非線性反應之識別結果

以一60％Kobe 地震為輸入，其歷時反應與頻譜圖示於圖 5.7。由應變計之歷時反應已 知結構之反應過程已進入非線性範圍。由此可推知，以此識別流程對結構之振動反應進行 分析，所識別之結果應可反應出明顯之時變特性。同樣地，由各自由度之位移反應歷時圖

（圖 5.8）可知，於 0 秒至 2 秒區間之反應較不顯著。因此，在以此段資料進行分析時需 特別注意是否會因訊號本身之噪訊比過大，導致識別之結果誤差過大。並且由圖 5.9 之各 自由度頻譜圖可得知，其加速度歷時反應中包含五個主要振動頻率，大小分別約略為

2

~

1 、4~5、8~9、12~13和15~16Hz。其頻譜反應與 10％Kobe 地震為輸入時，兩 者之峰值位置並無明顯差異。

圖5.12 為對 60％Kobe 地震為輸入之結構位移反應進行識別之結果。識別所得各個模 態之自然振動頻率可看出於3 秒附近有頻率降低之現象。特別是第一模態與第五模態，第 一模態之自然振動頻率所呈現之時變反應是於3 秒前由 1.4 左右降至 1.32Hz，過第 3 秒之 後回復至1.4Hz，於 3.5 秒左右又降至 1.33Hz，最後平穩回復至 1.4Hz。而第五模態之自然 振動頻率之時變特性為，於第3 秒左右由 16Hz 左右降至 15.5Hz，過了第三秒之後逐漸回 復至16Hz。此結果顯示，當以 60％Kobe 地震為輸入時，此結構系統於第 3 秒左右有最顯 著之非線性反應。此分析結果與應變計所顯示之非線性反應相似。

第六章 結論

本文利用以小波函數為基底對時變系統中之時變係數以基底函數展開，再以最小平方 差法或移動最小平方差法反算各組基底函數所對應之係數。利用基底函數及其對應之係數 建立出結構之系統矩陣，接著經由系統識別程序，獲得系統之模態參數如自然振動頻率、

阻尼比、以及振動模態。

首先，於本研究中建立TVARX 模式與運動方程式之對應關係式。先由單自由度系統 出發推導基於位移、速度與加速度反應之TVARX 模型與運動方程式之對應關係式；接著 推廣至多自由度系統；最後，考慮不完全量測自由度下TVARX 模型之建立。

接著，探討量測反應所架構之TVARX 模式估算結構系統之動態特性。先將時變係數 利用基底小波函數展開；再選定適用之權重函數利用移動最小平方差法反算各項時變係數

（或者利用最小平方差法對時變係數進行反算）；利用反算所得之時變係數進一步估算系 統之瞬時模態參數；並且探討位移、速度與加速度反應對模態識別之影響，吾人經嚴謹數 學證明當以位移反應架構TVARX 模型時，則估算所得之瞬時模態參數是正確的；但若改 用速度或加速度反應架構TVARX 模型時，則所估算之瞬時模態參數是不正確的，將導致 系統誤差產生。

進一步將此識別流程應用於單自由度與多自由度時變線性系統之數值模擬地震反 應。於參數探討過程中，除了驗證位移速度與加速度反應之識別結果外，更進一步探討不 同以小波函數為基底之識別結果、以最小平方差法與移動最小平方差法之識別結果以及基 底小波函數所選用之尺度因子對於識別結果之影響。由分析結果可知，以Orthogonal Linear 小波函數為基底小波函數所得之識別結果較佳。以最小平方差法進行反算，需使用較多之 基底函數對時變係數展開方能獲得較準確之結果。若以移動最小平方差法進行反算，展開 時變係數之基底函數僅需少量即可，但是整體運算較為耗時。

最後將此識別流程應用於五層樓鋼結構，已知此鋼結構於 60％Kobe 地震輸入下之振 動台試驗已經進入非線性反應。藉由應變計之歷時反應可約略估計非線性反應較明顯之時 間點。研究中利用所提之識別方法能準確描述結構系統各個模態之自然振動頻率之變化過 程。

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表4.1 Orthogonal Linear 小波之尺度函數對應之係數

n a _n b _n x

1 0.745749187 -0.846591050 0≤ x≤1 2 -0.100841860 0.121170430 1≤ x≤2 3 0.020328568 -0.024874868 2≤ x≤3 4 -0.004546300 0.004546300 3≤ x≤4

表4.2 Orthogonal Linear 小波之小波函數對應之係數

n c _n d _n x

1 -1.68193364103724400000 5.21818612459000000000 0.0≤ x≤0.5 2 0.92715942126058900000 -1.86422267310099800000 0.5≤ x≤0.1 3 -0.00495191528990966300 -0.14497675983449720000 1.0≤ x≤1.5 4 -0.07744029520715825000 0.10731866918808380000 1.5≤ x≤2.0 5 -0.02378096061311632000 0.08684349038918530000 2.0≤ x≤2.5 6 0.01964078458147631000 -0.02999996523471812000 2.5≤ x≤3.0 7 0.00464080196411725000 -0.01753474565417041000 3.0≤ x≤3.5 8 -0.00412657086296795600 0.00585116853623173400 3.5≤ x≤4.0 9 -0.00120098659485209000 0.00043751700282900780 4.0≤ x≤4.5 10 0.00098659841929294900 -0.00144461313770336700 4.5≤ x≤5.0 11 0.00026429185044126570 -0.00058072306484173020 5.0≤ x≤5.5 12 -0.00002606968197959940 0.00006147763389129245 5.5≤ x≤6.0 13 0.00000466913496604684 -0.00000933826800000000 6.0≤ x≤6.5

