宇宙視界及宇宙膨脹的探討

全文

(1)國立台灣師範大學物理學研究所碩士論文指導教授：李沃龍. 宇宙視界及宇宙膨脹的探討 Exploring cosmological horizons and the expanding universe. 研究生：蕭佩欣. 撰. 中華民國九十七年六月.

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(4) 宇宙視界及宇宙膨脹的探討摘要大霹靂理論無疑是近代物理學中最迷人和最重要的理論之一。然而，在大霹靂理論中常被提及的空間膨脹，卻也是最易被誤解的物理概念之一。本文透過對宇宙學上三種視界—粒子視界、事件視界和哈伯半徑－之探討，試圖釐清各種不同的膨脹宇宙模型的樣貌。我們同時也討論常令人困惑的宇宙紅移與距離和速度的關係。最後，根據 Harrison 在 1995 年所提出「繫鏈星系」這個假想實驗的機制來鑽研宇宙膨脹的本質，以及空間膨脹在各種不同宇宙模型所造成的影響。.

(5) Exploring cosmological horizons and the expanding universe Abstract The big-bang theory is arguably one of the most fascinating and significant theories in modern physics. However, an expanding space－the major notion of the big-bang cosmology－is also one of the most confusing concepts in modern physics. In this thesis, we first explore various models of expanding universe by virtue of three cosmological horizons, i.e. the particle horizon, the event horizon, and the Hubble radius. We then discuss some of the most perplexing features of the big-bang cosmology, such as cosmological redshifts and the receding velocity of distant galaxies. Finally, based on the gedanken experiment of the “tethered galaxy” proposed by Harrison in 1995, we investigate the very nature of space expansion and its consequences in different cosmological models.. 2.

(6) 致謝辭在師大修習課業的這兩年，生活十分充實緊湊。一邊鑽研學業，一邊打理生計，常覺時間不足，幸好這一路走來，受到很多人的提攜與幫助，才能順利完成學業。首先很感謝我的指導教授-李沃龍老師，老師的個性溫合踏實，每遇到物理上有不解之處，總是細心解釋，對於我尚須打工，未能全心致力於課業，亦是尊重包容，論文的潤稿與口試，老師亦花費很多心血，真的很感激老師的幫忙。另外，也要感謝張嘉泓老師和吳建宏老師，在百忙中擔任我的口試委員，並給予我論文的建議。. 再來，我要感謝實驗室的成員，文傑學長、睿華學長、鴻遠學長與維中。文傑學長為人大方，對於學術上及教職之路，總是很誠懇的解釋說明，祝福你能事事順利；睿華學長對於物理觀念的敏銳，總是能一針見血的點出我觀念的盲點，謝謝你的不吝指教，希望你的出國計畫能順遂，並和女友長長久久；鴻遠學長很有才能與廣度，祝福你能憑藉著能力和自信，走出屬於你的一片天空；在校期間，維中給予我很多課業指點，希望你能順利完成博士學位，達到自己的目標。另外，也十分感謝師大的同學-勁龍，給予我十分多的資訊與鼓勵，實為不可多得之戰友。. 亦感謝我的摯友-秀菁，若沒有妳從旁的扶持與協助，我斷無今日的成就；也感謝我的男朋友-建程，雖然這一年你投入軍旅生活，但因有你的支持與鼓勵、情意相挺，使我心神堅定，大步向前，希望今後我們能繼續並肩努力、共同成長。需要感謝的人何其多，現階段的結束，代表下一個階段的開始，誠心祝福每一位我認識的師長與朋友，並以此文表達我的感激之意。. 蕭佩欣九十七年六月於師範大學. 3.

(7) 目錄摘要............................................................................................................................ 1 Abstract ...................................................................................................................... 2 致謝辭........................................................................................................................ 3 第一章、導論............................................................................................................ 6 1.1 宇宙學背景知識.......................................................................................... 6 1.2 宇宙紅移.................................................................................................... 10 1.3 都卜勒紅移................................................................................................ 11 1.31 都卜勒紅移和宇宙紅移的比較...................................................... 12 第二章、宇宙的視界.............................................................................................. 14 2.1 宇宙視界的介紹........................................................................................ 14 2.11 粒子視界 .......................................................................................... 14 2.12 事件視界.......................................................................................... 15 2.13 哈伯半徑.......................................................................................... 17 2.2 一般人對宇宙膨脹的誤解........................................................................ 19 2.21 可見宇宙的大小.............................................................................. 19 2.22 星系會遠離的比光速還快？違反狹義相對論？.......................... 20 2.23 可見到後退速度比光快的星系？.................................................. 21 2.3ΛCDM 基準模型的宇宙視界.................................................................... 22 2.4 不同宇宙模型宇宙視界的比較............................................................... 25 第三章、宇宙膨脹.................................................................................................. 29 3.1 宇宙膨脹本質的討論................................................................................ 29 3.2 用「繫鏈星系」探討宇宙膨脹的效應.................................................... 30 3.3 膨脹的宇宙模型，膨脹使繫鏈星系最終加入哈伯流............................ 32 3.31 以紅移表示共動距離和物理距離.................................................. 34 3.4 膨脹的加速決定繫鏈星系接近或遠離.................................................... 35 3.41 以尺度因子表示減速參數和物理距離.......................................... 36 3.5 以紅移討論重新收縮的宇宙模型............................................................ 37 3.6 繫鏈星系的紅移........................................................................................ 39 第四章、結論.......................................................................................................... 41 附錄一、狹義相對論的都卜勒公式...................................................................... 42 附錄二、不同組成的宇宙模型.............................................................................. 42 (A)宇宙由物質和宇宙常數組成 .................................................................... 42 (B)宇宙由物質組成 ........................................................................................ 43 (C)宇宙由宇宙常數組成 ................................................................................ 43 (D)宇宙由物質和曲率組成 ............................................................................ 44 附錄三、各種模型哈伯半徑的演化...................................................................... 44 參考資料.................................................................................................................. 46 4.

(8) 圖表目錄圖 1：世界線.............................................................................................................................8 圖 2：過去光錐.........................................................................................................................8 圖 3：宇宙紅移.......................................................................................................................10 圖圖圖圖. 4：都卜勒紅移 vs.宇宙紅移 .............................................................................................13 5：粒子視界.......................................................................................................................15 6：事件視界.......................................................................................................................16 7：粒子視界和事件視界的大小.......................................................................................17. 圖圖圖圖. 8：哈伯半徑.......................................................................................................................18 9：可見宇宙的大小？.......................................................................................................19 10：星系會遠離的比光速還快？違反狹義相對論？.....................................................20 11：可見到後退速度大於光速的星系？ .........................................................................22. 圖圖圖圖圖. 12：Benchmark Model 的時空圖 .....................................................................................23 13：(ΩM，ΩΛ)=(0.3，0.7)的時空圖 .................................................................................26 14：(ΩM，ΩΛ)=(1，0)的時空圖 ....................................................................................... 27 15：(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的時空圖 ....................................................................................... 27 16：(ΩM，ΩΛ)=(0.3，0)的時空圖 .................................................................................... 27. 圖 17：(ΩM，ΩΛ)=(0，1)的時空圖 .......................................................................................28 圖 18：繫鏈星系.....................................................................................................................30 圖 19：以尺度因子表示繫鏈星系的物理距離和共動距離................................................. 33 圖圖圖圖. 20：以紅移表示繫鏈星系的物理距離和共動距離.........................................................35 21：以尺度因子討論減速參數和物理距離的關係.........................................................36 22：以紅移表示繫鏈星系在(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的物理座標和共動座標 .......................38 23：繫鏈星系 vtot=0 和 ztot=0 的關係線...........................................................................40. 表格 1：四種宇宙模型 ...........................................................................................................32 表格 2：(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的宇宙不同時期之物理量 .........................................................39 表格 3：物質主控的世界.......................................................................................................43. 5.

(9) 第一章、第一章、導論 1.1 宇宙學背景知識在目前宇宙學的研究裡，主要是以廣義相對論為基礎，來描述我們所處的這個均勻、等向且不斷膨脹的宇宙。該理論把時間和空間維度結合起來，形成所謂的『時空』，並將重力與時空幾何聯繫在一起，指出物質和能量的分佈導致空間彎曲變形，而彎曲的空間則反過來影響物質的運動。因此，整個宇宙可看成是重力表現的主要實驗室。. 1935 年和 1936 年 Robertson 和 Walker 推導出宇宙的時空幾何可用 Robertson-Walker （RW）度規來表示[1,5].  dr 2  ds 2 = −c 2 dt 2 + a 2 (t )  + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) 。 2 1 − κr . (1). 上式也可寫成. [. ]. ds 2 = −c 2 dt 2 + a 2 (t ) dχ 2 + f κ2 ( χ )(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) ，. (2). 其中. sin χ ，κ = +1，封閉宇宙，似球體的三維空間   fκ ( χ ) =  χ ，κ = 0，平坦宇宙，平坦的三維空間  。 sinhχ，κ = - 1，開放宇宙，雙曲的三維空間    若只考慮觀測者的視線方向(宇宙的徑向)，RW 度規可簡化為 ds 2 = −c 2 dt 2 + a 2 (t )dχ 2。. (3). 此處的 a (t ) 為尺度因子（scale factor），現代宇宙學利用尺度因子來描述宇宙的膨脹[6]。 t 是宇宙時（cosmic time），也就是相對於空間膨脹為靜止之觀測者的時鐘所顯示之時間 [13]. 。本文中當下此刻的物理量，下標以零表示，例如現在的尺度因子 a (t0 ) = a0 = 1 。由. 於宇宙時空呈現均勻且等向的特性，所以宇宙沒有中心。假設在膨脹宇宙的四維時空下，觀測者座落在原點，一遙遠的星系位於同一時間的超曲面（hypersurface）上某處，因此兩者的時間差 dt = 0 ，而 ds = a (t )dχ ，所以此兩點間的物理距離（proper distance）D (t ) [8] 6.

