行政院國家科學委員會補助專題研究計畫
■ 成 果 報 告
□期中進度報告
發展基於小波轉換之系統識別方法-線性時變系統
計畫類別：□ 個別型計畫
■
整合型計畫
計畫編號： NSC94-2625-Z-009-006
執行期間：94 年 8 月 1 日至 95 年 10 月 31 日
計畫主持人：黃炯憲
共同主持人：
計畫參與人員：蘇威智
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告
■
完整報告
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
■
出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、
列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢
執行單位：國立交通大學
中 華 民 國 96 年 01 月 18 日
目錄
目錄... I 摘 要...II ABSTRACT ... III 第一章 前言... 1 第二章 TVARX 與運動方程式之對等關係... 4 2.1 單自由度系統 ... 4 2.2 多自由度系統 ... 8 2.3不完全量測自由度... 10 第三章 建構TVARX 及結構動態特性估算... 14 3.1TVARX 建模 ... 14 3.2瞬時模態參數估算... 18 3.3位移、速度與加速度反應對模態識別之影響... 19 第四章 方法驗證與參數探討... 24 4.1 以位移、速度與加速度反應之識別結果... 24 4.2 多項式為基底配合移動最小平方差法... 25 4.3 小波函數為基底配合最小平方差法... 26 4.4 小波函數為基底配合移動最小平方差法... 33 4.5 與遞迴識別法之識別結果相比較... 38 4.6 多自由度系統之數值模擬... 38 第五章 五層樓鋼構架之振動台試驗... 43 5.1 待測結構物 ... 43 5.2 輸入之地震力 ... 43 5.3 線性反應之識別結果... 43 5.4 非線性反應之識別結果... 44 第六章 結論... 45 參考文獻... 46摘 要
由量測動力反應識別結構系統之動態特性，無論是對學術界或是對實際工程應用而 言，都是相當重要地。這些識別結果可應用於驗證設計階段之有限元素分析模型。此外， 亦可對結構進行健康診斷。小波轉換是目前非常流行之數學工具，且被應用於很多工程領 域。小波轉換相較於富利葉轉換，展現了更為強大之訊號處理能力。 本研究旨在拓展小波轉換之應用領域於時變線性系統之模態識別上。將時變線性結構 系統受一外力所造成之動力反應，以一時變ARX（TV-ARX）模式模擬。對 TV-ARX 模式 中之時變參數進行離散小波轉換，小波函數之係數可由最小平方差法或移動最小平方差法 估算。 預期此識別方法可獲得結構系統隨時間改變之瞬時模態參數。可利用 ARX 模式計算 結構模態特性之技巧，透過TVARX 模式估算瞬時模態參數。於本研究中，吾人經嚴謹數 學證明當以位移反應架構TV-ARX 模型時，則估算所得之瞬時模態參數是正確的；但當以 速度或加速度反應建模時，則所估算之瞬時模態參數是不正確的，將出現系統誤差產生。 此證明是首見於文獻。 進一步針對一單自由度時變線性進行系統進行地震反應之數值模擬，再以所提之演算 流程識別之，並且與遞迴識別方法相互比較，以驗證所提之識別程序之優越性。並且仔細 探討不同母小波函數、不同迴歸分析方法以及不同權重函數影響半徑等參數對識別結果之 影響，以充分掌握此識別流程之特性。接著，擴展至多自由度系統，考慮系統中部份自由 度之勁度與阻尼為時間變數下，亦能準確擷取結構系統之瞬時模態特性。最後，應用此識 別流程至總計畫於國家地震工程研究中心所執行之五層樓鋼構振動台試驗數據處理，已知 於部分結構行為已進入非線性階段，分析其受不同地震記錄之反應，並識別其瞬時模態特 性。 關鍵字：離散小波轉換，時變線性系統，移動最小平方差法，地震反應，系統識別。Abstract
It is very important for academic interests and in practical engineering to identify the dynamic characteristics of a structure from its measured dynamic responses. These identified results can be applied to recheck the correctness of the finite element model developed in a design stage, and, furthermore, to assess the health of the structure. Wavelet transform has become a popular mathematical tool in many fields. Wavelet transform has shown its advantages over the Fourier transform in signal processing.
The main purpose of this work is to show the application of the wavelet transform in identifying the modal parameters of a time varying linear structural system. A time varying ARX (TVARX) model is applied to model the dynamic responses of the time varying linear structural system subjected to an input. The discrete wavelet transform is used to present the time varying coefficients of the TVARX model. Then, the coefficients of wavelets are evaluated by using a moving least squares approach.
It is desirable to determine the instantaneous modal parameters of structure system varying with time. The instantaneous modal parameters are often determined from TVARX model by the techniques that have been used for ARX. In the study, rigorous mathematical proof is given to show the correctness of such techniques if the TVARX model is established from the displacement responses of a structure. A system error is found in estimating the instantaneous modal parameters from the TVARX model established from velocity or acceleration responses. The proof is first shown in the literature.
The advantages of the proposed approach over the recursive approach on tracking the time varying modal parameters are demonstrated through processing the responses of single-degree-of-freedom systems with various stiffness and damping coefficients that are functions of time. The investigation is also carried out for the effects of the chosen wavelet mother functions, weight functions, noise and orders of TVARX on the identified results. Then,
the study is extended to a multiple-degree-of-freedom system, in which only some of the degrees of freedom have stiffness or damping varying with time. Finally, the proposed approach is applied to processing the measured responses from shaking table tests on a five-story steel frame some of whose components show nonlinear behaviors and identifying the variation of modal parameters of the structural system with time. .
