第二章 文獻回顧
2.3 水工構造物因跌水所產生之沖刷行為描述及深度評估
2.3.2 半經驗公式
,
,
經驗公式主要的限制是缺乏理論背景、尺寸效應以及動態影響。
如此難以詳細且正確的描述沖刷現象。
2.3.2 半經驗公式
針對經驗公式缺乏力學機制之缺失，許多學者建立基本之物理模 式，導入力學機制，因對於如水流之消能效果等無法掌握，所以對模 式進行簡化，再以現地觀測或試驗結果進行迴歸，以提出應用公式，
此類公式之外力主要描述方法可再區分為(修改 Bollaert, 2002) (1). 臨界起動剪應力(critical incipient shear stress)
(2). 能量守恆原則(principal of conservation)
14
(3). 地質力學特性(geomechanical characteristic) (4). 流功(stream power)
2.3.2.1 臨界起動剪應力
Bormann & Julien(1991)利用 Shields’(1936)提出之底床臨界剪應 力觀念探討非凝聚性顆粒的穩定，並認為沖刷坑下游側形狀可視為一 傾斜之逆坡，因此水流產生之剪應力除須克服顆粒材料之臨界剪應力 之外，尚需有足夠的力量將顆粒帶過下游的逆坡，才能使沖刷行為繼 續發生，如圖 2- 6 所示，而水流產生之剪應力與顆粒材料之臨界剪應 力關係如式(2-2)：
圖 2- 6 臨界啟動剪應力示意圖(Bormann and Julien, 1991)
( )
( ) (2- 2)
τb=水流產生之剪應力 τcr=底床臨界剪應力 ψ=材料摩擦角
β=沖刷坑上游側逆坡角度
15
16
圖 2- 7 沖刷坑實際測量值與預測值之比較(Bormann and Julien, 1991)
2.3.2.2 能量守恆原則
Akhmedov(1988)首先發展出以能量觀點判斷沖刷坑是否沖刷，如 圖 2- 8，當水流沖擊岩盤使之破碎並將岩塊帶離時所需之條件表示如 式(2-6)：
(2- 6) P=流體動力
G=岩塊重
Pc=岩塊間的凝聚力
17
圖 2- 8 水流與沖刷坑關係示意圖(Akhmedov, 1988) 經由模型試驗得到沖刷深度的計算可透過式(2-7)求得：
[ ( ) ]
( )( ) (2- 7)
t=沖刷深度 χ=水流軌跡長度 Dj =射流直徑 α=水流入射角 ψ=材料內摩擦角 h=尾水高度
C=紊流常數
綜合上述，Akhmedov(1988)的深度評估方式看似相當簡單易用，
但必須在兩個重要基礎條件都成立下才可使用。對於岩盤抗沖刷能力 而言，其所考量的唯一參數為沖刷坑坡面的摩擦角φ，可否廣泛應用 於不同場址的評估仍屬未知。Akhmedov(1988)考慮之沖刷坑受局部束 制，並假設上、下游坡面角度皆為φ，對台灣多數攔河堰而言，年輕
18
之地質條件似乎多未能提供有效之束制而形成沖刷坑，此深度評估方 式是否合宜，仍難肯定。此方式最大困難點在於必須形成假設形狀之 沖刷坑，方能計算正確之能量損耗關係。
Fahlbusch(1994)利用動量方程式的觀念，藉以考慮能量之損失，
認為沖刷坑在達到最大沖刷深度時，所有作用力將達到平衡狀態，其 假設沖刷坑邊界之水壓為靜態分布(Hydrostatic distribution) ，如圖 2- 9，提出沖刷深度計算公式，如式(2-8)，並藉由大量的模型試驗以及 現地觀察得到 k 的平均值為 2.79，最大值 3.92，如圖 2- 10。
圖 2- 9 水流與沖刷坑關係示意圖(Fahlbusch, 1994)
19
√ (2- 8) √ ( ) (2- 9) Y=極限沖刷深度
t=沖刷深度 h=尾水深度 q=單寬流量 v=流速
α=入射角（與水平的夾角）
ε=沖刷坑裡空氣所占的體積濃度 β=修正參數
圖 2- 10 極限沖刷深度(Fahlbusch, 1994)
Hoffmans(1998)利用牛頓第二定律計算平衡沖刷深度，假設水平 的合力與水平的拖曳力相等，而拖曳力又與底床流速相等，接著透過 模型試驗以及現地觀察資料進行迴歸，得到與 Fahlbusch(1994)類似的
20
公式，如式(2-10)，當達到平衡狀態時即為最大沖刷深度，如圖 2- 9，
為一沖刷坑示意圖，顯示作用力相關位置，圖 2- 11 為合力圖。
