本文利用 Lagrangian 方法，探討有限振幅波於水平底上的波動傳 統問題。本文首先透過 Eulerian 與 Lagrangian 系統間的轉換關係，推 導出 Lagrangian 座標中非旋性前進波的控制方程式，簡化直接由 Lagrangian 系統中推導控制方程式的複雜性，本文使用的攝動技巧主 要因假設質點的運動週波率包括水深的函數，才能獲得合理的五階 解，甚至可延伸至更高階。本文根據 Fenton (1985)的數值檢驗方法，
確認本近似解的係數是完全正確的。透過轉換關係，本文所推導之 Lagrangian 系統流體質點的週波率皆可轉換至 Eulerian 系統空間中任 何一個位置點的週波率，而不僅限於自由表面處(Longuet-Higgins, 1986)，且此空間中之週波率為一常數不隨空間任何位置而有所不同。
本文比較本文 Lagrangian 五階解、Fenton (1985)的 Stokes 五階解 與 Rienecker 和 Fenton (1981)之數值解的波形，本近似解至五階的波 形已非常逼近數值解的波形，且在波谷的部分，並不會產生如 Fenton (1985)五階解的二次波形，說明 Lagrangian 的解可正確描述重力波的 波形。
本文的 Lagrangian 近似解能在自由表面任何一點完全滿足表面 邊界條件，即波動在自由表面的壓力為大氣壓力，而自自由表面以下 的波動壓呈現雙曲線 函數(hyperbolic)隨水深遞減。而且由自由表 面算起，位於波峰的波壓低於靜水壓，而位於波谷的波壓力大於靜壓 力。比較 Eulerian 波壓解在表面不為大氣壓力且不能計算水面上的波 動壓力，本文的波壓解更能符合實在物理現象，而有較優的描述波壓 的能力。至於質點運動軌跡方面，本文可表現不同深度下，流體質點 運動軌跡的大小及形狀並不完全相同的特性。本五階解的質量傳輸速 度包括在二階量及四階量上，此二階量與往昔學者利用 Eulerian 解推 導結果相同，但四階量的部份則是往昔的 Eulerian 解無法求得，亦是
cosh
本文解析首先獲得。本文的質量傳輸速度顯示在表面高階的傳輸速度 較低階者快，但在底部高階的質量傳輸速度反而比低階者慢。
本文接著探討 Eulerian 與 Lagrangian 兩種不同描述方式間的轉換 關係。在 Lagrangian 解轉換至 Eulerian 解方面。由本文可知，Lagrangian 系統的週波率可轉換至 Eulerian 系統的週波率。本文並利用陳(1996) 的轉換技術，將 Lagrangian 的位相及高程，透過泰勒級數，連續展開 在 Eulerian 的位相及高程，透過週波率、流速勢、波壓及水位的轉換 結果可知，本文的 Lagrangian 五階解可轉換至 Fenton (1985)的 Eulerian 五階解。
在 Eulerian 解轉換至 Lagrangian 解方面。因 Eulerian 系統與 Lagrangian 系統中的週波率並不相同，於是本文考慮週波率的影響，
除了將 Eulerian 速度中的(x,y)展開在( ba, )外，亦將σE轉換至σL，經 由週波率的轉換，在進行三階以上轉換時，會合併低階解在進行週波 率轉換時產生的高階量，這些項可消去三階以上 Eulerian 速度解轉換 至 Lagrangian 速度解所產生不合理的時間項。由本文可知，為了滿足 Lagrangian 系統中連續方程式，轉換所得的 Lagrangian 偶數階解需進 行平均水位修正。另外，由於考慮週波率的影響，故在三階以上，透 過積分求取 Lagrangian 系統中流體質點運動軌跡時，亦需考慮低階解 對高階結果的影響量。經由本文的轉換技術，可將 Fenton (1985)的 Eulerian 五階速度解轉換至 Lagrangian 系統中，並透過積分求得 Lagrangian 系統中流體質點運動軌跡，而此運動軌跡經由比對，與本 文的 Lagrangian 五階解一致，故 Fenton (1985)的 Eulerian 五階解可轉 換至本文的 Lagrangian 五階解。本文能成功轉換的處理關鍵有三。一 為質點的 Lagrangian 週波率與空間點 Eulerian 週波率不同，需進行轉 換。第二為 Lagrangian 解在偶數階需經質量守恆條件( )有垂直修 正量。第三為積分質點速度至軌跡時，需經二項式展開
=1 J
σL
/
1 之高階
量。透過本文探討的結果可知，描述等水深非旋轉性前進重力波的 Lagrangian 及 Eulerian 解，在本文轉換技術的應用下，二者是可互相 轉換的。
本文並探討 Eulerian 與 Lagrangian 兩種不同描述方式之動力特性 間的關係。本文首先探討 Eulerian 系統的動力特性。依照動力特性的 基本定義，可由 Fenton (1985)的 Eulerian 解求得平均動量、動能、位 能、輻射應力、總動壓及能通率至第四階解。本文並同時探討有限振 幅波與微小振幅波能量傳遞速度的差異，結果顯示，波浪非線性交互 作用會增加波浪能量傳遞速度，且較微小振幅波理論高。
本文接著應用動力特性間的關係來確認本文求得之動力特性至 第四階解的正確性。在 Longuet-Higgins (1975)所導出動力特性間關係 式的應用下，可說明本文所求得 Eulerian 系統的動力特性至第四階解 是正確的。