(10) 可表示成 Proper Distance，D (t ) = a (t ) χ 。. (4). 將上式物理距離對時間微分，可得哈伯定律： Recession Velocity， vrec (t , z ) = a& (t ) χ ( z ) = H (t ) D (t ) ，. (5). χ = χ (z ) 代表在時刻 t 紅移為 z 之星系的共動座標（comoving coordinates）， D(t ) 代表我們所看到的星系和我們之間的距離； H ≡ a& / a 是哈伯常數，代表宇宙的膨脹速率。由哈伯定律可知，在任何時間下，星系和我們的距離都和其後退速度成正比。. 由於物理訊息以光速傳遞，我們必須知道光子在彎曲時空裡的運動特性。假設某遙遠的星系發出訊號，由於光在前進時走最短路徑線， ds = 0 ，故 cdt = a (t )dχ 。. (6). 從(6)式，可看出觀測者在膨脹的空間中量得之光速是 c = aχ& ；因此，對於今日的觀測者而言，過往的光速取決於該時刻宇宙與目前宇宙的尺度比例（ χ& = c / a ）[1]。光從發出到，以共動座標被觀測時，觀測者沿著光行經的路徑回溯，稱為過去光錐（past light cone）可表示成 t0. Past Light Cone， χ (tem ) = c ∫. tem. dt 。 a(t ). (7). 世界線（worldline）是物體在四維時空裡位置隨時間演化的軌跡[7]，若某星系的世界線和過去光錐交錯，代表該星系所發出光訊號有可能被觀測到[7]，如圖 1 所示。藉由回溯過去光錐，我們可以勾勒出以往發出訊號的事件與我們之間的時空相對關係。過去光錐是由許多現在距離我們相當遙遠的星系所發出的光組成，如圖 2 所示，若從圓錐頂端出發朝過去前進，則會看到的愈來愈早期的宇宙。以宇宙大霹靂模型討論，由於宇宙一直在擴張，萬物在過去比現在靠近得多；回溯得越久，所深入區域的能量密度就越高。途中會碰到發射『微波輻射背景』（Cosmic Microwave Background, CMB）的最後散射面（last scattering surface）。若不斷倒退，光錐的面積終將到達一個最大的臨界值，接著因能量密度過高而使得光錐開始縮小。因此，過去光錐的樣貌會長的像水滴狀。[12] 7.

(11) 圖 1：世界線 Time Time. reception distance of x. now emission distance of x Time. x. Time. y Space now. Space later Time. Big bang 圖 2：過去光錐觀測者在此刻逆著時間回溯. 觀測者. 時間維度. 遙遠星系 130 億年前的樣子. 空間. 維. 度. 最後散射面高能量密度導致光錐向內彎. 空間維度. 大霹靂奇異點. 圖 1：左圖顯示大霹靂後往各方向散開的世界線，時間由隨著世界線演進的共動觀測者所測量，空間以垂直世界線的球狀超曲面表示。因為宇宙是均勻、等向，因此宇宙沒有特定的中心，不能誤認為大霹靂是由空間中的某一點發生的。右圖，可看出星系訊號發出和被接收時，和我們的時空相對關係，雖然星系 y 的訊號被觀察到時，此刻星系 y 離我們比星系 x 還遠，但當初發射訊號時，則是星系 y 離我們的距離較近。圖 2：觀測遙遠的星系等於觀測早期的宇宙，垂直軸代表時間，兩個水平軸表示三維空間中的兩維，抵達頂點的光線都是沿一個錐面射出。過去光錐的形狀似水滴，逆著時間回溯，光錐在大霹靂時刻，收縮成物質能量密度無限大的一奇異點。[12]. 8.

(12) 為能清楚討論各種宇宙視界，可將無窮延伸的宇宙時距 dt （cosmic time interval）轉換為有限的共形時距 dτ （conformal time interval），兩者的關係如下： dτ =. dt 。 a (t ). (8). 隨時間改變的宇宙尺度因子 a(t)，是由宇宙膨脹方程式 Friedmann equation、能量守恆方程式、宇宙加速方程式決定：[6] 2.  a&  8πGρ M Λ κ + − 2 ， H2 =  = 3 3 a a. (9). ρ& = −3H ( ρ + p)，. (10). a&& Λ 4πG = − ( ρ + 3 p )。 a 3 3. (11). 今視宇宙常數與曲率為宇宙物質與能量之一種成份，忽略輻射，若. ρc =. 3H 02 3H 2 Λ ，ρΜ = ，ρ Λ = ， 8πG 8πG 8πG. (12). 則宇宙膨脹方程式可寫成： H2 =. 8πG ( ρ Μ + ρ Λ + ρκ ) 。 3. (13). 若定義某成分密度參數為 Ω i = ρ i 0 ρ c ，則宇宙組成之密度參數的總和為 1：. Ω Μ + Ω Λ + Ωκ = 1 。. (14). 不同模型的尺度因子形式不同；在討論由宇宙常數與及冷暗物質所組成之平坦宇宙模型（ΛCDM）時，從 Friedmann equation 可以導出   1  a& (t ) = a 0 a& = a 0 H 0 1 + Ω M  − 1 + Ω Λ a 2 − 1  a   . (. 若代換 dt = da / a& ，則上述物理量都可整理為和宇宙時距有關。. 9. ). 1/ 2. 。. (15).

(13) 圖 3：宇宙紅移. emission. reception. λ0. λ. 圖 3：宇宙紅移的大小和星光從發射到被接收時的波長偏移量有關。若波長偏移越多，則紅移越大，代表光所走的距離越長，所以星光是從距離我們更遙遠的過往年輕宇宙所發出。紅移的大小和後退速度無關。. 1.2 宇宙紅移在一定的條件下，遙遠星系所發射的光在膨脹的宇宙中傳遞，可被觀測者接收。因為空間膨脹，光在行走的過程中波長被拉長，其增加量和尺度因子的增加量成正比，如圖 3 所示。 λ 和 λ0 分別表示星光發射時和被觀測者接收到時波長的大小， a 和 a 0 分別表示訊號發射和接收到時尺度因子的大小，則. λ0 a 0 = 。 λ a. (16). 通常，我們以觀測到的波長偏移量 λ0－λ 除以發射時真正的波長大小 λ 來表示紅移，即 z = (λ0 − λ ) / λ 。因此 1+ z =. λ0 。 λ. (17). 由式子(16)和式子(17)，可得到宇宙紅移和尺度因子的關係式 1+ z =. a0 。 a. (18). 從定義可發現膨脹的紅移事實上和星系真正的後退速度無關。式子(18)是宇宙時空大小理論和觀測的對應，式子(5)則是星系之速度和距離的關係式，兩者是宇宙學中最重要的式子。. 10.

(14) 藉由觀測紅移，可由式子(18)推斷在光的旅程中，宇宙的膨脹情況。在膨脹的宇宙中，宇宙紅移的範圍在 0 到∞的區間，因為式子（18）中尺度因子的範圍是從 a0 到 0。令此刻的尺度因子 a 0 = 1 ，則紅移 z = 0 。在膨脹的宇宙中，當測量遙遠星光的紅移為 z = 1 時，代表發射訊號時宇宙的尺度因子 aemit = 1 2 ；當測量到紅移 z = 2 時， aemit = 1 3 ，即紅移越大，發射訊號時的宇宙尺度越小。星系現在距離我們越遠，其發光時的年齡也越輕，若能觀測到越大的紅移，越能幫助我們一窺早期宇宙的樣貌[12]。在塌縮的宇宙模型中，接收到光時宇宙的尺度比其發射光時還小，所以 a0 比 a 還要小，宇宙紅移的範圍介於 0 到－1。負的紅移等同於藍移，假設宇宙現在收縮到其原來大小的一半，則會觀察到 z = −0.5 的藍移。. 紅移觀測有其上限，在大霹靂的理論架構下，宇宙起始於高溫的緻密狀態，所有的粒子都被拆解為最基本的游離態粒子『湯』，而粒子湯的組成則隨宇宙擴張冷卻而瞬息改變。對光子而言，這種游離的電漿態宇宙是不透明的，而複合的原子態宇宙則是透明的。當我們向宇宙深處探索時，我們最多只能測量到宇宙從不透明到透明的交界處所發出的熱輻射，此交界就是前已提過，發射 CMB 的最後散射面。現在已知最後散射面的宇宙尺度約為現在的 10-3，紅移的最大值約為 1100 左右，宇宙紅移只有在宇宙初始或毀滅的瞬間，會發生紅移為無窮大的情況。. 1.3 都卜勒紅移都卜勒紅移是由於觀測者和波源在空間中的相對運動所造成。若只考慮徑向的相對運動，波源以其本動速度（peculiar velocity）v 遠離觀測者，則觀測者接收到的光波長變長。當 v << c 時，觀察到的紅移為 z = v c 。在本動速度與光速相當時， v ~ c ，則觀察到的紅移必須以狹義相對論的都卜勒公式來表示，該公式只適用於沒有重力的情況下，即[附錄一]. z=. 1+ v / c 1− v2 / c2. − 1。. 當 v c 很小時，則(19)式和 z = v c 相符。將(19)式展開移項，可得. 11. (19).

