隨機利率下可解約利率變動型壽險評價分析 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學金融學系研究所碩士學位論文. 隨機利率下可解約利率變動型壽險評價分析 The Valuation Analysis of Floating-rate Life Insurance under Stochastic Interest Rates. 指導教授：林士貴博士蔡政憲博士研究生：林靜吟撰. 中華民國一百零七年六月. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(2) 謝辭時光飛逝，碩士二年的學習生活即將到達尾聲，其中撰寫這篇論文的日子中，首先特別感謝我的指導教授林士貴博士，自論文方向的敲定、架構的形成、研究方法的建議到整篇論文的完稿，教授在百忙之際願意撥冗給予啟示及建議，且不厭其煩的釐清學生觀念、修正錯誤。在此僅能以寥寥數語，致上我最誠摯的敬意及感謝。另外，承蒙蔡政憲教授指導保險相關之知識，給予許多寶貴意見及建議，使本篇論文更加地完善，在此深表萬分謝意。感謝黃逸輝教授、詹芳書教授及陳亭甫教授，於口試期間提供論文修訂的指導以及給予學生高度的肯定。一路走來，這段期間的點點滴滴烙印在我心中，感謝士貴戰隊的夥伴們，我們一起互相加油打氣和鼓勵，在學校課堂中或撰寫論文的過程中遇到各種困難時，同學們也不吝指教，一起交流討論解決問題。最要感謝我的家人在生活上給予的照顧及體諒，感謝父母親的栽培及養育，以及家人的鼓勵與支持，使我能無後顧之憂，能夠全心致力於學業及工作上。最後僅以本篇論文獻給我摯愛的家人及朋友，感謝你們的支持與愛護，衷心的感激與祝福。. 林靜吟國立政治大學. 謹至于. 金融研究所. 民國一○七年六月. I. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(3) 隨機利率下可解約利率變動型壽險評價分析指導教授 : 林士貴博士. 學生：林靜吟. 蔡政憲博士. 國立政治大學金融系. 摘要本文在 Hull and White 隨機利率模型之下計算利率變動型壽險的公平保費及其隱含之解約選擇權。本文提出遞迴公式並逆向計算保單價值，應用條件期望值的方法，建構二維樹狀結構計算利變型壽險的保費。利用本文提出的二維樹狀結構評價，不但具有精確性與收斂特性，計算上也十分有效率。本文也同時分析影響公平保費與解約選擇權價值之各項因子，包含利率波動度，資產波動度，利率和資產相關係數等。分析指出當利率波動劇烈時，利率變動型壽險價值與解約選擇權價值會隨著增加；區隔資產帳戶價值波動度劇烈時，利率變動型壽險價值會隨著減少而解約選擇權價值會隨著增加；最後，利率和區隔資產帳戶價值相關係數越高，利率變動型壽險價值越低，而解約選擇權價值越高。本文提出之評價方法與數值分析結果可供於保險公司評價利率變動型商品之參考。. 關鍵詞： Hull and White、條件期望值、CRR、利變型保單. II. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(4) The Valuation Analysis of Floating-rate Life Insurance under Stochastic Interest Rates. Student: Ching-Yin Lin. Advisor: Dr. Shih-Kuei Lin Dr. Cheng-Hsien Tsai. Department of Money and Banking, National Chengchi University. Abstract This paper provides the fair valuation of a floating-rate life insurance policy embedded with surrender options under Hull and White stochastic interest rate models. This paper proposes a recursive formula to implement the backward computation and a two dimensions tree structure is constructed by the Conditional Expectation method to value the fair premiums of floating-rate life insurance policy. By using the proposed algorithm, we analyze the factors affecting the value of premiums and surrender options. Numerical analysis indicates that high interest rate volatility enhances both the premiums and surrender options values entitled to the policyholder. Moreover, when the value of segregate asset account has a high