表5.1：鋼構的材料性質

Dir-2m Dir-3m

Column(1F~5F) H125x125x6.5x9 H125x125x6.5x9 Beam(1F~5F) H150x75x5x7 H100x100x6x8 Girder(1F~5F) H100x50x5x7 H100x50x5x7

圖3.1

^L

²

( ) ^R

^{分解之子空間式意圖}

( )

R L²

D1

W1

D2

W2

D3

W3

⊕

⊕

⊕

O

-1 -0.5 0 0.5 1

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

w

quartic spline

exponential

圖3.2 權重函數 d

case（1）

case（2）

case（3）

圖4.1 單自由度線性時變系統之各種時變係數特性

圖4.2 輸入之地震歷時及其頻譜圖

圖4.3 case（1）線性非時變系統之系統反應及其頻譜圖

圖4.4 case（2）線性時變系統之反應及其頻譜圖

圖4.5 case（3）線性時變系統之反應及其頻譜圖

圖4.6 以加速度反應進行識別之結果

圖4.7 以速度反應進行識別之結果

圖4.8 以位移反應進行識別之結果

圖4.9 以多項式函數為基底，配合移動最小平方差法之識別結果（權重函數之 影響半徑

(

L=1

)

）

圖4.10 以多項式函數為基底，配合移動最小平方差法之識別結果（權重函數之 影響半徑

(

L=2

)

）

圖4.11 以多項式函數為基底，配合移動最小平方差法之識別結果（權重函數之 影響半徑

(

L=5

)

）

圖4.12 以多項式函數為基底，配合移動最小平方差法之識別結果（權重函數之 影響半徑

(

L=10

)

）

圖4.13 以多項式函數為基底，配合移動最小平方差法對時變系數陡變之識別結 果。

（圖4.13 續上頁）

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

-1 0 1

Φ

Η

(t)

圖4.14 Haar 尺度函數示意圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

-1 0 1

Ψ

Η

(t )

圖4.15 Haar 小波函數示意圖

0 1 2 3

frequency(Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|Φ^ Η(ω)|

圖4.16 Haar 尺度函數之頻譜圖

0 1 2 3

frequency(Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

|Ψ^ Η(ω)|

圖4.17 Haar 小波函數之頻譜圖

-4 -2 0 2 4

t

-0.5 0 0.5 1 1.5

Φ

L

(t)

圖4.18 Orthogonal Linear 尺度函數示意圖

-6 -4 -2 0 2 4 6

t

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Ψ

L

(t)

圖4.19 Orthogonal Linear 小波函數示意圖

0 1 2 3

frequency(Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

|Φ^ L(ω)|

圖4.20 Orthogonal Linear 尺度函數之頻譜圖

0 1 2 3

frequency(Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

|Ψ^ L(ω)|

圖4.21 Orthogonal Linear 小波函數之頻譜圖

-20 -10 0 10 20

t

-0.5 0 0.5 1

Φ

s

(t )

圖4.22 Shannon 尺度函數示意圖

-20 -10 0 10 20

t

-1 -0.5 0 0.5 1

Ψ

s

(t)

圖4.23 Shannon 小波函數示意圖

0 1 2 3

frequency(Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

|Φ^ S(ω)|

圖4.24 Shannon 尺度函數之頻譜圖

0 1 2 3

frequency(Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

|Ψ^ S(ω)|

圖4.25 Shannon 小波函數之頻譜圖

圖4.26 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2²）

（圖4.26 續上頁）

圖4.27 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2¹）

（圖4.27 續上頁）

圖4.28 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2⁰）

（圖4.28 續上頁）

圖4.29 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2⁻¹）

（圖4.29 續上頁）

圖4.30 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2²）

（圖4.30 續上頁）

圖4.31 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2¹）

（圖4.31 續上頁）

圖4.32 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2⁰）

（圖4.32 續上頁）

圖4.33 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2⁻¹）

（圖4.33 續上頁）

圖4.34 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2²）

圖4.35 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2¹）

圖4.36 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2⁰）

圖4.37 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（LS，a=2⁻¹）

圖4.38 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2²,L=5）

（圖4.38 續上頁）

圖4.39 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2²,L=2）

（圖4.39 續上頁）

圖4.40 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2¹,L=5）

（圖4.40 續上頁）

圖4.41 以 Haar 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2¹,L=2）

（圖4.41 續上頁）

圖4.42 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2²,L=5）

（圖4.42 續上頁）

圖4.43 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2²,L=2）

（圖4.43 續上頁）

圖4.44 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2¹,L=5）

（圖4.44 續上頁）

圖4.45 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2¹,L=2）

（圖4.45 續上頁）

圖4.46 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2²,L=5）

圖4.47 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2²,L=2）

圖4.48 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2¹,L=5）

圖4.49 以 Shannon 小波函數為基底對時變係數展開之識別結果

（MLS，a=2¹,L=2）

圖4.50 以多項式為基底配合移動最小平方法之識別結果與遞迴識別法之識別結 果相比較

圖4.51 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底配合最小平方法之識別結果與遞迴 識別法之識別結果相比較

圖4.52 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底配合移動最小平方法之識別結果與

圖4.52 以 Orthogonal Linear 小波函數為基底配合移動最小平方法之識別結果與

在文檔中 結構健康診斷與控制研究---大型結構實驗驗証---子計畫：發展基於小波轉換之系統識別方法---時變線性系統(II) (頁 49-156)