第二章 三維剛架結構之彈性波
2.4 剛架節點和桿件的座標
3 2
4 c
D B k =ω B+ −
(2.69)
1 2
4 2
4 c
D B
k =ω B− −
(2.70)
之後，我們可求得 k 、3 k4所對應的α3、α4為：
GA i c
k Rz c j
j κ
ωζ κ
α −ω + φ
= 2
2 2 2 2 2 1
， j=3,4 (2.71)
將求得的 k 、3 k4、α3、α4代入(2.50)~(2.54)式，同樣地可求得材料有阻尼時，
桿件的撓度、撓角、剪力、彎矩、應變等物理量。而截面的另一個方向( 軸向)的 情況類似，故不再贅述。
z
2.4 剛架節點和桿件的座標
對於一三維剛架(Frame)，有許多的桿件(Member)在節點(Joint)結合，我們以 數字來標明這些桿件和節點。例如，一個三維的剛架，如圖 2.7 所示，其擁有 個 節點和m根桿件。則每一個節點我們以 1 到 的其中一個數字來代表它，而桿件則 用兩個字母來標示，如 12、21、23K。物理量和節點或桿件有關的，則將其放在 上標。例如，f 表示作用在 點上的一外力向量，而 u 表示桿件 的軸向變形。
另外，我們用 表示 點的鄰近節點數， 表示連接於 點的桿件數，當然
。則我們可以找到以下之關係式：
n n
m
J
n
J JK JK
J J J J
J
J m
n =
m m
n
J
J 2
1
∑
==
(2.72) 其中，J =1,2L,n，K =1,2,L,n。
本文之總體座標與局部座標均定為右旋系統，如圖 2.8，所有節點的位置以一
總體座標 表示，例如 表示節點 在總體座標下的位置。另
外，對每一根桿件 ，我們引入兩組局部座標 ( 和 ( ，其原點分別
在 點和
) , ,
(X Y Z (XJ,YJ,ZJ) J )JK
JK x,y,z x,y,z)KJ
J K 點，軸xJK表示原點在節點 ，沿著桿件J JK的中心線，以朝向節點K 為 正的軸。我們選定yJK和yKJ方向相反，由於x軸和 軸的右旋關係 與 同 向。如 l 表示 的長度，則兩個局部座標 ( 和 ( 之關係為：
y zJK zKJ
JK JK x,y ),z JK x,y,z)KJ
, KJ
,y y z z x
l
xJK = JK − KJ JK =− KJ JK = (2.73) 由於下一節我們在討論力平衡方程式和位移諧和方程式時，必須將向量在局 部座標下的分量轉換成在總體座標下的分量，所以在此我們先定義兩組座標系統 的幾何關係。如圖 2.8，假設空間中有一桿件 ，則如前所述我們可以確定局部
座標的正 軸即為沿著桿件 的中心線，朝向節點
JK
xJK JK K 的方向。然而局部座標下
的 、 軸位於垂直 軸的法面(Normal Surface)下具有無限多種組合，因此 我們必須人為地定義出其中一組 、 ，以作為運算上的依據。首先，將總體 座標下的
yJK zJK xJK
yJK zJK
Z 軸對局部座標下的 軸取外積，所得到的方向定義為局部座標下的
軸，再將 軸對 軸取外積即為局部座標下的 軸。其運算的過程為：
xJK
yJK xJK yJK zJK
y x z y
x Z
i i i
y i y
i I y
×
=
=
×
=
(2.74)
其中，IX 、IY、IZ表示總體座標下X 、Y 、 Z 軸的單位向量， i 、i 、i 表示局 部座標下 、 、 軸的單位向量。
x y z
xJK yJK zJK
特殊情況下，若xJK軸與Z 軸平行，則(2.74)式中IZ ×ix =0 xJK
，而無法定義出
、 軸的方向，此時，我們改採將局部座標下的 軸對總體座標下的
yJK zJK X 軸
取外積，所得到的方向定義為局部座標下的 軸，再將 軸對 軸取外積即
為局部座標下的 軸。其運算的過程為：
yJK xJK yJK zJK
y x z y
X x
i i i
y i y
I i y
×
=
=
×
=
(2.75)
由以上的定義可以得到空間中任一桿件 的一組局部座標系統 ( ，
而桿件另一組座標系統 ( 也可以同樣方法運算而得。此外，由於我們所要 求解的力、變位在空間中有六個自由度，包括三個軸向的位移、內力和三個軸向 的轉角、內力矩，因此我們由局部座標和總體座標的幾何關係，建立出桿件 的 轉換矩陣(Transform Matrix)[25]為：
JK x,y,z)JK
JK z KJ
y x, , )
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 −
=
zZ zY zX
yZ yY yX
xZ xX xX zZ zY zX
yZ yY yX
xZ xY xX
JK
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
T (2.76)
其中，γiJ =cosθiJ(i=x,y,z J = X,Y,Z )，θ 代表局部座標軸 i 和總體座標軸 的 夾角。
J γiJ可利用向量的內積來計算求得：
J i
J i iJ
iJ i I
I i ⋅
=
= θ
γ cos (2.77)