本文最後探討 Lagrangian 系統的動力特性。透過動力特性的基本 定義，將本文的 Lagrangian 解代入，即可求得 Lagrangian 系統動力特 性至第四階解，經由結果比對可知，Lagrangian 與 Eulerian 系統的動 力 特 性 公 式 相 同 ， 故 針 對同一個波浪現象，不論用 Eulerian 或 Lagrangian 方法描述，其動力特性皆相同。
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附錄 A 第二種限制條件下的解析結果
cosh)
sin ) ( cosh
)
sin ) ( cosh
0
even m i for t h b mk M
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
σ sinh
)
cos ) ( sinh
)
cos ) ( sinh
4
even m i for h
b mk N
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
+
cos ) ( sinh
)
cos ) ( cosh
)
cos )]
( sinh
) ( cosh [
) cosh cos(
sinh
4
even n m i for t
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
L imn
i i
m i
n imn
L cosh
i
mkh m
shn =sinhn mkh
m
2 143 66 134 2 422
ch 198 768 4 ( 126 384 4 ( 174 2 597 382 ) ( 100 6 987 4 262 2 2726 978
24576 ( 511
ch
) 1694 2 3093 2443
12288 6 ( 666 2 6282 7733
30720 6 ( 257 4 1908 2
111 671 6144 6 ( 491 6 5267 4
538 2 5410 909
) ( 2 3 2 ( 32768
4 533
ch 544 4 9357 2
22554 13802
) ( 2 3 2 (
61440 6
5 370 2 1115 134
4096 6 ( 218 4 2084 2
12330 8333
) ( 2 3 2 (
24576 6
5 272
6 3119 4
4496 2
6890 7664
) (
32768 8
5 5 555
ch
111
111 M
N =−
222
222 M
311
311 M
333
333 M 134 2
)
444
444 M 100 6 987 4 262 2 2726 978
24576 6 ( 358 2 171 16 796 2 2 247 4096 6 ( 491 6 5267 4
538 2 5410 909
) ( 2 3 2 (
32768 8
5 5 533
ch 479 2 1280 797
) ( 170 2 595 246 4096 6 ( 740 2 3714 2509
) (
555
555 M
chsh
chsh k
chsh k
E = B − +
chsh k
chsh k
chsh k 268 325 384 (
4 4
402 ch ch
chsh k 104 192 3 (
4 4
404 ch ch
chsh k
chsh k 642 2 1509 1232
1536 5 (
4 4
422 ch ch ch ch
chsh k
E = B − + − + +
) 4 5 2 212 558 384 3 (
4 4
424 ch ch
chsh k
chsh k 234 384 3 (
4 4
442 ch ch
chsh k 174 2 597 382 ) (
chsh ch 134 2 174 2 597 382 ) ( 194 6 1173 4
8906 2
12706 3864
24576 5 (
5 5
511 ch ch ch ch ch
chsh k 175 4 3614 2
9815 7930
4096 5 (
5 5
513 ch ch ch ch
chsh k 466 2 3832 4403
2048 5 (
5 5
515 ch ch ch
chsh k 293 2 398 264 1024 5 (
5 5
531 ch ch ch ch
chsh k 321 8 3353
6 26731 4
30530 2
38686 2047
) ( 2 3 2 (
32768 7
5 5 533
ch ch
ch
ch ch
chsh ch ch 108 1944 ( 3 4 4567 2
9754 ) (
chsh ch k
E B − + + − − +
= +
) 6 4 82 2 1079 406
4096 5 (
5 5
551 ch ch ch
chsh k 202 4 3196 2
10506 6937
) (
chsh ch 272
6 3119 4
4496 2
6890 7664
) ( 32768
5
7 5
5 555
ch ch
ch ch
chsh ch ch 100 6 987 4 262 2 2726 978
24576 6 ( 358 2 171 16 796 2 2 247 4096 6 ( 491 6 5267 4
538 2 5410 909
) ( 2 3 2 (
32768 8
5 5 533
ch 479 2 1280 797
) ( 170 2 595 246 4096 6 ( 740 2 3714 2509