degree of volatility, the premiums of floating-rate life insurance will decrease and the value of surrender options will increase. Finally, the higher the correlation coefficient between the interest rate and the value of segregate asset account, the lower the premiums of floating-rate life insurance, conversely, the higher the value of the surrender options. These results present some suggestions for insurance companies to issue a floating-rate life insurance contract embedded with surrender options. Keywords ： Hull and White,. Conditional Expectation, CRR, Floating-rate. insurance policy. III. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(5) 目次第一章. 緒論............................................................................................................ 1. 第一節. 研究動機 ............................................................................................................. 1. 第二節. 研究目的 ............................................................................................................. 2. 第三節. 研究架構 ............................................................................................................. 2. 第二章. 文獻探討.................................................................................................... 3. 第一節. 短期利率模型 ..................................................................................................... 3. 第二節. 利率變動型保單 ................................................................................................. 4. 第三節. 二維度樹模型 ..................................................................................................... 5. 第三章. 契約架構.................................................................................................... 6. 第一節. 利率變動型壽險的架構 ..................................................................................... 6. 第二節. 基本契約 ............................................................................................................. 7. 第三節. 宣告利率 ............................................................................................................. 8. 第四節. 解約機制 ........................................................................................................... 10. 第四章. 研究方法.................................................................................................. 11. 