Lagrangian攝動近似解

2-1 控制方程式

在均勻等水深中，二維非旋轉性的自由表面規則前進重力波向卡 氏座標(Carterian coordinate)之正 軸前進，選擇此座標的 軸恰位於 平均水位上且 軸向上為正，h為平均水深，

x x

y η為變動水位。波浪的

波長與週期分別為L與T_E，下標E代表 Eulerian 座標系統，而所對應 的波數與週波率分別為k =2π /L與σ_E =2π/T_E。

1.連續方程式

考慮流體為不可壓縮流體時，Eulerian 座標描述的連續方程式 (continuity equation)為

=0

∂ +∂

∂

= ∂

⋅

∇ y

v x Vv u

(2-1) 式(2-1)中∇=(∂/∂xiv,∂/∂yvj)為空間的散度運算子(divergence operator)，

為水粒子速度向量。Truesdell (1953)提出 Eulerian 座標系統 與 Lagrangian 座標系統的微分的轉換關係為

) , (ui vj Vv = v v

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

a b v x J y v b

a y v J x v

b a

u x J y u b

a y u J x u

, , , 1

, , 1

, , , 1

, , 1

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

(2-2)

其中J =∂(x,y)/∂(a,b)為 Jacobian 運算，表示體積膨脹率(dilatation)，而 為 Lagrangian 座標系統中的獨立變數，用來描述任一特定流體質 點在某一時間的位置。將式(2-2)代入式(2-1)可得

) , ( ba

( ) ( ) ( )

( )

, ^{1 0}

, 1 , ,

1 =

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂

t J J b a

v x J b a

y u

J (2-3)

式(2-3)為 Eulerian 座標轉換至 Lagrangian 座標之連續方程式。由式(2-3) 右式的 Jacobian 值對時間微分為零，代表其物理意義為體積膨脹率不

隨時間變化。在質量守恆定律下，當密度不變的不可壓縮流體，其體 積必需保持固定不變，因此微小控制體的體積對時間的微分必等於 零。

同樣的，依照質量守恆的原則，以 Lagrangian 座標描述不可壓縮 流體的連續方程式為(見 Lamb (1945)第 16 節)

( )

( ) ( )

( )

a b b a y b a x b

a

t b a y t b a x

,

) 0 , , ( ), 0 , , ( ,

) , , ( ), , , (

∂

=∂

∂

∂ (2-4)

因為式(2-4)中等號右邊項為代入起始時間t =0的 Jacobian 值，此 值不為時間的函數且等於等號左邊任何一時間的 Jacobian 值，所以得 知任何時間的 Jacobian 值應與時間 無關。式(2-4)代表 Lagrangian 座 標系統下不可壓縮流體的質量守恆方程式之物理意義與式(2-3)經由 座標轉換所得之連續方程式的結論是相同的。

t

2.非旋轉流條件

以 Eulerian 座標描述質點運動的非旋轉流條件為速度的外積 (cross product)為零，即為

=0

∂

−∂

∂

= ∂

×

∇ y

u x Vv v

(2-5) 同樣地，利用式(2-2)的轉換關係式可得以 Lagrangian 座標系統描

述的非旋轉流條件為

( ) ( ) ( ) ( )

, ⁰

, 1 , ,

1 =

∂

− ∂

∂

∂

b a

u x J b a

y v

J (2-6)

3.運動方程式

若同時在不可壓縮流體及非旋轉流的兩個假設，流場的運動特性 主要受壓力及重力之平衡影響，黏滯力並不發生於流場中，因此流體 質點的動量方程式(momentum equation)為

x P t

x

∂

− ∂

∂ =

∂

ρ 1

2 2

(2-7a)

y g P

t y

∂

− ∂

−

∂ =

∂

ρ 1

2 2

(2-7b) 其中ρ為流體的密度， 為重力加速度，g P為流場中之壓力。由於系

統之獨立變數為 、b、t，於是將式(2-7a)乘上 與式(2-7b)乘上 後 相加；同樣地，將式(2-7a)乘上 與式(2-7b)乘上 後相加；並利用

與

a x_a y_a

xb y_b

a a y a

xx P y P

P + = P_xx_b +P_yy_b = P_b之關係，可得 Lagrangian 座標系統在 方向及 方向之動量守恆方程式分別為(見 Lamb (1945)第 13 節)

x y

a a

a tt a

ttx y y gy P

x ρ

− 1

−

=

+ (2-8a)

b b

b tt b

ttx y y gy P

x ρ

− 1

−

=

+ (2-8b)

