3-1 Lagrangian 解轉換至 Eulerian 解
本文首先選定本文第二章所提出的 Lagrangian 五階解和大家所 熟悉 Fenton (1985) 的 Eulerian 五階解，二者均以 為攝動參數。
Fenton (1985)指出此攝動參數明確，推導結果之計算較以其他攝動參 數之理論方便。
2 / kH
確認 Lagrangian 系統及 Eulerian 系統流場中速度是否可以進行轉 換的方式有兩種。第一種為求出相對應於 Eulerian 系統中流速勢的 Lagrangian 流速勢，再將此解轉換至 Eulerian 系統中與 Eulerian 流速 勢比較。第二種為將 Lagrangian 系統中的流體質點運動軌跡對時間微 分，得到流體質點的速度，再將速度解轉換至 Eulerian 系統中，並與 Eulerian 系統中流速勢對空間位置微分所得的速度相比較。本文採用 第一種方式，先求出 Lagrangian 的流速勢，再將其轉換至 Eulerian 系 統中，以瞭解流速勢是否可以進行轉換。
在考慮非旋轉流條件下， Eulerian 座標系統的流場流速勢為
v y u x
∂
= ∂
∂
= ∂φ φ
, (3-1)
其中φ為 Eulerian 系統的流速勢，如同 Truesdell (1953)提出的微分轉 換關係，則透過∂φ/∂x=∂(Φ,y)/J∂(a,b)及∂φ/∂y=∂(x,Φ)/J∂(a,b)的轉換關 係式，可將式(3-1)轉換成
) 1(
a b b a
t y y
x = J Φ −Φ (3-2a)
) 1(
a b b a
t x x
y = J Φ − Φ (3-2b)
其 中 J =∂(x,y)/∂(a,b) 為 Jacobian 運 算 ， 表 示 體 積 膨 脹 率 ， 為 Lagrangian 系統的流速勢。由式(3-2a)及式(3-2b)可知，利用 Cramer
Φ
法則，即可獲得 Lagrangian 座標系統中流速勢對水平及垂直方向的梯 度表示式如下
a t a t
a =x x +y y
Φ (3-3a)
b t b t
b = x x +y y
Φ (3-3b)
如同第 2-2 節的攝動解析技術，對式(3-3a)及式(3-3b)進行攝動展 開後，將流體質點運動軌跡的五階近似解代入攝動展開式，並將式 (3-3a)對a積分，再代入式(3-3b)，對b積分，則可得 Lagrangian 流速 勢為
) : (
) : , , ( ) (
sin ) ( cosh
) : , , ( ) (
sin ) ( cosh
0 4
2 00 4
2 0 2
5
1 1 1
0 2
even i for t D
even n m i for t
ka n h b mk D
odd n m i for t
ka n h b mk k D
i i i
i
m i
n imn i
i
m i
n imn
σ
σ σ σ
∑
∑∑∑
∑∑∑
=
= = =
= = =
+
− +
+
− +
Φ =
(3-4)
其中Di為係數，為便於閱讀，將此係數詳列於附錄 D。
由第 2-4-1 節可知，透過 Longuet-Higgins (1986)提出波浪週波率 於 Lagrangian 與 Eulerian 兩種不同系統的關係
M E
L =σ −kU
σ (3-5)
其中σL為 Lagrangian 週波率，σE為 Eulerian 週波率， 為質量傳輸 速度。式(3-5)表示 Lagrangian 系統的週波率與 Eulerian 系統的週波率 的關係，且本文經轉換而得與 Fenton (1985)的 Stokes 波之五階週波率 是相同的。
UM
陳(1996)透過連續泰勒展開的方式將 Lagrangian 解成功轉換至 Eulerian 解。本文應用陳(1996)提出的轉換技術，驗證本文所提出的 Lagrangian 五 階 解 是 否 可 轉 換 至 相 同 攝 動 參 數 Fenton (1985) 的 Eulerian 五階解。令 Lagrangian 系統與 Eulerian 系統之位相關係及高 程關係分別表示為
ξ θ
θL = E + (3-6a)
ζ
為平均水位。在式(3-5)的應用下，式(3-6a)及式(3-6b)可改為 h
even i for t D
even n m i for n
mZ D
odd n m i for n imn
L imn