第一節. 隨機模型 ........................................................................................................... 12. 第二節. 可解約之公平保費與解約選擇權價值 ........................................................... 13. 第三節. 二維度樹模型 ................................................................................................... 15. 第五章. 數值分析.................................................................................................. 21. 第一節. 不可解約利率變動型壽險公平保費 ............................................................... 21. 第二節. 可解約利率變動型壽險公平保費敏感度分析 ............................................... 25. 第六章. 結論.......................................................................................................... 30. 參考文獻...................................................................................................................... 32 附錄一、利率與區隔資產帳戶的條件機率分配...................................................... 34 附錄二、不可解約公平保費之期望值...................................................................... 36. IV. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(6) 表次表 5-1、利率參數之敏感度分析 ........................................................................... 22 表 5-2、資產參數之敏感度分析 ........................................................................... 22 表 5-3、各年齡費率表 ........................................................................................... 29. 圖次圖 4-1、利率三元樹路徑圖 ................................................................................... 16 圖 4-2、Hull and White 第一階段利率樹結構圖.................................................. 17 圖 4-3、Hull and White 第二階段利率樹結構圖.................................................. 18 圖 4-4、利率與區隔資產帳戶之二維度樹結構 ................................................... 19 圖 5-1、不可解約公平保費封閉解與蒙地卡羅模擬收斂情形(𝜅 = 0.2) ............ 23 圖 5-2、不可解約公平保費封閉解與蒙地卡羅模擬收斂情形(𝜅 = 0.3) ............ 23 圖 5-3、封閉解、蒙地卡羅模擬與二維度樹模型收斂情形(𝜅 = 0.2) ................ 24 圖 5-4、封閉解、蒙地卡羅模擬與二維度樹模型收斂情形(𝜅 = 0.3) ................ 24 圖 5-5、短期利率波動度對可解約利變型壽險保費之敏感度 ........................... 25 圖 5-6、短期利率波動度對解約選擇權價值之敏感度 ....................................... 25 圖 5-7、均數復歸速度對可解約利變型壽險保費之敏感度 ............................... 26 圖 5-8、均數復歸速度對解約選擇權價值之敏感度 ........................................... 26 圖 5-9、相關係數對可解約利變型壽險保費之敏感度 ....................................... 