第三章、 宇宙膨脹
3.1 宇宙膨脹本質的討論
1993 年，Martin Rees & Steven Weinberg 提出對空間膨脹的質疑[3]：『在徹底空無的宇宙，
空間如何無端膨脹呢？』前兩章所探討的宇宙樣貌，皆在宇宙空間會膨脹的前題下運作，
然而空間真會膨脹嗎？若然，是什麼原因造成空間膨脹？
一般書籍在說明「星系因空間膨脹而相互遠離」時，常以氣球來作說明：在氣球上 繪製數點當作星系，吹氣使氣球膨脹變大，從而使其上的星系間距拉大。這種看似簡單 易懂的舉例，在描述星系遠離的本質上，卻會造成諸多似是而非的論點[2]。氣球因受到 壓力差以致於體積膨脹，站在三維的空間中觀看，彎曲的橡皮面有膨脹中心，膨脹時氣 球表面往周圍的空間散布出去。因此常有人誤解，認為宇宙中星系彼此遠離，是星系間 產生新的空間，推擠原本的空間所致。事實上，氣球的比喻不能引申過頭，廣義相對論 中，空間是動態的，空間可自行膨脹、收縮、彎曲，而不假外力，且宇宙具有均勻、等 向的特性，膨脹時並無膨脹中心。
星系分離之因，源於宇宙物質的平均能量密度改變，造成時空度規的變化，致使空 間膨脹，造成星系距離增加；這是純粹廣義相對論的效應，無法以牛頓力學來解釋[15]。 John Wheeler 巧妙闡述出上述情況[3]：Matter tells Spacetime how to curve，and Spacetime tells matter how to move.
第三章第二節，我們將說明宇宙空間膨脹對星系之影響。
3.2 用 用 用 用「 「 「 「繫 繫 繫 繫鏈 鏈 鏈 鏈星系 星系 星系 星系」 」 」 」探討宇宙膨脹的效應 探討宇宙膨脹的效應 探討宇宙膨脹的效應 探討宇宙膨脹的效應
Harrison 在1995 年提出的想像實驗「繫鏈星系」（tethered galaxy），是了解空間膨脹本 質，及探討空間膨脹對星系影響的良好實驗，此實驗同時彰顯出，以氣球膨脹來類比宇 宙膨脹的錯誤之處。假設有一星系在離我們 100 Mpc 之處（符合宇宙學大尺度的要求），
本動速度為−vpec，並考慮空間膨脹之影響，令後退速度為v 。若假設rec vrec =−vpec，則星 系初速為零靜止於宇宙中，試問下一瞬間，星系之運動情況為何？[7]
圖 18：繫鏈星系
圖 18：在膨脹的宇宙中，星系皆符合哈伯定律。圖 18 中，小星系和大星系的物理距離 為 D，大星系內的觀測者，認為三個小星系都有後退速度v ，同理，位於小星系的觀察rec 者也觀測到大星系有同樣的後退速度v 。假想其中一個小星系被大星系用鏈條栓住，我rec 們稱此小星系為繫鏈星系。繫鏈星系的運動速度和後退速度等大小，位於大星系中的觀 察者會認為繫鏈星系瞬間靜止於時空中。繫鏈星系想討論的問題是：假設我們能弭平因 宇宙膨脹造成的後退速度，則瞬間靜止在時空中的星系，受到空間膨脹的影響後會如何
運動？藉此看清宇宙膨脹對星系之影響。
星系會有何種運動，端看星系遵守何種動力學的機制。部分宇宙學家從牛頓力學的 角度來討論宇宙膨脹：他們認為星系像是漂流在某種具有黏滯力的河流上，此力趨使星 系遠離，且星系在遠離觀測者時，受到力的驅動產生一相對觀測者的末速度vpec。然而 此種解釋沒有明確指出宇宙膨脹的成因，亦無說明黏滯力和尺度因子的關係，僅是概念
D D
上的推論，並不真確。事實上，空間膨脹須以廣義相對論解釋，而『膨脹』為以廣義相 對論出發，伴隨而來之『效應』。
討論其速度，定義繫鏈星系的速度即物理距離Ｄ對宇宙時之微分vtot =D& ：
D& =a&χ+aχ&， (29) vtot =vrec+vpec。 (30)
於(30)式，我們看到繫鏈星系的速度其實包含本動速度和後退速度的影響。本動速度vpec 是由靜止在哈伯流的觀測者來分析，不可能大於光速，而後退速度vrec的大小，根據哈伯 定律，若距離夠遠，則星系後退速度vrec的大小並無上限，因此有可能看到整體速度大於 光速的星系。
