可解約之公平保費與解約選擇權價值

在每一年度末，保戶根據未來的現金流量計算出續約價值與解約價值來決定 是否解約。若續約價值大於解約價值，則保單持有人將選擇繼續持有保單，反之，

若解約價值大於續約價值，則保單持有人將選擇解約。

令𝑌_𝑡表示時間𝑡之續約價值，在時間𝑡至𝑡 + 1之間，如果被保險人死亡則獲得 保額𝐶_𝑡+1，否則保戶之契約價值為𝐹_𝑡+1。根據財務風險與死亡風險獨立之假設，

續約價格𝑌_𝑡計算方法如下：

𝑌_𝑡 = 𝐸_𝑡^𝑄(𝑒𝑥𝑝 (− ∫_𝑡^𝑡+1𝑟_𝑢𝑑𝑢) (𝑞_𝑥+𝑡𝐶_𝑡+1+ 𝑝_𝑥+𝑡𝐹_𝑡+1)) , 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1 (14) 其中𝐸_𝑡^𝑄代表在風險中立機率測度𝑄下，給定訊息集ℱ_𝑡之條件期望值。𝑞_𝑥+𝑡代表 𝑥 + 𝑡歲被保人於一年內死亡機率；𝑝_𝑥+𝑡代表𝑥 + 𝑡歲被保人於一年後存活機率，

𝑟_𝑢代表瞬時短期利率，𝐹_𝑡+1為時間點𝑡 + 1之契約最佳價格，亦即

𝐹_𝑡+1= 𝑚𝑎𝑥{𝑌_𝑡+1, 𝑅_𝑡+1} (15) 其中𝑅_𝑡+1由(8)式及(2)式計算。特別的是，在時間點𝑇 − 1，如果契約依然有效，

在時間𝑇 − 1至𝑇之間不管投保人是否身故，投保人在契約到期時點𝑇可獲得保額 𝐶_𝑇。因此契約價值在到期時會等於𝐶_𝑇，則在時間𝑇 − 1續約價值為

𝑌_𝑇−1 = 𝐸_𝑇−1^𝑄 (𝑒𝑥𝑝 (− ∫_𝑇−1^𝑇 𝑟_𝑢𝑑𝑢) 𝐶_𝑇) (16) 比較續約價值與解約價值，則契約價值為

𝐹_𝑇−1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑌_𝑇−1, 𝑅_𝑇−1} (17) 以(16)式為起始值帶入(17)式與(14)式遞迴計算，則可從時間𝑇 − 1計算至時間 0，

得到續約價值𝑌₀，即為契約公平價格。

為了使二維樹模型在計算上可行，後續現金流之間的遞迴關係推導如下。為 簡 化 式 子 ， 區 隔 資 產 帳 戶 之 相 對 價 格 為 𝑎_𝑡= ^𝑆𝑡+1

𝑆𝑡 ， 折 現 因 子 為 𝑏_𝑡= 𝑒𝑥𝑝 (− ∫_𝑡^𝑡+1𝑟_𝑢𝑑𝑢)。則根據(9)與(10)式，隨機過程(𝑎_𝑡, 𝑏_𝑡)相對於短期利率𝑟_𝑡為馬 可夫過程。因此或有給付𝑋之無套利價格，在時間𝑡，風險中立測度𝑄下為𝐸_𝑡^𝑄(𝑋) ≜ 𝐸^𝑄(𝑋|ℱ_𝑡) = 𝐸^𝑄(𝑋|𝑟_𝑡)。

令𝑌₀表示可解約利變型壽險的公平保費，基本保額為𝐶₁且契約期間為𝑇。

定義在時間點𝑇 − 1，𝐻_𝑇−1= 𝐸_𝑇−1(𝑏_𝑇−1) (18) 在時間𝑡 = 𝑇 − 2, … ,1，

𝐻_𝑡= 𝑞_𝑥+𝑡𝐸_𝑡(𝑏_𝑡) + 𝑝_𝑥+𝑡𝐸_𝑡(𝑏_𝑡(1 + 𝛿_𝑡+1)𝑚𝑎𝑥 {𝐻_𝑡+1, 𝑘𝐴𝑥+𝑡+1:𝑇−𝑡−1|}) (19) 則可解約利率變動型壽險之公平保費為