E 400 200 5 111
0
sin cosh
) cos )(sin
sinh (cosh
! sin sin
cosh
) : , , ( sin
cosh
σ
E
sin cosh
) cos )(sin
sinh (cosh
2 111
∑∑
sinh cos
sinh
) sin )(cos
cosh (sinh
2 220
2
0 2
0 222
3
0 3
0 111
∑
Lagrangian 系統中的五階流速勢轉換至 Eulerian 系統中，將轉換結果 與 Fenton (1985)的解析結果比較，發現轉換結果比 Fenton (1985)原文 在偶數階部份多了一項時間常數項，這是因為本文是以固定座標處理 前進波，而 Fenton (1985)是在移動座標下處理，然此項在穩定運動座 標(steady motion)下將會消失。另外，經過比對發現 Fenton (1985)的 解析結果中五階解的係數 是錯誤的，其分母的係數應為 64，正確 sinh64 kd + S −S
本文所推導出 Lagrangian 系統中之五階壓力，在式(3-7a)、式(3-7b) imn
L imn
L L
imn L imn
L
even n m i for n
mZ F
even n m i for n
mZ E
odd n m i for n
cos ) sinh cosh
(
) sin )(cos
cosh (sinh
) sin )(cos
sinh (cosh
! cos cos
sinh
) : , , ( cos
cosh
) : , , ( cos
] sinh cosh
[
cosh cos
sinh cosh
cosh sinh
5
E
cos sinh
) cosh (sinh
) sin )(cos
cosh (sinh
! cos 220
3
0 3
0 222
4
0 4
0 111
∑∑
將式(3-9a)及式(3-9b)代入式(3-10)和式(3-11)中，並透過連續的泰勒展 開，在收集相同的階量至第五階後，即可將 Lagrangian 系統中的五階 壓力轉換至 Eulerian 系統中。 mkh Nmkh N
n n n mkh N
s n mkh n
N
mkh s N
cos sinh
sinh
) sin (cos
sinh
! cos ) sinh (
sinh 2
! cos ) 2 2 (
sinh
! cos sinh
5
220 3
0 222
4
0 111
∑∑
將式(3-9a)代入式(3-12)中，並透過連續的泰勒展開，在收集相同的階 量至第五階後，即可將 Lagrangian 系統中的五階水位轉換至 Eulerian
系統中，由轉換結果可知，Lagrangian 系統中的水位可完全轉換至 Eulerian 系統中，且與 Fenton (1985)攝動展開 Stokes 波所得之五階波 形是相同的。
至此，本文中週波率、波壓及波形的 Lagrangian 五階解和依照第 2-2 節的攝動解析技術所導出的 Lagrangian 五階流速勢皆可完全轉換 至 Fenton (1985)的 Eulerian 五階解。
3-2 Eulerian 解轉換至 Lagrangian 解
往昔學者在進行 Eulerian 解轉換至 Lagrangian 解時，皆如同 Longuet-Higgins (1953)一般，利用泰勒展開的方式，將 Eulerian 速度 解的 展開在 ， 展開在b，以得到 Lagrangian 速度解，但此種轉換 方式僅能對二階 Eulerian 速度解進行轉換，而在三階由於會產生隨時 間成長的不合理項，故至目前為止均無法成功轉換出 Lagrangian 三階 或以上的結果。由式(3-5)可知，Eulerian 系統與 Lagrangian 系統中的 週波率並不相同，為了能轉換出合理的 Lagrangian 解，於是本文在考 慮週波率的影響因素下，首先提出對週波率進行轉換的概念，故除了 將 Eulerian 速度解的 展開在a，y展開在b外，亦同時將
x a y
x σE轉換至σL。
考慮於時間t時，位於 位置的流體質點，是由 時，位於 位置的流體質點流來的。因此，對同一流體質點，其速度於 Eulerian 系統與 Lagrangian 系統中應相同，即
) ,
(x y t =0
) , ( ba
) , , ( ) , ,
