4-1 Eulerian 近似解的動力特性
本文應用 Fenton (1985)的 Eulerian 近似解，將第一至第四階的解 析結果代入往昔學者所提出的動力特性公式中，因公式中的積分上標 為波形，其為時間及空間變動量，故需先將波形η先透過泰勒級數展 開在 ，再取波長或週期平均，才能得到正確的階量。所獲得 Eulerian 近 似 解 的 動 力 特 性 至 第 四 階 量 如 下 。 其 中
=0 y
x u=∂φ/∂ 與
y
v=∂φ/∂ ，φ為 Fenton (1985)所獲得之流速勢(velocity potential)， 、 為穩定化座標之水平及垂直的水粒子速度。
u v
1.平均動量(momentum)IE
) 7 cosh 5
cosh 5 3 cosh 9 cosh 21 sinh (
4096
8 coth 1
7 4 2 0
2 0
kh kh
kh kh kh
H k
kh H
udy IE h
+ +
+
−
=
=
∫
−ρσ
ρσ ρ η
(4-1)
2.平均動能(kinetic energy)EkE
) 4 cosh 2
cosh 2 4 sinh ( 2048
3
16 ) 1
2 (
6 4 2
2 2
2
kh kh kh
H gk
gH dy
v u EkE h
+
−
−
= +
=
∫
−ρ ρ η ρ
(4-2)
3.平均位能(potential energy)EpE
) 6 cosh 4
cosh 4 2 cosh 5 8 sinh ( 4096
16 1 2
1
6 4 2
2 2
kh kh
kh kh H gk
gH gh
ydy g
EpE h
+ +
+
−
=
−
=
∫
−ρ
ρ ρ
ρ η
(4-3)
4.輻射應力(radiation stress)SE
輻射應力為波動額外增加的應力，此外力包括壓力及動量。其定 義為在與 軸垂直的單位面積，週期平均的動量通率 x
) 8 sinh 3 6 sinh 12
4 sinh 60 2
sinh 132 6
cosh 16
4 cosh 160
2 cosh 112
80 cosh ( sinh
16384
2) 1 2 sinh ( 2
式(4-4a)中， 為靜水壓。式(4-4a)中二階量與 Longuet-Higgins 和 Stewart (1960)推導出的結果相同。在水平與 軸垂直之 方向，因 方 sinh 6
sinh 2 4 sinh 16 2
sinh 30 6
cosh 8
4 cosh 80
2 cosh 56
40 cosh (
sinh 16384
2 sinh 8
zzE zxE
xzE xxE
E S S
6.平均能通率(energy flux)FE
e E E h
V E
kh kh
kh kh
kh kh
kh kh
kh kh
kh kh kh
kH g
kh kh gH k
udy gy v
u p F
≡
− +
− +
+
+
− +
+
= +
+ +
=
∫
−) 8 sinh 3 6 sinh 8 4 sinh 44 2
sinh 112 6
cosh 4
4 cosh 88
2 cosh 124
104 cosh (
sinh 16384
2 ) sinh 1 2 16 (
) 1 )
2 ( (
7 4 0
0 2 2
2
σ ρ
ρ σ ρ ρ
η
(4-6)
波浪能通率之定義為波浪能量與能量傳遞速度之乘積。式(4-6) 中， 為波浪能量，即動能與位能的和， 為能量傳遞速度，當考慮 微小振幅波時，由微小振幅波理論(見 Dean 和 Dalrymple, 1991)可知，
波浪能量及能量傳遞速度分別為 和
EE Ve
8
2/
ρgH Cg =(1+2kh/sinh2kh)c/2。若 比較不同波高能量傳遞速度與微小振幅波之能量傳遞速度，示如圖 4-1。由圖 4-1 之比值都大於 1 之結果，顯示非線性波浪理論比線性 波浪理論有較高之能量傳遞速度。當波高小時，能量傳遞速度比值接 近於 1，線性波理論足可描述能量傳遞速度，若波高較大時，能量傳 遞速度比值約為 1.42，顯示能量傳遞速度高於以微小振幅波理論估算 者差 42﹪。
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
H/L
01.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
V
e/C
