沖刷坑底部的壓力波動與壓力差

動態上舉力所造成的破壞顯示動態壓力波動對岩塊的穩定性有 很大的影響，當動態上舉力無法再使岩塊脫離時，則達到極限沖刷深 度。根據以上的假設，直接探討流體之擴散效應，進行岩盤面上動態 波動壓力之估算及探討岩盤中裂隙所造成之放大效應，再據以利用岩 塊之力平衡計算沖刷深度，其估算步驟如下：

(1) 流體的擴散效應

(2) 流體進入尾水後的消能效應

(3) 壓力波動在岩體裂隙中傳遞所產生的放大效應 (4) 岩塊之力平衡分析

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2.3.3.1 流體的擴散效應

自由流體離開初始之限制邊界後，因流體與周遭介質間之壓力差，

流體周邊會因此向外擴散，導致邊緣流速變慢，同時因與空氣之摩擦，

呈現微小波浪及渦流現象，將部分空氣以氣泡形式攜帶進入流體中，

初期中心位置仍有部分保持原有之流速稱為核心射流(core jet) ，若擴 散長度過長，則所有之流體與空氣之交互作用，導致以水滴形式向下 墜落，此時之長度稱為射流破裂長度(jet break length) ，任一斷面之 流速皆小於初始流速則稱為擴散射流(developed jet)。

Ervine et al. (1997)提出圓形射流(circular jets)擴散架構如圖 2- 20 所示，並針對其擴散之相關參數建議如下:

( ) (2- 32) (2- 33) Lb=射流破裂長度

Di=射流初始斷面直徑 Fr=射流初始福祿數

Tu=射流擾流強度(turbulence intensity)=0.03(for free over fall) Dj=射流任意斷面的直徑

Lj=射流軌跡長度

藉由對射流擴散形狀之掌握，利用連續方程式(Continuity equation) 及比能公式(Specific energy equation)之應用，則可求得任一斷面之直 徑及流速，進而得知其作用力大小。

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圖 2- 20 圓形射流擴散架構圖(Ervine et al., 1997)

Castillo(1998)沿用 Ervine 之圓形射流成果，考慮溢洪道之束縮效 應進行矩形(Rectangular)及水舌(Nappe)形式應用上之擴充，其擴散架 構如圖 2- 21 所示。射流破裂長度(Lb)則引用針對矩形跌水所提出之 關係式 Lb=6q^0.32，將此破裂長度代入式中，以求得矩形跌水條件下之 任一斷面之跌水寬度(Dj)。

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( ) (2- 34)

√ φ√ (√ √ ) (2- 35) Dj=水柱厚

q=單寬流量

Cd=流量係數(Discharge Coefficient)≒2.1 g=重力加速度

H=跌水高度

φ=紊流參數≒1.07T_u Di=射流初始斷面直徑

圖 2- 21 矩形射流擴散架構圖(Castillo 2006)

2.3.3.2 流體進入尾水的消能效應 (1) 平均壓力

流體經過空氣進入靜止之流體時，因貫入速度之影響，導致原有 流體向外推移，流體作用面積擴散及邊緣流速變慢(面積擴散程度大

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於空氣介質時)，因能量之傳遞引致剪力層(Shear layer)及渦流(Eddy) 產生，此種現象可視為能量消減之過程，也可稱為二維射流擴散 (two-dimensional jet diffusion)。中心位置仍有部分面積保持原有之流 速，若所有作用面積之流速皆小於原有之流速，此時之長度稱為射流 貫入長度 Lc(Jet penetrating length)，可視為射流原始直徑或厚度之函 數(

)，K

c值之大小介於 3-9 間，其擴散架構如圖 2- 22 所 示。Bollaert(2003)針對 Kc值等整理以往多位學者相關之研究，如表 2- 5 所示。

圖 2- 22 二維水流擴散行為(Annandale, 2006)

38

39

圖 2- 23 無因次動態壓力(修改自 Melo, 2006)

一般認為，影響射流作用面積擴散及能量消減之主要控制因素為 尾水高度與射流原始直徑或厚度之比值(h/Dj)。Ervine et al. (1998) 及 Melo (2006)藉由壓力計量測在不同之尾水高度及圓形射流直徑之試 驗成果，利用中心位置之壓力值與理論壓力值進行比較，而得到平均 壓力係數(Mean pressure coefficient Cp)，其結果如圖 2- 24 所示。當(h/Di) 小於 4 時，則中心點仍可維持核心射流狀態。當(h/Dj)大於 4〜6 時，

0 0.1 0.2 0.3 0.4

x/h

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C

p

40

則射流全部呈現擴散射流狀態，且中心點之壓力值隨水深增加而減少，

當比值大於 20 時大部份之能量並未傳遞至底部。

圖 2- 24 圓形射流平均壓力係數與 h/Dj關係圖(Bollaert, 2003)

