第二章、 宇宙的視界
2.21 可見宇宙的大小
可見宇宙的大小，常被誤認為如圖 9 左圖所示的範圍。假設最遙遠星系的可見光子是在 大霹靂後不久發出，星光在傳播的過程中波長不變。若以現在最為人採納的宇宙基準模 型（the Benchmark ΛCDM model，詳見第 2.3 節）來討論，因為光已走了 140 億年，故推 斷可觀測的宇宙大小為 140 億光年。事實上，由於空間不斷地膨脹，光子行進的同時，
波長隨著空間膨脹而變長。實際上光所傳播的距離，約是空間不膨脹時所走距離的 3 倍，
故可見宇宙的大小約為 460 億光年，如圖 9 右圖所示。
圖 9：可見宇宙的大小？
460億光年 140億光年
2.22 星系會遠離的比光速還快 星系會遠離的比光速還快 星系會遠離的比光速還快 星系會遠離的比光速還快？ ？ ？ ？違反狹義相對論 違反狹義相對論 違反狹義相對論 違反狹義相對論？ ？ ？ ？
宇宙中星系遠離我們的現象，其原因常被誤解為星系是以本動速度vpec穿越空間，如圖 10 左圖所示。根據哈伯定律，越遠的星系，遠離我們的速度越快，到了一定距離之外的 星系，其後退速率應比光速還快。這似乎違反狹義相對論關於物體運動速度的物理定律，
因為狹義相對論認為光速是一切物體運動速度的極限，所以星系的速度最後只能趨於光 速。事實上，在膨脹的空間中，星系即使本身靜止在共動座標中，也會因為空間本身的 膨脹而遠離我們，因此我們所觀測到的星系後退速度，並沒有違背狹義相對論的問題。
星系的遠離速度隨距離增加而加快，只要在哈伯球之外，後退速度可大於光速（如圖 10 右圖所示）。
圖 10：星系會遠離的比光速還快？違反狹義相對論？
距離 星
系 速 度 A
B
C D 光速
A B C D
A B C D
A B C D
距離 星
系 速
度 A B
C D 光速
A B C D
後退速度並非是星系本身穿越空間之運動所造成，而是源自於空間本身的膨脹。這
退速度原本大於光速，但會逐漸轉進入亞光速區，故我們可觀測到位於哈伯球外的星系 B 所發出的訊號。但星光被觀測到時，星系本身仍後退遠離我們，較發出訊號當下離我 們更遠。此常見的誤解，若以粒子視界來說明，將更清楚扼要：只要星系所在位置位於 粒子視界內，該星系遲早會被觀測到。
圖 11：可見到後退速度大於光速的星系？
2.3ΛCDM 基準模型的宇宙視界 基準模型的宇宙視界 基準模型的宇宙視界 基準模型的宇宙視界
ΛCDM 模型所模擬的宇宙，是由冷黑暗物質（cold dark matter）和宇宙常數（cosmology constant）所組成，且密度參數總和為1 的平坦宇宙。因為對照目前天文觀測的結果，發 現在此類模型中具備(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)的模型，最接近可觀測宇宙的真實狀況，所以 有人把這一特殊的冷暗物質模型稱為宇宙學的基準模型（the Benchmark Model）。
A B A B
Davis & Lineweaver（2003）以宇宙時繪製三張時空圖[1]，而本文以尺度因子取代宇 宙時重新繪圖：圖 12 的上方（圖 12-1）是尺度因子a(t)和物理距離 D 的關係；中間（圖 12-2）是尺度因子和共動距離χ的關係；下方（圖 12-3）則是共形時（conformal time）
τ
和共動距離的關係。本節中，尺度因子討論的範圍從a(t)=0→a(t)=2，描繪我們看到 的宇宙視界之意象。圖中的咖啡色的線段表示星系的世界線，圖上有標示出各世界線的 紅移大小，不同顏色的線段則代表不同的物理量。圖 12：Benchmark Model 的時空圖
圖 12-1，討論物理距離，也就是觀察者真實看到的宇宙圖像。過去光錐的時空形狀 呈現水滴型，也就是光錐的斜率不固定，朝向我們的速度是vrec− 。當尺度因子c a(t)=0 時，水滴形的光錐，形狀開始向外延伸，代表此時光子位於哈伯球之外，星系的後退速 度大於光速。光錐向外延伸到開始向內收攏的轉折點，代表哈伯半徑變大，使星系發出 的光進入亞光速區內，因此光子開始向我們靠近。所以，原本位於哈伯半徑外的星系所 發出的光，最終會被觀測者接收。圖 12-2 和圖 12-3 清楚可見，紅移大於 1.5 的星系，後 退速度皆大於光速，但均可被觀測到。
事件視界是指觀測者結束觀測時，所看到的最後光錐。若觀測到的時刻是光錐走到 宇宙盡頭之時（tend =∞），則從(7)式和(22)式中，可發現兩種情況。第一，在共動座標 中，當tend =∞時，事件視界會落在座標原點之觀測者的位置（χ =0）。第二，當tend =∞ 時，可從圖 12-2 發現，過去光錐形狀等同於事件視界。[1]
