近數十年來，基於地震工程及航空、太空工程…等領域之發展所需，結構動 力分析理論有長足的進步。結構動力分析方法基本上可分為振動分析模式和波動 分析模式兩種，早期由於計算能力上的限制，多數的問題都採振動模式分析。然 而，振動分析模式主要用於分析結構之穩態反應(steady-state response)，其計算結 果雖能反應結構整體系統之一般特性，卻無法掌握結構結點位移及構件應變之初 期與中期瞬態反應(transient response)。因此，對於承受衝擊力作用時如太空梭在太 空站不正常之起落、海域平台受海嘯或巨浪之撞擊，及高樓建築耐受強烈地震之 震撼等，其初期瞬態反應具有重要影響的結構動力問題，無法以振動分析模式完 整描述其動力特性，而須仰賴波動分析模式來處理。近年來，由於計算機運算的 功能與速度不斷地提升，已有足夠能力處理龐大的矩陣數值計算問題，因此波動 分析又重新受到重視。波動分析模式能夠精確描述結構受衝擊載重之瞬態反應，
揭示暫態波的傳播規律與特性，彌補振動分析模式之不足，提供吾人分析結構波 動特性與振動特性之基本工具，根本解決百年來懸而未決之剛架結構動應力分析 問題。這項理論自成體系，不僅可彌補有限元素法之不足，更可提供吾人研究波 動控制和振動控制之基礎，它超越現存結構動力學之理論範疇，俟其理論發展完 備後，必將開啟結構動力學之新頁。
研究動機
結構波動分析主要根據彈性波理論，分析結構受到動態載重時各桿件中軸向 壓力波(axial wave)、扭曲剪力波(torsional wave)及撓曲波(flexural wave) 等三種應 力波之傳播。軸向壓力波屬縱波，扭曲剪力波屬橫波，撓曲波則由彎矩及剪力產 生，其波動兼具縱波與橫波之特性，屬於頻散波(dispersive wave)。波動分析方法 又可區分為駐波法(standing wave)與行波法(progressive wave)，駐波法利用結構桿 件之各模態振動反應進行疊加，桿件之自然振動模態與邊界條件有關，當各桿件 經節點連接後，其邊界條件將變得十分複雜而難以分析，故迄今只被應用於簡單 的二維結構分析[1]。行波法則依應力波之入射、折射和反射等波傳過程追蹤計算 波形之變化，將循由不同途徑到達各個節點之所有振波疊加而求出結構之整體動 態反應，目前已被應用於三維結構之動態分析[2]。
參考文獻
關於結構桿件之波傳理論研究，已有不少文獻[3-7]記載，亦有專書探討[8]；
研究剛架結構的波傳分析，須先由彈性波通過節點之散射問題著手。1972 年時 Lee 與 Kolsky [9]探討兩非同心彈性桿件(兩桿件交角不為零)，當其一端有衝擊源時，
入射波通過桿件連接處所產生的反射和折射情形；1981 年 Desmond[10]研究了兩 同心桿件與一斜桿連接，當有一縱波入射時，在節點所產生的散射結果；Yong 和 Atkins [11,12]在 1982 及 1983 年，先利用傅立業轉換將時間域的運動方程式轉換到 頻率域，分析入射縱波通過 L 型和 T 型節點時，相連於該節點各桿件彈性波振幅 之變化；1984 年，Simha 與 Fourney [13]利用 Laplace 轉換分析彈性波通過節點時 之散射反應；1985 年，Doyle 和 Kamle [14]則利用快速傅立業轉換(Fast Fourier Transform)，研究入射橫波通過兩非等面積桿件介面時，各桿件的反應，並與實驗 結果比較。1985 年，Lu 和 Felsen [15]利用射線法、模態法和混合分析方法，研究 彈性波在板中的傳播問題；1992 年，Su 和 Pao [6] 利用相同的三種方法求解彈性 波在梁的傳播問題，並得到時域動態反應。以上的研究，均侷限於單一元件內之 彈性波傳問題。
1957 年，Boley [16]首先提出波傳射線法分析桁架結構之應力波傳遞問題﹙僅 有軸向波﹚，此一分析方法對於初期反應之分析結果相當精確，但散射次數增加 後，對於射線的追蹤變得十分困難。1986 年，von Flotow [17]將一大型結構簡化為 懸臂梁，亦使用波傳射線法並配合傳輸矩陣的概念，求得結構物受到波源擾動時，
結構任一位置的頻域反應，並利用快速傅立業逆轉換(Inverse Fast Fourier Transform) 求得時域反應；1992 年，Gopalakrishnan 和 Doyle [18]則利用動態勁度矩陣法，求 出有限桿件的動態反應，但因快速傅立業轉換數值方法的限制，這個方法僅能求 取有限樑和一半無窮樑連接時的動態反應。1989 年，Nagem 和 Williams [19]開始 對較複雜的二維剛架結構進行研究，利用傳輸矩陣的概念，以及節點的變位相容 和力平衡條件，導出了B(ω)PT(ω)Z0 =f，其中B(ω)為節點交互作用矩陣，P 為置 換矩陣，T(ω)為傳輸矩陣，Z 為狀態向量， f 為力源向量，可進而求得結構之共0 振頻率，及detB(ω)PT(ω) =0之根。1990 年，Howard [20]在其博士論文中，則採 用另外一種方法，將結構中桿件之彈性波分為入射波和出射波，並在同一根結構 桿 件 兩 端 採 用 獨 立 之 局 部 座 標 系 統 ， 進 而 推 得 桿 件 之 變 形 表 示 如
