第二章 原理
2.1 半導體捲管形成原理 [12]
三維微米捲管的形成，基本上有兩個重要的組成成分，第一個是成長於同一基板 (substrate)上的應變雙層薄膜(strained bilayers)，第二個是成長於基板和應變雙層薄膜之 間的犧牲層。應變雙層薄膜是由兩種晶格常數(lattice constant)不同的材料所組成，再利 用具有高度選擇性的蝕刻溶液蝕刻掉其底部的犧牲層後，即會釋放應力而產生自發性的 捲曲，形成半導體捲管。
本研究中的應變雙層薄膜以三五族半導體 GaAs 以及 InGaAs 兩種材料為主，此兩 種材料的晶格常數可由圖 2.1.1 得知。GaAs 的晶格常數為 5.65325Å，InxGa1-xAs 在 x=0.2 時晶格常數為 5.73426Å ，因此可知應變雙層薄膜的晶格不匹配量(lattice mismatch)約為 Δa/a=1.43%。而犧牲層則是使用 AlAs，其晶格常數為 5.6611 Å 。
圖 2.1.1 半導體的晶格常數及能隙圖
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半導體微米捲管的形成機制如圖 2.1.2 所示，首先於 GaAs 基板上成長晶格常數互相 匹配的 AlAs 犧牲層，再成長由 GaAs 以及 InGaAs 這兩種晶格常數不同的材料所組成的 應變雙層薄膜於其上。為了要使晶格常數較大的 InGaAs 能夠晶格匹配(Lattice-match)的 磊晶於晶格常數較小的 GaAs 基板上，因此 InGaAs 薄膜會受到壓縮(compressive)的應力，
而應變雙層薄膜中的 GaAs 薄膜則會受到一伸張(tensile)的應力。接著使用具有高度選擇 性的氫氟酸(hydrofluoric acid, HF)溶液蝕刻掉 AlAs 犧牲層，而不會蝕刻 GaAs/InGaAs 薄膜，則受到應力的雙層薄膜會被釋放離開基板。此時原本受壓縮應力的 InGaAs 層會 產生向外延展的力量 F1，同時原本受到伸張應力的 GaAs 層則會產生向內收縮的力量 F2，如此便會產生一作用在 GaAs/InGaAs 雙層薄膜上的力矩 M，促使雙層薄膜捲曲而 形成微米捲管，以平衡應變雙層薄膜間所受的應力。
圖 2.1.2 半導體微米捲管形成機制示意圖 [12]
(a)磊晶前各薄膜層的晶格常數，其中 GaAs 層與 InGaAs 層不互相匹配 (b)經分子束磊晶後 GaAs/InGaAs 間受到應力而互相匹配的樣品
(c)選擇性蝕刻犧牲層後釋放應力而捲曲的應變雙層薄膜 (d)應變雙層薄膜捲曲完後形成捲管
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2.2 半導體捲管直徑理論值推估以及偏好捲曲之晶格方向
半導體捲管的直徑是由雙層應變薄膜的內建應變量(built-in strain)，雙層應變薄膜的 總厚度及其厚度比例所決定，而基於巨觀的連續力學模型(continuous mechanical model)，
可得到下列計算半導體捲管直徑的公式[13][14]：
(2.1) 式中的各項參數分別為：d =d1+d2是雙層薄膜總厚度，m= d1/d2是雙層薄膜的厚度 比，n= Y1/Y2為雙層薄膜的楊氏係數(Young’s modulus )比，以及由於雙層薄膜之間的晶 格不匹配(lattice mismatch)所產生的平面雙軸向應變量(in-plane biaxial strain) 。
若假設 Y1～Y2，則上式可簡化如下：
(2.2) 利用連續彈性理論(continuous elasticity theory)，我們不僅可以模擬由平面多層薄膜 形成捲管的應變鬆弛(strain relaxation)，同時也能推測捲管在不同晶格結構、方向及對稱 性等因素下所相對應的應變能(strain energy)，並藉此解釋捲管偏好沿〈100〉方向捲曲 的原因[15]。
假設捲管為一圓柱狀捲曲結構如圖 2.2.1 所示，徑向的應力鬆弛且為零，而由後續 推導可得知，無論捲管軸向(y 軸)應力鬆弛與否，皆不會影響捲管的曲率半徑。首先以 at、ay分別表示在平面切線方向、軸向的晶格常數，以及以 ar表示徑向的晶格常數，而 εt、εy及εr則為相對應的應變量。其中 at和 ar與徑向座標 r 有關，假若薄膜厚度為 d，則 在薄膜的內、外表面分別為 r=0 和 r=d。若薄膜內表面的曲率半徑及晶格常數分別為 R 和 ai，則 。ai和 R(和 ay)由應變鬆弛的情況所決定，而 εr(和 ar)則和雙 軸鬆弛有關，即徑向應力σr=0。