(15) v z 2 + 2z = 2 。 c z + 2z + 2. (20). 當星系的本動速度 v = 0.6c ，則紅移 z=1； v = 0.8c ，z=2； v = c ， z = ∞ 。恆星光譜線的位移顯示恆星循著觀測方向運動的速度，可知波源本身運動的速度越高，觀測到的紅移越大。除非波源的速度非常接近光速，否則都卜勒位移的程度一般都很小[7]。. 1.31 都卜勒紅移和宇宙紅移的比較宇宙紅移的產生，常被誤認為是星系本身正穿過空間在移動，其方向遠離觀測者，故顯現出都卜勒頻移，其發出的光訊號被拉長。拉長後的光波長在穿越宇宙中都不變，觀測者偵測到光後可據以計算出星系的速度（如圖 4 左圖所示）。事實上當觀測者位於星系的共動座標中，會發現星系本身在空間並沒有運動，其四面八方發出的光訊號均等長。由於在光傳播的過程中，空間同時在膨脹，導致最後光波長變長（如圖 4 右圖所示）。因此，宇宙紅移和都卜勒紅移量值大小並不同。. 都卜勒紅移，是因被觀測的星系以本動速度 v pec 穿越宇宙空間所致，不需考慮空間膨脹的效應，紅移大小和星系發出光時，與觀測者的瞬間相對速度有關；觀測到的紅移用 z pec 表示，用狹義相對論來描述。宇宙紅移，是因相對靜止的波源和觀測者，之間的空間膨脹所造成，紅移大小和訊號發出到接收時，光在膨脹的空間中所行走的距離有關；觀測到的紅移用 zrec 表示，這是廣義相對論的結果現，兩者的差別如上所述。. 12. [2]. 。兩種紅移在天文物理中常相伴出.

(16) 圖 4：都卜勒紅移 vs.宇宙紅移. 13.

(17) 第二章、第二章、宇宙的視界 2.1 宇宙視界的介紹人類對宇宙的認識大部分來自於光所提供的資訊，不同時刻波段的光透露出宇宙各時期的樣貌。狹義相對論的第二項假設認為光速是恆常不變，意即，光的傳播速率有其上限，我們能獲得的訊息亦有限制。因此所謂的視界問題，簡要來說，就是光在指定的時程內所能傳播的距離。在了解所謂的粒子視界（particle horizon）、事件視界（event horizon）、過去光錐（past light cone）和哈伯半徑（Hubble radius）之後，我們會對於不同模型的宇宙意像，產生更深的認識。. 2.11 粒子視界如果某星系在宇宙過去的某時刻 t0 發出一道以光速傳遞的訊號，至接收到訊號的觀測時刻 t ，該訊號所能傳播的最大距離 D ph 稱為粒子視界： dt ' 。 t0 a (t ' ). Particle Horizon， D ph = a (t ) χ ph (t ) = c ∫. t. (21). 粒子視界在四維時空中的樣子，是一個球狀的表面，圍繞著位於中心的觀測者[7]。中心的觀測者在 t 時刻，往四面八方看去，所能看到的最大範圍稱為粒子視界。粒子視界之外的訊號，對身處此視界中心的觀測者而言，沒有辦法測量，換句話說，粒子視界也就是觀察者和外界交互作用的最大距離。. 不論空間是否膨脹，只要是時間有個起點的宇宙都擁有粒子視界。因為受限於固定的速度，光從發出到被觀測到所傳播的距離有限，因此宇宙視界是一定存在的。過去光錐和最遠世界線的交錯之處，即為今日的粒子視界（圖 4 以靜態宇宙的圖像做說明）。由於我們看不到發出 CMB 的最後散射面之外的任何事件，因此目前的粒子視界就是最後散射面，其宇宙紅移大小約是 z～1100。. 14.

(18) 圖 5：粒子視界. Time. o. Particle horizon. x. Time. Particle horizon. o. x. y. later. y. now. now Unobserved galaxy beginning. beginning. 圖 5：假設一個靜態但有起始時間的宇宙中，星系均勻散佈。圖左中，星系 x 是和過去光錐交錯的最遠世界線，故可知星系 x 就是時刻 now 的粒子視界，星系 x 之外的星系當下無法被觀測到[7]。圖右顯示，若繼續觀測，則粒子視界會增加，原本因位於粒子視界外觀測不到的星系 y，而後因粒子視界擴大，被收納進入粒子視界內，就可被觀測到。隨著時間增進，會看到越來越大的宇宙範圍. [4]. 。. 2.12 事件視界事件視界的時間順序剛好和粒子視界相反。粒子視界是現在可看到的宇宙最大半徑，事件視界則是在未來可看到的最遠距離。星系在時刻 t 發出訊號，對於在時刻 t f 的未來觀測者而言，必須落在距離 Deh 以內才會收到，此距離稱為事件視界（event horizon）： Event Horizon， Deh = a (t ) χ eh (t ) = c ∫. tf. t. dt ' 。 a (t ' ). (22). 在所有符合 FRW 度規的宇宙模型中，不論宇宙的終極命運是膨脹或塌縮，只要指定結束觀測的時間 t f ，都可以將事件視界呈現出來。根據(7)式，由於事件視界相當於以觀測結束時刻為頂點的最後過去光錐，因此位於事件視界之外的星系，皆不會進入我們的視野之中，如圖 6 右圖所示。. 15.

(19) 圖 6：事件視界 Time. Time. end. end. now. Space. now. unobserved events Space. light cone observable events. observer’s worldine. ultimate light cone. 圖 6：假設一個靜態但有起始時間的宇宙中，星系均勻散佈，時間標示 end 意指觀測者最後得到訊息的時刻 t f 。圖左表示宇宙在 t f = t end 結束觀測（比方說在宇宙終止瞬間，或者星系在那瞬間全部停止發光，宇宙整個變暗等）。事件視界是觀測者在 t f 時刻觀測時，接收到的最後光錐。在事件視界之內的事件最終都會被看見，位在最後光錐之外的事件則永遠看不見。[4]. 粒子視界和事件視界兩者的定義有時間先後順序的不同。若粒子視界是訊號從 t0=0 到 t=tnow 被觀測到，則可將粒子視界比喻為現在可見宇宙的大小，即可獲得事物資訊的視界，意謂外界可影響我們的最大距離。若事件視界是訊號從時刻 t=0 發出到 tf 時結束觀測，因時間差為光訊號從發出到結束所經歷的時間，可將事件視界比喻為宇宙的年齡。. 粒子視界和事件視界兩者的大小有關聯嗎？現以愛因斯坦-狄西特模型（Einstein-de Sitter model：Ω0＝Ωm＝1）來做討論，假設在觀測者的兩側，距離為 L 之處有事件 A 和 B 存在。當我們觀察到 A 和 B 的同時，A、B 可發現彼此的存在嗎？設 A 和 B 的星光傳. 到我們所需要的時間（conformal time）是 T，從圖 7 可知訊號從 A 到 B(或從 B 到 A)所需要的時間是 2T。若宇宙的年齡＞3T，則我們發現 A 和 B 的同時，AB 也接收到彼此的訊號；若宇宙的年齡介於 T~3T 之間，則我們發現 A 和 B 同時，AB 並不清楚彼此的存. 16.

(20) 在。根據先前對事件視界和粒子視界的定義，若宇宙年齡恰為 3T，則事件 B 的事件視界，恰為粒子視界的三分之一。. 圖 7：粒子視界和事件視界的大小 Particle horizon. Time. Space A. O. B. beginning 圖 7：假設在一愛因斯坦-狄西特宇宙中，觀測者看到位於觀測者兩側，距離皆為 L 的事件 A 和 B 同時；若距離 L 比粒子視界的三分之一長度還大，則 A 和 B 並不知道彼此的存在；若觀測者看到 A 和 B 的時候，A 和 B 也看到彼此，此時的事件視界為粒子視界大小的三分之一。. 2.13 哈伯半徑哈伯半徑哈伯球（Hubble sphere）是四維時空中的球狀超曲面，哈伯球的半徑大小稱為哈伯距離（Hubble distance），恰為星系後退速度為光速之處。由(5)式，推得 DH = c H ，其中 H 為哈伯常數。若星系位於哈伯球內，則後退速度小於光速；若位於其外，則星系的後退速度大於光速。星系距離與哈伯半徑（或哈伯距離）以及星系後退速度的對應關係如下： D<. c ， vrec < c ； H. (23). D=. c ， vrec = c ； H. (24). D>. c ， vrec > c 。 H. (25). 星系座落的位置不同，則有不同的後退速度(如圖 8 所示)。由此可知哈伯半徑基本上是 17.