27 圖 5-10、相關係數對解約選擇權價值之敏感度 ................................................. 27 圖 5-11、區隔資產帳戶價值波動度對可解約利變型壽險保費之敏感度 ......... 28 圖 5-12、區隔資產帳戶價值波動度對解約選擇權價值之敏感度 ..................... 28. V. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(7) 第一章第一節. 緒論研究動機. 自 2008 年因次級房屋信貸問題引起的全球金融風暴後，全球市場利率一路下滑，美國聯邦基金利率自 2007 年 7 月最高點 5.26%開始走低，2008 年 12 月至 2015 年 12 月止一直維持在 0.12%的低檔，而台灣一年期定期存款利率也從 2008 年 7 月的 2.735%下滑至 2016 年 12 月的 1.035%。低利率時代使許多與利率連動之金融商品收益相對降低，所幸自 2008 年 11 月起美國與日本等國開始實施量化寬鬆政策，帶動全球經濟復甦。2013 年起逐漸出現升息議題，直到 2015 年美國聯邦準備理事會 FED 宣布調升 1 碼，為七年來首次調升，直到 2018 年 3 月 FED 總共升息了 6 次。一旦進入升息循環，和利率連動之金融商品收益將相對增加，但是單一固定利率收益已無法滿足投資需求，客戶擔心此種金融商品無法跟上升息的腳步，而金融機構之一的保險公司體認到預定利率之保單無法吸引消費者購買，因此開始引進新式保單，如利率變動型保險商品，這些商品的保險金額連結保險公司的投資績效，將投資收入的一部分分配給保戶，藉此減少低預定利率帶來的衝擊與危機。近幾年，壽險業保費不斷創新高，2017 年總保費收入約 3 兆 2000 億元，相較 2016 年增加了 5.2%，其中初年度保費收入中，利率變動型商品約占 56%，而利率變動型壽險占了約 49%，創造了約 6215 億元的保費收入，由此可見利率變動型壽險為多家保險公司的主力商品。利率變動型壽險是與資產連動且包含美式選擇權的複雜合約，但根據 Briys 與 de Varenne (1997)表示許多人壽保險公司忽視選擇權的重要性，進而暴露於風險之中。因此，本研究在評價利變型壽險的模型中加入保單之解約特性，同時分析各種參數對保費及解約選擇權價值之影響。. 1. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(8) 第二節. 研究目的. 在隨機利率下，當市場利率上升，保單持有人在市場上有較高的獲利，不願將資金局限於較低報酬的保單中，因此造成保單持有人的解約；當市場利率下跌，保險公司實際獲利可能低於保單預定利率，造成保險公司財務上的風險。利率的波動，對於利率變動型保單的財務風險，有分析之必要性，因此，本文在隨機利率模型下，評價利率變動型保單因市場利率波動，造成保險公司之財務風險。本文主要貢獻有三點，第一在保險財務理論方面，發展 Hull and White 三元樹模型與區隔帳戶價值之 CRR 模型結合成二維度樹模型，利用公平價值法計算可解約利率變動型壽險之保費。第二在保險經濟方面，利用利率變動型壽險中現金流量的前後期關係導出遞迴公式，並結合條件期望值的方法，計算保險契約公平保費，增進二維度樹模型的計算效率。第三實際運用方面，在隨機利率下所建立之二維度樹模型之遞迴公式，使保險公司能有效率計算可解約利率變動型壽險之保費，以及各參數對保費的影響，做為保險公司評價利率變動型保單的參考。. 第三節. 研究架構. 本文主要架構如下：第二章為短期利率模型、利率變動型保單及二維度樹模型之相關文獻探討。第三章為利率變動型壽險契約架構，包含基本契約、宣告利率機制及解約機制。第四章說明遞迴公式及二維度樹模型之評價方法。第五章為本研究評價之結果及敏感度分析，研究不同參數對保費與解約選擇權價值的影響。最後，第六章為本研究之結論與建議。. 2. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(9) 第二章. 文獻探討. 本文意旨在隨機利率下評價利率變動型壽險之公平保費，首先探討一因子隨機利率模型之相關文獻，接續探討利率變動型保單起源及相關文獻，最後著重於二維度樹模型相關文獻。. 第一節. 短期利率模型. Vasicek (1997)提出利率遵循 Ornstein-Uhlenbeck process，此模型可建構出利率期間結構曲線的各種型態，如向上、向下趨勢或駝峰狀。但由於此模型的短期利率為常態分配，所以利率可能為負值，較不符合市場利率情境。 Cox, Ingersoll, and Ross (1985)為改善 Vasicek 隨機利率模型中，利率的變動過程中可能出現負值的問題，提出將𝑟𝑡 之設定改為√𝑟𝑡 ，以保證利率永遠不為負值。此設定除了解決 Vasicek 模型中短期利率可能為負值的問題，另外也增加了當利率上升時，利率的波動度會隨著比例增加的經濟含意。CIR 模型優點為在他們的經濟模型下同時考量實質商品及金融市場。缺點為不能準確描述利率期間結構。上述的兩種隨機利率過程皆是屬於單因子均衡模型，亦即今日的利率期間結構為均衡模型的產出。其缺點在於推導出來的利率期間結構未必與市場利率期間結構一致。