Key words: discrete wavelet transform, time varying linear system, moving least squares, earthquake responses, system identification
第一章
前言
台灣處於地震發生頻繁之地震帶上，於建築法規中常以韌性設計來抵抗地震力，以避 免地震造成結構物之破壞倒塌。於921 大地震中，許多新舊結構物倒塌。加速隔減震裝置 廣泛地用於補強或修復舊有結構物。以及新結構物之設計。許多半主動控制元件（如半主 動控制磁流變消能器、電流變阻尼器、蓄壓式油壓半主動減震器、半主動摩擦阻尼器等） 亦相繼被研發與應用。若將此類半主動控制元件裝置於結構物上，則該結構系統之勁度或 阻尼於地震中將隨時間而改變。此即為系統識別領域中所稱之時變系統。在此類工程應用 問題中，若能透過系統識別技巧識別該結構系統隨時間改變之動態特性，將有助於檢驗半 主動控制元件應用於結構物之設計，及評估結構系統健康情況。另外，若結構系統於地震 中展現材料非線性行為；其亦可被視為一時變系統。若能透過系統識別估算該系統隨時間 改變之動態特性，則有助於吾人了解該結構系統產生非線性行為對整體動態行為之影響。 因此，可知發展一準確且有效率之時變系統識別技巧於土木工程應用之重要性。 一般而言，識別時變系統之方法分成兩類：（I）非參數法；（II）參數法。 （I）非參數法： 此類方法將反應訊號視為一非穩態(nonstationary)訊號，利用時間－頻率表示法來識別 訊號頻率隨時間改變之特性；例如短時富利葉轉換法 (STFT) (Cohen, 1989)、Wigner-Ville distribution (WVD) (Cohen, 1989；Martin and Flandrin, 1985)、Choi-Williams distribution (CWD) (Choi and Williams, 1989)、adaptive optimal kernel distribution (AOKD) (Jones and Baraniuk, 1995)、Hilbert-Huang transformation (Huang et al., 1998; Yang et al., 2003)以及小波 轉換 (Qian, 2002; Kijewski and Kareem, 2003)等。一般而言，此類方法大部分只能適用於結 構系統無外力之反應訊號（例如自由振動反應）分析，識別結構系統隨時間改變之頻率或 阻尼。對於識別模態有其困難性。另外，此類方法如同非時變系統於頻率域分析技巧，其 識別頻率解析度不是很高，對互相干擾嚴重之模態不易識別。 （II）參數法： 時變參數法提供了簡潔且高解析度之方法，並被廣泛地被應用至工程問題。識別時變 系統有兩種方法較普遍被採用，分別是遞迴（recursive）識別技巧以及基底函數展開技巧。 （A） 遞迴識別技巧 假設一個非穩態過程，為局部穩態或者於一個有限之時間區間中變化相當緩慢；如 此，則有很多種遞迴估算之技巧可以應用。這些方法包括有 RLS(Recursive Least-Squares method) (Liung, 1987; Johansson, 1993; Parkum et al., 1992)、RPLR (Recursive PseudoLinear Regression method) (Liung, 1987)和 RIV (Recursive Instrumental Variable method) ( Liung,1987)等。這些方法可以處理平緩變化之非穩態訊號；但是，對於處理突然改變之系統，這 些方法將不再有效。雖然以狀態空間模型結合 Kalman filtering algorithm(Liung, 1987; Kalouptsidis and Theodoridis, 1993)可以追蹤突然變化之過程。但是，這個方法常常高估參 數值，而且參數估算值之變異性相當大。 （B） 基底函數展開技巧 基底函數展開技巧是一種具有發展潛力及目前備受關切之方法。其基本觀念為：對每 一個時變系統參數，利用基底函數展開；再以最小平方差法，計算每一基底函數之係數。 此等識別之基底函數不隨時間改變。利用基底函數最主要之目地，乃是考慮減少所須之資 料量以獲得必須之時變係數。因此，識別快速變化之非穩態過程，以基底函數處理會比以 遞迴識別技巧處理更為恰當。但是，必須注意的是，如同遞迴識別技巧一般，基底函數展 開之方式對於波型變化過於劇烈且歷時過於短暫之資料，仍然無法萃取其動力行為。有幾 種基底函數常被使用，包括傅利葉序列(Marmarelis, 1987)、Legendre Polynomials (Zou et al., 2002)、Walsh function (Zou et al., 2002)、以及小波(Tsatsanis and Giannakis, 1993)。此類方 法之優劣與選擇基底函數之次空間延伸有很大的相關。一般而言，對於時變參數之估算， 要在整體近似和有限資料之間取得平衡是相當困難地。 小波轉換是近十年來所發展的一個新的而且功能強大的數學工具。小波轉換已被成功 地應用於數學、物理和工程中，特別是訊號處理以及求解非線性問題。離散小波轉換亦被 應用於估算非時變線性系統之動態特性。對一函數進行離散小波轉換亦可視為該函數對小 波函數及尺度函數所構成之基底展開。Tsatsanis 和 Giannakis (1993)利用小波函數為基底展 開時變AR 模式之時變參數，並以最小平方差法估算小波函數之係數。該方法被應用於處 理人造及真實語言訊號。須注意的是，理論上，小波函數並無法構成一完備之基底。Ghanem and Romeo (1999)在假設時變線性系統之運動方程結構已知下，將輸入及輸出以離散小波 展開，識別其時變勁度及阻尼函數； Zheng et al. (2001a)利用正交離散小波之多辨率特性 及最小平方差法，發展其所謂之多辨率最小平方差法規(multiresolution least square)估算時 變AR 模式之時變係數。然後，該方法亦被應用於估算時變 ARX 或 ARMAX 模式之係數 (Zheng et al., 2001b)；Qian (2002)以及 Kijewski et al. (2003)利用小波時間－頻率表示法識別 訊號頻率隨時間改變之特性。Dorfan and Feuer (2003)使用離散小波轉換淬取週期性時變線 性系統之反應衝擊函數。
近年來，吾人已利用小波轉換配合離散化運動方程式，發展了一套線性系統識別程序 (Huang, 2004a and 2004b)。本研究擬利用離散小波轉換之小波函數及尺度函數為基底函 數，將時變系數展開；並結合移動最小平方差法(Moving Least Square Method, MLS)或傳統 最小平方差法（Least Square Method, LS）發展另一套識別時變系統動態特性之演算流程。 利用時變ARX (TV-ARX)模型描述結構系統之地震反應或自由振動反應。由輸入與輸出關 係建立之TV-ARX 型，利用離散小波函數與尺度函數為基底函數；將模型中之時變係數展 開。再利用移動最小平方差法或最小平方差法決定各基底函數所對應之各項係數。然後，