4.平均高程條件

在質量守恆的條件下，水平底床上的規則波動中，流體質點的平 均高程經過一個波長的運動，其平均高程不變 (見 Milne-Thomson (1968)第 14.41 節)

0 ) ) , , ( 1 (

0 − =

∫

^{y a b t y dx}

L

L (2-9)

式(2-9)中的y為流體質點於空間中之平均位置。

5.邊界條件

本研究探討的波浪運動，除了在水平方向及時間上具有週期性 外，在自由表面處為定常大氣壓力，因此可假設相對為零而得表面條 件為

(2-10)

=0 P

另外在底部的條件為位於不透水的底床上之流體質點的垂直流 速為零，則得

(2-11)

=0 yt

6.分離控制方程式

若將任何一點的質點軌跡分離出不含時間部份，而總壓力分離出 靜壓力及動壓力部份時，座標(x,y)及壓力P分別可表示為

(2-12a)

) , , (a b t x a x= + ′

(2-12b)

) , , (a b t y b y = + ′

) , , (a b t p gb

P=−ρ + (2-12c)

上述變數 和 所代表之意義並非為起始流體質點的位置，而僅 是方便標註流體質點位置的獨立變數，x

a b

′和y′代表流體質點的運動軌 跡 ， 為 時 間 的 週 期 函 數 。 本 文 利 用 Adrian (2001) 的 映 射 概 念 (diffeomorphism)處理邊緣波(edge wave)問題，其以 Lagrangian 方法描 述一個已存在的波浪現象，而非解析自靜止水面至形成波浪的過程

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + ′ + ′

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

y b

x a b

a a (2-13)

由式(2-13)可知，當 時，代表表面水粒子的運動高程，而 則 為底部水粒子的運動高程，故式(2-10)之表面條件可設定在 ，而 式(2-11)之底部條件則可設定在

=0

b b=−h

=0 b h

b=− 。

若假設 原點恰位於平均水位上，變數b取向上為正。將式 (2-12)代入式(2-3)、式(2-6)、式(2-8)、式(2-9)、式(2-10)及式(2-11)的 控制方程式及邊界條件中，分別得到

) , ( ba

( )

( ) ( )

( )

, ⁰ ,

,

, =

∂

′

∂ ′

∂ +

′

∂ ′

′ +

′ +

b a

y x b

a y y x

x_{at bt} ^{t t} (2-14a)

( )

( ) ( )

( )

^{,, 0}

,

, =

∂

′

∂ ′

∂ −

′

∂ ′

′ +

′ −

b a

x x b

a y x y

y_{at bt} ^{t t} (2-14b)

1 0

2

2 + ′ ′ + ′ ′ =

∂

∂ ′

∂ + + ∂

∂

∂ ′

a tt a

ttx y y

a x g y a p t

x

ρ (2-14c)

1 0

2

2 + ′ ′ + ′ ′ =

∂

∂ ′

∂ + + ∂

∂

∂ ′

b tt b

ttx y y

b x g y b p t

y

ρ (2-14d)

0 ) 1 1 (

0 ′ + ′ =

∫

^{y x da}

L

L

a (2-14e)

， (2-14f)

=0

p b=0

，

=0

′t

y b=−h (2-14g)

由式(2-14)可知，透過式(2-12)的處理，將原本為非線性的控制方 程式分離成線性部份(如式(2-14a, b)之前二項，與式(2-14c, d)之前三 項)及非線性部份。數學在解析過程，式(2-14)比原方程式更能清楚表 示出線性及非線性的作用。

2-2 理論解析

因為式(2-14a)-式(2-14e)等式為非線性方程式，所以不能獲得理 論解析解，然而可利用攝動法求取近似解來克服此問題。由 Stokes (1847)波浪理論可知，波浪水粒子在表面的運動速度比底部還大，因 此假設在不同深度下流體質點的運動週期不同，而週波率是個變量，