圖 2- 11 作用力與合力(Hoffman, 1998)
√ (2- 10)
√ (2- 11)
其中式(2-11)為公式推導得到之理論解，另外透過大量的實驗得 到 c2v的經驗值，如下：
( ) for d90<0.0125 m
for d90>0.0125 m
( ) Δ=1.65, υ=10-6 m2/s Y=極限沖刷深度
t=沖刷深度 h=尾水深度 q=單寬流量
21
v1=流速
α=水流入射角 g=重力加速度
ψ=底床材料摩擦係數 cb=係數
δ=合力的角度 Δ=相對密度 υ=動黏滯率
雖然 Hoffman(1998)採用了與 Fahlbusch(1994)相同的力平衡方式 計算沖刷坑深度，但是 Hoffman(1998)將其應用於顆粒性材料上，因 此在式內有許多與顆粒性材料有關參數，並與過去顆粒性材料實驗的 資料做比較，如圖 2- 12；比較結果，過去大部分實驗或現地觀察的 資料皆落在預測的範圍內，且呈現高度正相關。
圖 2- 12 沖刷坑實際量測值與預測值比較(Hoffman, 1998)
22
Liu（2005）認為可將沖刷坑之發展，視為水躍發生在逆坡之行為，
利用動量方程式來計算能量損失之影響。他首先引用 Beltaos and Rajaranam (1977)之成果，利用尾水高度、流體寬度及水流射入角度 之關係，計算跌水之能量損失，再假設沖刷坑之下游有一逆坡，並採 用沖刷坑最大深度及原始岩盤面為邊界，邊界之水壓力為靜態分佈，
作用力之估算及方向示意圖如圖 2- 13 所示，進行力平衡計算。
圖 2- 13 水躍發生在逆坡之作用力示意圖(Liu, 2005)
動能方程式
( )) (2- 12) P1, P2=分別為斷面 1, 2 的靜水壓力
G=選取斷面內單位寬度體積之水重 β’=沖刷坑下游測逆坡角度
V1, V2=斷面 1, 2 的平均流速 h1, h2=斷面 1, 2 的水深
q=單寬流量
23
24
隨著沖刷深度之增加而增大。沖刷深度之增加速度則受岩盤條件影響，
以 代表岩盤的沖刷係數，數值愈大則代表岩體抵抗能力愈差， 之 值藉由三峽大壩之現地觀測資料迴歸而得，其值示如表 2- 2，再將所 得之 代回上式則可據以計算不同流量及跌水高度之沖刷深度。
( ) (2- 19)
ke=岩床的沖刷係數
( ) (2- 20) Dj=水柱厚
α=入射角
表 2- 2 岩盤沖蝕能力抵抗分類表(Liu, 2005)
分類 岩盤性質 ke
範圍 平均值 第一類：高抗沖蝕能力 巨大塊體，無節理，裂隙閉合，無斷層 0.8-2.0 1.4 第二類：中抗沖蝕能力 大塊體，有節理，裂隙開放，有少量填充物 2.0-3.2 2.6 第三類：低抗沖蝕能力 破碎結構，節理發達，裂隙開放，有填充物，
有斷層 3.2-4.5 3.9
第四類：極低抗沖蝕能力 破碎結構，節理發達，裂隙開放，有黏土填
充物，有斷層 4.5-6.4 5.6
Liu(2005)以三峽大壩作為計算案例，下列表 2- 3、表 2- 4、圖 2- 14 為其計算結果，結果顯示，當尾水深度越深時總沖刷深度(T)也越深，
相對的尾水越深消能越大，使沖刷深度(t)隨尾水深度增加而減少，最 終達到收斂。
25
表 2- 3 計算三峽大壩下游岩盤沖刷深度(Liu, 2005)
水力參數 ke 總沖刷深度 沖刷深度
q=174.0 m2/s, H=97.95 m, h=37.05 m,
Dj =10.93 m, β’=36.96
3.2 56.77 19.72 3.9 63.05 26.00 4.5 68.50 31.45 表 2- 4 在 ke=3.9 的情況下總沖刷深度與沖刷深度之間的差異(Liu,
2005)
尾水深(m) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 總沖刷深度(m) 57.01 60.54 61.68 60.97 66.57 75.08 84.02 93.24 102.66
沖刷深度(m) 37.01 30.54 21.68 10.97 6.57 5.08 4.02 3.24 2.66
圖 2- 14 沖刷深度與尾水深之間的關係(Liu,2005)
由於 Liu(2005)在文章中所歸納出之四種岩石分類主要是以硬岩 做為案例歸納而得，因此，對於台灣地區之軟岩不適用。