) ˆ( ] )][
( ) ( [ )
ˆ(ω P U P I R 1s ω
u = l−x − x − − 之形式，除可像 Nagem 和 Williams 的作法求 得結構之共振頻率外，更可利用射線展開和快速傅立業逆轉換求得結構之時域動 態反應。惟 Howard 當時僅計算桿件內軸向波的傳播情形，對於剛架內含有撓曲波 (Bending Wave)的情況並未加以考慮。上述研究均限於二維結構的情形。
研究目的
1996 年，柯德清[2]在其博士論文中提出了一種用於分析三維剛架之彈性波傳 播規律的方法，稱為迴傳波射法(Reverberation Method)，可求得剛架之暫態反應。
根據迴傳波射法計算二維剛架結構所得之波動反應與 Howard 於 1989 年在 Cornell 大學進行之試驗結果比較可知，二者之初期暫態反應相當一致，但在未達到桿件 最大振幅之前，試驗值和理論值已有明顯之差異。儘管如此，此一系列的研究已 初步證實迴傳波射法具有優於現存結構動力分析理論之價值，惟仍有一些課題亟 待解決其理論才能完備，包括:
(1) 二維桁架理論與實驗之修正。平面桁架之實驗已初步完成[21,22]，實驗結果與 理論分析在初期雖有良好的相關性，但後期兩者相差頗大，必須分別從理論上 及重新進行實驗找出原因。
(2) 結構樓板自重之影響。先前之研究無論是二維桁架[22]或是三維剛架，均未包 含桁架橋面或剛架樓板之自重。
(3) 三維剛架之動力實驗。三維剛架之理論雖已建立，相關實驗則仍待進行，以確 認相關理論之合理性。此一實驗難度極高，首先，衝擊力或是階梯載重(step loading)施力條件重覆之試驗要求必須克服；此外，暫態波傳反應稍縱即逝(每 秒約五千公尺)，各項記錄儀器之採樣速率須達一微秒(
10
秒)以內，試驗前需 要嚴密的規劃與設計。−6
(4) 地 震 波 的 影 響 。 現 有 之 理 論 與 實 驗 均 探 討 結 構 因 節 點 受 力 引 起 之 振 動
﹙force-induced vibration﹚，對於結構受基礎運動所引致之振動﹙motion-induced vibration﹚，在理論與實驗兩方面均須重新考慮。
(5) 通用分析程式之建立。對於各式結構之波動與振動分析，須發展一套易於使用 的程式，俾能推廣其應用。
研究進度
本研究計劃全程三年，主要針對前述迴傳波射矩陣法在三維空間剛架結構之 動力分析與試驗的課題進行一系列工作。第一年已完成計劃之既定目標，包括:兩 層樓鋁管模型剛架之製作；模型剛架之靜力分析與靜力試驗；高頻波動量測儀器(示 波器、應變計等)之採購與測試及驟加外力設備之研製；及三維迴傳矩陣法計算程 式之修改。
第二年之研究在三維迴傳射線矩陣理論之修正，及三維構架模型之動力試 驗。理論方面，因在第一年後期修改計算程式時(將原有之 FORTRAN 程式改為 MATLAB 計算程式)，發現若將動力反應中之矩陣反轉，
[
I− R]
−1, 展成紐曼級數 (Neumann Series)再截斷成多項式時，有兩種進行方式。此兩種方式之數學推導，均極正確，然對入射波及離射波係數之計算可能產生不同結果。乃動員全部研究 人力並徵召過去曾參加此項研究計畫之訪問學者數人，通力研討，至第二年底方 找出解決此困境之答案。在實驗方面，因鋁管模型剛架使用空心方管製成，用應 變規量得之動力反應極不規則，且不能重複量測，乃在年底開始重製模型並改進 實驗步驟與量測技術。
第三年就修改後之迴傳矩陣理論重編電腦程式，計算剛架各構件之瞬時應變 值。另就重新製造之實心鋁管剛架重複進行動力實驗，成果頗有改進。實驗量測 之瞬時應變值，差可與理論值比較。本報告第六章將詳述理論與實驗之比較成果。
研究成果
本報告內容共分七章。第二章介紹三維剛架結構之彈性波理論，包括：軸向 波、扭轉波及撓曲波，探討彈性波之傳播特性及其物理性質；第三章為彈性波於 剛架節點之散射分析，藉由力平衡方程式與位移諧合方程式建立不同邊界條件下 之節點散射矩陣及節點波源向量；第四章為空間構架之彈性波射迴傳分析，說明 迴傳矩陣之建立及矩陣I−R(ω)具奇異性(Singularity)時之解決方法；第五章為迴 傳波射法之離散過程與數值方法，由於分析的過程中須使用逆傅立業轉換，將頻 率域之結構反應轉換為時域反應，然而在數位化電腦的運算環境中，連續的頻率 函數或連續的時間函數須經過離散化的過程才能利用電腦進行計算。本章將說明 解析的過程與取樣筆數之決定等。第六章為試驗環境之建構與驟加衝擊載重試 驗，並將試驗結果與第五章之理論分析結果進行比較。第七章為結論。