需要進行攝動展開，因此本文採用 Lindstedt-Poincaré 的攝動解析技術 (見 Nayfeh (1993))，可將週波率的攝動量轉入至控制方程式中，並參 考陳(1994a, b)的解析過程，將要求解的變數表示為

(2-15a)

∑

^∞

(

=

′=

1

, ,

n n nx a b t

x ε

)

) )

(2-15b)

∑

^∞

(

=

′=

1

, ,

n n ny a b t

y ε

(2-15c)

∑

^∞

(

=

=

1

, ,

n n np a b t

p ε

( )

n L

Ln n

L ε σ a b Tπ

σ , ²

0

=

=

∑

^∞

=

(2-15d)

式(2-15)中，ε如同 Pierson (1962)及陳(1994a, b)所提者，為一個代表 階量的參數(perturbation parameter)；式(2-15d)中， 是 Lagrangian 系 統中流體質點運動時重現其高度的週期，而

TL

σL乃對應的週波率。式 (2-15d)表示水粒子的 Lagrangian 運動週期，先假設為 的函數，其 最後形式視解析結果，此為陳(1994a)首先提出的觀念，往昔學者均尚 無人提及，且其發現

) , ( ba

σL僅與 有關。應用式(2-15)的攝動表示式至式 (2-14)的控制方程式及邊界條件作系統的展開，當收集相同的階量

b

ε 後，依攝動技巧及求解步驟，由最低階逐次求至高階解。今為方便運 算起見，設定τ =σ_Lt，則以 Lagrangian 座標描述的波動場可被逐階的 求出解答，為能與 Eulerian 五階近似解進行比較，且為了確定高階近 似解是否能相互轉換，故本文將求解到 Lagrangian 第五階解。

2-2-1 第一階近似解

將式(2-15)代入式(2-14)後，若取出攝動展開式中所有包含O(ε)的 項，則 Lagrangian 座標系統的第一階控制方程式及邊界條件為

(

1 1

)

0 1 0 1 0

(

0 1 0 1

)

⁰

0 x_a +y_b + _{L a}x + _{L b}y + _{L L a}x + _{L b}y t =

L τ τ σ τ σ τ σ σ ττ σ ττ

σ (2-16a)

(

1 1

)

0 1 0 1 0

(

0 1 0 1

)

⁰

0 y_a −x_b + _{L a}y − _{L b}x + _{L L a}y − _{L b}x t =

L τ τ σ τ σ τ σ σ ττ σ ττ

σ (2-16b)

1 0 1

1 1 0

1 1 1

2

0 ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ +

+ p gy p gy t

x _{a a L a}

L ττ σ ρ τ τ

σ ρ (2-16c)

1 0 1

1 1 0

1 1 1

2

0 ⎟⎟⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ +

+ p gy p gy t

y _{b b L b}

L ττ σ ρ τ τ

σ ρ (2-16d)

1 0

0 1 =

∫

^{Ly da}

L (2-16e)

1 =0

p ，b=0 (2-16f)

1_τ =0

y ，b=−h (2-16g)

由攝動理論可知，將非線性方程式的非線性部份去除後，即為該 非線性方程式第一階的線性控制方程式。若忽略式(2-14)的非線性部 份，並與式(2-16)進行比較可知，且本文探討的波動特性並不隨時間 增加而增加的漸變(transient)問題，因此方程式中含有隨時間t成長之 項 均 需 為 零 ， 以 確 保 獲 得 不 隨 時 間 增 加 的 合 理 解 ， 故 可 得

0 0

0_a = _{L b} =

L σ

σ 。同時調整座標原點，使得在時間t =0且 的位置 上，波峰正好通過座標原點的正上方。今由式(2-16a)的連續方程式及 式(2-16b)的非旋轉流條件可知， 及 滿足控制方程式，故可利用分 離變數法於滿足式(2-16g)的底床邊界條件下，求得

=0 a

x1 y₁

(

^{b h}

) (

^{ka t}

)

k B

x₁ =− cosh + sin −σ_L (2-17a)