g圖 4-1 不同波高之能量傳遞速度與微小振幅波理論值之比值 (TE =8sec，h=5m，h/L≈1/11)
7.動力特性間的關係
Longuet-Higgins (1975)考慮波動場在平均 Eulerian 流速為零之參 考座標下，推導出動力特性間之公式。本文利用 Longuet-Higgins (1975) 所提出動力特性的關係來檢驗高階 Eulerian 近似解動力特性的正確 性。依照其所推導之公式，先求出底部水粒子速度之平方均值
) 6 cosh 4
cosh 10 2 cosh 7 5 cosh ( sinh
1024
2 sinh ) 4
( 2
7 4 3
2 2
2
kh kh
kh kh kh
H gk
kh c gkH
gh R ub
+ +
−
−
=
−
−
=
(4-7)
其中R為伯努力常數， 為波速。本文引用 Fenton (1985)的 Eulerian 近似解結果。水平輻射應力與平均動能、平均位能及底部水粒子速度 之平方均值的關係如式(4-8)
c
3 2
4 kE pE b
xx E E u
S = − +ρ (4-8)
本文發現將式(4-2)、式(4-3)與式(4-7)代入式(4-8)中所求得之 ，與 本文由定義所求得之 相同。故由式(4-8)可確認 Eulerian 近似解平 均水平輻射應力是正確的。
Sxx
SxxE
同樣的，透過平均動量、平均動能、平均位能及底部水粒子速度 之平方均值的關係可求出平均能通率為式(4-9)
E E
b pE
kE E u I ch F
E c
F = − + ( + )=
2 ) 1 2 3
( 2 ρ (4-9)
由式(4-9)的運算結果亦與 Eulerian 近似解平均能通率相同，說明本文 之推導結果是正確的。
4-2 Lagrangian 近似解的動力特性
由於 Lagrangian 系統是採用參數來描述流體質點的運動行為，故 在計算 Lagrangian 近似解的動力特性時，需先將空間位置(x,y)變換至
dadb 第二章本文提出的 Lagrangian 近似解，將第一至第四階的解析結果代 入往昔學者所提出的動力特性公式中，則 Lagrangian 近似解的動力特 性至第四階量如下，其中u=xt與v= yt。各種動力特性依其定義推導，
dbda b a L uJ
udy I cosh 5
cosh 5 3 cosh 9 cosh 21 sinh (
4096
8 coth
dbda b cosh 2
cosh 2 4 sinh ( 2048
3 dbda
b a L yJ
gh g ydy
g cosh 4
cosh 4 2 cosh 5 8 sinh ( 4096 16
4.輻射應力SL
xxE
L
dbda b a J L gb
dbda b sinh 3 6 sinh 12
4 sinh 60 2
sinh 132 6
cosh 16
4 cosh 160
2 cosh 112
80 cosh ( sinh
16384
2) 1 2 sinh ( 2
zzE
L
dbda b a J L gb
dbda b sinh 6
sinh 2 4 sinh 16 2 sinh 30 6
cosh 8
4 cosh 80
2 cosh 56
40 cosh (
sinh 16384
2 sinh 8 zzL zxL
xzL xxL
L S
6.平均能通率FL
E L
h L h
F
kh kh
kh kh
kh kh
kh kh
kh kh
kh kh kh
kH g
kh kh gH k
dbda b a J u gy v
u L P
udy gy v
u p F
=
− +
− +
+
+
− +
+
=
+ + +
=
+ + +
=
∫ ∫
∫
−
−
) 8 sinh 3 6 sinh 8 4 sinh 44 2
sinh 112 6
cosh 4
4 cosh 88
2 cosh 124
104 cosh (
sinh 16384
2 ) sinh 1 2 16 (
1
) , ( ) )
2( 1 (
) )
2( (
7 4 0 0 2 0
0 2 2
2 2
σ ρ ρ σ
ρ ρ ρ ρ
η
(4-16)
透過式(4-11)至式(4-16)的計算結果可知，Lagrangian 近似解與 Eulerian 近似解的動力特性公式相同，表示針對同一個波浪現象，不 論用 Eulerian 方法或 Lagrangian 方法來描述波動場，其動力特性皆相 同。