(x y t U a b t
u = (3-13a)
) , , ( ) , ,
(x y t V a b t
v = (3-13b)
而
∫
+
=a tU a b t dt
x 0 ( , , ) (3-14a)
∫
+
=b tV a b t dt
y 0 ( , , ) (3-14b)
其中 和 分別為 Eulerian 系統中 處的水平及垂直速 度，而 和 分別為 Lagrangian 系統中流體質點的水平及 垂直速度。
) , , (x y t
u v(x,y,t) (x,y)
) , , (a b t
U V(a,b,t)
依照攝動理論，可將變動的變數表示為各變動量的和
∑
∞=
=
1
) , , (
n n nu x y t
u ε (3-15a)
∑
∞=
=
1
) , , (
n n nv x y t
v ε (3-15b)
∑
∞=
+
=
1
) , , (
n n nx a b t a
x ε (3-15c)
∑
∞=
+
=
1
) , , (
n n ny a b t b
y ε (3-15d)
∑
∞=
=
1
) , , (
n
n nU a b t
U ε (3-15e)
∑
∞=
=
1
) , , (
n n nV a b t
V ε (3-15f)
∑
∞=
=
1
2
2 ( , )
n
n M n
M U a b
U ε (3-15g)
∑
∞=
=
0
2
2 ( , )
n
n L n
L ε σ a b
σ (3-15h)
∑
∞=
=
0
2 2 n
n E n
E ε σ
σ (3-15i)
其中ε為一代表階量的參數，式(3-15g)為質量傳輸速度，僅在偶數階 出現，式(3-15h)和式(3-15i)分別為 Lagrangian 週波率及 Eulerian 週波 率，僅在奇數階會產生修正量。由於本文將對 Fenton (1985)於 Eulerian 系統中攝動展開 Stokes 波所得之五階解進行轉換，故ε =kH/2，x和 為 Lagrangian 系統中流體質點的軌跡。
y
今將式(3-15a)、式(3-15b)、式(3-15e)及式(3-15f)代入式(3-13a)和 式(3-13b)中，並利用泰勒級數及式(3-14a)、式(3-14b)的關係，將 展 開在 ，將
x a y展開在 ，收集相同的b ε，即可得各階 Eulerian 系統與 Lagrangian 系統的關係。
今若取出O(ε)，可得第一階為
Lagrangian 位相函數中的 ，並未對 Eulerian 位相函數中週波率進 行轉換。Flierl (1981)提出當有質量傳輸速度存在時，Eulerian 週波率 與 Lagrangian 週波率將不同。Eulerian 週波率與 Lagrangian 週波率間 的差異量可表示為
由於 Eulerian 系統與 Lagrangian 系統中的週波率並不相同，應用 式(3-17)至cos(ka−σEt)和sin(ka−σEt)，並將其中差異量造成的函數展 開成 MacLaurin 級數的形式，則可將式(3-16a)及式(3-16b)的位相分別 表示成
sin(
24 ]
cos(
) sin(
) sin(
) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
5
cos(
24 ]
sin(
) sin(
) cos(
) cos(
) sin(
) sin(
) sin(
5
式(3-18a)及式(3-18b)等號右邊中，cos(ka−σLt)與sin(ka−σLt)之係 數為cos(∆σt)及sin(∆σt)的 MacLaurin 級數，此級數任一後項比前項值 為高二階量。將 Fenton (1985)一階解代入式(3-16)並應用式(3-18)，可 得 Lagrangian 速度
+L +
+
= 1(1) 1(3) 1(5)
1(a,b,t) U U U
U (3-19a)
+L +
+
= 1(1) 1(3) 1(5)
1(a,b,t) V V V
V (3-19b)
式(3-19a)及式(3-19b)中下方的括號代表階量，由式中可知在位相 進行轉換時會產生高階量，而此高階量 、 、 和 將合併 至三階及五階的轉換過程中，今取出第一項來說明
) 3 (
U1 U1(5) V1(3) V1(5)
+L +
+
=
− +
−
∫
=) 5 ( 1 ) 3 ( 1 1
