第二章 三維剛架結構之彈性波
2.1 軸向波的傳播
一般而言，若桿件的細長比(Slenderness Ratio)不大，則軸向波在傳播時，除 了產生軸向變形外，由於橫向效應(或稱為蒲松效應)，也會產生橫向變形，此時軸 向波理論將不適用，而必須採用麥德林-賀門的軸向理論(Mindlin-Herrmann Rod Theory)[23]，使得運動方程式變得十分複雜。因此，在推導軸向波運動方程式之前，
一般都假設桿件的細長比很大，使得橫向效應可被忽略。首先，考慮桿件中一微 小段元素之受力情形如下(圖 2.1)：
u u& &&
≈f ,
∆x
F F+∆F
ρ , , A
E ∆x
x
圖 2.1：桿件中微小段元素的受力情形 考慮水平向的力平衡：
u x A xu K u x F
F
F + +∆ − u∆ &− ∆ = ∆ &&
− ( ) ζ ρ 其中，ζu∆xu& 和K∆xu為軸向波在行進時，受到周圍介質影響所產生的遲滯力 (Retarding Force)，分為速度相依(ζu∆xu&)和位移相依(K∆xu)兩種形式。將上式整理 後可得：
u A Ku x u
F
u& ρ &&
ζ − =
∆ −
∆
或
2 2 ( , ) )
, ) (
, ( )
, (
t t x A u t x t Ku
t x u x
t x F
u ∂
= ∂
∂ −
− ∂
∂
∂ ζ ρ (2.1)
其中， u( tx, )為桿件之軸向位移，F( tx, )為通過斷面的軸向力，ρ為桿件的密度，
A 為截面積。假設材料為均質的，且桿件截面積固定，則根據虎克定律：
此即軸向波動方程式之通式。我們採用頻譜分析(Spectrum Analysis)的方法來分析 整個問題，以避開直接求解偏微分方程式的問題而僅需面對常微分方程式。對(2.3)
表示一穩態波的波幅(Wave Amplitude)，沿負
a1 d1
x方向傳播， 表示另一穩態波的 波幅，沿正
d1
x方向傳播。我們將頻率ω 除以波數 所得物理量之意義即為單位時間 內傳波的步長，亦即波速(Wave Speed)，可表示為：
k
c ωk
= (2.7)
由(2.6)式、(2.7)式可知，一般情況下，波速和頻率有關。我們稱此種波為頻 散波(Dispersive Wave)，因為波在傳播的過程中，隨著時間的改變，波形也會跟著 改變。此外，由(2.2)和(2.5)式可求得軸向力的穩態解為：
A K
ω0 = ρ 當頻率大於此一截止頻率時(ω >ω0)，波數 為正實數，反之當頻率小於此一截止 頻率時(
k1
ω0
ω< )，k 則為負虛數。亦即只有頻率大於此一截止頻率的波會傳播，小 於此一截止頻率的波則不傳播。
1
若假設(2.6)式中K =0，則(2.6)式中波數k1為：
i EA
k1 = ω2 Eρ − ω ζu (2.10) (2.10)式中的k 無論在任何頻率下都包函了一正實數與一負虛數，正實數的部分代 表波的傳播，負實數的部分則會使波在行進的過程中波幅逐漸衰減(Attenuate)。我 們可從(2.5)式看出此種現象，當 為正實數時，式中的 和 為弦波函數；當 為負虛數時，則為指數函數。故速度相依型的遲滯效應就類似一種阻尼效應 (Damping Effect)，此為材料本身缺陷所產生，和結構桿件接合不良所產生的阻尼 力不同。一般而言，材料的阻尼力遠較節點的阻尼力來得小，故一般可以忽略不 計。關於材料的遲滯力，文獻[24]提供了有關實驗方面的研究。
1
k1 e−ik1x eik1x k1
理想狀況之下，假設材料沒有任何遲滯力或阻尼力(ζu =0, )，則(2.3)式 可改寫為：
=0 K
2 2 2
2 ( , ) ( , )
t t x u x E
t x u
∂
= ∂
∂
∂ ρ
(2.11) (2.6)式則可改寫為：
k1 =ω Eρ (2.12) 故由(2.7)可得理想狀態下之軸向波波速為：
ρ
ω E
c1 = k =
1
(2.13)
由上式可知，c 與頻率無關，僅與桿件之密度、楊氏模數有關。我們稱此種波為 非頻散波(Nondispersive Wave)，因為波在傳播的過程中，隨著時間的改變，波形不 會改變。由(2.11)、(2.13)式可得理想狀態下之軸向波運動方程式為：
1
2 2 2 1 2
2 ( , ) 1 ( , )
t t x u c x
t x u
∂
= ∂
∂
∂ (2.14)
理想狀態下的桿件的軸向位移、軸向力和軸向應變則可將(2.12)式分別代入(2.5)、
(2.8)和(2.9)式求得之。
(2.14)式可利用傅立業轉換來求得如(2.5)式的頻域解，或可直接得到一達南貝 (D’Alembert)解為：
) / ( ) / ( ) ,
(x t A1 t x c1 D1 t x c1
u = + + − (2.15) 其中，A1和D1代表兩個普通函數，函數A1(t+x/c1)表示一個行進波沿著負x的方 向前進。而函數D1(t−x/c1)表示一個行進波沿著正x的方向前進。達南貝解為一 瞬態解(Transient Solution)，由於非頻散波在傳播時，波形保持不變，故穩態解和 瞬態解其實是一樣的，我們可將(2.5)式的穩態解逆轉換後得到如(2.15) 式的達南貝 解，證明了此一現象。然而，為了方便同時分析頻散的撓曲波(2.3 節)或材料有阻 尼的軸向波、扭轉波(2.2 節)，我們必須採用頻譜分析來求穩態波解，而捨棄了在 時間域下直接求解。