前言

1-1 研究目的

海洋之水面隨著空間及時間而變化，該變化的水面會導致海水內 水粒子運動及水壓變動等現象，此現象為研究海洋科學及海岸專家學 者探討的古典力學機制的範疇。水平底床上規則波浪理論是個古典的 問題，描述流體運動狀態的數學解析有 Lagrangian 方法和 Eulerian 方 法兩種。Lagrangian 方法為觀測各個特定的流體質點，來描述該流體 質點於其運動路徑上之運動行為；而 Eulerian 方法為在空間各個固定 的位置上，描述流場之時空特性。從數學的觀點，以 Eulerian 方法研 究流體力學較 Lagrangian 方法簡易，故一般常採用 Eulerian 方法來探 究流場的特性(見 Pao, 1967)。

自 Airy (1845)省略波浪的非線性量，提出微小振幅波理論。Stokes (1847)利用攝動解析的技術，解析等水深有限振幅波的問題。爾後有 關波浪問題幾乎多採用 Eulerian 座標系統，至今，理論解析部份已推 展到五階解(如 Skjelbreia 和 Hendrickson, 1960; Isobe 等人, 1978;

Fenton,1985)。然而，由於 Eulerian 方法為觀測空間中之固定位置，

並不能正確地轉換成可描述出各個流體質點於時空中的運動軌跡的 形式(見陳, 1996)。若採用 Lagrangian 座標來描述前進重力波，可處 理波動流場有污染源擴散(如陳等人, 1998)，及波浪於斜坡底床上造 成波形的變形不對稱的問題(如 Biesel, 1951; 陳, 1997; 陳和黃, 2000)，且由於完全滿足邊界條件，而可求出平均水位上的波壓，此 為 Eulerian 解所無法表現的限制。雖然 Lagrangian 方法的解析較採用 Eulerian 方法複雜，但 Lagrangian 方法具有可描述質點運動軌跡的優 點。本文嘗試以 Lagrangian 方法解析波動場中流體質點的運動路徑。

Truesdell (1953)提出 Eulerian 座標系統與 Lagrangian 座標系統的 微分的轉換關係，透過此轉換關係可知，Eulerian 系統與 Lagrangian 系統間的控制方程式可互相轉換。Eulerian 與 Lagrangian 系統雖然描 述方式不同，但皆是在描述同一個波浪現象，因此，這兩種描述方式 之特性是否具有關係，應值得探討。故此兩種控制方程式，經過相同 攝動參數及攝動方法所獲得之各物理之解，是否能轉換是本文探討的 另一主題。

波浪有水位起伏及水粒子運動，即有能量存在，而波浪在運動及 有壓力變化時，就會產生運動量，此種物理量不能直接觀察。且當波 浪在運動時會將各物理量沿波浪進行方向傳遞，即產生各物理量的通 率，一般稱此種物理量及其通率為動力特性，動力特性為研究判斷波 浪各種變化的根據，故研究波浪的動力特性亦是一個重要的課題。

本文研究主要目的為探討水平底重力規則波之 Lagrangian 解 析，並提出與 Eulerian 解析完整的相互轉換方式，以解決往昔兩種方 法解析波動無法轉換之問題。本文探討主題分為解析 Lagrangian 近似 解，並說明波動之運動特性，接著探討 Eulerian 與 Lagrangian 近似解 間的轉換方法，最後比較 Eulerian 與 Lagrangian 近似解動力特性的差 異性。期望藉此基本研究，以 Eulerian 與 Lagrangian 兩種不同座標系 統下，對水平底床有限振幅波的運動與動力特性進行完整的探討。

1-2 文獻回顧

在 Lagrangian 座標系統的理論解析方面，由於 Lagrangian 方法描 述波浪問題的控制方程式皆為非線性，理論解析較為困難，故相關的 探討文獻並不多。von Gerstner (1802)由幾何學及運動學的觀點，首先 提出以 Lagrangian 方法來解析波浪運動現象，其解即所謂的餘擺線波 理論(trochoidal wave)，爾後 Rankine (1863)亦利用 Lagrangian 方法導