利用求得之係數直接估算各個時刻下結構系統之動態特性。 值得一提的是，利用移動最小平方差法所估算得之基底係數為時間函數；而前人所用 傳統平方差法所得之係數則是不隨時間改變。因此，相信本計畫所研發之系統識別程序當 比前人所提者更能準確抓住時變系統之時變特性。為驗證本研究所提程序之可行性及準確 性，首先，先建立運動方程式與TVARX 模型間之對等關係式，經嚴謹之數學推導可知： 分別以位移、速度和加速度反應進行識別，所得之識別結果將不盡相同。以速度或加速度 反應進行識別之結果將會有明顯之系統誤差，唯有以位移反應進行識別方能得到正確之結 果。接著，分析一單自由度時變系統之數值模擬地震反應，除了驗證吾人推導之理論結果 外，並與前人所提方法之結果比較；更進一步探討本程序中重要參數之影響，以利將來使 用者方便應用。然後，再應用本識別流程於多自由度系統，探討不完整量測反應情況下， TV-ARX 模型之建立。最後，配合總計畫於國家地震工程研究中心執行裝置半主動控制元 件之五層樓鋼構振動台試驗，分析其受不同地震記錄之反應，識別其時變動態特性。
第二章 TVARX 與運動方程式之對等關係
一結構系統之反應大抵滿足該系統之運動方程。若能找到運動方程與TVARX 模式之 對等關係，將有助於從結構動態反應建構適當的TVARX 模式。本章首先推導單自由度時 變線性系統，再推廣致多自由度系統。2.1 單自由度系統
單自由度時變線性系統之運動方程式為：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t xt ct xt k t xt f( )
t m && + & + = （2.1） 其中，m，c，k分別為該系統之質量，阻尼係數及勁度，為時間之函數；f( )
t 為外力；x( )
t ，( )
t x& 及x&&( )
t 分別為位移，速度及加速度反應。 單自由度系統TVARX 模式之通式為( )
t( ) ( )
t y t i( ) (
t f t j)
a( )
t y J n j j I i i − + − + =∑
∑
= =1 0 θ φ （2.2） 其中，φi( )
t 及θj( )
t 分別為隨時間改變之係數；y(
t−i)
與 f( )
t−i 分別為於( )
t−i 時刻下之輸 出與輸入；I 與J則分別代表所考慮模型之階數；an( )
t 為量測誤差。在以下討論 TVARX 與運動方程式對等關係時，不需考慮TVARX 中之量測誤差項。吾人須將式（2.1）離散化。利用中央差分法（central difference approach）得
( )
( )
t[
x(
t t)
x( ) (
t xt t)
]
t x −Δ − + +Δ Δ = 1 2 2 && （2.3a）( )
[
x(
t t) (
xt t)
]
t t x +Δ − −Δ Δ = 2 1 & （2.3b） 其中，Δt為時間增量。代入式（2.1）整理得：( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
t xt t t c t t m t x t t m t k t f t t x t t c t t m −Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ − Δ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ − − = Δ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ + Δ 2 2 2 2 2 2 （2.4）式（2.4）可進一步表示成
( )
t = 1( ) ( )
t x t−1 + 2x(
t−2)
+ 1( ) ( )
t f t−1 x φ φ θ （2.5） 其中，x( )
t−i 即代表x(
t−iΔt)
；( )
(
)
(
(
)
) ( )
t t t t t m t t k t Δ − Δ Δ − − Δ − − = α φ1 2 2( )
(
) ( )
(
(
)
) ( )
t t t t t c t t t m t Δ − Δ Δ − − Δ Δ − − = α φ2 2 2( )
(
)
t t t Δ − = α θ1 1(
)
(
)
( )
(
( )
t)
t t c t t t m t t Δ Δ − + Δ Δ − = Δ − 2 2 α 由於現地量測時，通常只量測速度或加速度反應，故常利用速度或加速度直接建立 TVARX 模式。將式（2.1）分別對 t 微分一次及二次得：( ) ( )
t v t[
m( ) ( )
t c t]
v( ) ( )
t[
c t k( )
t]
v( ) ( ) ( )
t k t xt f( )
tm && + & + & + & +2 + & = & （2.6a）
( ) ( )
t at[
m( ) ( )
t ct]
a( )
t[
m( )
t c( ) ( )
t k t]
a( ) ( )
t[
c t k( )
t]
v( ) ( ) ( )
t k t xt f( )
t m && + 2& + & + & +2& + + && +2& + && = &&（2.6b） 由式（2.1）得
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[
f t m t v t ct vt]
t k t x = 1 − & − （2.7） 代入式（2.6a）得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t v t c t v t k t vt f( )
t m && + & + = （2.8） 其中( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
t k t k t m t c t m t( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
t k t k t c t c t k t k = + & − & （2.9b）( )
( ) ( )
( ) ( )
f t t k t k t f t f = & − & （2.9c） 由式（2.8）得( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
f t mt a t c t a t)
t k t v = 1 − & − （2.10） 式（2.7）及（2.10）代入式（2.6b），整理得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t at c t a t k t a t f( )
t m && +~ & +~ = ~ （2.11） 其中( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
t k t k t m t c t m t c = & + − & ~ （2.12a）( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
t k t k t c t c t k t k~ = + & − & （2.12b）( )
( ) ( )
( ) ( )
f t t k t k t f t f = & − & ~ （2.12c） 同樣應用中央差分法至式（2.8）及（2.11）可得( )