為克服均衡模型的缺點，Ho and Lee (1986)於是發展出無套利模型，其與均衡模型不同之處為今日的利率期間結構為無套利模型的輸入值，使模型本身可以去配飾市場的實際情況。 Ho and Lee (1986) 提出在利率的隨機過程中，利率的長期均值應與時間有關，此模型雖然改善了與市場利率期間結構不一致的問題，但此模型並不具備均數復歸特性，即不論利率多高或多低，利率的平均走勢都相同，且利率可能會為負值，與真實情況並不符。. 3. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(10) Hull and White (1990) 延伸 Ho and Lee (1986)的模型，加入均數復歸的特性，此模型不但能準確描述現行的利率期間結構，其模型價格也能與利率衍生性商品的市場價格一致。而 Hull and White (1994)提出二階段法建立三元樹模型，將連續型隨機過程的 Hull-White 短利模型改用離散時間型(discrete time)的隨機過程。此模型更加簡單且快速地建構與市場一致的利率期間結構。. 第二節. 利率變動型保單. 李明黛 (2002)研究利率風險對保險公司經營指標之影響，利用財務上平均存續期間的概念來衡量利率風險。實證結果發現利率風險對壽險公司的投資報酬率、股東權益報酬率有著顯著的影響並呈負相關。 Huang and Lee (2008)探討利變型保單在不同宣告利率下，投資策略與獲利邊際之間的關係，其研究結果顯示不同之宣告利率，分別有其適合的投資策略，而提高保單宣告利率，會讓保戶與保險公司面臨較大的不確定性，因此在決定宣告利率時，應對保單進行充分的測試。 Hao (2011)提出利變型商品的利率風險模型，此模型考量利變型商品之解約特性，利變型商品之解約率與市場利率相關，當市場利率過高時，保戶有較高誘因去進行解約，而本研究之解約價值除參考市場利率外，亦考慮保險公司之投資績效，因為投資績效將影響保險公司之宣告利率，所以當宣告利率過低時，亦會增加保戶的解約行為。. 4. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(11) 第三節. 二維度樹模型. Cox, Ross and Rubinstein (1979)（以下簡稱 CRR 模型）發表二元樹模型，此種評價方法是把時間從連續改為間斷型態，其餘基本架設與 Black and Scholes (1973) 模型相同，在短時間內，設定股價變化只有上漲或下跌兩種路徑，並對應其上漲與下跌之機率以及幅度建構出樹模型。 Wei (1993)與 Hilliard, Schwartz, and Tucker (1996)提出的隨機利率下美式選擇權評價模型中，都是利用 Nelson and Ramaswamy (1990)變數變換法，兩模型的差別在於所使用的隨機過程不同，相同的是在每一節點都必需轉換為原來的利率與股價，變化過程中的機率也需要求解，在計算時就必需花費較多時間。賴詩婷 (2011)利用 Bacinello (2003a)無套利評價法導出遞迴公式並且結合條件期望值的方法建構二維樹狀結構計算保單價值。在 Vasicek 隨機利率模型下評價保單內含的解約選擇權公平價值。. 本文結合上述文獻之貢獻，以 Hull and White 兩階段法建構利率三元樹模型，以 CRR 模型衡量區隔資產帳戶價值，利用遞迴公式結合條件期望值的方法連結上述兩樹結構，建構二維度樹模型來評價利率變動型壽險之可解約公平保費。. 5. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(12) 第三章. 契約架構. 本章內容主要介紹利率變動型壽險之架構，包含利利率變動型壽險的基本契約，以及其最主要的特色『宣告利率』的機制，最後介紹保險契約的解約機制。. 第一節. 利率變動型壽險的架構. 依保戶繳納之保險費扣除附加費用後，依保單約定以保險公司每期（每月）公告的「宣告利率」及保單之預定利率計算保單價值準備金。當被保險人身故時，依保單契約規定來計算身故保險金給付予指定受益人。而保單價值準備金中依宣告利率增加的部分，大多以「增值回饋分享金」的模式存在。「增值回饋分享金」的計算方式係指以宣告利率與保單預定利率之差值，乘以保單價值準備金所得之值。公式如下：（宣告利率 - 預定利率）* 保單價值準備金 = 增值回饋分享金依人身保險商品審查應注意事項第四十點之二修正規定：利率變動型人壽保險商品之保單經過年度未滿六年者，其依利率變動調整值計算而得之金額應採購買增額繳清保險金額或抵繳保險費方式辦理。被保險人到達年齡十六歲前者，其依利率變動調整值計算而得之金額應採抵繳保險費之方式辦理。但因繳費期間已屆滿而無法抵繳保險費者，應改採儲存生息方式辦理，並應於被保險人到達年齡十六歲時，就累計儲存生息之金額一次計算增額繳清保險金額，其後保單年度適用第一項規定。前二項所稱之利率變動調整值就是一般所稱的增值回饋分享金。利率變動型商品的宣告利率可能會隨著經濟環境變化而波動，保險公司並不負擔保證最低宣告利率的責任，且宣告利率並不是固定利率，是會隨保險公司定期宣告的數據而改變，所以宣告利率的下限可能因市場利率偏低或其他狀況，導致沒有最低保證。. 6. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(13) 第二節. 基本契約. 