0 )
1 (
1 cosh ( )sin( )
x x x
t ka h
b k B dt
U L
L
σ σ σ
(3-20a)
+L +
+
=
− +
∫
=) 5 ( 1 ) 3 ( 1 1
0 )
1 (
1 sinh ( )cos( )
y y y
t ka h
b k B dt
V L
L
σ σ σ
(3-20b)
其 中 ，a0 = Bsinhkh=H/2為 波 動 的 水 位 振 幅 ， 透 過 式 (3-5) 可 知 ，
0 0
0 σ σ
σL = E = ，故
) sin(
) (
1 Bcoshk b h ka t
x =− + −σL (3-21a)
) cos(
) (
1 Bsinhk b h ka t
y = + −σL (3-21b)
式(3-20)積分過程中產生的高階量 、 、 和 ，將合併 至三階及五階的轉換過程中，由式(3-21a)及式(3-21b)可知，Eulerian 系統中速度的第一階解可轉換至 Lagrangian 系統中運動軌跡的第一 階解。
) 3 (
x1 x1(5) y1(3) y1(5)
今若取出O(ε2)，可得第二階為
b y a
y x
y u x x u u t b a
U = =
∂ + ∂
∂ + ∂
= 2 1 1 1 1 ,
2( , , ) [ ] (3-22a)
b y a
y x
y v x x v v t b a
V = =
∂ + ∂
∂ + ∂
= 2 1 1 1 1 ,
2( , , ) [ ] (3-22b)
式(3-22a)及式(3-22b)的第一項為直接將 Eulerian 解轉換的結果，
第二及第三項為對 泰勒展開後所產生的非線性交互作用量。將 Fenton (1985)第一階及第二階的流場速度和第一階的流體質點運動 軌跡代入式(3-20a)和式(3-20b)的等號右邊，並如同第一階對位相進行 轉換一般，透過式(3-17)，並將其中差異量造成的函數展開成級數的 形式，可得
) , (x y
+L +
= 2(2) 2(4)
2(a,b,t) U U
U (3-23a)
+L +
= 2(2) 2(4)
2(a,b,t) V V
V (3-23b)
式(3-23a)及式(3-23b)中 和 將合併至四階的轉換過程中，
今取出第二階量則可得到 Lagrangian 系統中第二階的質點運動速度。
) 4 (
U2 V2(4)
將式(3-23)中第一項進行積分，可得
+L +
∫
U2(2)dt =x2 x2(4) (3-24a) +L+
∫
V2(2)dt= y2 y2(4) (3-24b)其中
( ) ( )
(
b h)
tk k
B
t ka h
b kh k
k B
x L
0 2
2 2
2
2 2 cosh
1
2 sin 4] 2 1
sinh cosh 8 [ 3
σ
σ
+ +
− +
+
−
=
(3-25a)
(
b h) (
ka tkh k k
y = B sinh2 + cos2 −σL 8sinh
3
2 2
2
)
(3-25b)由第 2-2 節可知，於 Eulerian 系統與 Lagrangian 系統中的平均水 位不同，故將 Eulerian 系統轉換至 Lagrangian 系統時，需進行水位修 正，於是依照第 2-2 節的攝動展開技術，攝動展開 Lagrangian 系統中 連續方程式 ，並將轉換所得的 Lagrangian 解代入攝動展開式中，
故在滿足連續方程式下， 應修正為
=1 J
y2
( ) ( )
sinh2 ( )4 2 1
cos 2
sinh sinh 8
3 2
2 2
2 k b h ka t B k k b h
kh k
y = B + −σL + + (3-26)
式(3-26)的第二項為水位的修正量，往昔學者並未做此修正，故 無法滿足 Lagrangian 系統中最基本的連續方程式。由式(3-25a)及式 (3-26)可知，Eulerian 系統可轉換至 Lagrangian 系統至第二階解。接 著透過式(2-29)，可求得質量傳輸速度
式(3-28a)及式(3-28b)的第一項為直接將 Eulerian 解轉換的結果，
第二至第八項為對 泰勒展開後所產生的非線性交互作用量。代入 Fenton (1985)的 Eulerian 解及第一階、第二階的轉換結果，且如同前 二階一般，對位相進行轉換，並加入式(3-19a)及式(3-19b)中第二項，