F₀ = 𝑌₀ = 𝐶₁𝐻₀ (20) 證明：令𝑌_𝑡 = 𝐶_𝑡+1𝐻_𝑡透過(14)(15)式與(16)式，則可由數學歸納法求得(18)式與(19) 式之遞迴公式。根據給定資訊集ℱ_𝑡，在時間𝑡時，參考過去資訊所計算出的保額 𝐶_𝑡+1，以及透過(19)式計算且只與未來資訊有關的𝐻_𝑡。契約價值𝑌_𝑡可由上述兩項 相乘而得，亦即𝑌_𝑡 = 𝐶_𝑡+1𝐻_𝑡。接著，為計算利變型壽險隱含的解約選擇權價值，

定義𝑃_𝐵為不可解約利率變動型壽險的公平保費；𝑃_𝑠為可解約利率變動型壽險的公 平保費，則解約選擇權之價值如下

解約選擇權價值＝𝑃_𝑠− 𝑃_𝐵 (21)

第三節 二維度樹模型

直覺上，可以利用樹結構來計算美式選擇權，CRR (Cox et al. (1979))模型提 供了一種簡單且有效的方法來評價固定利率之下可提早履約之單一資產商品，例 如美式選擇權、百慕達選擇權。鑑於隨機利率下，標的資產也為隨機過程，必須 建構標的資產與無風險利率的兩維度樹模型，如Ho et. al. (1995) 所提出。但這 些方法用於計算長期合約時非常耗時。因此，我們可藉由條件期望值之方法計算 (19) 式之𝐻_𝑡。如下：

𝐻_𝑡 = 𝑞_𝑥+𝑡𝐸_𝑡(𝑏_𝑡) + 𝑝_𝑥+𝑡𝐸_𝑡(𝑏_𝑡𝐸((1 + 𝛿_𝑡+1)|𝑏_𝑡)𝑚𝑎𝑥 {𝐻_𝑡+1, 𝑘𝐴𝑥+𝑡+1:𝑇−𝑡−1|}) (22) 其中𝑏_𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫_𝑡^𝑡+1𝑟_𝑢𝑑𝑢)。這裡主要的想法為𝑙𝑜𝑔𝑎_𝑡與𝑙𝑜𝑔𝑏_𝑡之聯合機率分配，

透過(9)與(10)式，其服從二維常態分配。因此𝑙𝑜𝑔𝑎_𝑡給定 𝑙𝑜𝑔𝑏_𝑡之條件機率分配 為常態分配，亦即𝑎_𝑡給定𝑏_𝑡 (或𝑙𝑜𝑔𝑏_𝑡)為對數常態分配。

在時間𝑡，給定資訊集ℱ_𝑡，

𝑎_𝑡 = 𝑒𝑥𝑝{𝜇_{𝑎|𝑏,𝑡}+ 𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}∙ 𝑊} = 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟_{𝑎|𝑏,𝑡}−¹

2𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}² ) + 𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}∙ 𝑊} (23)

其中𝜇_{𝑎|𝑏,𝑡}與𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}分別表示 𝑙𝑜𝑔𝑎_𝑡給定 𝑙𝑜𝑔𝑏_𝑡條件分配之平均數與標準差。令

𝑟_{𝑎|𝑏,𝑡} = 𝜇_{𝑎|𝑏,𝑡}−¹

2𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}² ，而𝑊為標準布朗運動，則區隔資產帳戶相對價格𝑎_𝑡或^𝑆𝑡+1

𝑆𝑡

在CRR 二元樹架構下，其漂移項為𝑟_{𝑎|𝑏,𝑡}，條件波動度為𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}。證明請見附錄一。

結合遞迴公式以及上述條件期望值的方法，建構二維度樹模型，以下說明建 構二維度樹模型之步驟：第一步驟為建立利率樹。在現實生活中，利率不會無止 境上漲或無止境下跌，而是會以某個利率水準為基準，當利率過高時或過低時就 會往利率水準的方向變動，這與Hull and White (1994)發表的三元樹模型概念一 樣，因此本研究在隨機利率樹的建構上採用Hull and White (1994)二階段三元樹 模型。

d𝑟_𝑡 = 𝜅(𝜃_𝑡− 𝑟_𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎_𝑟𝑑𝑊₁^𝑄(𝑡) (24)