t = 1( ) ( )
t v t−1 + 2( ) (
t vt−2)
+ 0( ) ( )
t f t + 1( ) ( )
t f t−1 + 2( ) (
t f t−2)
v φ φ θ θ θ （2.13a）( )
t = ~1( ) ( )
t a t−1 +~2( ) (
t a t−2)
+ ~0( ) ( )
t f t + ~1( ) ( )
t f t−1 + ~2( ) (
t f t−2)
a φ φ θ θ θ （2.13b） 其中，( )
(
)
(
(
)
) ( )
t t t t t m t t k t Δ − Δ Δ − − Δ − − = α φ1 2 2 （2.14a）( )
(
) ( )
(
(
)
) ( )
t t t t t c t t t m t Δ − Δ Δ − − Δ Δ − − = α φ2 2 2 （2.14b）( ) ( ) ( )
t = Δtα t−Δt θ 2 1 0 （2.14c）( )
(
(
) (
)
)
t t t t k t t k t Δ − Δ − Δ − − = α θ1 & （2.14d）( ) ( ) ( )
t Δt t−Δt − = α θ 2 1 2 （2.14e）(
)
(
)
( )
(
( )
t)
t t c t t t m t t Δ Δ − + Δ Δ − = Δ − 2 2 α （2.14f）( )
(
)
(
(
)
) ( )
t t t t t m t t k t Δ − Δ Δ − − Δ − − = α φ~1 ~ ~2 2 （2.14g）( )
(
) ( )
(
(
)
) ( )
t t t t t c t t t m t Δ − Δ Δ − − Δ Δ − − = α φ~2 ~2 ~ 2 （2.14h）( )
(
) ( )
( ) (
(
)
)
( ) (
(
)
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ Δ − − Δ − Δ Δ − − Δ Δ − = t t k t t t k t t k t t t k t t t t 2 2 1 ~ 1 ~ 2 0 & & α θ （2.14i）( )
(
) ( )
(
) (
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
) (
) (
)
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ − Δ − Δ − + Δ − Δ − − Δ − Δ − − Δ − Δ − = t t k t t k t t k t t k t t k t t k t t k t t k t t tt && 2& & & 2 2 1 2 ~ 1 α θ （2.14j）
( )
(
) ( )
( ) (
(
)
)
( ) (
(
)
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ Δ − + Δ − Δ Δ − + Δ Δ − = t t k t t t k t t k t t t k t t t t 2 2 1 ~ 1 ~ 2 2 & & α θ （2.14k）(
)
(
)
( )
(
( )
t)
t t c t t t m t t Δ Δ − + Δ Δ − = Δ − 2 ~ ~ 2 α （2.14l） 因此，單自由度之線性時變結構系統，若以位移反應來建構TVARX 模式；則其理論階數
( ) ( )
I,J = 2,1 ，且θ0( )
t =0。若以速度或加速度反應來建構 TVARX 模式，則其理論階 數( ) ( )
I,J = 2,2 。2.2 多自由度系統
多自由度時變線性系統之運動方程式為： f x x x+C +K = M&& & （2.15） 而多自由度TVARX 模式則可表示成：( )
t( ) ( )
t t i J( ) (
t t j)
( )
t j j I i i y Θ f an Φ y =∑
− +∑
− + = =1 0 （2.16） 其中，M 、C和K 為結構系統質量、阻尼及勁度矩陣； f 為外力向量；Φi( )
t 及Θj( )
t 為 係數矩陣。當多自由度系統之所有自由度均被量測時，則推導運動方程式與TVARX 模式 之對等關係與上節所述者類似，只需將m，c及k分別以M ，C和K 替代；另外，x
，x&
和x&&
分別由x，x&和x&&替代。因此，可得：( )
t = 1x(
t−1)
+ x(
t−2)
+ 1f(
t−1)
x Φ Φ2 Θ （2.17a）( )
t = 1v(
t−1)
+ v(
t −2)
+ 0 f( )
t + 1f(
t−1)
+ 2 f(
t−2)
v Φ Φ2 Θ Θ Θ （2.17b）( )
t = ~1a( )
t−1 + ~ a(
t−2)
+ ~0f( )
t + ~1f( )
t−1 + ~2f(
t−2)
a Φ Φ2 Θ Θ Θ （2.17c） 其中，( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − − = Δ Δ − Δ − 2 1 1 2 t t t-t t-t t M K A Φ （2.18a）( )
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ − = − Δ Δ Δ − t t t t-t t-t t 2 2 1 2 C M A Φ （2.18b） 1 1 =−A−t−Δt Θ （2.18c）( )
t( )
t t t-t t-t t- + Δ Δ = Δ Δ Δ 2 2 C M A （2.18d）( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − − = Δ Δ − Δ − 2 1 1 2 t t t-t t-t t M K A Φ （2.18e）( )
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ − = − Δ Δ Δ − t t t t-t t-t t 2 2 1 2 C M A Φ （2.18f）( )
⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ = − Δ − t t t 2 1 1 0 A Θ （2.19g） t t t t t t Δ − Δ − − Δ − − = K K A Θ 1 & 1 （2.18h）( )
⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − = − Δ − t t t 2 1 1 2 A Θ （2.18i）( )
t( )
t t t-t t-t t- + Δ Δ = Δ Δ Δ 2 2 C M A （2.18j）( )
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − − = Δ Δ − Δ − 2 1 1 ~ 2 ~ ~ ~ t t t-t t-t t M K A Φ （2.18k）( )
( )