) ( 272 6 3119
4 4496 2
6890 7664
) (
32768 8
5 5 555
ch 182 2 73 261 (
) 4 3 2 28 11 64 2 (
4 4
42 ch ch
sh k
G = B + +
) 4 2 8 64 ( 2
4 4 4
44 ch ch
sh k
G =− B +
附錄 B 第三種限制條件下的解析結果
第三種解析結果的特性為流速勢的高階解沒有一倍角週期函數 的係數。若要求得第三種限制條件下的解析結果需再多求一變數，流 速勢。
在考慮非旋轉流條件下，於 Eulerian 座標系統中，可定義出一流 速勢為
v y u x
∂
= ∂
∂
= ∂φ φ
, (B-1)
透 過 ∂φ/∂x=∂(Φ,y)/J∂(a,b) 及 ∂φ/∂y=∂(x,Φ)/J∂(a,b) 的 轉 換 關 係 式，可將式(B-1)轉換成
) 1(
a b b a
t y y
x = J Φ −Φ (B-2)
) 1(
a b b a
t x x
y = J Φ − Φ (B-3)
再利用 Cramer 法則，即可獲得 Lagrangian 座標系統中流速勢於 水平及垂直方向的梯度表示式
(B-4)
a t a t
a =x x +y y Φ
(B-5)
b t b t
b = x x + y y Φ
如同上述的攝動解析技術，對式(B-4)及式(B-5)進行攝動展開，
即可求得流速勢於各階的解析結果，而調和解 的求解過程需將 Lagrangian 的流速勢轉換至 Eulerian 的流速勢。利用 Lagrangian 系統 與 Eulerian 系統之位相關係及高程關係
N211
ζ
−
= E
L Z
Z ，其中ζ =k(y−b)， 將 Lagrangian 系統中流速勢，其中θL的函數和 的函數經泰勒級數 分別展開在
ZL
θE處及 處，再利用高階解沒有一倍角週期函數的係 數，即可求得調和解 。於是選定攝動參數為 ，並限制流速勢的 高階解沒有一倍角週期函數的係數，可得解析結果為
ZE
N211 ka0
) cosh
)
sin ) ( cosh
)
sin ) ( cosh
0
even m i for t h b mk M
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
σ sinh
)
cos ) ( sinh
)
cos ) ( sinh
4
even m i for h
b mk N
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
+
sin ) ( cosh
)
sin ) ( cosh
0
even i for t D
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
σ
cos ) ( sinh
)
cos ) ( cosh
)
cos )]
( sinh
) ( cosh [
) cosh cos(
sinh
4
even n m i for t
even n m i for t
odd n m i for t imn
L imn
L imn
i i
m i
n imn
L cosh
i
mkh m
shn =sinhn mkh
m
2 422
ch 198 768 4 ( 126 384 4 ( 174 2 597 382 ) ( 360 ( 3 4 40 2 730 4096 ( 511
ch
) 178 2 498 163 6144 6 ( 666 2 6282 7733
30720 6 ( 2934 2
5253 4978
12288 6 ( 190 6 1291 4
2597 2
1235 30 16384
4 533
ch 544 4 9357 2
22554 13802
) ( 2 3 2 (
61440 6
5 370 2 1115 134
4096 6 ( 218 4 2084 2
12330 8333
) ( 2 3 2 (
24576 6
5 272
6 3119 4
4496 2
6890 7664
) (
32768 8
5 5 555
ch
111
111 M
N =−
222
222 M
311
311 M
333
333 M
)
444
444 M 360 ( 3 4 40 2 730 4096 6 ( 243 217 2048 6 ( 550 2 1169 1078
4096 6 ( 190 6 1291 4
2597 2
1235 30
16384 8
5 5 533
ch 479 2 1280 797
) ( 170 2 595 246 4096 6 ( 740 2 3714 2509
) (
555
555 M
2 168 2 183 187 1536 6 ( 174 2 597 382 ) ( 206 2 88 213 2048 6 ( 426 2 3342 3737
6144 6 ( 462 2 585 458 12288 6 (
) 12 10 75
8 360 6 2884 4
1623 2
4083 48
16384 8
5 5 533
ch 280 4 3609 2
7194 4238
) ( 2 3 2 (
12288 6
5 227 4096 6 ( 110 4 876 2 2526 1703
) ( 272 6 3119
4 4496 2
6890 7664
) (
32768 8
5 5 555
ch
chsh k
chsh k
chsh k
E = B − +
chsh k