(21) 一個描述光子動力學的分水嶺，而非一種宇宙視界[1]。假使哈伯半徑真的是可見宇宙的大小，則在靜態宇宙中( H 0 = 0 )，可見的宇宙大小將變成無窮大( DH = ∞ )，但靜態宇宙在有限的時間內，可看到的粒子視界是有限的，因此可推得哈伯半徑並非粒子視界[7]。. 圖 8：哈伯半徑 c c. c c. The Hubble sphere. Observer A c. c. B. C. cc. 圖 8：星系座落的位置不同則有不同的後退速度。星系 A 在此刻位於哈伯球內，後退速度為亞光速( D <. c ， vrec < c )，朝向我們發出的光會接近我們。星系 C 在此刻位於哈伯 H. 球之外，後退速度為超光速( D >. c ， vrec > c )。乍看之下，星系 C 朝向我們發出的光子 H. 無法接近我們。位於哈伯球上的星系 B 上所發出的星光，因後退速度恰為光速，淨速度為零，所以此刻星系 B 發出的光子仍然靜止在原地[1]，似乎也無法接近我們。. 由於哈伯常數代表宇宙的擴張速率，基本上我們可用 H 來決定宇宙的時空尺度。哈伯常數是宇宙學中重要的觀測物理量，本文中的相關計算，均假設目前的哈伯常數值為 H0=70 kms-1Mpc-1。此常數值所對應的哈伯半徑 DH 約等於 140 億光年的距離[1]。. 在宇宙暴脹期間，宇宙的膨脹速率大於光速，因此常有人有誤解 vrec > c 只發生在宇宙暴脹期間，而將暴脹視為『超光速膨脹』。這種說法暗指在非暴脹期間，宇宙沒有超光速膨脹。事實上不論宇宙是否在暴脹，只要星系距離大於哈伯半徑，後退速度必然超過光速。. 18.

(22) 2.2 一般人對宇宙膨脹的誤解大霹靂學說是天文物理中普遍為大家所接受的宇宙模型，但其中卻包含不少一般人對於宇宙膨脹等基本概念常見的誤解與困惑，本節將解釋並釐清其中三項基本概念。. 2.21 可見宇宙的大小可見宇宙的大小，常被誤認為如圖 9 左圖所示的範圍。假設最遙遠星系的可見光子是在大霹靂後不久發出，星光在傳播的過程中波長不變。若以現在最為人採納的宇宙基準模型（the Benchmark ΛCDM model，詳見第 2.3 節）來討論，因為光已走了 140 億年，故推斷可觀測的宇宙大小為 140 億光年。事實上，由於空間不斷地膨脹，光子行進的同時，波長隨著空間膨脹而變長。實際上光所傳播的距離，約是空間不膨脹時所走距離的 3 倍，故可見宇宙的大小約為 460 億光年，如圖 9 右圖所示。. 圖 9：可見宇宙的大小？. 140 億光年. 460 億光年. 19.

(23) 2.22 星系會遠離的比光速還快？星系會遠離的比光速還快？違反狹義相對論？違反狹義相對論？宇宙中星系遠離我們的現象，其原因常被誤解為星系是以本動速度 v pec 穿越空間，如圖 10 左圖所示。根據哈伯定律，越遠的星系，遠離我們的速度越快，到了一定距離之外的. 星系，其後退速率應比光速還快。這似乎違反狹義相對論關於物體運動速度的物理定律，因為狹義相對論認為光速是一切物體運動速度的極限，所以星系的速度最後只能趨於光速。事實上，在膨脹的空間中，星系即使本身靜止在共動座標中，也會因為空間本身的膨脹而遠離我們，因此我們所觀測到的星系後退速度，並沒有違背狹義相對論的問題。星系的遠離速度隨距離增加而加快，只要在哈伯球之外，後退速度可大於光速（如圖 10 右圖所示）。. 圖 10：星系會遠離的比光速還快？違反狹義相對論？. A. B. A. 星系速度. C. B. A. D. C. D. A. 星系速度. 光速 C. B. D. B A. 距離. C. B. D. C. D. 光速 D C B A. 距離. 20.

(24) 後退速度並非是星系本身穿越空間之運動所造成，而是源自於空間本身的膨脹。這是廣義相對論的必然效應，並不受到狹義相對論所限制，所以和狹義相對論並沒有矛盾。因為相對於哈伯流靜止的觀測者，絕不會看到星系有超光速的運動。在所有均勻且等向的膨脹宇宙模型中，星系的後退速度都有可能高於光速. [1]. 。. 從紅移討論狹義相對論和廣義相對論的差異，兩者對於紅移和速度的關係如下[8]： GR，vrec (t ) =. z dz ' c a& (t ) ∫ ， 0 H ( z' ) a0. (26). (1 + z ) 2 − 1 。 (1 + z ) 2 + 1. (27). SR，v pec ( z ) = c. 若後退速度用狹義相對論解釋，則位於哈伯球上的星系，將呈現出無限大的紅移。然而這與觀測明顯不合，所以星系在宇宙中的後退速度，須利用廣義相對論才能適當解釋。. 2.23 可見到後退速度比光快的星系？可見到後退速度比光快的星系？從哈伯半徑的定義，已知星系若位於哈伯距離之外，則遠離速度比光速還快。那麼這樣的星系所發出的訊號能被觀測到嗎？. 圖 11 之左圖顯示一般人對此問題的誤解：位於哈伯半徑外的星系，向我們投射訊號。但因光速永遠小於該星系的後退速度，其所發出之光子雖想靠近我們，但因空間膨脹的關係而被拖曳，因此會逐漸遠離我們，所以我們基本上看不到後退速度大於光速的星系。事實上，位於超光速區的光子原本的確無法接近我們，但哈伯距離並非定值，而是隨著時間改變。哈伯半徑隨著時間增加而變大這個事實，改變了我們對此問題的看法。. 在減速膨脹的宇宙中， a& 減少， H 減少，哈伯半徑 DH 變大；在加速膨脹的宇宙，因為 a& 的增加比 a 還慢，所以 a& 增加時， H 還是減少，哈伯半徑 DH 依舊變大。隨著時間演進，哈伯球會擴大範圍把原在哈伯球外傳遞的光子納入，所以我們可以見到後退速度比光速還快的星系。圖 11 右圖顯示哈伯半徑會隨時間增加：星系 B 所發出的光子，其後 21.

(25) 退速度原本大於光速，但會逐漸轉進入亞光速區，故我們可觀測到位於哈伯球外的星系 B 所發出的訊號。但星光被觀測到時，星系本身仍後退遠離我們，較發出訊號當下離我. 們更遠。此常見的誤解，若以粒子視界來說明，將更清楚扼要：只要星系所在位置位於粒子視界內，該星系遲早會被觀測到。. 圖 11：可見到後退速度大於光速的星系？. A. B. A. B. 2.3ΛCDM 基準模型的宇宙視界 ΛCDM 模型所模擬的宇宙，是由冷黑暗物質（cold dark matter）和宇宙常數（cosmology constant）所組成，且密度參數總和為 1 的平坦宇宙。因為對照目前天文觀測的結果，發. 現在此類模型中具備(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)的模型，最接近可觀測宇宙的真實狀況，所以有人把這一特殊的冷暗物質模型稱為宇宙學的基準模型（the Benchmark Model）。. 22.

(26) Davis & Lineweaver（2003）以宇宙時繪製三張時空圖[1]，而本文以尺度因子取代宇. 宙時重新繪圖：圖 12 的上方（圖 12-1）是尺度因子 a (t ) 和物理距離 D 的關係；中間（圖 12-2）是尺度因子和共動距離 χ 的關係；下方（圖 12-3）則是共形時（conformal time）τ. 和共動距離的關係。本節中，尺度因子討論的範圍從 a (t ) = 0 → a (t ) = 2 ，描繪我們看到的宇宙視界之意象。圖中的咖啡色的線段表示星系的世界線，圖上有標示出各世界線的紅移大小，不同顏色的線段則代表不同的物理量。. 圖 12：Benchmark Model 的時空圖. 23.