第一階段為建立期初值為零，且𝜃_𝑡 = 0，對稱於𝑟^∗ = 0，服從以下𝑟^∗隨機過程之 三元樹

𝑑𝑟^∗ = −𝜅𝑟^∗𝑑𝑡 + 𝜎_𝑟𝑑𝑊 (25) 𝑟_𝑡+∆𝑡^∗ − 𝑟_𝑡^∗服從期望值為−𝜅𝑟^∗∆𝑡，變異數為𝜎_𝑟²∆𝑡的常態分配。定義利率樹上的利 率間距為∆𝑟^∗ = 𝜎_𝑟√3∆𝑡，且任一節點(𝑖, 𝑗)代表時間為𝑡 = 𝑖∆𝑡，利率𝑟^∗為𝑗∆𝑟^∗的結 點。透過一階與二階常態分配的動差函數與機率總和等於一的條件來求得下一期 利率上升機率𝑝_𝑢，利率持平機率𝑝_𝑚，利率下跌機率𝑝_𝑑。在第一階段下，當期的 利率變化到下一期，會有三種走勢如圖4-1，當利率過高時路徑為(c)，當利率過 低時路徑為(b)，其餘一般情況路徑則為(a)。

圖4-1、利率三元樹路徑圖

圖4-1 三種利率走勢所對應之上升機率𝑝_𝑢、持平機率𝑝_𝑚、下跌機率𝑝_𝑑分別為 (a)

𝑝_𝑢 = 1 6+1

2(𝜅²𝑗²∆𝑡²− 𝜅𝑗∆𝑡) 𝑝_𝑚= 2

3− 𝜅²𝑗²∆𝑡²

(a) (b) (c)

(b)

𝑝_𝑢 = 1 6+1

2(𝜅²𝑗²∆𝑡²+ 𝜅𝑗∆𝑡) 𝑝_𝑚= −1

3− 𝜅²𝑗²∆𝑡²− 2𝜅𝑗∆𝑡 𝑝_𝑑 = 7

6+1

2(𝜅²𝑗²∆𝑡²+ 3𝜅𝑗∆𝑡) (c)

𝑝_𝑢 =7 6+1

2(𝜅²𝑗²∆𝑡²− 3𝜅𝑗∆𝑡)

𝑝_𝑚 = −1

3− 𝜅²𝑗²∆𝑡² + 2𝜅𝑗∆𝑡

𝑝_𝑑 =1 6+1

2(𝜅²𝑗²∆𝑡²− 𝜅𝑗∆𝑡) 根據Hull and White (1994, 2008)，我們定義𝑗_𝑚𝑎𝑥 ≤ ^0.184

𝜅∆𝑡，且𝑗_𝑚𝑖𝑛= −𝑗_𝑚𝑎𝑥。圖 4-2 表示第一階段利率樹結構。

圖4-2、Hull and White 第一階段利率樹結構圖

然而第一階段建構的利率樹和當時市場所觀察到的利率期間結構未必相同，所以 第二階段要將𝑟^∗上的節點能完全符合期初利率期間結構，把𝑟^∗三元樹轉為𝑟三元 樹，定義𝛼_𝑖 = 𝛼(𝑖∆𝑡)為𝑟在𝑟三元樹中𝑖∆𝑡時的利率減去對應的𝑟^∗三元樹中𝑟^∗在𝑖∆𝑡 時的利率，亦即𝛼_𝑖 = 𝑟 − 𝑟^∗，其中𝛼₀為現在到∆𝑡時間的即期利率(spot rate)。𝑄_𝑖,𝑗為 一個在利率走到節點(𝑖, 𝑗)時支付 1 元，否則報酬為零的商品之現值。𝛼_𝑖與𝑄_𝑖,𝑗可 以在期初期間結構完全吻合的條件下以往前推法(Forward induction)求出，得到下 列公式。

𝛼_𝑖 =𝑙𝑛 ∑^𝑛_𝑗=−𝑛^𝑖 𝑄_𝑖,𝑗𝑒^{−𝑗∆𝑟∗∆𝑡}

𝑖 − 𝑙𝑛𝑃(0, 𝑖 + 1)