那麼，星系到底會如何運動？是前進、後退，亦或停滯原地？吾人可藉由觀察繫鏈 星系的v ，從而了解宇宙膨脹對於星系動力學上的效應。已知被拴住星系之初始速度為tot 零，D& =0，則
vpec,0 =−vrec,0， (31) a0χ&0 =−a&0χ0。 (32)
下一瞬間未被拴住星系的運動，端看vrec和vpec隨時間改變的情況，或可比擬為vrec和
vpec兩者的賽跑競賽，速度大者在此競賽中即可獲得主導權。於共動座標下，討論星系 本身的運動時，動量反比於尺度因子，
p a1
∝ （討論本動速度遠小於光速），則p=mvpec， 因此[2]：
a
vpec = vpec,0 ， (33)
a a 0χ0
χ& =− & ， (34)
為何？我們從式子(30)開始討論：
a v v
v v
D& = rec+ pec = rec+ pec,0。 (38) 在膨脹的宇宙模型中，宇宙演化到未來宇宙的尺度會比現在大的多，故 a→∞，代入(38) 式中，得vpec →0，則D& =vrec =HD。
圖 19：以尺度因子表示繫鏈星系的物理距離和共動距離
一般直覺認為，宇宙膨脹的效應是使所有星系遠離我們。然而宇宙膨脹對繫鏈星系 的影響，是先消弭掉星系的本動速度，最後才讓星系加入哈伯流！以物理距離來看，討 論 ΛCDM 的基準模型，星系直接遠離我們，無疑是加入了哈伯流；而由物質主控的宇宙 模型，例如(ΩΜ，ΩΛ)＝(1，0 )的模型，星系雖然是先向我們靠近，但最後的結果，仍是 加入反向之處的哈伯流。
若以共動座標討論，不考慮宇宙膨脹的後退速度，可更加清楚星系本動速度的演化。
若星系無本動速度，則星系會靜止在其本身的座標上，而繫鏈星系的假想實驗中，因為
星系有朝向我們的本動速度，故星系座標皆先朝原點移動。和(38)式結果相符，最後星 系的本動速度趨於零時，停在一固定的共動座標[2]。若宇宙的組成由宇宙常數 ΩΛ主控，
宇宙會加速膨脹，星系的運動速度短時間內就減少至零。若是宇宙組成由物質主控，膨 脹會減速，則星系在vpec縮減至零前，會經歷比較長的時間。關於封閉的宇宙模型留待 本章第五節討論。
3.31 以紅移表示共動距離和物理距離 以紅移表示共動距離和物理距離 以紅移表示共動距離和物理距離 以紅移表示共動距離和物理距離
宇宙紅移是宇宙學中，理論和觀測連結的橋樑[11]。本節從紅移的角度，來探討繫鏈星系 的問題，令此刻尺度因子a0 =1，紅移z =0；當膨脹使尺度因子變大，則紅移 z 變小為 負值，圖 20 中，x 軸向左為時間維度演進的方向，不論以紅移或尺度因子來討論，所得 結論皆是一致，但以紅移為變數可更深入分析。
討 論 膨 脹 的模 型時 ， 共 動 座標 中 星 系最 後 的 位 置會 趨 於定值 ， 其 物 理意 涵 是
→0
vpec 。然而星系最後位置座標為何？圖 19 右圖中，只能看出星系最後會趨向一漸進 線，但最後位於何處卻不明確。利用(18)式，將尺度因子改以紅移來表示，則可從圖 20 右圖明確看出共動座標中繫鏈星系最後之停駐點，此刻紅移z=zpec。
假使膨脹的宇宙的終點為a→∞，那時的紅移以z=−1來表示。則原本離觀測者 100Mpc 遠，有初速vpec向我們靠近的星系，在(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)的宇宙中，最後約 在 45Mpc 之處停止；在(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0)的宇宙中，最後停在約－10 Mpc 處；在(ΩΜ， ΩΛ)＝(1，0)的宇宙中，最後則約在－100Mpc 之處停止。不同模型在vpec→0前走的距離 不同，此距離和宇宙的組成有關，當 ΩΛ 夠大，宇宙會加速膨脹，星系的本動速度短時 間內就減少至零，可從圖 20 的共動座標中看出，(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.3，0.7)的位移最小，(ΩΜ，