(27) Particle Horizon Event Horizon. Past Light Cone Hubble Radius. 圖 12-1，討論物理距離，也就是觀察者真實看到的宇宙圖像。過去光錐的時空形狀呈現水滴型，也就是光錐的斜率不固定，朝向我們的速度是 v rec −c 。當尺度因子 a (t ) = 0 時，水滴形的光錐，形狀開始向外延伸，代表此時光子位於哈伯球之外，星系的後退速度大於光速。光錐向外延伸到開始向內收攏的轉折點，代表哈伯半徑變大，使星系發出的光進入亞光速區內，因此光子開始向我們靠近。所以，原本位於哈伯半徑外的星系所發出的光，最終會被觀測者接收。圖 12-2 和圖 12-3 清楚可見，紅移大於 1.5 的星系，後退速度皆大於光速，但均可被觀測到。. 事件視界是指觀測者結束觀測時，所看到的最後光錐。若觀測到的時刻是光錐走到，則從(7)式和(22)式中，可發現兩種情況。第一，在共動座標宇宙盡頭之時（ tend = ∞ ）中，當 tend = ∞ 時，事件視界會落在座標原點之觀測者的位置（ χ = 0 ）。第二，當 tend = ∞ 時，可從圖 12-2 發現，過去光錐形狀等同於事件視界。[1]. 圖 12-2 和圖 12-3 討論共動距離：觀察者所在的區域為局部慣性參考系（local inertial frame），星系無本動速度，故星系皆靜止在原來的座標上。圖 12-3，將宇宙時 t （proper time）轉換為共形時 τ （conformal time），此時相關的物理量皆呈直線，和靜態宇宙類似， 24.

(28) 方便討論。舉例來說，第一：在共動座標和共形時之時空圖中，光錐的斜率為正負 1，即光子傳遞速度為光速 c 之意。第二，在共動座標和尺度因子之時空圖中， a (t ) = 0 的光錐似乎逐漸水平延伸到無窮大，意謂可見宇宙的大小為無限大？這是不可能的。若輔以圖 12-3 來觀察，可清楚看到過去光錐和世界線交錯之處，也就是現今粒子視界的大小為有限值。基準模型的粒子視界大小約 46 億光年。宇宙的年齡是從星系發出訊號開始計算，到未來某時刻被觀測到時，光所經歷的時間，現今宇宙的年齡大小約 135 億年。在圖 12 三張圖中都可發現，粒子視界和事件視界的距離比值約為 3 [1]。. 2.4 不同宇宙模型宇宙視界的比較本節討論在尺度因子 a (t ) = 0 → a (t ) = 2 的範圍下，平坦、開放、封閉等五種宇宙模型視界的比較，如圖 13 至圖 17 所示。五種宇宙模型由表一所示。表一：不同模型的減速參數和哈伯半徑名稱. 宇宙模型. Einstein De Sitter model. (ΩΜ，ΩΛ)=(1，0). q(t) q＞-1. An closed model. (ΩΜ，ΩΛ)=(2，0). q＞-1. Benchmark model. 哈伯半徑 DH. 宇宙模式. 變大. 平坦. 變大. 封閉. (ΩΜ，ΩΛ)=(0.3，0.7) q＞-1→q＝-1 變大至趨於定值. 平坦. An open model. (ΩΜ，ΩΛ)=(0.3，0). q＞-1. 變大. 開放. De Sitter model. (ΩΜ，ΩΛ)=(0，1 ). q＝-1. 定值. 暴脹. 不論是靜態或動態的宇宙，則粒子視界一定存在。在 ΩΛ＞0 的模型中，宇宙加速膨脹，光子因空間膨脹，所走的距離較多，粒子視界明顯較大。Benchmark Model 的粒子視界大小約為 46Glyr，De Sitter universe 宇宙粒子視界只有約 30Glyr，會塌縮的宇宙模型：(ΩΜ，ΩΛ)＝(2，0)，其粒子視界甚至小於 10Glyr，看到的宇宙資訊最少。. 不論是平坦、封閉或開放的宇宙，物理座標中過去光錐，形狀皆為水滴型，在共動座標中都呈現錐形。各種模型宇宙物質能量密度不同，故過去光錐向內彎的時間點各模. 25.

(29) 型不盡相同。. 本節五種宇宙模型中，哈伯半徑的大小可表示 DH = c(1 + q) [. 附錄三 ]. 。只要減速參數. q = − a&&a / a& 2 > −1 ，則哈伯半徑會變大。根據減速參數的定義，在平坦的宇宙中，減速參. 數可表示成[2]： −1.  Ω  1  q (a ) =  M − Ω Λ a 2  1 + Ω M  − 1 + Ω Λ a 2 − 1  。  2a  a  . (. ). (28). 表一列出各種宇宙模型哈伯半徑演化的趨勢。除了 De Sitter Model，其他哈伯半徑會持續隨時間增大。在 De Sitter Model 的宇宙暴脹時期，哈伯球和事件視界重疊，此時哈伯距離才是視界，也就是發生在哈伯半徑外的情況永遠都無法觀察，此模型的粒子視界為無窮大。哈伯半徑固定不變的現象，和 ΩΛ＞0 的永遠膨脹的宇宙漸進行為類似，在 (ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7 )模型可見一般。. 圖 13：(ΩM，ΩΛ)=(0.3，0.7)的時空圖. Particle Horizon Event Horizon. Past Light Cone Hubble Radius. 26.

(30) 圖 14：(ΩM，ΩΛ)=(1，0)的時空圖. 圖 15：(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的時空圖. 圖 16：(ΩM，ΩΛ)=(0.3，0)的時空圖. 27.

(31) 圖 17：(ΩM，ΩΛ)=(0，1)的時空圖. 28.

(32) 第三章、第三章、宇宙膨脹 3.1 宇宙膨脹本質的討論 1993 年，Martin Rees & Steven Weinberg 提出對空間膨脹的質疑[3]：『在徹底空無的宇宙，. 空間如何無端膨脹呢？』前兩章所探討的宇宙樣貌，皆在宇宙空間會膨脹的前題下運作，然而空間真會膨脹嗎？若然，是什麼原因造成空間膨脹？. 一般書籍在說明「星系因空間膨脹而相互遠離」時，常以氣球來作說明：在氣球上繪製數點當作星系，吹氣使氣球膨脹變大，從而使其上的星系間距拉大。這種看似簡單易懂的舉例，在描述星系遠離的本質上，卻會造成諸多似是而非的論點[2]。氣球因受到壓力差以致於體積膨脹，站在三維的空間中觀看，彎曲的橡皮面有膨脹中心，膨脹時氣球表面往周圍的空間散布出去。因此常有人誤解，認為宇宙中星系彼此遠離，是星系間產生新的空間，推擠原本的空間所致。事實上，氣球的比喻不能引申過頭，廣義相對論中，空間是動態的，空間可自行膨脹、收縮、彎曲，而不假外力，且宇宙具有均勻、等向的特性，膨脹時並無膨脹中心。. 星系分離之因，源於宇宙物質的平均能量密度改變，造成時空度規的變化，致使空間膨脹，造成星系距離增加；這是純粹廣義相對論的效應，無法以牛頓力學來解釋[15]。 John Wheeler 巧妙闡述出上述情況[3]：Matter tells Spacetime how to curve，and Spacetime tells matter how to move.. 第三章第二節，我們將說明宇宙空間膨脹對星系之影響。. 29.

(33) 3.2 用「繫鏈星系」星系」探討宇宙膨脹的效應 Harrison 在 1995 年提出的想像實驗「繫鏈星系」（tethered galaxy），是了解空間膨脹本. 質，及探討空間膨脹對星系影響的良好實驗，此實驗同時彰顯出，以氣球膨脹來類比宇宙膨脹的錯誤之處。假設有一星系在離我們 100 Mpc 之處（符合宇宙學大尺度的要求），本動速度為 − v pec ，並考慮空間膨脹之影響，令後退速度為 vrec 。若假設 vrec = −v pec ，則星系初速為零靜止於宇宙中，試問下一瞬間，星系之運動情況為何？[7]. 圖 18：繫鏈星系 D. D. 圖 18：在膨脹的宇宙中，星系皆符合哈伯定律。圖 18 中，小星系和大星系的物理距離為 D，大星系內的觀測者，認為三個小星系都有後退速度 vrec ，同理，位於小星系的觀察者也觀測到大星系有同樣的後退速度 vrec 。假想其中一個小星系被大星系用鏈條栓住，我們稱此小星系為繫鏈星系。繫鏈星系的運動速度和後退速度等大小，位於大星系中的觀察者會認為繫鏈星系瞬間靜止於時空中。繫鏈星系想討論的問題是：假設我們能弭平因宇宙膨脹造成的後退速度，則瞬間靜止在時空中的星系，受到空間膨脹的影響後會如何運動？藉此看清宇宙膨脹對星系之影響。. 星系會有何種運動，端看星系遵守何種動力學的機制。部分宇宙學家從牛頓力學的角度來討論宇宙膨脹：他們認為星系像是漂流在某種具有黏滯力的河流上，此力趨使星系遠離，且星系在遠離觀測者時，受到力的驅動產生一相對觀測者的末速度 v pec 。然而此種解釋沒有明確指出宇宙膨脹的成因，亦無說明黏滯力和尺度因子的關係，僅是概念 30.