Castillo(2004)考慮不同的矩型射流破裂長度比，進行一連串正規 化消能池深度與矩型水柱之平均動態壓力係數的試驗，結果如圖 2- 25、表 2- 6，並提出以下經驗式：

^{( )} (2- 36) m, n＝射流破裂長度比參數

Dj＝矩型水柱厚度

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圖 2- 25 射流平均壓力係數與 h/Dj關係圖(Castillo, 2004) 表 2- 6 射流破裂長度比參數(Castillo, 2004)

L/L_b m n C_p(h/D_j <4) 0.4-0.5 0.98 0.070 0.78 0.5-0.6 0.92 0.079 0.69 0.6-0.8 0.65 0.067 0.5

1-1.1 0.65 0.163 0.33 1.1-1.3 0.65 0.185 0.31 1.5-1.6 0.55 0.200 0.24 1.8-1.9 0.55 0.250 0.20 2.2-2.3 0.50 0.250 0.18 2.3-3.0 0.50 0.400 0.10

(2) 波動壓力

受到剪力層(Shear layer)及渦流(Eddy)產生之擾流現象影響，射流 所產生之壓力為快速變動之情形，稱為波動壓力(Fluctuating dynamic

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pressure)，一般以均方根(Root-mean-square)方式估算其大小，其與理 論壓力值之比值稱為波動壓力係數(C’p)。Bollaert(2003)整理了 Ervine and Falvey(1987)、Castillo and Dolz (1989)及 May and Willoughby (1991)等相關之研究，整理出不同射流型式之壓力係數，如圖 2- 26 顯示，圓形射流之波動壓力係數隨著在(Y/Dj)值增大而增大，當(Y/Dj) 值為 7 時達到最大值(約為 0.25)。矩形跌水之尖峰值則於當(Y/Dj)值 12 時達到 0.28。

圖 2- 26 射流波動壓力係數與 h/Dj關係圖(Bollaert, 2003)

May and Willoughby (1991), Ervine et al. (1997), Bollaert (2002), Castillo (2004)等學者，發展了許多評估波動動態壓力與正規化消能池 深度的關係式：

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( ) ( ) ( ) for h/Dj≤14 (2- 37) ( ) for h/D_j>14 (2- 38) Castillo(2006)整理 Castillo(1989), Puertas(1994), Bollaert(2002)資 料如圖 2- 27。並且認為可利用跌水高度與破裂長度之比值(H/Lb)來進 行分類，如表 2- 7 所示。

圖 2- 27 射流波動壓力係數與 h/Dj關係圖(Annandale, 2006) 表 2- 7 波動壓力係數與 H/Lb比值關係表(Castillo, 2006)

h/D_j<14

H/Lb a1 a2 a3 a4 Type of jet

≤1.4 0.0003 -0.0104 0.0900 0.083 Compact-Developed-Disintegrated 1.5-2 0.0003 -0.0094 0.0745 0.05 Developed-Disintegrated

>2 0.0002 -0.0061 0.0475 0.01 Developed-Disintegrated h/Dj>14

H/Lb a b Type of jet

≤1.4 5.30 -1.045 Compact-Developed-Disintegrated 1.5-2 3.14 -1.422 Developed-Disintegrated

>2 1.50 -1.500 Developed-Disintegrated

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2.3.3.3 壓力波動在岩體裂隙中傳遞所產生的放大效應

當岩盤內部有裂隙存在時，水流之沖擊壓力以波傳之方式傳入岩 體，此時岩體之壓力會因裂隙形狀及水體之波傳速度而產生在某特定 頻率下發生共振效應，產生不同之作用力放大效應。Bollaert(2002) 利用金屬版模擬岩體之裂隙，藉由不同型狀之裂隙安排，由裂隙內部 及表面之壓力觀測，進行放大效應之試驗，其模擬之裂隙形狀(2D-I joint, I joint, L joint, U joint, D joint)安排如圖 2- 28 所示。由試驗成果 顯示，裂隙底部相較於岩體表面之壓力有明顯變化之情形(圖 2- 29)，

且尖峰值之出現呈現某一特定頻率(Δt)。放大效應在最簡單形狀之 I type 時可達到最大，其值約可 4 倍之平均壓力(或 20 倍之表面波動壓 力)，其成果示如圖 2- 30。隨著裂隙形狀之變化，水中氣泡聚集於彎 角處，影響裂隙之共振頻率，使得形狀愈複雜之裂隙放大效果愈小，

在 D type 或 2D-I type 時，其放大係數僅約為 1〜1.5 倍之平均壓力。

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圖 2- 28 不同形式裂隙模擬設施示意圖(Bollaert, 2002)

圖 2- 29 岩體表面及裂隙內部波動壓力比較圖(Bollaert, 2002)

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圖 2- 30 裂隙內部波動壓力放大係數圖(Bollaert, 2002)

