第二章 三維剛架結構之彈性波
2.3 撓曲波的傳播
) ( )
( [ )
,
ˆ( 2 2
2 2
2
x ik x
ik
xik a e d e
GI x
T ω = ω − ω − (2.21) 而扭轉波所產生的剪應變由(2.18)式可得：
] ) ( )
( [ )
,
ˆx (xω =cik2 a2 ω eik2x−d2 ω e−ik2x
γ θ (2.22)
假設在理想狀態下，材料不具有阻尼力(ζθ =0)，則(2.20)式可改寫為：
k2 =ω Gρ (2.23) 根據(2.7)和(2.23)式則可得到理想狀態下之扭轉波波速c2為：
ρ
c2 = G (2.24)
如同軸向波的情形，扭轉波的波速亦和頻率無關，只和材料性質(G、ρ)有關，故 理想狀態下的扭轉波為一頻散波(Dispersive Wave)，其運動方程式可由(2.16)、(2.24) 推得為：
2 2 2 2 2
2 ( , ) 1 ( , )
t t x c
x t x
∂
= ∂
∂
∂ θ θ
(2.25) 理想狀態下的桿件的扭轉角、扭矩和扭轉剪應變則可將(2.23)式分別代入(2.19)、
(2.21)和(2.22)式求得之。
如同(2.1)節的軸向波，扭轉波也有達南貝的瞬態解，不再贅述。
2.3 撓曲波的傳播
在 2.1 節中，我們提到頻散波(Dispersive Wave)和非頻散波(Nondispersive Wave) 之間的差異。理想狀態下的軸向波和扭轉波為非頻散波，其運動方程式在時間域 下具有達南貝的瞬態解(D’Alembert Solution)，然而，理想狀態下之撓曲剪力波為 頻散波，其運動方程式在時間域下不具有達南貝解，而必須利用傅立業轉換先將
方程式轉到頻率域下來求解，之後再用傅立業逆轉換可求得時間域下的解。這也 是為何我們要採用頻譜分析的方法來分析整個問題，而不直接在時間域下求解，
因為撓曲波在時間域下難以直接求解偏微分方程。
本節就兩種不同的理論模型，白努利樑(Bernoulli-Euler Beam)和提摩盛科樑 (Timoshenko Beam)來討論撓曲剪力波在桿件中的傳播情形，比較其高頻波和低頻 波波數之差異。首先，考慮一樑和其內部的一微小段受力情形如下(圖 2.2)：
υ(x,t) )
, (x t φ
υ υ&, &&
⇑
∆x
M M +∆
V V +∆V
ρ M , , ,A I
E ∆x
x
圖 2.2：樑中微小段元素的受力情形 若我們先不考慮材料阻尼力，則根據垂直向( 軸向)力平衡： y
υ ρA x &&
V V
V + +∆ = ∆
− ( ) 上式經整理後可得：
υ ρA &&
V =x
∆
∆
或
2 2
A t x V
∂
= ∂
∂
∂ ρ υ (2.26)
根據 軸向的彎矩平衡： z
φ ρI x &&
x V M M
M + +∆ + ∆ = z∆
− ( ) 其中，ρIz∆xφ&&為慣性力矩，Iz為桿件 軸向之面積慣性矩，z φ為桿件之橈曲角。
上式經整理後可得：
φ ρIz &&
x V M + =
∆
∆
或
2 2
I x x V
M
z ∂
= ∂
∂ +
∂ ρ φ (2.27)
我們首先推導白努利樑的撓曲波運動方程式，並假設材料阻尼力不存在，其理論 的基本假設為：第一，平面截面受力變形後依然為平面；第二，樑元素與中立面
(Neutral Surface)垂直者，變形後依然與中立面垂直，意即由剪力所引起的垂直向 變形可忽略；第三，樑元素之轉動慣量可被忽略；第四，樑之材料特性符合虎克 定律，故可得彎矩和撓度有以下之關係：
2 2
EI x
M z
∂
= ∂ υ
(2.28) 將(2.28)式代入(2.27)式且忽略轉動慣量後可得：
3 3
EI x
V z
∂
− ∂
= υ
(2.29) 將(2.29)式代入(2.26)式可得：
2 0
2 4
4 =
∂ + ∂
∂
∂
A t EIz xυ ρ υ
(2.30) 為白努利樑之撓曲波運動方程式。(2.30)式不具有達南貝解，故我們取其傅立業轉 換後為：
ˆ 0 ˆ 2
4
4υ −ω ρ υ = dx A
EIz d (2.31)
(2.31)式的長為分方程式具有通解為：
x ik x
ik x
ik x
ik d e a e d e
e a
x, ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 43 ( ) 4 ( ω = 3 ω + 3 ω − + 4 ω + 4 ω −
υ (2.32)
其中，
4 / 1
3
=
EIz
k ω ρA ，
4 / 1
4
−
=
EIz
i A
k ω ρ
我們由(2.32)式可觀查出，此一撓曲波具有 k 、 兩種模態。在任何頻率之下，
皆 為 正 實 數 ， 則 為 負 虛 數 ， 由 此 可 知 ， (2.32) 式 的 前 兩 項 為 傳 波 項 (Wave Solution)，後兩項則不傳波，而為一空間阻尼(Spatially Damped Vibrations)或稱為 響 應 項 (Ringing Terms) ， 隨 著 傳 播 距 離 的 增 長 ， 其 使 得 撓 曲 波 逐 漸 地 衰 減 (Attenuate)。
3 k4 k3
k4
由(2.7)式和(2.32)可得：
4 / 1
=
= A
EI c k
ω ρ
ω (2.33)
由上式我們可知撓曲波波速與頻率有關，為一頻散波。(2.33)式的波速 稱為相位 速度(Phase Speed)，它代表一特定頻率
c ω的波行進的速度。而我們定義：
A c
其中，我們稱 為群速度(Group Speed)，它代表所有頻率的波疊加後整體的行進 速度。圖 2.3 為此兩種波速與頻率的關係圖，如圖，當頻率很高時，兩種波速都會 趨近於無窮大，此為白努利樑理論的基本假設誤差所導致的不合理現象，以下，
我們將以提摩盛科樑理論來修正此一現象。
cg
提摩盛科樑理論的基本假設為：第一，平面截面受力變形後依然為平面；第 二，樑元素與中立面(Neutral Surface)垂直者，變形後與中立面不再垂直，意即由 剪力所引起的垂直向變形不可忽略；第三，除了線性慣量外，兼考慮樑元素的轉 將(2.35)、(2.36)和(2.37)式代入(2.26)、(2.27)式中，整理後可得：
將(2.40)式代入(2.39)式中，整理後可以矩陣形式表為： (2.42)式為運動方程式(2.39)的特徵方程式，其具有四個根為：
1 由(2.40)、(2.43)和(2.44)式我們可以得到：
∑
x 在超過截止頻率後為傳波項，低於截止頻率時，則為一空間阻尼(Spatially Damped Vibrations)。而由(2.7)及(2.34)式亦可求得提摩盛科樑的撓曲波相位波速(Phase Speed)和群速度(Group Speed)。圖 2.4 中，繪出了提摩盛科樑理論的k−ω 關係圖，
圖 2.5 則繪出c/ c1−ω和cg / c1−ω 的關係圖。很明顯地，提摩盛科樑的撓曲波亦為
一頻散波。
1 係數。將(2.35)式、(2.36)式及(2.37)式代入(2.63)式和(2.64)式可得：
求解上式聯立常微分方程式，我們一樣地可以假設：
大。
1