圖 20：以紅移表示繫鏈星系的物理距離和共動距離
從(41)式，發現當χ& 不為零時(即vpec不為零)，膨脹項 a& 在計算過程中會抵銷掉，因 繫鏈星系初速為零，所以星系之靠近或遠離取決於加速度之方向，而哈伯常數和初始星 系所在座標皆為正值，所以繫鏈星系靠近或遠離，主要是由減速參數決定！由式子(41) 可推得繫鏈星系靠近或遠離觀測者的情況，主要可分成下列三種：
q＞0， D&& ＜0，星系加速靠攏，通過並遠離 q＝0， D&& ＝0，星系停滯原地
q＜0， D&& ＞0，星系加速遠離 (42)
3.41 以尺度因子表示減速參數和物理距離 以尺度因子表示減速參數和物理距離 以尺度因子表示減速參數和物理距離 以尺度因子表示減速參數和物理距離
3.4 節已推導出，繫鏈星系是否遠離我們，主要由減速參數決定。減速參數代表膨脹的時 變率，而宇宙膨脹到底是加速或減速，取決於物質間的引力與暗能量間的抗衡。物質的 平均能量密度會隨宇宙的空間增大而遞減[5]，在不同的理論模型中，宇宙由減速膨脹到 加速膨脹的時間點迥異。
Tamara M. Davis 和 Charles H. Lineweaver（2003）以宇宙時，來討論繫鏈星系問題[2]， 而本節將時間軸改以尺度因子表示，闡述減速參數與物理距離的關係，如圖 21 所示。
圖 21：以尺度因子討論減速參數和物理距離的關係
在 ΛCDM 的基準模型中，減速參數起初為正後來為負，意謂先減速膨脹，再加速膨 脹。從a0 =1開始觀測，ΛCDM 模型的減速參數始終為負，故D&& >0，星系加速遠離。
而 Einstein-De Sitter Model 模型的減速參數為正，故D&& <0，星系會加速向觀測者靠攏、
通過、而後遠離。若是(ΩΜ，ΩΛ)＝(0.95，0.05)的宇宙模型，則含有兩者的情況：減速參 數從正轉為負，故星系的加速度由D&& <0轉為D&& >0，星系向觀測者加速靠近、減速靠近、
停止、再而遠離。從物理距離來看，當減速參數改變正負值的瞬間，星系不會立刻靠近(遠 離)，因 v 和 D&& 方向不同，而有時間延遲[2]。故星系在宇宙中靠近或遠離的因素，事實上 取決於減速參數的正負，而非『膨脹的空間』造成星系被拖曳之現象。
3.5 以紅移討論重新收縮的宇宙模型 以紅移討論重新收縮的宇宙模型 以紅移討論重新收縮的宇宙模型 以紅移討論重新收縮的宇宙模型
先前的討論顯示，在膨脹的宇宙模型中，空間膨脹對星系的影響，是讓星系最終墜入哈 伯流。但宇宙若非永遠膨脹，而是終將塌縮之封閉宇宙，則繫鏈星系將如何運動？
(ΩΜ，ΩΛ)＝(2，0)模型中，尺度因子由anow =1膨脹到最大值amax =2，再收縮到最 原始大霹靂aend =0臨界密度無限大的情況。星系速度大小D& =vrec +vpec，且vpec∝1/a， 當宇宙在膨脹時，a 變大、vpec變小但不為零，等到宇宙開始收縮，尺度因子 a 開始變小，
vpec再度變大。意即，在塌縮的宇宙中，速度最終將以本動速度vpec為主導，而星系運動 方向不變，仍向靠近觀測者之方向前進。此與先前討論的膨脹宇宙結果不同，對於塌縮 的宇宙而言，星系不會加入哈伯流。上述情況可由圖 19 的共動座標中看出[2]。（當a→0，
c
vpec → ，vpec需要用狹義相對論修正）
若我們處在一物質主控且會塌縮的宇宙，討論(ΩΜ，ΩΛ)＝(2，0)模型，此刻紅移
=0
z ，減速參數始終為負。從圖 22 的物理座標中，可得下列運動情況：