第四章 方法驗證與參數探討
4.6 多自由度系統之數值模擬
由單自由度系統模擬反應之識別結果所進行之參數探討，可知所選用之基底函數以 Orthogonal Linear 尺度函數與小波函數之識別結果較為理想。以下則把此識別流程推廣至 多自由度系統，除了進一步驗證此識別流程之識別效能之外，並且探討不同地表輸入以及 是否使用移動最小平方差法對於識別結果之影響。
4.6.1 數值模型概述
本節針對如圖4.53 之四層樓剪力建築物之數值模擬地震反應，進行系統識別。假設此 結構系統之時變動態特性，分別考慮如圖4.54 所示之平滑變化與急遽變化之兩種情形。考 慮地表加速度輸入歷時如圖 4.55 所示，該歷時為 921 地震台中地區某自由場測站所得資 料。利用Runge-Kutta 常微分數值計算技巧，求取各自由度之反應（位移、速度和加速度），
該建築物之位移反應與頻譜圖如圖4.56 所示。取樣頻率為 250Hz。另外，考慮以白噪為地 表加速度歷時（如圖4.57 所示），該結構之位移反應及其頻譜反應如圖 4.58 所示。
考慮此四層樓剪力建築之理論動態特性為平滑變化時，其第二模態之自然振動頻率與 阻尼比之變化範圍較大，分別是 1.9～2.2Hz 與 3％～8％；第四模態之自然振動頻率與阻 尼比變化最小，分別是4.105～4.120Hz 與 4.9％～5.1％。若考慮此四層樓剪力建築之理論 動態特性為急遽變化時，其第二模態之自然振動頻率與阻尼比之變化範圍較大，分別是1.95
～2.20Hz 與 3.5％～7％；第四模態之自然振動頻率與阻尼比變化最小，分別是 4.105～
4.118Hz 與 4.90％～5.05％。
4.6.2 識別動態特性準確指標
為比較識別模態及理論模態之吻合程度，可利用MAC（modal assurance criterion）值 為指標(Allemang 與 Brown, 1983)，其定義為：
振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.7％左右以及 8％左右；識別第四個模態之自然振動 頻率與阻尼比之最大誤差分別為1％左右以及 13％左右。
當地表加速度為白噪輸入時，尺度函數與小波函數所選用之尺度因子
(
a=22)
，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，識別之結果如圖4.61 所示。識別 第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.4％左右以及 2％左右；識別第二 個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為1％左右以及 10％左右；識別第三個模 態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及 4％左右；識別第四個模態之 自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及 3％左右。接著，利用急遽變化時 變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，識別之結果如圖4.62 所示。識別第一個模態 之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及 3％左右；識別第二個模態之自 然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及 7％左右；識別第三個模態之自然振 動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.5％左右以及 7％左右；識別第四個模態之自然振動頻 率與阻尼比之最大誤差分別為1％左右以及 6％左右。
接著縮小尺度函數與小波函數所選用之尺度因子
(
a=21)
，當地表加速度為 921 地震 時，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，識別之結果如圖4.63 所 示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.1％左右以及 1％～2％之間；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.4％左右以及 7％左 右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.5％～1％之間以及 10
％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為1％左右以及 10％～
15％之間。接著，利用急遽變化時變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，識別之結 果如圖4.64 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.2％左右 以及2％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.5％左右以及 15％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％～2％之間以及 20％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 2％左右以及超過 20％。
當地表加速度為白噪輸入時，尺度函數與小波函數所選用之尺度因子
(
a=21)
，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，識別之結果如圖4.65 所示。識別第 一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.1％左右以及 1.5％左右；識別第二 個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.5％左右以及 5％左右；識別第三個模 態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及 4％左右；識別第四個模態之 自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.5％左右以及 4％左右。接著，利用急遽變化時 變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，識別之結果如圖4.66 所示。識別第一個模態 之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.3％左右以及 3％左右；識別第二個模態之自 然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.5％左右以及 20％左右；識別第三個模態之自然 振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為1％左右以及 20％左右；識別第四個模態之自然振動 頻率與阻尼比之最大誤差分別為0.5％左右以及 5％左右。
由以上之分析結果可知，以最小平方差法反算基底函數所對應之各項係數。由於一般 地震輸入輸入所涵蓋之頻寬僅侷限於較低頻之頻帶，因此，對於較高模態之識別結果不甚 理想。但多半亦在容許之誤差範圍內。
4.6.4 小波函數為基底配合移動最小平方差法
考 慮 尺 度 函 數 與 小 波 函 數 所 選 用 之 尺 度 因 子
(
a=22)
， 權 重 函 數 之 影 響 半 徑 為(
L=5)
，當地表加速度為921 地震時，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結構系統之 時變特性，識別之結果如圖4.67 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤 差分別為0.5％左右以及 2％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分 別為 0.5％左右以及 10％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別 為 0.5％左右以及 10％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及 15％左右。接著，利用急遽變化時變系統之位移反應估算結構系統之時變特 性，識別之結果如圖4.68 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別 為 1％左右以及 4％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左右以及9％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％～2
％之間以及10％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左 右以及20％以上。
相同條件下，當地表加速度為白噪輸入時，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結 構系統之時變特性，識別之結果如圖4.69 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比 之最大誤差分別為0.3％左右以及 2％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最 大誤差分別為1％左右以及 15％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤 差分別為 1％左右以及 4％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分 別為 1％左右以及 6％左右。接著，利用急遽變化時變系統之位移反應估算結構系統之時 變特性，識別之結果如圖4.70 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差 分別為0.5％左右以及 2％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別 為1％左右以及 8％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.4
％左右以及6％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.7％左 右以及6％左右。
接著考慮減小尺度函數與小波函數所選用之尺度因子
(
a=21)
，權重函數之影響半徑為(
L=5)
，當地表加速度為921 地震時，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結構系統之 時變特性，識別之結果如圖4.71 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤 差分別為0.1％左右以及 2％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分 別為0.4％左右以及 6％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.5％左右以及 10％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 0.3％左右以及5％左右。接著，利用急遽變化時變系統之位移反應估算結構系統之時變特性，
識別之結果如圖 4.72 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為
0.3％左右以及 2％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％
以下以及 20％以上；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％～2
％之間以及20％以上；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差分別為 1％左 右以及30％以上。
相同條件下，當地表加速度為白噪輸入時，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結 構系統之時變特性，識別之結果如圖4.73 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比 之最大誤差分別為0.1％左右以及 1.5％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之 最大誤差分別為0.5％左右以及 4％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大 誤差分別為 1％以下以及 5％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差
相同條件下，當地表加速度為白噪輸入時，利用平滑變化時變系統之位移反應估算結 構系統之時變特性，識別之結果如圖4.73 所示。識別第一個模態之自然振動頻率與阻尼比 之最大誤差分別為0.1％左右以及 1.5％左右；識別第二個模態之自然振動頻率與阻尼比之 最大誤差分別為0.5％左右以及 4％左右；識別第三個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大 誤差分別為 1％以下以及 5％左右；識別第四個模態之自然振動頻率與阻尼比之最大誤差