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圖 2.2.1 圓柱狀捲曲結構示意圖，其中 t、y、r 分別為捲管的切線方向、軸向以及徑向 [15]
對於等向性(isotropic)材料而言，徑向應變量 ，而薄膜的應變能為 。其中 Y、υ 分別為楊氏係數以及泊松比。而對於鑽石 (diamond)以及閃鋅(zinc blende)結構材料而言，還必須要考慮其立方對稱性。對於(001) 方向的薄膜，徑向應變量 ，且
。
假如薄膜沿著〈100〉方向捲曲，則 且 。因此應變能為：
當(001)方向的薄膜沿著(hk0)方向捲曲時，其中(hk0)方向與[100]方向夾一角度 φ，
則應變能將變為：
假如薄膜沿著〈110〉方向捲曲，φ=45°，其中 ，且 ， 則 。因此我們可知，當薄膜沿著〈100〉方向捲曲時，其應變能為最小值，
所以捲管會偏好沿著〈100〉方向捲曲。
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2.3 半導體微米捲管環形共振腔之光學共振模態
半導體微米捲管的管壁是由應變雙層薄膜所組成的，若是我們在應變雙層薄膜當中 成長量子點(或是量子井)的結構，則量子點(或量子井)就會在捲管管壁中形成一個具有 光學活性的區域(optically active region)。此外，由於量子點(或量子井)周圍的半導體材料 以及空氣其等效折射率 neff較低，因此便形成了一個有效的波導結構，而樣品薄膜由原 先的二維平面捲起後形成的三維捲管更是加強了此波導結構的特性。
在光激發量測捲管的光學特性時，當雷射光源打在捲管上便會在雷射光的焦點附近 產生(generation)電子與電洞，接著電子與電洞會迅速在光學活性區形成激子(exciton)，
並產生輻射複合(radiative recombination)而放出光子。當產生的光波能夠滿足在管壁以及 空氣介面之間形成全反射的條件時，則光波便會在垂直於捲管軸向(z 方向)的圓周方向 上形成建設性干涉，並且在環繞圓周一圈後維持相同的相位，圖 2.3.1 即為光波在捲管 中全反射的示意圖。因此，我們在量測捲管的光學特性時，被局限在捲管圓周方向上的 光波便會在相對寬廣的量子點(或量子井)發光波段上產生一系列尖銳且等距的訊號波峰，
即為半導體微米捲管環形共振腔的光學共振模態(Optical Resonance Modes, ORMs)。
圖 2.3.1 光波在微米捲管管壁中全反射的示意圖
根據文獻[16]的研究結果可得知，局限於捲管中的光波其電場主要是平行分布於捲 管管壁的，因此我們可以利用等效的二維平面波導模型(planar dielectric waveguide model) 來分析捲管的光學共振模態[17]。圖 2.3.2 即為等效二維平面波導模型的示意圖，模型中 的 z 及 l 方向分別為捲管的軸向以及沿著捲管圓周的方向。
z
D
Semiconductor neff~3.5 Air neff=1
λ
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圖 2.3.2 等效二維平面波導模型示意圖 [18]
由純量的亥姆霍茲方程式(scalar Helmholtz equation)可得到下式：
(2.3) 其中 為電場分布， 為真空波向量(vacuum wave vector)。
由於捲管軸向的電場變化極小，因此可將電場拆成軸向及圓周方向兩個分項，
是沿著 z 方向的橫向電場分布，而 β 則為沿著 l 方向的傳播常數(propagation constant)，
即將電場分布近似為 ，將其代入上式可得到公式(2.4)。由於公式(2.4) 的形式類似於薛丁格方程式，因此稱為 photonic quasi-Schrödinger equation，利用此公式 並配合數值解可以求得捲管的光學共振軸向模態(axial modes)。
(2.4) 而再將邊界條件代入，則可得到方位角的共振條件(azimuthal resonance condition)，
即為環繞捲管圓周方向的主要共振模態條件，如公式(2.5)及公式(2.6)所示：
(2.5) (2.6) 在達到共振的情況下，捲管中的光波會滿足上面兩個式子，其中 neff為半導體捲管 材料的等效折射率(effective index of refraction)，D 為捲管直徑(也就是共振腔長度=捲管 圓周長=πD)，m 為方位角模數(azimuthal mode number)，λ 為在捲管中的光波波長。
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