出完全相同的理論，但是二者均為第一階線性解，而僅適用於深海中 之波動。Gaillard (1904)提出有限水深規則波的 Lagrangian 方法的線 性解。Miche (1944)採用 Lagrangian 座標系統的連續方程式及 、x y方 向的運動方程式，結合自由表面及底床邊界條件，探討有限均勻等水 深中之波動現象，並在假設流體質點從起始位置開始運動的位移量很 小的情況下，分別對 、x y方向的質點運動軌跡及壓力進行攝動展開，

而求得波動場之二階解，同時在限制旋轉量為零及垂直方向質量守恆 的條件下，求得質量傳輸速度隨深度變化的特性。Moe 等人(1998)根 據 Miche (1944)的推導方式，求出在有限水深下的二階 Lagrangian 波 浪解，並將理論結果與實驗值相比較。上述以 Lagrangian 座標系統描 述的波動問題所得之研究結果，其流體質點的運動皆為旋轉性，故與 理想流體的非旋轉性的基本假設互相矛盾，且由於未對週波率進行攝 動展開，故無法表現不同深度下質點運動的週波率隨深度增加而增加 的特性。

陳(1994a)在 Lagrangian 系統中，將運動方程式透過 Weber 轉換 轉成能量方程式，並在流速勢的定義下，推導出非旋轉流條件。在同 時考慮連續方程式、能量方程式、非旋轉流條件及自由表面和底部邊 界條件下，對 、x y方向的質點運動軌跡、壓力、流速勢及週波率進 行攝動展開，求得非旋轉性重力波動場至三階解。其解析結果與往昔 最大的不同，在於其滿足了理想流體非旋轉的特性，且因考慮了週波 率的攝動展開，而可表現出週波率於不同深度下的變化特性。陳 (1994b) 進 而 將 其 結 果 展 開 至 第 五 階 解 。 除 了 解 析 水 平 底 波 動 的 Lagrangian 解外，尚有 Biesel (1951)與陳(1997)解析出微小振幅前進波 於斜坡上的 Eulerian 解，並將其結果轉移成 Lagrangian 形式，用以表 現斜坡上波形的不對稱特性。陳和黃(2000)直接解析斜坡上前進波的 Lagrangian 解，但由於解析過程中忽略波浪的非線性部份，故其解仍

僅適用於微小振幅波浪。另外，Pierson (1962)推導出 Lagrangian 的 Navier-Stokes 方程式，並求得其波動場的第一階線性解，探究深水中 的自由表面前進重力波受黏滯性的影響。

往昔學者的探討在 Eulerian 與 Lagrangian 近似解的轉換方面不 多。Longuet-Higgins (1953)利用泰勒展開的方式，將 Eulerian 速度解 轉換至 Lagrangian 速度解，並對其取時間平均，以求得質量傳輸速 度，但僅能對二階 Eulerian 速度解進行轉換，而求得二階的質量傳輸 速度，在進行第三階 Eulerian 速度解的轉換時，會產生隨時間成長的 不合理 Lagrangian 三階速度解。陳(1996)探討 Eulerian 三階解與 Lagrangian 三階解間的轉換關係，並首先提出 Lagrangian 解轉換至 Eulerian 解的方式，結果顯示， Eulerian 解在第三階無法轉換至 Lagrangian 解，亦會產生不合理的時間項，而 Lagrangian 三階解可成 功轉換至 Eulerian 三階解。

在探討波浪的動力特性方面，往昔學者已有相當多的研究(如 Lighthill, 1965; Peregrine 和 Thomas, 1979; Jonsson 和 Arneborg, 1995;

Jonsson 和 Steenberg, 1999)。傳統上，在探討波動場之動力特性，皆 是採用 Eulerian 近似解，依照基本定義求取平均動量、平均動能、平 均位能、輻射應力、平均總動壓及平均能通率，爾後，部份學者推導 出各動力特性間之關係 (如 Longuet-Higgins, 1975; Cokelet, 1977;