對位相轉換造成的三階量，可得 量，將合併至第五階的轉換結果，由式(3-29a)及式(3-29b)中第一及第 二項即可得到 Lagrangian 系統中第三階的質點運動速度。往昔學者在 轉換三階解時，於質點運動速度會產生不合理的時間項，主要是因為 沒有對週波率進行轉換，本文對週波率進行轉換後，會產生如式(3-29a)
) 5 (
U3 V3(5)
的 和式(3-29b)的 ，此二項即可消去不合理的時間項。透過式 sinh
16
) 4 cosh 8 sin(
) ( cosh
) sin(
) ( cosh
2 cosh
) 6 cosh 2
4 cosh 10 2 cosh 2 16 cosh
2 cosh 4 [ 11
3 sin ] 48 cosh
2 cosh 2 17
3 sinh cosh
64
2 cosh 2 {[ 11
sinh
4
( )
( ) ( )
( )
( )
]cos( )
} sinh) 6 cosh 2
4 cosh 10 2
cosh 2 16 sinh
2 cosh 2 [7
3 cos ] 16sinh
3
3 sinh sinh
64
2 cosh 2 {[ 11
sinh
2
如同第二階一般，將轉換所得的 Lagrangian 解代入 Lagrangian 系統中連續方程式的攝動展開式中，在滿足連續方程式下，知對 不 用進行修正，此結論與第 2-2-3 節一致，僅於偶數階才會有垂直方向 的修正量。式(3-33a)和式(3-33b)與第 2-2-3 節解析 Lagrangian 系統的 三 階 流 體 質 點 運 動 軌 跡 一 致 ， 故 Eulerian 系 統 可 完 全 轉 換 到 Lagrangian 系統至第三階解。與 Longuet-Higgins (1953)之轉換方法比 較，本文能成功轉換的處理關鍵有三。一為質點的 Lagrangian 週波率 與 空 間 點 Eulerian 週 波 率 不 同 ， 而 二 者 之 轉 換 如 式 (3-18a) 及 式 (3-18b)。第二為 Lagrangian 解在偶數階需經質量守恆條件( )有垂 直修正量。第三為積分質點速度至軌跡時，需經式(3-32)之二項式展 開
b
代入 Fenton (1985)的 Eulerian 解及各階的轉換結果，並對位相進 行轉換，同時加入式(3-23a)及式(3-23b)中第二項，對位相轉換產生的 四階量，可得
由式(3-35a)及式(3-35b)中可得到 Lagrangian 系統中第四階的質 點運動速度，如同第三階轉換一般，式(3-35a)和式(3-35b)中的 及
，主要在消去不合理的時間項。由此，對質點速度取時間平均， 析 Lagrangian 系統的第四階流體質點運動軌跡，故 Eulerian 系統中流 場速度的四階解可轉換至 Lagrangian 系統中流體質點運動軌跡的四 階解。
y4 x4 y4
若取出O(ε5)，可得第五階為
b
由式(3-37a)及式(3-37b)並透過週波率的轉換再加上第一階及第 三階解在週波率轉換過程中產生的五階量可得
+L +
+
= 5(5) 1(5) 3(5)
5(a,b,t) U U U
U (3-38a)
+L +
+
= 5(5) 1(5) 3(5)
5(a,b,t) V V V
V (3-38b)
由式(3-38a)及式(3-38b)可得到 Lagrangian 系統中第五階的質點 運動速度，而透過式(3-5)可求得流體質點的第四階運動週波率σL4， 故第五階的運動軌跡為
+L +
= + + +
∫
(U5(5) +U1(5) U3(5))dt x1(5) x3(5) x5 x5(7) (3-39a) +L+
= + + +
∫
(V5(5) +V1(5) V3(5))dt y1(5) y3(5) y5 y5(7) (3-39b)同 樣 利 用 二 項 式 定 理 可 得 x1(5) =(σL′22 −σL′4)x1 、 x3(5) =−σL′2x3 、
1、
4 2 2 )
5 (
1 ( )y
y = σL′ −σL′ y3(5) =−σL′2y3。由式(3-39a)及式(3-39b)可得如 2-2-4 解析 Lagrangian 系統的第五階流體質點運動軌跡。至此，本文已將 Fenton (1985)的 Eulerian 五階解完全轉換至本文所提出的 Lagrangian 五階解。