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ − = − Δ Δ Δ − t t t t-t t-t t 2 ~ ~ ~ ~ 2 1 2 C M Α Φ （2.18l）( )
( )
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ − Δ = Δ − Δ − Δ − Δ − − Δ − t t t t t t t t t t t t t K K K K A Θ 2 2 1 ~ ~ 2 1 0 & & （2.18m）( )
(
)
(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − Δ − = Δ − Δ − Δ − Δ − Δ − Δ − Δ − Δ − − Δ − t t t t t t t t t t t t t t t t t t t K K K K K K K K ΑΘ && 2& & &
2 2 1 1 2 ~ ~ （2.18n）
( )
( )
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ + Δ = Δ − Δ − Δ − Δ − − Δ − t t t t t t t t t t t t t K K K K Α Θ 2 2 1 ~ ~ 2 1 2 & & （2.18o）( )
t( )
t t t-t t-t t + Δ Δ = Δ Δ Δ − 2 ~ ~ ~ 2 C M Α （2.18p） 矩陣下標t−Δt代表該矩陣於t−Δt時刻之矩陣。2.3 不完全量測自由度
當量測自由度較系統總自由度少時(即為非完全量測(incomplete measurement)時)， TVARX 模式階數之推導如下： 由前面所述，當所有自由度均有量測時(以位移量測為例)，對應之 TVARX 模式可表 示成( )
t =[ ]
Φ1 t−1x(
t−1)
+[ ]
Φ t−2x(
t−2)
+[ ]
θ1 t−1f(
t−1)
x 2 （2.19） 其中系數矩陣之下標“t”代表對應於 t 時刻之係數。 現假設該系統之總自由度為 n，量測自由度為 m；且假設n= p×m，其中p 為一整數。 令量測自由度之反應歷時表示成xm( )
t ，而未量測者表示成xu( )
t 。則式(2.19)代表 n 條線性 方程式，其中有3(
p 1−)
m個未知反應量(即xu( )
t 、xu(
t−1)
和xu(
t−2)
)。 依式(2.19)，吾人亦可得：(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
(
)
[ ]
(
1)
[ ]
(
2)
[ ]
(
1)
3 4 3 2 2 3 2 1 1 1 2 2 1 1 3 1 4 2 3 1 2 1 3 2 2 1 − − + − − + − − = − − + − + − = − − + − + − = − − − − − − − − − − − − − m t m t m t m t t t t t t t t t m t m t m t t t t t t t f θ x Φ x Φ x f θ x Φ x Φ x f θ x Φ x Φ x M M M M （2.20） 即式(2.20)中之 t 每以t− 替代，則吾人得i n(
= pm)
條之方程式，但亦同時額外增加(
p 1−)
m 個未知數。方程式之增加速度較未知數增加之速度快。當m= p2 −3時，則有( )
m 1+ pm條 方程式，亦有( )
m 1+ pm個未量測值。利用此( )
m 1+ pm條線性方程，可將此未量測值由己知 量測值來表示。如此可將TVARX 模式表示成：( )
t[ ]
( )
t i p[ ]
(
t j)
j j m p i i m =∑
− +∑
− − = − = f θ x Φ x 2 2 1 1 2 1 ~ ~ （2.21） 以p=2 為例，即量測自由度為總自由度之一半。依上述之作法，吾人可利用( )
[ ]
( )
[ ]
(
)
[ ]
( )
1 ~ 2 ~ 1 ~ ~x t = Φ1 t−1x t− + Φ2 t−2 x t− + θ1 t−1 f t− （2.22a）(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
2)
~ 3 ~ 2 ~ 1 ~x t− = Φ1 t−2 x t− + Φ2 t−3 x t− + θ1 t−2 f t− （2.22b） 來推導。令： ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = u m ~ ~ ~ x x x （2.23）[ ]
( )( ) ( )( ) n n t uu i t um i t mu i t mm i t i × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = , , , , Φ Φ Φ Φ Φ （2.24）[ ]
( )( ) l n t u t m × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 θ θ θ （2.25） 則可推得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
1 2 1 2 1 2 4 2 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 × − − − − × × × − − − − − − − − − − − − − − − − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n t t t t n n n n t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ~f θ ~ f θ ~ f θ ~ f θ ~x ~ x~ x~ x ~ x ~x ~ x~ x Φ Φ I 0 Φ Φ 0 0 0 Φ Φ I 0 Φ Φ 0 Φ Φ 0 0 Φ Φ I 0 0 Φ Φ 0 0 Φ Φ I 2 1u 1 1u 2 1m 1 1m u u u u m m m m 3 uu 3, 2 uu 2, 3 um 3, 2 um 2, 2 uu 2, 1 uu 1, 2 um 2, 1 um 1, 3 mu 3, 2 mu 2, 3 mm 3, 2 mm 2, 2 mu 2, 1 mu 1, 2 mm 2, 1 mm 1, （2.26） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
(
)
(
)
(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
(
)
(
)
(
)
⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t m m m m 3 um 3, 2 um 2, 2 um 2, 1 um 1, 3 mm 3, 2 mm 2, 2 mm 2, 1 mm 1, 2 t 1u 1 t 1u 2 t 1m 1 t 1m u u u u 3 uu 3, 2 uu 2, 2 uu 2, 1 uu 1, 3 mu 3, 2 mu 2, 2 mu 2, 1 mu 1, ~x ~ x~ x~ x Φ Φ 0 0 0 Φ Φ 0 Φ Φ 0 0 0 Φ Φ I ~f θ ~ f θ ~ f θ ~ f θ ~ x ~x ~ x~ x Φ Φ 0 0 0 Φ Φ 0 Φ Φ 0 0 0 Φ Φ I （2.27） 令： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − − − 3 uu 3, 2 uu 2, 2 uu 2, 1 uu 1, 3 mu 3, 2 mu 2, 2 mu 2, 1 mu 1, u Φ Φ 0 0 0 Φ Φ 0 Φ Φ 0 0 0 Φ Φ I A t t t t t t t t ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − − − 3 um 3, 2 um 2, 2 um 2, 1 um 1, 3 mm 3, 2 mm 2, 2 mm 2, 1 mm 1, m Φ Φ 0 0 0 Φ Φ 0 Φ Φ 0 0 0 Φ Φ I A t t t t t t t t ~( )
(
)
(
)
(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )
(
)
(
)
(
)
⎟⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − − − 3 2 1 ~ 2 1 2 1 ~ 3 2 1 1 t t t t t t t t t t t t m m m m m 2 t 1u 1 t 1u 2 t 1m 1 t 1m u u u u u ~x ~ x~ x~ x A ~ f θ ~ f θ ~ f θ ~ f θ A ~ x ~x ~x ~ x （2.28） 帶回式（2.22）可整理得( )
∑
[ ]
( )
∑
[ ]
(
)
= = − + − = 2 1 3 1 ~ ~ ~ ~ ~ j j i m i m t Φ x t i θ f t j x （2.29） 若p 非為一整數時，即若n< p<n+1，其中n 為一整數，則依上述之說明，可知 TVARX 之I = n2 +1，J =2n。第三章
建構
TVARX 及結構動態特性估算
3.1 TVARX 建模
在一時變線性系統之反應，利用時變ARX（TV-ARX）模式可表示為( )
t( ) ( )
t t i J( ) (
t t j)
( )
t j j I i i y Θ f an Φ y =∑
− +∑
− + = =1 0 （2.16） 從量測動態反應建立 TVARX 模式，可先決定一基底函數，並將 TVARX 之系數函數 以選定基底函數展開。接著利用迴歸計算之技巧估算每一個基底函數對應之係數。常用之 基底函數之種類包括有多項式函數，富利葉級數，Legendre polynomials，小波函數等。本 研究所發展之識別程序則選擇以小波函數及尺度函數將係數函數展開，並配合移動最小平 方差法之迴歸計算技巧，以求取每一個小波函數及尺度函數對應之係數。 依二進制離散小波轉換理論可知，若一函數進行離散小波轉換，則該函數將分解至該 小波函數與尺度函數對應之函數空間，圖 3.1 為其分解之示意圖。若分解時，僅考慮小波 函數所對應之函數空間，則需進一步對尺度函數空間中之分量進行轉換。如此則需使用各 種尺度之小波函數方能保留大部分之函數特性。儘管如此，函數中之低頻分量仍然會有部 分遺漏之情形。因此，若欲對一函數以小波函數展開，則需同時考慮尺度函數之展開項， 如此方能完整描述原始函數。 對式（2.16）中之係數函數做離散小波轉換，即令：( )
∑
( )
( )
∑ ∑
( )
( )
= ∈ ∈ + = i i i K k m Z m ik m ik Z m m iK m iK i t t t t t 0 , , , , φ a ψ a Φ （3.1）( )
∑
( )
( )
∑ ∑
( )
( )
= ∈ ∈ + = j j j L l m Z m jl m jl Z m m jL m jL j t t t t t 0 , , , , φ b ψ b Θ （3.2） 其中：( )
t m iKi, φ ：為第K 層平移 m 之尺度函數； i( )
t m ik, ψ ：第k 層平移 m 之為小波函數。 i 定義誤差估計函數為( ) ( ) ( )
[
]
∑
= = N m n m T m n m t t t w E 0 a a （3.3） 其中，N為估算t 時刻係數時，權重函數不為零所包含之資料點數；m w( )
tn ：為權重函數。 一般使用之權函數有以下兩種： 1. 四次曲線權重函數( )
⎩ ⎨ ⎧ > ≤ − + − = 1 0 1 3 8 6 1 2 3 4 d d d d d d w （3.4） 2. 指數權重函數( )
( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = − 1 0 1 2 d d e d w dα （3.5） 其中， L x x d = − i ；L 代表數據點x 之最大影響區間。此兩函數圖形如圖 3.2 所示；其中i 指數權重函數所示者為，α =0.3。 式（3.1）與（3.2）代入（2.16）則an( )
t 可以下式取代：( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
j( )
( )
m n j j m i i i t J j j t L l m Z m m jl m m jl Z m m m jL m m jL I i t i K k m Z ikm m ikm m Z m iK m m iK m m m t t t t t t t t t y f b b y a a an − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑
= ∈ = ∈ − = ∈ = ∈ − 1 1 , , , , 1 , , 1 , , ψ φ ψ φ （3.6） 再代入式（3.2），當誤差估計值為最小時，誤差估計函數對各個係數取導數須為零；即[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
0 o b 0 b 0 a 0 a ∂ = ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ m jl m jL m ik m K i E E E E j i, , , , , , , , （3.7） 依上式整理可得：( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b( )
( )
f y( )
y[ ]
0 b y a a = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ∈ = ∈ − = = ∈ = ∈ −∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