(

^{b h}

) (

^{ka t}

)

k B

y₁ = sinh + cos −σ_L (2-17b) 其中，k =2π/L為週波數(wave number)，L為波長，式(2-17b)若令

為表面水粒子的位置高程，此時可知 表示為 函數週期運動的水 位變化，因此可令 為波動的水位振幅。在式(2-17b)滿足式 (2-16e)的條件下，將 及 代入式(2-16c)及式(2-16d)中，並在式(2-16f) 自由表面邊界條件的應用下，可得

=0 b

y1 cos

kh B

a₀ = sinh

1 1

x y

(2-17c)

kh

L²₀ =gktanh σ

(

ka t kh

g kb B

p =− ρ cos −σ_L cosh

sinh

1

)

(2-17d)

式(2-17c)顯示第一階解的分散關係(dispersion relation)，此與 Eulerian 座標下所得第一階線性解是相同的，即σ_L0 =σ_E0 =σ₀。式 (2-17d)為波動壓的解，在表面上任何一點均為零，完全滿足邊界條 件，而隨水深以 函數遞減，此結果比 Eulerian 座標下的解在表面 上無法完全滿足壓力為零的表面條件是此解之優點。

sinh

2-2-2 第二階近似解

若取出攝動展開式中所有包含O(ε²)的項，且應用σ_0a =σ_0b =0的 條件，則可得 Lagrangian 座標的第二階控制方程式及邊界條件，在連 續方程式中包含了σ₀

(

σ_L1ax_1ττ +σ_L1by_1ττ

)

t的時間項，而在非旋轉流條件 中包含了σ₀

(

σ_L1ay_1ττ −σ_L1bx_1ττ

)

t的時間項，由於波動場中的特性並不隨 時間成長，所以如同第一階的處理方式，使含有隨時間成長之項均令 為零，而可得σ_L1a =σ_L1b =0。今將第一階解代入連續方程式及非旋轉 流條件中，可得有

(

x _a y _b

)

B k σ

(

ka σ_Lt

)

σ_{0 2 τ} + _{2 τ} = ^{2 2} ₀sin2 − (2-18a)

(

^y₂a −^x₂b

)

=−^B2k2 ₀sinh2^k

(

^b+^h

)

0 σ

σ _{τ τ} (2-18b)

由 式 (2-18) 右 邊 的 外 力 項 (forcing term) 或 稱 非 齊 次 項 (non-homogeneous term)及底部邊界條件之函數形式，透過待定係數法 (undetermined coefficient)解非齊次方程式之特殊解的方法，假設 及

的形式為

x2

y2

( ) ( )

(

^{b h}

) (

^{ka t}

)

^{M k}

(

^{b h}

)

^t

k N

t ka M

h b k N

x

L

L

0 220

211

202 222

2

2 cosh sin

cosh

2 sin ] 2

cosh [

σ σ

σ

+ +

− +

−

− +

+

−

= (2-19a)

(

^{b h}

) (

^{ka t}

)

^{N k}

(

^{b h}

) (

^{ka t}

)

k N

y₂ = ₂₂₂sinh2 + cos2 −σ_L + ₂₁₁sinh + cos −σ_L (2-19b) 其 中 及 為 齊 次 方 程 式 (homogeneous) 的 調 和 解 (harmonic solution)，而 及 為非齊次方程式(non-homogeneous)的特解 (particular solution)。今將式(2-19)代入式(2-18)中，則可求得特解為

N222 N₂₁₁

M202 M₂₂₀

k B M₂₀₂ ²

4

= 1 (2-20a)

k B M₂₂₀ ²

2

= 1 (2-20b)

在式(2-19)滿足平均高程的條件下，可獲得y₂的正確解為

( ) ( ) ( ) ( )

cos sinh

2 cos 2

sinh

2

211 222

2

cos(

)]

( cosh ) 2 (

) ( sinh coth

1[ ) (

2 cos 2 ]