26
2.3.2.3 地質力學特性
相較無凝聚力顆粒材料可視為單獨之個體，由顆粒直徑及流況之 力平衡為準則，以進行沖刷之評估，而岩石材料因具有凝聚力及弱面 之影響，則使得問題複雜許多，部份學者藉由地質評分之觀念，提出 岩盤沖刷之評估經驗方法。
Spurr(1985)由能量之觀點提出估計沖刷坑深度的方法，如圖 2- 15，
他認為任一時間 t 時的沖刷深度 ( )，乃作用於岩石表面的能量 、 岩石能吸收的阻抗能量 、以及岩床反射的能量 等三種能量參數 的函數，可表示如式(2-21)：
( ) ( ) (2- 21)
圖 2- 15 發展中沖刷坑水流示意圖(Spurr, 1985)
27
依照水流能量判斷沖刷，可分為下列兩個狀態：
I. 初始狀態(t=t0):尚未被沖刷的岩石承受了水柱所有的能量，此時的 沖刷潛能為最大
( ) ( ) ( ) (2- 22) E=水流平均能量
E1, E2=因尾水而抵消的平均能量
II. 平衡狀態(t=te):隨著尾水高度的增加，水柱的能量被削減到小於岩 石的抗沖蝕能力時即停止沖刷
( ) ( ) (2- 23)
Spurr(1985)提出之估計沖刷坑深度的方法係基於以下的概念，假 如有一個沖刷條件(流量、沖刷坑深度)已知的參考場址，能充分符合 一個沖刷深度經驗公式的估計，則可利用此經驗公式來估計另一個研 究場址在一沖蝕流量下的沖刷坑平衡深度，再利用能量沖蝕指數 (Energy Scour Index, ESI)進行研究場址的沖刷坑深度修正值。整個沖 刷坑深度估計流程主要分成以下三個步驟：
1. 選擇參考場址的沖刷坑深度經驗公式：
例如深度估計經驗式之一般型式為
(2- 24) Y=平衡沖刷深度
K=常數 H=跌水高度
28
29
刷經驗式，再以能量沖蝕指標(ESI)的方式率定另一場址的沖刷深度，
應用上略顯繁複且必須以經驗方式預估沖刷時間等參數後才可以進 行評估，為此方法引入相當程度的不確定性。
2.3.2.4 流功
Temple and Moore (1994)年利用單寬流量(q)及跌水高度(H)兩個 參數，用以計算流功，並採用美國墾務局觀測資料整理其沖刷之關係，
如圖 2- 16。另外，此方法僅適用於垂直跌水形式，因此，稱為垂直 跌水沖蝕指數(head cut erodibility index)。
圖 2- 16 岩盤沖刷門檻(Temple and Moore, 1994)
30
Van Schalkwyk et al.(1995)利用 RMR 分類法來描述地質材料特性，
以流功來表示沖擊能力，在此分析中因無法正確掌握跌水擴散及消能 效果，因此，假設水流沖擊面積 A=BH/3，並配合南非 18 處壩址及 美國墾務局之現地觀察資料，如圖 2- 17，提供一定性之指標亦稱之 為沖蝕能力指數(Erodibility Index)，以此判斷岩盤沖刷的門檻值。
(2- 27) γw=水單位重
Q=總流量 H=跌水高度 A=水流衝擊面積 B=水流寬度 q=單寬流量
圖 2- 17 岩盤沖刷門檻(Van Schalkwyk et al., 1995)
31
Annandale(1995, 2006)提出與 Spurr(1985)類似的概念，也是比較 岩石的抗沖蝕能力以及水流能量之間的關係，其中岩石的抗沖蝕能力 由 Kh(Erodibility index)(Kirsten, 1982)(材料強度的 Ms、代表顆粒或塊 體尺寸的 Kb、代表弱面或顆粒間抗剪強度 Kd、代表地盤構造條件的
32
for
for (2- 31)
圖 2- 18 臨界沖蝕流功與地質評估因子比較圖(Annandale, 2006)
Annadale(2006)進一步延伸其抗沖蝕指數概念到岩石沖刷深度的 評估上，此方法之發展係由溢洪道沖刷為出發點，能量之來源為跌水 落差，因溢洪道之出水高度固定，隨沖刷深度之增大而尾水深度亦隨 之增大，因此消能效果增大，作用於岩盤面之沖刷力降低。而岩盤之 沖蝕能力指數一般應為深層岩盤比淺層大，因此可分別建立兩者隨高 程變化之關係圖，當兩圖重合時，兩條趨勢線相交之高程即為將來溢 洪道沖刷之可能最大深度，其使用方法參考圖 2- 19 所示。
33
圖 2- 19 溢洪道潛能沖刷深度示意圖(Annandale,2006)