i t n m iK t J j t j L l m Z jlm n jlm n Z m jL m n jL m n N n I i i t K k m Z n m ik n m ik Z m n m iK n m iK n n i n n j j j n i i i t t t t t t t t t t w , 1 , , 1 , , 0 1 1 , , , , φ ψ φ ψ φ （3.8a）( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b( )
( )
f y( )
y[ ]
0 b y a a = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ∈ = ∈ − = = ∈ = ∈ −∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
i t n m ik t J j j t L l m Z n m jl n m jl Z m n m jL n m jL N n I i i t K k m Z n m ik n m ik Z m n m iK n m iK n n n n j j j n i i i t t t t t t t t t t w , 1 1 , , , , 0 1 1 , , , , ψ ψ φ ψ φ （3.8b）( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b( )
( )
f y( )
f[ ]
0 b y a a = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ∈ = ∈ − = = ∈ = ∈ −∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
j t n m L t J j j t L l m Z n m jl n m jl Z m n m jL n m jL N n I i i t K k m Z n m ik n m ik Z m n m iK n m iK n n j n n j j j n i i i t t t t t t t t t t w , 1 1 , , , , 0 1 1 , , , , φ ψ φ ψ φ （3.8c）( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b( )
( )
f y( )
f[ ]
0 b y a a = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ∈ = ∈ − = = ∈ = ∈ −∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
j t n m jl t J j j t L l m Z n m jl n m jl Z m n m jL n m jL N n I i i t K k m Z n m ik n m ik Z m n m iK n m iK n n n n j j j n i i i t t t t t t t t t t w , 1 1 , , , , 0 1 1 , , , , ψ ψ φ ψ φ （3.8d） 式（3.8）可以矩陣形式簡化表示為： ~ ~a V Wf WV VT = T ⇒ （3.9） 其中，{ } { }
{ } { } { }
{ }
(
T)
T j T T T I T T a a b b b a a 1 2 L 1 2 L ~={ }
(
)
T M iK iK iK M i i i M i i i M iK iK iK i i i i i i i , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , a a a a a a a a a a a a a L L L L L ={ }
(
)
T M jL jL jL M j j j M j j j M jL jL jL j j j j j j j , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , b b b b b b b b b b b b b L L L L L =(
)
T t t t y y N y f 0 1 L ~=(
w w wN)
diag 0 1 L = W( )
i i wt w =( )
[
]
[
( )
]
[
( )
]
[
( )
[
L t]
[
L( )
t]
[
L( )
t J]]
I t K t K t K t t t t t t J I − − − − − − Π Π Π Π Π Π = f f f y y y V L L 1 0 2 1 1 0 2 1( )
[
]
[
{
( )
}
{
( )
}
{
( )
}
T]
T i t N K T i t K T i t K i t Ki t − = Π i t − Π i t − Π i t N− Π y y y L y 1 0 1 0( )
[
]
[
{
( )
}
{
( )
}
{
( )
}
T]
T j t N L T j t L T j t L j t Lj t − = Π j t − Π j t − Π j t N− Π f f f L f 1 0 1 0( )
{
}
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
T M K n K n K n M n n n M n n n M K n K n K n n K i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ φ φ φ L L L L L = Π( )
{
}
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
T M L n L n L n M n n n M n n n M L n L n L n n L j j j j j j j t t t t t t t t t t t t t , 2 , 1 , , 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , 1 , ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ φ φ φ L L L L L = Π 對（3.10）式求解即可得到每個基底小波函數於每一時刻下所對應之係數，由此即可 得到此TVARX 模型於某個時刻t = 下之時變係數tn[
φ~i( )
tn]
(
i=1,2LI)
。 由『移動最小平方差法』之基本理論可知，由於 ~ a 為隨t 而改變；因此，分析過程不 須太多之基底函數，即可得相當好之結果。當所選用之權重函數為一常數（如，w( )
t =1）， 則每一時刻下，各基底函數所對應之係數即為常數；則其所得之結果與傳統最小平方差法 一致。3.2 瞬時模態參數估算
從量測反應建構適當之TVARX 模式，通常吾人欲瞭解該時變線性結構系統之動態特 性隨時間變化之行為。此等信息有助於判斷結構系統之損傷情形。由TVARX 之通式：( )
t( ) ( )
t t i J( ) (
t t j)
( )
t j j I i i y Θ f an Φ y =∑
− +∑
