變化過於劇烈且歷時過於短暫之資料，仍然無法萃取其動力行為。有幾 種基底函數常被使用，包括傅利葉序列(Marmarelis, 1987)、Legendre Polynomials (Zou et al., 2002)、Walsh function (Zou et al., 2002)、以及小波(Tsatsanis and Giannakis, 1993)。此類方 法之優劣與選擇基底函數之次空間延伸有很大的相關。一般而言，對於時變參數之估算，

要在整體近似和有限資料之間取得平衡是相當困難地。

小波轉換是近十年來所發展的一個新的而且功能強大的數學工具。小波轉換已被成功 地應用於數學、物理和工程中，特別是訊號處理以及求解非線性問題。離散小波轉換亦被 應用於估算非時變線性系統之動態特性。對一函數進行離散小波轉換亦可視為該函數對小 波函數及尺度函數所構成之基底展開。Tsatsanis 和 Giannakis (1993)利用小波函數為基底展 開時變AR 模式之時變參數，並以最小平方差法估算小波函數之係數。該方法被應用於處 理人造及真實語言訊號。須注意的是，理論上，小波函數並無法構成一完備之基底。Ghanem and Romeo (1999)在假設時變線性系統之運動方程結構已知下，將輸入及輸出以離散小波 展開，識別其時變勁度及阻尼函數； Zheng et al. (2001a)利用正交離散小波之多辨率特性 及最小平方差法，發展其所謂之多辨率最小平方差法規(multiresolution least square)估算時 變AR 模式之時變係數。然後，該方法亦被應用於估算時變 ARX 或 ARMAX 模式之係數 (Zheng et al., 2001b)；Qian (2002)以及 Kijewski et al. (2003)利用小波時間－頻率表示法識別 訊號頻率隨時間改變之特性。Dorfan and Feuer (2003)使用離散小波轉換淬取週期性時變線 性系統之反應衝擊函數。

近年來，吾人已利用小波轉換配合離散化運動方程式，發展了一套線性系統識別程序 (Huang, 2004a and 2004b)。本研究擬利用離散小波轉換之小波函數及尺度函數為基底函 數，將時變系數展開；並結合移動最小平方差法(Moving Least Square Method, MLS)或傳統 最小平方差法（Least Square Method, LS）發展另一套識別時變系統動態特性之演算流程。

利用時變ARX (TV-ARX)模型描述結構系統之地震反應或自由振動反應。由輸入與輸出關 係建立之TV-ARX 型，利用離散小波函數與尺度函數為基底函數；將模型中之時變係數展 開。再利用移動最小平方差法或最小平方差法決定各基底函數所對應之各項係數。然後，

利用求得之係數直接估算各個時刻下結構系統之動態特性。

值得一提的是，利用移動最小平方差法所估算得之基底係數為時間函數；而前人所用 傳統平方差法所得之係數則是不隨時間改變。因此，相信本計畫所研發之系統識別程序當 比前人所提者更能準確抓住時變系統之時變特性。為驗證本研究所提程序之可行性及準確 性，首先，先建立運動方程式與TVARX 模型間之對等關係式，經嚴謹之數學推導可知：

分別以位移、速度和加速度反應進行識別，所得之識別結果將不盡相同。以速度或加速度 反應進行識別之結果將會有明顯之系統誤差，唯有以位移反應進行識別方能得到正確之結 果。接著，分析一單自由度時變系統之數值模擬地震反應，除了驗證吾人推導之理論結果 外，並與前人所提方法之結果比較；更進一步探討本程序中重要參數之影響，以利將來使 用者方便應用。然後，再應用本識別流程於多自由度系統，探討不完整量測反應情況下，

TV-ARX 模型之建立。最後，配合總計畫於國家地震工程研究中心執行裝置半主動控制元 件之五層樓鋼構振動台試驗，分析其受不同地震記錄之反應，識別其時變動態特性。