(34) 上的推論，並不真確。事實上，空間膨脹須以廣義相對論解釋，而『膨脹』為以廣義相對論出發，伴隨而來之『效應』。. 討論其速度，定義繫鏈星系的速度即物理距離Ｄ對宇宙時之微分 vtot = D& ： D& = a&χ + aχ& ，. (29). vtot = vrec + v pec 。. (30). 於(30)式，我們看到繫鏈星系的速度其實包含本動速度和後退速度的影響。本動速度 v pec 是由靜止在哈伯流的觀測者來分析，不可能大於光速，而後退速度 vrec 的大小，根據哈伯定律，若距離夠遠，則星系後退速度 vrec 的大小並無上限，因此有可能看到整體速度大於光速的星系。. 那麼，星系到底會如何運動？是前進、後退，亦或停滯原地？吾人可藉由觀察繫鏈星系的 vtot ，從而了解宇宙膨脹對於星系動力學上的效應。已知被拴住星系之初始速度為零， D& = 0 ，則 v pec , 0 = −vrec , 0 ， a0 χ& 0 = − a&0 χ 0 。. (31) (32). 下一瞬間未被拴住星系的運動，端看 vrec 和 v pec 隨時間改變的情況，或可比擬為 vrec 和 v pec 兩者的賽跑競賽，速度大者在此競賽中即可獲得主導權。於共動座標下，討論星系 1 本身的運動時，動量反比於尺度因子， p ∝ （討論本動速度遠小於光速），則 p = mv pec ， a. 因此[2]： v pec = aχ& = −. v pec ,0. ，. (33). a&0 χ 0 ， a. (34). a. 31.

(35)  . dt  。 a 2 . (35). t dt   D = aχ 0 1 − a&0 ∫ 2  。 t0 a  . (36). χ = χ 0 1 − a&0 ∫. t. t0. (35)式和(36)式中，將時間轉換為以尺度因子表示， dt = da / a& ， a&0 以 Friedmann 方程式. 代入： 1.  2 da 1  a& = = H 0 1 + Ω M  − 1 + Ω Λ a 2 − 1  dt a    。. (. ). (37). 物質密度參數 Ω Μ = 8πGρ 0 / 3H 02 和宇宙常數 Ω Λ = Λ / 3H 02 ，現今觀測結果可視為定值，在平坦的宇宙中，尺度因子隨時間改變的關係可從(37)式得知。Tamara 和 Davis 在 2002 年以宇宙時繪製不同模型物理距離和宇宙時間的關係圖[2]，本文以尺度因子取代宇宙時重新繪圖，如圖 19，最後更以紅移取代尺度因子重新作圖。表格 2 是繪製的四種宇宙模型裡的相關物理量。. 表格 1：四種宇宙模型宇宙模型. 主控. Ω0 值. κ值 κ =0. 宇宙模式. (ΩΜ，ΩΛ)＝(1，0). 物質. ΩΜ≒Ω0＝1. (ΩΜ，ΩΛ)＝(2，0). 物質. ΩΜ≒Ω0＞1. 封閉. Ω0＝1. κ = +1 κ =0. (ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7). 物質和宇宙常數. (ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0). 物質. Ω0＜1. κ = −1. 開放. 平坦平坦. 3.3 膨脹的宇宙模型，膨脹的宇宙模型，膨脹使繫鏈星系最終加入哈伯流圖 19 為不同模型的尺度因子和距離的關係，起始點不同是因為不同模型宇宙年齡相異 [2]. 。假設繫鏈星系從 a0 = 1 開始演化，星系之本動速度方向朝向觀測者，以致圖中各種模. 型之共動座標值皆減少。從圖中可發現，和一般直覺不同，若星系瞬間靜止於膨脹的宇宙中，則之後星系不一定會遠離我們！例如(ΩΜ，ΩΛ)＝(1，0)、(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0)等膨脹的宇宙模型，星系竟會先接近我們、通過我們所在的位置、而後才遠離，但同樣是膨脹模型的(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)，繫鏈星系卻立刻遠離我們而去。膨脹對星系的效應究竟. 32.

(36) 為何？我們從式子(30)開始討論： v D& = vrec + v pec = vrec + pec , 0 。 a. (38). 在膨脹的宇宙模型中，宇宙演化到未來宇宙的尺度會比現在大的多，故 a→∞，代入(38) 式中，得 v pec → 0 ，則 D& = vrec = HD 。. 圖 19：以尺度因子表示繫鏈星系的物理距離和共動距離. 一般直覺認為，宇宙膨脹的效應是使所有星系遠離我們。然而宇宙膨脹對繫鏈星系的影響，是先消弭掉星系的本動速度，最後才讓星系加入哈伯流！以物理距離來看，討論 ΛCDM 的基準模型，星系直接遠離我們，無疑是加入了哈伯流；而由物質主控的宇宙模型，例如(ΩΜ，ΩΛ)＝(1，0 )的模型，星系雖然是先向我們靠近，但最後的結果，仍是加入反向之處的哈伯流。. 若以共動座標討論，不考慮宇宙膨脹的後退速度，可更加清楚星系本動速度的演化。若星系無本動速度，則星系會靜止在其本身的座標上，而繫鏈星系的假想實驗中，因為 33.

(37) 星系有朝向我們的本動速度，故星系座標皆先朝原點移動。和(38)式結果相符，最後星系的本動速度趨於零時，停在一固定的共動座標[2]。若宇宙的組成由宇宙常數 ΩΛ 主控，宇宙會加速膨脹，星系的運動速度短時間內就減少至零。若是宇宙組成由物質主控，膨脹會減速，則星系在 v pec 縮減至零前，會經歷比較長的時間。關於封閉的宇宙模型留待本章第五節討論。. 3.31 以紅移表示共動距離和物理距離宇宙紅移是宇宙學中，理論和觀測連結的橋樑[11]。本節從紅移的角度，來探討繫鏈星系的問題，令此刻尺度因子 a 0 = 1 ，紅移 z = 0 ；當膨脹使尺度因子變大，則紅移 z 變小為負值，圖 20 中，x 軸向左為時間維度演進的方向，不論以紅移或尺度因子來討論，所得結論皆是一致，但以紅移為變數可更深入分析。. 討論膨脹的模型時，共動座標中星系最後的位置會趨於定值，其物理意涵是 v pec → 0 。然而星系最後位置座標為何？圖 19 右圖中，只能看出星系最後會趨向一漸進. 線，但最後位於何處卻不明確。利用(18)式，將尺度因子改以紅移來表示，則可從圖 20 右圖明確看出共動座標中繫鏈星系最後之停駐點，此刻紅移 z = z pec 。. 假使膨脹的宇宙的終點為 a → ∞ ，那時的紅移以 z = −1 來表示。則原本離觀測者 100Mpc 遠，有初速 v pec 向我們靠近的星系，在(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)的宇宙中，最後約. 在 45Mpc 之處停止；在(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0)的宇宙中，最後停在約－10 Mpc 處；在(ΩΜ， ΩΛ)＝(1，0)的宇宙中，最後則約在－100Mpc 之處停止。不同模型在 v pec → 0 前走的距離不同，此距離和宇宙的組成有關，當 ΩΛ 夠大，宇宙會加速膨脹，星系的本動速度短時間內就減少至零，可從圖 20 的共動座標中看出，(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)的位移最小，(ΩΜ， ΩΛ)＝(1，0)的位移最大。 34.

(38) 圖 20：以紅移表示繫鏈星系的物理距離和共動距離. 3.4 膨脹的加速決定繫鏈星系接近或遠離已知宇宙膨脹最後使得星系的 v pec → 0 ，那麼使星系靠近或遠離的因素為何？由(38) 式，對 D& 再做微分[2]：. && = v& + v& D rec pec = v&rec −. v pec , 0 a& 。 a a. (39). 已知星系本身的動量反比於尺度因子，則 v pec =. χ& =. v pec ,o a. v pec , 0 a2. ，. 。. (40). 由(39)式和(40)式，可推得星系的加速度和減速參數有關： && = v& − D rec. v pec , 0 a& a a. = (a&&χ + a&χ& ) − a&χ& = a&&χ = − qH 2 D。. (41). 式中 q 為減速參數（q＞0，宇宙減速膨脹）， q (t ) = − a&&a / a& 2，可由 Friedmann 方程式導出。. 35.

(39) ，. 從(41)式，發現當 χ& 不為零時(即 v pec 不為零)，膨脹項 a& 在計算過程中會抵銷掉因繫鏈星系初速為零，所以星系之靠近或遠離取決於加速度之方向，而哈伯常數和初始星系所在座標皆為正值，所以繫鏈星系靠近或遠離，主要是由減速參數決定！由式子(41) 可推得繫鏈星系靠近或遠離觀測者的情況，主要可分成下列三種： && ＜0，星系加速靠攏，通過並遠離 q＞0， D && ＝0，星系停滯原地 q＝0， D && ＞0，星系加速遠離 q＜0， D. (42). 3.41 以尺度因子表示減速參數和物理距離 3.4 節已推導出，繫鏈星系是否遠離我們，主要由減速參數決定。減速參數代表膨脹的時. 變率，而宇宙膨脹到底是加速或減速，取決於物質間的引力與暗能量間的抗衡。物質的平均能量密度會隨宇宙的空間增大而遞減[5]，在不同的理論模型中，宇宙由減速膨脹到加速膨脹的時間點迥異。. Tamara M. Davis 和 Charles H. Lineweaver（2003）以宇宙時，來討論繫鏈星系問題[2]，. 而本節將時間軸改以尺度因子表示，闡述減速參數與物理距離的關係，如圖 21 所示。圖 21：以尺度因子討論減速參數和物理距離的關係. 36.