− + = =1 0 （2.16） 在瞬時t 下，Φi( )
t 與Θj( )
t 均為常數矩陣，故在瞬時t 下，TVARX 模式，即對等於非時變 之ARX 模式。依非時變 ARX 模式估算動態特性之方法，令[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − t t t t t i i i i 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Φ Φ Φ Φ Φ I I I G L L M M M M M M L L （3.10） 在時變系統[ ]
G 將隨時間而改變。[ ]
G 之特徵值及向量是與結構系統之動態特性有直接關 係。如同非時變系統之推導可知[ ]
GΨk kΨk ~ ~ =λ （3.11） 其中Ψ~k及λk為[ ]
G 之第k 特徵向量及特徵值。在時變系統中，Ψ 及k λk亦是時間之函數。 令 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ) ( ) 2 ( ) 1 ( ~ ~ ~ ~ I k k k k Ψ Ψ Ψ Ψ M 其中，Ψ~(ki)為一( )
l×1 之向量，l為量測自由度。由於[ ]
G 之特殊構造，可得 ) 1 ( ) ( ~ ~ = i− k k i k Ψ Ψ λ ( i= 1,2,…,I ) （3.12a）且 ) ( ) 1 ( 1 0 ~ ~ ~ I k k j k I j j n Ψ Ψ φ + =λ − = −
∑
（3.12b） 從上式兩關係式（（3.12a）及（3.12b））可得 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −1 (1) ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ~ ~ ~ ~ ~ k I k k k k k k k λ λ λ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ M （3.13） 及Ψ 代表量測自由度之第(k1) k 模態。 由式（3.11）~（3.12）亦可得 0 ~ ~ ~ 1 2 2 1 1 − − − = − − − − I k I k I k I kI λ φ λ φ λ φ λ K （3.14） 上式亦通常用於估算AR 或 ARMA 時間序列模式之極點（pole）進而估算自然振動頻率及 阻尼比（Wang and Fang,1986）。式（3.10）中之特徵值常為複數，成雙或對之共軛根。令k k k =a +ib λ ，則結構系統之瞬時你自然振動頻率及阻尼比為 2 2 ~ k k k α β β = + ， k k k α β ξ = ~ （3.15） 其中： k k k a b t 1 tan 1 − Δ = β ， ln( ) 2 1 2 2 k k k a b t + Δ = α （3.16） t Δ 為時間增量(即取樣頻率之倒數)。
通常β~k亦稱為擬自然振動頻率（pseudo-undamped circular natural frequency）。
依上節所述程序所得瞬時擬自然振動頻率及阻尼比之正確性，本節以一單自由度系統 透過嚴謹數學證明之。此證明將是首現於文獻。 依第二章所得TVARX 與運動方程式之對等關係知：當用位移反應建立 TVARX 模式 時，得 ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) (t = 1 t x t− + 2 t− x t− + 1 t f t− x ϕ ϕ θ （2.5） 其中 ) ( ) /( ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 t t t t t m t t k t Δ − Δ Δ − − Δ − − = α ϕ ) ( ) 2 /( ) ( ) /( ) ( ) ( 2 2 t t t t t c t t t m t Δ − Δ Δ − − Δ Δ − − = α ϕ ) ( 1 ) ( 1 t t t Δ − = α θ t t t c t t t m t t Δ Δ − + Δ Δ − = Δ − 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 α 如此，
[ ]
G 則為[ ]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 2 1 0 ϕ ϕ G （3.17） 其特徵值為 1 1 2 , 1 =a ±ib λ （3.18） 其中 t c m k t m a Δ + Δ − = 2 ) ( 2 2 1[
]
t c m c k t mk t b Δ + + Δ − Δ = 2 ) ( 4 2 2 2 1/2 1 上式之及以下之推導，為了簡化該表示式省略m,c,k 函數中之(t−Δt)。依式 (3.16) ) 2 2 ln( 2 1 ) ln( 2 1 2 2 1 t c m t c m t b a t + Δ Δ − Δ = + Δ = α （3.19a）
[
]
] ) ( 2 ) ( 4 [ tan 1 ) ( tan 1 2 2 / 1 2 2 2 1 1 1 t k m c t k mk t t a b t − Δ + Δ − Δ Δ = Δ = − − β （3.19b）利用Taylor’s expansion，將上式之 ln 項及tan−1項展開得：
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + − = 2 1 2 T t O T πξ α （3.20a）
( )
[
]
[
]
[
]
[
]
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + − + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 4 2 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 1 16 1 24 1 2 3 ! 3 1 1 2 T t O T t T T T ξ π ξ π ξ π ξ π β （3.20b） 其中 k m T =2π m c T π ξ 4 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ n T t O 代表含 T t Δ 階數大於（或等於）n 之項 因為在利用有限差分法離散化運動方程式時，要求Δ <<1 T t ；因此，上式之α1及β1可簡化 成 2 / 1 2 1 1 (1 ) 2 , 2πξ β π ξ α ≈− ≈ − T T （3.21）故，瞬時擬自然振動頻率 m k T = = π β~1 2 （3.22a） ξ ξ1 = （3.22b） 所以，依式前節所估算之自然振動頻率及阻尼比即為系統在 t−Δt時刻之瞬時自然振動頻 率及阻尼比。 若是利用速度或加速度建立TVARX 模式，再依上節所述估算瞬時擬自然振動頻率及 阻尼比，則分別得 m k v = 1 ~ β （3.23a） m c T v π ξ 4 1 = （3.23b） 其中：