Rienecker 和 Fenton, 1981; Sobey 等人, 1987; Klopman, 1990)。而動力 特性間的關係亦可作為求得動力特性結果的正確性檢驗(如 Jonsson 和 Steenberg, 1999)。Eulerian 與 Lagrangian 系統雖然描述方式不同，

但皆是在描述同一個波浪現象，故此兩種描述方式之動力特性是否具 有關係，便顯的非常重要。陳(1995)首先比較前進重力波與重力駐波 Eulerian 與 Lagrangian 近似解的動力特性，但仍僅限於第二階量。由

陳(1995)的比較結果可知，Eulerian 與 Lagrangian 近似解至第二階量 的動力特性公式是相同的。

1-3 研究課題

本文的欲探討主題示如圖 1-1 之流程。圖 1-1 中打問號的部分為 本文欲解析或證明的部分。本文主要探討針對水平底床下有限振幅波 的物理現象，描述該現象的 Eulerian 與 Lagrangian 系統，其控制方程 式是否可相互轉換，並進行 Lagrangian 近似解的解析。接著瞭解針對 同 一 個 波 浪 現 象 的 兩 種 描 述 方 式 是 否 可 以 互 相 轉 換 ， 故 將 進 行 Eulerian 與 Lagrangian 近似解的轉換研究。最後為了瞭解同一個波浪 現象下，兩種描述方式的動力特性之間的差異，於是將分別求解出 Eulerian 與 Lagrangian 系統中的動力特性，並進行比較。透過如此的 研究，我們可以瞭解針對同一個物理現象，採用不同系統來描述，其 間的差異與其優缺點。

在 Lagrangian 座標系統的理論解析方面，雖然往昔學者已有應用 Lagrangian 方法解析斜坡波浪運動及黏滯性波動的研究，然而對於最 基本的水平底床上的波動問題，除陳(1994a, b)外，早期的研究僅為低 階解，或甚至僅適用於深水情況，但對於有限水深適用於波動非線性 的高階解的解析技巧及對波動特性的描述尚沒有系統而完整的探 討。本文第二章乃針對有限水深水平底床上規則重力波的 Lagrangian 特性的問題，首先應用 Eulerian 與 Lagrangian 座標系統之間的轉換關 係，將一般常用的均勻水深上非旋轉性重力波的 Eulerian 控制方程式 轉換至 Lagrangian 系統的控制方程式，簡化直接由 Lagrangian 系統中 推導控制方程式的複雜性，再利用攝動展開技巧，進行理論解析，由 於 在 Eulerian 系統中，往昔學者皆解析至第五階解，於是為 了 Lagrangian 系統的完整性，且方便第二部份進行系統轉換上各階量的

比較，本文亦將解析至第五階解。接著探討 Eulerian 與 Lagrangian 兩 種不同觀點下，波浪週波率、波形及波壓的關係，最後再探討流體質 點在不同深度下水平位移的特性及質量傳輸速度。

在 Eulerian 與 Lagrangian 近似解的轉換方面，往昔學者對於三階 Eulerian 解，尚無法成功轉換至合理的 Lagrangian 解。本文第三章將 針對有限水深水平底床上規則重力波的問題，在相同攝動參數的考慮 下，首先應用陳(1996)將 Lagrangian 解轉換至 Eulerian 解的轉換技術，

驗證本文所提出 Lagrangian 五階解是否可以轉換至 Fenton (1985)的 Eulerian 五階解，接著解決高階 Eulerian 解無法轉換至 Lagrangian 解 的問題。

在探討波浪的動力特性方面，往昔學者雖然已有探討 Eulerian 與 Lagrangian 近似解的動力特性，但僅限於第二階解，對於高於二階近 似解的部份尚無法確認兩種描述方式之間的關係。本文第四章首先應 用 Fenton (1985)的 Eulerian 近似解求得 Eulerian 系統的動力特性至第

在探討波浪的動力特性方面，往昔學者雖然已有探討 Eulerian 與 Lagrangian 近似解的動力特性，但僅限於第二階解，對於高於二階近 似解的部份尚無法確認兩種描述方式之間的關係。本文第四章首先應 用 Fenton (1985)的 Eulerian 近似解求得 Eulerian 系統的動力特性至第