圖 12-2 和圖 12-3 討論共動距離：觀察者所在的區域為局部慣性參考系（local inertial frame），星系無本動速度，故星系皆靜止在原來的座標上。圖 12-3，將宇宙時 t （proper time）轉換為共形時
τ
（conformal time），此時相關的物理量皆呈直線，和靜態宇宙類似，Particle Horizon Event Horizon
Past Light Cone Hubble Radius
表一：不同模型的減速參數和哈伯半徑
方便討論。舉例來說，第一：在共動座標和共形時之時空圖中，光錐的斜率為正負 1，
即光子傳遞速度為光速c 之意。第二，在共動座標和尺度因子之時空圖中，a(t)=0的光 錐似乎逐漸水平延伸到無窮大，意謂可見宇宙的大小為無限大？這是不可能的。若輔以 圖 12-3 來觀察，可清楚看到過去光錐和世界線交錯之處，也就是現今粒子視界的大小為 有限值。基準模型的粒子視界大小約 46 億光年。宇宙的年齡是從星系發出訊號開始計 算，到未來某時刻被觀測到時，光所經歷的時間，現今宇宙的年齡大小約 135 億年。在 圖 12 三張圖中都可發現，粒子視界和事件視界的距離比值約為 3 [1]。
2.4 不同宇宙模型宇宙視界的比較 不同宇宙模型宇宙視界的比較 不同宇宙模型宇宙視界的比較 不同宇宙模型宇宙視界的比較
本節討論在尺度因子a(t)=0→a(t)=2的範圍下，平坦、開放、封閉等五種宇宙模型視 界的比較，如圖 13 至圖 17 所示。五種宇宙模型由表一所示。
不論是靜態或動態的宇宙，則粒子視界一定存在。在 ΩΛ＞0 的模型中，宇宙加速膨 脹，光子因空間膨脹，所走的距離較多，粒子視界明顯較大。Benchmark Model 的粒子 視界大小約為 46Glyr，De Sitter universe 宇宙粒子視界只有約 30Glyr，會塌縮的宇宙模 型：(ΩΜ，ΩΛ)＝(2，0)，其粒子視界甚至小於 10Glyr，看到的宇宙資訊最少。
不論是平坦、封閉或開放的宇宙，物理座標中過去光錐，形狀皆為水滴型，在共動 座標中都呈現錐形。各種模型宇宙物質能量密度不同，故過去光錐向內彎的時間點各模
名稱 宇宙模型 q(t) 哈伯半徑 DH 宇宙模式
Einstein De Sitter model (ΩΜ，ΩΛ)=(1，0) q＞-1 變大 平坦 An closed model (ΩΜ，ΩΛ)=(2，0) q＞-1 變大 封閉 Benchmark model (ΩΜ，ΩΛ)=(0.3，0.7) q＞-1→q＝-1 變大至趨於定值 平坦 An open model (ΩΜ，ΩΛ)=(0.3，0) q＞-1 變大 開放 De Sitter model (ΩΜ，ΩΛ)=(0，1 ) q＝-1 定值 暴脹
型不盡相同。
圖 14：(ΩM，ΩΛ)=(1，0)的時空圖
圖 15：(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的時空圖
圖 16：(ΩM，ΩΛ)=(0.3，0)的時空圖
圖 17：(ΩM，ΩΛ)=(0，1)的時空圖
第三章 第三章 第三章
第三章、 、 、宇宙膨脹 、 宇宙膨脹 宇宙膨脹 宇宙膨脹
3.1 宇宙膨脹本質的討論 宇宙膨脹本質的討論 宇宙膨脹本質的討論 宇宙膨脹本質的討論
1993 年，Martin Rees & Steven Weinberg 提出對空間膨脹的質疑[3]：『在徹底空無的宇宙，
空間如何無端膨脹呢？』前兩章所探討的宇宙樣貌，皆在宇宙空間會膨脹的前題下運作，
然而空間真會膨脹嗎？若然，是什麼原因造成空間膨脹？
一般書籍在說明「星系因空間膨脹而相互遠離」時，常以氣球來作說明：在氣球上 繪製數點當作星系，吹氣使氣球膨脹變大，從而使其上的星系間距拉大。這種看似簡單 易懂的舉例，在描述星系遠離的本質上，卻會造成諸多似是而非的論點[2]。氣球因受到 壓力差以致於體積膨脹，站在三維的空間中觀看，彎曲的橡皮面有膨脹中心，膨脹時氣 球表面往周圍的空間散布出去。因此常有人誤解，認為宇宙中星系彼此遠離，是星系間 產生新的空間，推擠原本的空間所致。事實上，氣球的比喻不能引申過頭，廣義相對論 中，空間是動態的，空間可自行膨脹、收縮、彎曲，而不假外力，且宇宙具有均勻、等 向的特性，膨脹時並無膨脹中心。
星系分離之因，源於宇宙物質的平均能量密度改變，造成時空度規的變化，致使空 間膨脹，造成星系距離增加；這是純粹廣義相對論的效應，無法以牛頓力學來解釋[15]。 John Wheeler 巧妙闡述出上述情況[3]：Matter tells Spacetime how to curve，and Spacetime tells matter how to move.