chsh k
E =− B − +
) chsh
k
chsh k 104 192 3 (
4 4
404 ch ch
chsh k
chsh k 222 2 426 391 768 5 (
4 4
422 ch ch ch ch
chsh k 212 558 384 3 (
4 4
424 ch ch
chsh k
chsh k 234 384 3 (
4 4
442 ch ch
chsh k 174 2 597 382 ) (
chsh ch
) 174 2 597 382 ) ( 136 2 1222 1424
4096 5 (
5 5
511 ch ch ch ch ch
chsh k 766 2 1804 1871 2048 5 (
5 5
513 ch ch ch ch
chsh k 466 2 3832 4403
2048 5 (
5 5
515 ch ch ch
chsh k 578 2 379 4096 5 (
5 5
531 ch ch ch ch
chsh k 147 8 1510
6 9338 4
8281 2
14933 250
) ( 2 3 2 (
16384 7
5 5 533
ch ch
ch
ch ch
chsh ch ch 108 1944 ( 3 4 4567 2
9754 ) (
chsh ch 1079 406
4096 5 (
5 5
551 ch ch ch
chsh k 202 4 3196 2
10506 6937
) (
chsh ch 272
6 3119 4
4496 2
6890 7664
) ( 32768
5
7 5
5 555
ch ch
ch ch
chsh ch ch 360 ( 3 4 40 2 730 4096 6 ( 243 217 2048 6 (
)) 6 154 ( 7 4 550 2 1169 4096 6 ( 190 6 1291 4
2597 2
1235 30
16384 8
5 5 533
ch 479 2 1280 797
) ( 170 2 595 246 4096 6 ( 740 2 3714 2509
) ( 272 6 3119
4 4496 2
6890 7664
) (
32768 8
5 5 555
ch 1094 1344
4096 6 (
附錄 C 第三至五階解析結果的係數
今 為 能 簡 潔 表 示 解 析 結 果 ， 於 是 設 定 和
，其中 表示雙曲函數的次方，而 表示雙曲函數內 幅數的倍角，故係數如下
mkh m
shn =sinhn mkh
m 294 2 66 397 1536 6 ( 198 768 4 ( 126 384 4 ( 174 2 597 382 ) ( 168 14 435 12 12786 10
48553 8
132468 6
236947
4 371950 2
451945 251684
) (
98304 8
4 5 511
ch
) 1234 2
552 2225 6144 6 ( 666 2 6282 7733
30720 6 ( 1135 4
6462 2
6513 3626
12288 6 ( 168 6 3932 4
1533 2
10383 3836
) ( 2 3 2 (
16384 8
4 5 533
ch 544 4 9357 2
22554 13802
) ( 2 3 2 (
61440 6
4 370 2 1115 134
4096 6 ( 218 4 2084 2
12330 8333
) ( 2 3 2 (
24576 6
4 272
6 3119 4
4496 2
6890 7664
) (
32768 8
4 5 555
ch
311
311 M
333
333 M
444
444 M
N =−
) 145 12 4294 10
15891 8
42764 6
82561
4 122458 2
152995 81148
) (
32768 8
4 5 511
ch 260 2 117 197 2048 6 ( 211 4 1318 2
1253 770
4096 6 ( 196 6 3385 4
3005 2
9491 3816
) ( 2 3 2 (
16384 8
4 5 533
ch 479 2 1280 797
) ( 170 2 595 246 4096 6 ( 740 2 3714 2509
) (
555
555 M
chsh g
chsh g k
E = B ρ − +
chsh g k E B
16 9 3 2
331
= ρ
chsh g
2
chsh g 103 2 193 384 3 (
3 4
402 ch ch ch
chsh g 104 192 3 (
3 4
404 ch ch
chsh g
chsh g 402 2 552 805 768 5 (
3 4
422 ch ch ch ch
chsh g 212 558 384 3 (
3 4
424 ch ch
chsh g
chsh g 234 384 3 (
3 4
442 ch ch
chsh g 174 2 597 382 ) (
chsh ch
) 174 2 597 382 ) ( 173 12 3018 10
495 8 47156 6
52365
4 155670 2
134239 109164
) (
32768 7
4 5 511
ch chsh ch
ch 2338 2
3526 5405
2048 5 (
4 5
513 ch ch ch ch
chsh
chsh