3

) ( 2 cosh 4

) ( 2 sinh coth

2 211 0

2 0 211

2

222 222

2 cosh ) ( 2 sinh [coth

4 可以是任意值，上述結果均能滿足控制方程式。但若要求 Lagrangian 系統的解析結果與 Eulerian 系統解析結果是一致時，可用 Eulerian 解 的特性定出一個限制條件來求出該值的大小。往昔於 Eulerian 系統的 Stokes 波的解析結果可歸納出三種形式，第一種為 Isobe 等人(1978) 和 Fenton (1985)提出的，二者選定攝動參數均為 ，其波形具有 奇數倍角週期函數的係數的各高階量和為零的特性。第二種和第三種 皆選定攝動參數為 ， 約為振幅之半。第二種為 Skjelbreia 和 Hendrickson (1960)解析結果有在波形的一倍角週期函數的係數沒有

N211 N₂₁₁

2 / kH

ka0 a₀

高階量的特性。第三種解析結果的特性如 Dingemans (1997)，為二階 解以上的流速勢沒有一倍角週期函數的係數。透過此三種 Eulerian 解 的特性額外當為條件分別求出三種可能的調和解係數 。若選定第 一類 Stokes 波的 Eulerian 解做為限制條件時，本文的攝動參數

N211

ε則代 表kH/2，而a₀ =H/2。倘若選定第二類或第三類 Eulerian 解做為限制 條件時，則本文的攝動參數ε即為 ，而 為相近於振幅，其值需由 波 高 為 波 峰 減 去 波 谷 的 關 係 求 得 。 本 文 已 分 別 推 導 出 以 此 三 類 Eulerian 解做為限制條件所得的解析結果。因解析過程三者均相同，

本文接著以選定 為攝動參數的第一類 Stokes 波解的波形奇數倍 角週期函數的係數高階量和為零做為限制條件進行討論，而後續的解 析說明，第二和第三類的限制條件所得的解析結果將詳列於附錄 A 和附錄 B 以做參考。調和解 的求解過程需先將 Lagrangian 的水位 轉換至 Eulerian 的水位。將本文 Lagrangian 的表面水位 轉換至 Eulerian 系統中的表面水位

ka0 a₀

2 / kH

N211

) , 0 , (a t y )

, ( tx

η 時，為方便起見，先令 Lagrangian 的位相函數θ_L =ka−σ_Lt及 Eulerian 的位相函數θ_E =kx−σ_Et，σ_E為在 Eulerian 座標的前進波的週波率，此值在任何一個 上均相同。

Lagrangian 系統與 Eulerian 系統之位相關係在第一階時可表示為 x

ξ θ

θ_L = _E + (2-25)

其中

L

Mt kx kB k b h

U x a

k θ

ξ = ( − + )=− ₁ = cosh ( + )sin (2-26) 其中 為流體質點於水平方向位移之速度，即漂移速度(drift

velocity)或稱質量傳輸速度(mass transport velocity)。若將 Lagrangian 系統流體質點運動軌跡的垂直分量，其中

UM

θL的函數經泰勒級數展開在 θE處

) ( 2 4 sinh

1

cos ) ( sinh 2

cos ) ( 2 sinh

) sin )(cos

( sinh

2 2

211 222

h 將運動一位移，稱為都卜勒位移(Doppler shift)，令其水平與垂直分量 分別被表示為 及 ，結果為 l_x l_y sin 4] 2 1

sinh cosh 8

cos 2

sinh sinh 8

( ) ( )

( )

]}

tanh ) ( 2 sinh ) ( 2 cosh [tanh

4 1

2 cos ] 4tanh 3

sinh 8

2 sinh 3 sinh cosh

4 2 cosh

{[3 ₂

2 2

kh h

b k h

b k kh

t ka kh

kh h b k kh

kh h b g k

k B p

L

+ +

− + +

−

−

− +

= +

σ ρ

(2-32c)

1 =0

σL (2-32d)

第二階解 除了有第二項二倍角週期性運動外，還有隨時間線性 增加的量，此項即表示流體質點運動一週期後會前進一段水平距離。

的解除了有二階的二倍角週期性運動外，還有不含時間而僅為b函

的解除了有二階的二倍角週期性運動外，還有不含時間而僅為b函

在文檔中 重力波之Lagrangian解析及其與Eulerian近似解之相互轉換 (頁 20-51)