2.3.3.4 岩塊之力平衡分析 (1) 裂隙發展

高速水流沖擊產生之表面衝擊力及波動壓力，傳遞至岩體內部裂 隙，因放大效應及時間差，形成對岩體之反覆作用力。若岩體之裂隙 尚未完成發展連通，則在裂隙尖端產生應力集中現象。若應力值大於 岩體之應力強度(Stress intensity, K)則岩體破裂，形成裂隙發展之情形，

一般以張力型式來描述其破裂行為。Atkinson(1987)針對此現象以式 (2-39)來描述沖蝕條件下之材料應力強度 。

√ (2- 39) K’=應力強度

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α’=裂縫長度 σ_w=裂縫內水壓 f=形狀參數

應力強度隨岩石及礦物之種類而有相當大差異，Bollaert, (2002) 利用 Whittaker et al.(1992)之試驗資料進行迴歸，提出地質材料之現地 應力強度與常用之張力強度或壓縮強度之關係式：

( ) ( σ)

( ) ( ) (2- 40) T=張力強度

UCS=無圍壓縮強度 σ_i=岩塊內應力

(2) 脆性破壞( ）與疲勞性破壞（ ）

依據沖蝕應力及裂隙尖端岩體應力強度不同，岩體之破壞形式可 分成脆性破壞及延性破壞兩種型式。當作用應力大於岩體裂隙尖端應 力強度時，則裂隙之發展及連通快速，在短時間內碎裂成更小之塊體，

呈現類似爆炸之現象，稱為脆性破壞。另一種為應力小於岩體裂隙尖 端應力強度，則岩體之裂隙並不會發生延伸，而使其能量蓄積於岩體 中，因反覆作用力而產生應力腐蝕現象，當材料弱化使應力強度降低 至小於沖蝕應力時，則轉變成延性破壞，引致裂隙發展。

高速水流沖擊對岩體因抽離行為而產生沖蝕之效應，依據岩體裂 隙之發展情形不同，可以分成以下兩種步驟:

a. 若裂隙之發展尚未完全使岩塊與岩體脫離時，裂隙之波動壓力導

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致裂隙增加，稱為水力破裂(Hydraulic jacking or hydraulic

wedging)。Whipple et al(2000)研究河道沖蝕時用以描述塊石沖擊 岩盤面對沖蝕之影響說明如圖 2- 5，認為過程中可能先需小裂縫 經水力推張擴大為破裂面，隨著河床顆粒逐漸地透過磨蝕作用沖 蝕弱面，再加上物理或化學風化作用，讓弱面完全擴展連通，最 後終於導致獨立岩塊之鬆動、脫離。將塊石沖擊改變為水流沖擊 亦可利用該說明其作用。岩床面受力衝擊時，瞬時的高動量傳遞 造成不均勻的應力作用，而使得垂直向及水平向的裂隙逐漸延伸 發展。

b. 當裂隙之發展使岩塊與岩體完全脫離時，岩體裂隙之向上波動壓 力若能克服岩塊之重量及側邊之摩擦力時，稱為完整岩塊(Intact Rock)之分離。

(3) 力平衡模式

應用波動壓力對完整岩塊穩定性之計算，其力學架構示如所示圖 2- 31。藉由理想化之邊界假設，由其力平衡計算，可求得穩定塊體所 需之厚度，若岩塊厚度大於穩定所需之厚度，則岩塊不會發生移動。

若岩塊厚度小於穩定所需之厚度，則岩塊發生向上之移動，沖蝕之現 象便發生。Bollaert(2002)利用淨向上力之觀念，假設塊體之形狀為立 方體，如圖 2- 32 所示在單位時間 Δt 時，塊體向上運動所作之功可以

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力平衡關係，並推導出塊體之厚度與波動壓力之關係，如式(2-41)：

[ ^{( )}] [ ( ) ] (2- 41) hup=塊體可抬升高度

xb=x 方向塊體長度 zb=z 方向塊體長度 g=重力加速度 γ_s=材料單位重 CI=動力脈衝係數 γ_w：水單位重

Fsh=作用於岩塊上之剪力和

雖然藉由波動壓力係數之應用，可對沖蝕深度提供一力學模型，

但工程實務上因需對邊界進行簡化，對於岩盤因無法完全掌握其塊體 之形狀，而使其方法應用範圍受限，因此僅較適用於混凝土底版之穩 定性分析。

圖 2- 31 塊體破壞型式之力學架構圖(Bollaert, 2002)

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圖 2- 32 Bollaert 塊體之形狀示意圖(Bollaert, 2002)

由於壓力波動造成節理內部的壓力大於表面的壓力，因此當水流 持續作用下塊體將被帶離，若地層為水平且節理發達，則會呈現剝皮 (peeling off)的現象，沖刷過程如圖 2- 33。

圖 2- 33 剝皮法(peeling off)沖刷示意圖(Bolleart, 2005)

在文檔中 攔河堰下游軟弱岩石沖刷坑形狀與深度分析 (頁 50-67)