(40) 在 ΛCDM 的基準模型中，減速參數起初為正後來為負，意謂先減速膨脹，再加速膨 && > 0 ，星系加速遠離。脹。從 a0 = 1 開始觀測，ΛCDM 模型的減速參數始終為負，故 D && < 0 ，星系會加速向觀測者靠攏、而 Einstein-De Sitter Model 模型的減速參數為正，故 D. 通過、而後遠離。若是(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.95，0.05)的宇宙模型，則含有兩者的情況：減速參 && < 0 轉為 D && > 0 ，星系向觀測者加速靠近、減速靠近、數從正轉為負，故星系的加速度由 D. 停止、再而遠離。從物理距離來看，當減速參數改變正負值的瞬間，星系不會立刻靠近(遠 && 方向不同，而有時間延遲[2]。故星系在宇宙中靠近或遠離的因素，事實上離)，因 v 和 D. 取決於減速參數的正負，而非『膨脹的空間』造成星系被拖曳之現象。. 3.5 以紅移討論重新收縮的宇宙模型先前的討論顯示，在膨脹的宇宙模型中，空間膨脹對星系的影響，是讓星系最終墜入哈伯流。但宇宙若非永遠膨脹，而是終將塌縮之封閉宇宙，則繫鏈星系將如何運動？. (ΩΜ，ΩΛ)＝(2，0)模型中，尺度因子由 anow = 1 膨脹到最大值 amax = 2 ，再收縮到最. 原始大霹靂 aend = 0 臨界密度無限大的情況。星系速度大小 D& = vrec + v pec ，且 v pec ∝ 1 / a ，當宇宙在膨脹時，a 變大、v pec 變小但不為零，等到宇宙開始收縮，尺度因子 a 開始變小， v pec 再度變大。意即，在塌縮的宇宙中，速度最終將以本動速度 v pec 為主導，而星系運動. 方向不變，仍向靠近觀測者之方向前進。此與先前討論的膨脹宇宙結果不同，對於塌縮的宇宙而言，星系不會加入哈伯流。上述情況可由圖 19 的共動座標中看出[2]。（當 a → 0， v pec → c ， v pec 需要用狹義相對論修正）. 若我們處在一物質主控且會塌縮的宇宙，討論 (ΩΜ ，ΩΛ)＝ (2 ， 0) 模型，此刻紅移 z0 = 0 ，減速參數始終為負。從圖 22 的物理座標中，可得下列運動情況： 37.

(41) a=1→a=2 ( z = 0 → −0.5 )，D＞0，q＞0，由靜止加速向觀測者靠近，藍移，| v pec |↓ a=2→a=1 ( z = −0.5 → 0 )，D＜0，q＞0，自觀測者所在位置遠離，紅移，| v pec |↑ a=1→a=0 ( z = 0 → ∞ )，D＜0，q＞0，反向由靜止向觀測者靠近，藍移，| v pec |↑. 圖 22：以紅移表示繫鏈星系在(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的物理座標和共動座標. 圖 22 的曲線箭號，是用來表示星系隨時間演進的軌跡方向。表格 3 將圖 22 星系的物理量列表。從此刻（ anow = 1 ）開始觀察繫鏈星系，起初星系往靠近我們的方向加速，到宇宙膨脹到最大值前，觀察到星光為藍移（ z 由零變負值）。當膨脹到最大值後，星系依原來速度的方向持續移動，開始遠離我們，觀察到的星光為紅移（ z 由負值變正值）。當宇宙收縮到和最初觀察時同樣大小，此時繫鏈星系的座標位置發生轉移！恰有星系乾坤大挪移之感，其實這正和先前提及的，空間膨脹，是宇宙物質的平均能量密度改變，使時空度規改變，致使物質分佈產生變化的想法相呼應。星系在物理座標中，逐漸往我，在塌縮們靠近，最後收攏在奇異點上，此過程尺度因子從 1 收縮到 0（ z = 0 → z = ∞ ）的那刻，將觀察到所有的星系都有無窮大的藍移。. 38.

(42) 表格 2：(ΩM，ΩΛ)=(2，0)的宇宙不同時期之物理量膨脹到最大值 amax = 2. 過程. 尺度因子. 現在 anow = 1. a =1. 塌縮 aend = 0. 紅移. z=0. z = − 0 .5. z=0. z=∞. 物理距離. 100 Mpc. 0 Mpc. -100 Mpc. 0 Mpc. 共動距離. 100 Mpc. 0 Mpc. -100 Mpc. ∞ Mpc. 3.6 繫鏈星系的紅移在狹義相對論中（適用於米高斯基度規），波源和觀測者若無相對速度，則都卜勒紅移量值為零。狹義相對論中的紅移和速度關係如式子(19)，那麼，式子(19)是否適用於本文中的繫鏈星系問題？繫鏈星系起初靜止，根據狹義相對論，則導出 D& = 0 ， z = 0 的結論，然而在受到重力作用的情況下，不可使用狹義相對論來解釋繫鏈星系的問題。事實上，我們可以證明在各種模型下，繫鏈星系都有非零的紅移。[2]. 討論繫鏈星系的紅移 ztot ，可推導如下： 1 + z tot =. λobserved λobserved λemit = = (1 + z rec )(1 + z pec )。 λrest λemit λrest. (43). 若繫鏈星系的 ztot = 0 ，可以得到： 1 + z pec =. 1 。 1 + zrec. (44). 廣義相對論中，紅移和速度的關係如下，可求出 zrec：[8] GR，v rec (z rec ) = c. H(z rec ) z rec dz 。 1 + z rec ∫0 H(z). (45). 圖 23 繪製了 vtot = 0 和 ztot = 0 的曲線，證明兩者並不一致。因為(ΩΜ，ΩΛ)＝(0，0) 的宇宙可用米高斯基度規描述，所以我們本來預期在(ΩΜ，ΩΛ)＝(0，0)宇宙模型中， ztot = 0 和 vtot = 0 是相符的，然而令人驚訝的是，並非如此！不論是圖 23 中的哪種模型，只在 vrec ≤ 0.3c 或者 z rec ≤ 0.3 的區間內， vtot = 0 和 ztot = 0 線段才近似。這是因為在低光速時，. 狹義和廣義相對論才符合，故此在低紅移的情況下，我們分辨不出都卜勒紅移和宇宙紅. 39.

(43) 移的不同；但在更大的紅移下，FRW 度規和 Minkowski 度規的差異拉大，便可明顯出兩者的不同。. 其中有趣的是，事實上後退（ vrec > v pec ）的星系在我們觀測到時可能是藍移，接近的星系在我們觀測到時可能是紅移（ vrec < v pec ）。在宇宙塌縮期間，所有星系都往我們接近，此時接收到的星光為藍移；若星系一開始距離我們夠遠，則過往發出的光被我們觀測到時，星系還是遠離我們的。圖 23 則說明此種情況。圖 23 中的藍線的左邊是代表接收到的星光為藍移，藍線的右邊代表接收到的星光為紅移。紅線的左邊是代表接收到星光時星系是接近，反之則是遠離。圖 23 中虛線的位置即為星系是遠離但觀測到藍移的現象，黑色實線則是星系靠近但觀測到紅移的現象；因為宇宙紅移並非都卜勒紅移，所以有星系靠近但為紅移的情況發生，此在我們的意料之中。. 圖 23：繫鏈星系 vtot=0 和 ztot=0 的關係線 ztot=0. ztot=0. ztot=0 ztot=0. 40.

(44) 第四章、第四章、結論本文探討了兩種有別於傳統（藉由四散的世界線來描繪粒子視界）之宇宙視界。藉由以尺度因子為參數，描述不同模型下，宇宙各種視界和物理量在時空圖下的情況。依據哈伯定律，所有均勻且等向膨脹的宇宙皆有超光速膨脹之特性；超光速運動和狹義相對論並不違背，因為超光速運動不會發生在觀測者的慣性座標上（在共動座標中，每位觀測者見到光的速度一定是 c，絕不可能大於光速）。. 藉由 tethered galaxy 靜止在空間中的假設，探討空間膨脹對星系的影響為何。本文提出並解釋在廣義相對論的描述下，一些和直覺相牴觸的結果。第一：膨脹不一定會使星系的距離變大，用氣球比擬宇宙膨脹的說法不完全正確。在膨脹的宇宙，膨脹使得星系的 v pec → 0 ，而終使星系加入哈伯流，此時並可利用紅移來探討星系最後共動座標何在。第二：星系距離的拉大或減少來自於宇宙的「加速」或「減速」膨脹，在減速膨脹的宇宙，星系會靠近我們，在加速膨脹的宇宙中，星系則後退遠離。本文最後亦探討，因宇宙紅移和都卜勒紅移不同，所以在探討 tethered galaxy 的問題時，會產生星系接近卻觀察到紅移，星系遠離卻觀察到藍移的現象。. 打從有人類的文明誕生開始，人類從來沒有停止探索生命的意義及宇宙之奧秘。20 世紀初，因為觀測的精確度提高，宇宙學才逐漸嶄露頭角。如今我們知道現存的宇宙正加速膨脹中，宇宙的神秘的面紗已然掀開一角。本文希望藉由對宇宙的視界、膨脹及膨脹對星系效應之探討，來釐清一般人對空間膨脹的迷思，進而使吾人對現存之浩瀚宇宙能有更深入的了解。. 41.