∆𝑡

其中𝑃(0, 𝑖 + 1)為在𝑖 + 1到期之零息債券價格，𝑛_𝑖 = min (𝑖, 𝑗_𝑚𝑎𝑥) 。 一旦求出𝛼_𝑖，則𝑄_𝑖+1,𝑗可由下列公式計算。

𝑄_𝑖+1,𝑗 = ∑ 𝑄_𝑖,𝑙𝑞_𝑙,𝑗𝑒𝑥𝑝(−(𝛼_𝑖+ 𝑙∆𝑟^∗)Δ𝑡)

𝑙

其中𝑞_𝑙,𝑗為結點(𝑖, 𝑙)到結點(𝑖 + 1, 𝑗)的機率。由上述說明計算出每一期的𝛼_𝑖後，透 過𝑟 = 𝑟^∗+ 𝛼_𝑖，便可得到與市場一致的利率樹𝑟如圖 4-3。

圖4-3、Hull and White 第二階段利率樹結構圖

第二步驟為建立區隔資產帳戶相對價格的二元樹。在每個契約年度末，保單 持有人需選擇解約或續約，因此要計算每個年度末解約價值與續約價值，解約價 值依照(8)式計算。而續約價值需考量與區隔資產帳戶價值連動的宣告利率，用 於累積保單價值準備金。這部分則利用區隔資產帳戶相對價格的二元樹模型來計 算。給定利率樹上第𝑡個年度末對應之利率值𝑟_𝑡+1^(𝑖,𝑗)，計算出𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗) = 𝑒𝑥𝑝 (−𝑟_𝑡+1^(𝑖,𝑗)) ， 再藉由𝑎_𝑡給定𝑏_𝑡 (或𝑙𝑜𝑔𝑏_𝑡)為對數常態分配來建構區隔資產帳戶價值之二元樹，

如圖4-4。

𝑎_𝑡 = 𝑒𝑥𝑝{𝜇_{𝑎|𝑏,𝑡}+ 𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}∙ 𝑊} = 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟_{𝑎|𝑏,𝑡}−¹

2𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}² ) + 𝜎_{𝑎|𝑏,𝑡}∙ 𝑊} (26) 圖4-4、利率與區隔資產帳戶之二維度樹結構

𝑟_𝑡^(𝑖)

{𝑟_𝑡+1^(𝑖,𝑗)}

𝑗=1 𝑛_𝑡

𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗) = 𝑒𝑥𝑝 (−𝑟_𝑡+1^(𝑖,𝑗))

𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗)

{𝑎_𝑡+1^{(𝑖,𝑗,𝑙)}}

𝑙=1 𝑛

1 + 𝛿_𝑡+1^{(𝑖,𝑗,𝑙)} = 𝑒𝑥𝑝 (𝑙𝑜𝑔(𝑎_𝑡+1^{(𝑖,𝑗,𝑙)})

⋮

⋮

第三步驟為遞迴計算利變型壽險之公平保費。

𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗)= exp (−𝑟_𝑡+1^(𝑖,𝑗)) (27) 𝐸((1 + 𝛿_𝑡+1)|𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗)) = ∑^𝑛_𝑙=1(1 + 𝛿_𝑡+1^{(𝑖,𝑗,𝑙)})∙ 𝑞_{𝑖,𝑗,𝑙} (28)

其中，𝑞_{𝑖,𝑗,𝑙} 為區隔資產帳戶相對價格二元樹之對應機率，結合前兩步驟的樹結

構，利用(27)式計算出條件期望值𝐸((1 + 𝛿_𝑡+1)|𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗))，則可計算出𝐻_𝑡^(𝑖)，

𝐻_𝑡^(𝑖) = ∑ 𝑞_𝑖,𝑗(𝑞_𝑥+𝑡𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗)

3^𝑛

𝑗=1

+ 𝑝_𝑥+𝑡𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗)𝐸((1 + 𝛿_𝑡+1)|𝑏_𝑡^(𝑖,𝑗))𝑚𝑎𝑥 {𝐻_𝑡+1^(𝑗), 𝑘𝐴𝑥+𝑡+1:𝑇−𝑡−1|})

其中，𝑞_𝑖,𝑗為利率樹之對應機率。根據(27)(28)與(29)式，從時間𝑇 − 1計算至時間 0，則得出公平保費𝑌₀ = 𝐶₁𝐻₀。

(29)