第三章第二節，我們將說明宇宙空間膨脹對星系之影響。
3.2 用 用 用 用「 「 「 「繫 繫 繫 繫鏈 鏈 鏈 鏈星系 星系 星系 星系」 」 」 」探討宇宙膨脹的效應 探討宇宙膨脹的效應 探討宇宙膨脹的效應 探討宇宙膨脹的效應
Harrison 在1995 年提出的想像實驗「繫鏈星系」（tethered galaxy），是了解空間膨脹本 質，及探討空間膨脹對星系影響的良好實驗，此實驗同時彰顯出，以氣球膨脹來類比宇 宙膨脹的錯誤之處。假設有一星系在離我們 100 Mpc 之處（符合宇宙學大尺度的要求），
本動速度為−vpec，並考慮空間膨脹之影響，令後退速度為v 。若假設rec vrec =−vpec，則星 系初速為零靜止於宇宙中，試問下一瞬間，星系之運動情況為何？[7]
圖 18：繫鏈星系
圖 18：在膨脹的宇宙中，星系皆符合哈伯定律。圖 18 中，小星系和大星系的物理距離 為 D，大星系內的觀測者，認為三個小星系都有後退速度v ，同理，位於小星系的觀察rec 者也觀測到大星系有同樣的後退速度v 。假想其中一個小星系被大星系用鏈條栓住，我rec 們稱此小星系為繫鏈星系。繫鏈星系的運動速度和後退速度等大小，位於大星系中的觀 察者會認為繫鏈星系瞬間靜止於時空中。繫鏈星系想討論的問題是：假設我們能弭平因 宇宙膨脹造成的後退速度，則瞬間靜止在時空中的星系，受到空間膨脹的影響後會如何
運動？藉此看清宇宙膨脹對星系之影響。
星系會有何種運動，端看星系遵守何種動力學的機制。部分宇宙學家從牛頓力學的 角度來討論宇宙膨脹：他們認為星系像是漂流在某種具有黏滯力的河流上，此力趨使星 系遠離，且星系在遠離觀測者時，受到力的驅動產生一相對觀測者的末速度vpec。然而 此種解釋沒有明確指出宇宙膨脹的成因，亦無說明黏滯力和尺度因子的關係，僅是概念
D D
上的推論，並不真確。事實上，空間膨脹須以廣義相對論解釋，而『膨脹』為以廣義相 對論出發，伴隨而來之『效應』。
討論其速度，定義繫鏈星系的速度即物理距離Ｄ對宇宙時之微分vtot =D& ：
D& =a&χ+aχ&， (29) vtot =vrec+vpec。 (30)
於(30)式，我們看到繫鏈星系的速度其實包含本動速度和後退速度的影響。本動速度vpec 是由靜止在哈伯流的觀測者來分析，不可能大於光速，而後退速度vrec的大小，根據哈伯 定律，若距離夠遠，則星系後退速度vrec的大小並無上限，因此有可能看到整體速度大於
於(30)式，我們看到繫鏈星系的速度其實包含本動速度和後退速度的影響。本動速度vpec 是由靜止在哈伯流的觀測者來分析，不可能大於光速，而後退速度vrec的大小，根據哈伯 定律，若距離夠遠，則星系後退速度vrec的大小並無上限，因此有可能看到整體速度大於