(45) 附錄一、附錄一、狹義相對論的都卜勒公式狹義相對論只適用於沒有重力的情況下，當光源發出頻率為 f 之光，以速度 v 遠離觀測者時，觀測者認為光源發光頻率為 f 0 ，則 f0 = f. 1 − (v / c ) 。 1 + (v / c ). (46). 當觀測者位於光傳遞的共動座標中，看到的光速 c 為定值，訊號發出的光波長和頻率的符號分別為 λ 和 f ，則 c = fλ 。. (47). 從(18)式和(47)式，可得 1+ z =. f 。 f0. (48). 結合式子(46)、(47)、(48)，可得相對論的都卜勒紅移大小為. z=. 1+ v / c 1− v2 / c2. − 1。. (49). 附錄二、附錄二、不同組成的宇宙模型 (A)宇宙由物質和宇宙常數組成宇宙由物質和宇宙常數組成在宇宙曲率為零的宇宙，宇宙最終的命運由 Ω Μ 和 Ω Λ 決定，則從式子(14)得到 Ω 0 = Ω Μ + Ω Λ =1。. (50). 從 Friedmann equation 可以導出 1/ 2. 1   a& (t ) = a 0 a& = a 0 H 0 1 + Ω M ( − 1) +Ω Λ (a 2 − 1) 。 a  . (51). 若討論 the Benchmark Model，( Ω Μ ， Ω Λ )=(0.3，0.7)，利用紅移與尺度因子之關係，重新整理 Friedmann equation，則 the Benchmark Model 之哈伯常數可用紅移表示如下：. 42.

(46)  0 .7  H ( z ) = a 0 H 0 0.3(1 + z ) +  (1 + z ) 2  . 1/ 2. 。. (52). 以紅移來表示哈伯常數能將觀測的結果與理論相對應，但紅移之大小只允許 z < ∞ 。. (B)宇宙由物質組成宇宙由物質組成在宇宙曲率和宇宙常數皆為零的宇宙，宇宙最終的命運由 Ω Μ 決定，則從(14)式得到 Ω 0 = Ω Μ =1。. (53). 從 Friedmann equation 可以導出 1/ 2. 1   a& (t ) = a 0 a& = a 0 H 0 1 + Ω M ( − 1) 。 a  . (54). 若討論 Einstein-De Sitter Model，( Ω Μ ， Ω Λ )=(1，0)，利用紅移與尺度因子之關係，重新整理 Friedmann equation，則 Einstein-De Sitter Model 之哈伯常數可用紅移表示如下： H ( z ) = H 0 (1 + z ) 3 / 2 。. (55). 如果宇宙是由物質主控，則推論宇宙的可能歸宿，端看宇宙的 Ω0 而定：表格 3：物質主控的世界 Ω0 值. 曲率. 本文討論. 宇宙模式. 最後命運. Ω0＜1. (ΩΜ，ΩΛ)=(0.3， 0 ). 開放. Big Chill( a → t ). Ω0＝1. κ = −1 κ =0. (ΩΜ，ΩΛ)=( 1 ， 0 ). 平坦. Ω0＞1. κ = +1. (ΩΜ，ΩΛ)=( 2 ， 0 ). 封閉. Big Chill( a → t 2 / 3 ) Big Crunch. (C)宇宙由宇宙常數組成宇宙由宇宙常數組成在宇宙曲率為零，宇宙物質為零的宇宙，宇宙最終的命運由 Ω Λ 決定，則從式子(14)得到 Ω 0 = Ω Λ =1。. (56). 從 Friedmann equation 可以導出. [. a& (t ) = a 0 a& = a 0 H 0 1 + Ω Λ (a 2 − 1). ]. 1/ 2. 。. 若討論 De Sitter Model， Ω Λ =1，利用紅移與尺度因子之關係，重新整理 Friedmann 43. (57).

(47) equation，則 De Sitter Model 之哈伯常數可用紅移表示如下：. H ( z ) = H 0 (1 + z ) 。 −1. (58). (D)宇宙由物質和曲率組成宇宙由物質和曲率組成在宇宙曲率不為零的宇宙，宇宙最終的命運為密度參數 Ω 0 決定。 H 2 Ωγ , 0 Ω m , 0 1 − Ω0 = 4 + 3 + Ω Λ,0 + 。 2 H0 a a a2. (59). 若 Ω Λ , 0 = 0 ，且忽略 Ωγ , 0 ，故 Ω m, 0 = Ω 0 ，則 H 2 Ω m,0 1 − Ω0 = 3 + 。 H 02 a a2 物質主控的宇宙，當 Ω 0 > 0 ，則 κ = +1 ，當宇宙膨脹到最大時， H (t ) = 0 ，則 amax =. Ω0 ， Ω0 − 1. (60). (61). Friedmann equation 可寫成 a& 2 Ω = 0 + 1 − Ω0， 2 H0 a. (62). 則尺度因子和宇宙時可表示成 a (θ ) = t (θ ) =. 1 Ω0 (1 − cos θ ) ， 2 Ω0 − 1. 1 Ω0 (θ − sin θ )。 2 H 0 (Ω 0 − 1)3 / 2. (63). 物質主控的宇宙，當 Ω 0 < 0 ，則 κ = −1 ，當宇宙膨脹到最大時，尺度因子和宇宙時可表示成 a (η ) = t (η ) =. 1 Ω0 (cosh η − 1) ， 2 1 − Ω0. 1 Ω0 (sinh η − η ) 。 2 (1 − Ω 0 )3 / 2. (64). 附錄三、附錄三、各種模型哈伯半徑的演化本文討論的宇宙模型，除了會封閉塌縮的宇宙模型外，其餘宇宙模型的最後的演化，假設都符合 power-law model，也就是 44.

(48) n. t  a (t ) = a0   。  t0 . (65). 導出哈伯常數的大小 H = a& a = n t ，由式子(5)，可知哈伯球半徑為 DH =. ct 。 n. (66). 則減速參數 q = −a&a / a& 2 = (1 − n) / n ，則 n = (1 + q ) −1 ，在符合 power-law 的模型中，減速參數 q 為定值，則根據(66)式，哈伯半徑可表示成. DH = ct (1 + q) 。. (67). 哈伯半徑的行為隨不同模型而異，只要減速參數 q ＞1，則哈伯半徑會變大。哈伯半徑增加的速率為 dD H D& H = = c(1 + q ) 。 dt. (68). 假設以 Einstein-De Sitter model 討論， n = 2 / 3 ， q = 1 / 2 ， DH = 3ct / 2 ， D& H = 3c / 2 ，也就是哈伯球趕上星系的速度是 c / 2 。. 45.

(49) 參考資料 [1] Tamara M. Davis Charles H. Lineweaver, “Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe”, arXiv:astro-ph/0310808 v2 13 Nov 2003 [2]Tamara M. Davis, Charles H. Lineweaver, and John K. Webb, “Solutions to the tethered galaxy problem in an expanding universe and the observation of receding blueshifted objects” ,American Journal of Physics 71, 358 (2003) [3] Matthew J. Francis1,4, Luke A. Barnes1,2, J. Berian James1,3& Geraint F. Lewis1, “Expanding Space: the Root of all Evil?” ,Publications of the Astronomical Society of Australia 24, 95–102 (2007) [4] Edward R. Harrison, ”The science of the universe , Cosmology” , second edition ,p439~p.441,p.451 [5]Barbara Ryden,“Introduction to cosmology ” [6]James B.Hartle, “An introduction to Einstein’s general relativity” [7] Harrison, “Cosmology: The Science of the Universe”(2000) [8] David W. Hogg, ”Distance measures in cosmology”, arXiv:astro-ph/9905116 v4 16 Dec 2000 [9] J. E. Felten and R. Isaacman, “Scale factors R(t) and critical values of the cosmological constant Λ in Friedmann universes,” Rev. Mod. Phys. 58, 689–698 (1986). [10]Edward R. Harission, “Mining energy in an expanding universe.” ,The Astrophysical Journal, 1995 [11]Malcolm S. Longair, “Galaxy formation”,ISBN：978-3-540-51315-5 [12]Stephen Hawking, “The Universe in a Nutshell”,P.31-40, ISBN 0-553-80202 [13]T ony Hey, Anthony J. G. Hey, Patrick Walters, “Einstein’s Mirror” [14] Stephen Lee “A look at tethered and untethered galaxies”, astro-ph/0104349 [15] Barnes L., Francis M. J., James, J. B. Lewis G. F. 2006, MNRAS, 373, 382. 46.

(50)