在無宣告利率的機制下，利率變動型壽險退化為生死合險保單，當被保險人於投保期間發生保險事故時，或被保險人於保單期間屆滿仍存活時，保險公司負有支付予保險受益人保險金之責任。假設被保險人投保時年齡為𝑥，契約成立的時間點為 0，契約到期日的時間點為𝑇，𝐶𝑡 代表若被保險人於第𝑡個保單年度內死亡，則於第𝑡保單年度之年末給付金額。𝐶1 代表契約之基本保額，也就是當被保險人於第一個保單年度內死亡，在第一保單年度之年末給付金額。保險公司在訂定純保費或公平保費時，是按照「期望收支平衡原則」1。令𝑈 為以𝐶1 為保險金額的生死合險保單之躉繳保費，其保費為 𝑈 = 𝐶1 [∑𝑇𝑡=1(1 + 𝑖𝑔 ). −𝑡. 𝑡−1|𝑞𝑥. + (1 + 𝑖𝑔 ). −𝑇. 𝑇 𝑝𝑥 ]. (1). = 𝐶1 𝐴𝑥:𝑇̅|. 其中 𝑡−1|𝑞𝑥 表示被保險人於𝑥歲投保，在第𝑡年內死亡之機率， 𝑡𝑝𝑥 表示被保險人於第𝑡年時仍然存活之機率，此死亡之機率及存活的機率為風險中立的死亡與存活機率測度(risk-neutral mortality probability measure)；𝑖𝑔 代表折現之預定利率 (technical rate)，𝐴𝑥:𝑇̅| 表示在以預定利率𝑖𝑔 折現下，以 1 元為保險金額之生死合險保單之躉繳保費。保險公司於每一保單年度末，必須依照保額、死亡率與預定利率估計未來負債的精算現值，依此現值提列責任準備金(reserve)，此責任準備金即為保險公司對於保單持有人可能發生的負債，也是保險公司為應付保單持有人之或有求償權 (contingent claim)所提列之金額。令𝑉𝑡 為𝑡時之責任準備金 𝑉𝑡 = 𝐶𝑡 [∑𝑇−𝑡 𝑙=1 (1 + 𝑖𝑔 ). −𝑙. 𝑙−1|𝑞𝑥+𝑡. + (1 + 𝑖𝑔 ). −(𝑇−𝑡). 𝑇−𝑡𝑝𝑥+𝑡 ]. = 𝐶𝑡 𝐴𝑥+𝑡:𝑇−𝑡 ̅̅̅̅̅̅|. (2). 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1. 1. 期望收支平衡原則為純保費的精算現值等於保額支出的精算現值。 7. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(14) 第三節. 宣告利率. 行政院金融監督管理委員會於 94 年 5 月 24 日為使保險業穩健經營利率變動型保險商品，要求該類商品宣告利率之訂定應考量公司相關資產配置計畫可能之投資報酬率及合理利潤等因素，故訂定宣告利率不得超過各該利率宣告前中央銀行公布之最近一月之 10 年期中央政府公債次級市場殖利率。然而，之後因前述 10 年期中央政府公債次級市場殖利率處於低迷狀態，行政院金融監督管理委員會爰於 95 年 11 月 17 日規範人身保險業辦理利率變動型及萬能保險業務，若依「利率變動型年金保險精算實務處理準則」關於資產區隔、投資準則及現金流量測試等風險控管機制辦理，可依區隔資產實際報酬率作為宣告利率之決定依據，不受 10 年期政府公債次級市場殖利率上限之限制。宣告利率由保險公司定期宣告（通常是每月的第一個工作天），依利率變動型保單的可運用資金的投資組合收益，扣除相關費用，並參考當時市場利率水準訂定。保險公司不負保證最低宣告利率的責任，但不得為負數。以富邦人壽為例，其台幣利率變動型壽險商品條款中的宣告利率為「係指本公司於每月第一個營業日宣告用以計算及累積增值回饋分享金之利率。該利率係參考台灣銀行、第一銀行及合作金庫等三銀行上月月初（第一個營業日）牌告之二年期定期儲蓄存款最高固定年利率之平均值及本公司運用此類商品所累積資產的實際狀況而訂定」而外幣利率變動型壽險商品條款中的宣告利率則為「係指本公司每月宣告，用以計算及累積增值回饋分享金之利率。該利率係參考本公司運用此類商品所累積資產的實際狀況，並參考市場利率而訂定」。利變型壽險中的宣告利率設計將導致每年保額隨著區隔資產帳戶投資報酬率變動，假設𝑆𝑡 表示區隔資產帳戶於第𝑡年之價格，𝜂為利率變動型壽險於區隔資產帳戶之參與率，此參與率介於 0 與 1 之間，並假設 𝑆𝑡 1 + 𝛿𝑡 = 𝑒𝑥 𝑝 (𝜂 𝑙𝑜𝑔 ( ) − 𝑖𝑔 ) 𝑆𝑡−1. (3). 8. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(15) 其中𝛿𝑡 為宣告利率與預定利率之差。將保單價值準備金乘上宣告利率與預定利率之差，即為該年度保單持有人享有之回饋分享金，再依此回饋分享金購買增額繳清保險。所謂保單價值準備金是指保單持有人繳交的保費超過保險公司負擔死亡成本的部分所累積之金額，其計算公式與保單責任準備金相同，唯計算公式當中的預定利率與責任準備金的預定利率不同。而本文採用 Bacinello (2003a)的方法，假設保單責任準備金所用的預定利率與保單價值準備金的預定利率相同。將宣告利率與預定利率之差乘上當期期末保單價值準備金，即為當期之增值回饋分享金𝛿𝑡 𝑉𝑡，亦即保單價值準備金之增量，若以𝑉𝑡+ 代表回饋後之準備金，可得以下關係： 𝑉𝑡+ = (1 + 𝛿𝑡 )𝑉𝑡 ，𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1. (4). 增值回饋分享金使下一期保額由𝐶𝑡 增加為𝐶𝑡+1，也就是以增值回饋分享金購買增額之繳清保險，保額為𝐶𝑡+1 − 𝐶𝑡 ，因此保額與增值回饋分享金的關係為 (5). (𝐶𝑡+1 − 𝐶𝑡 )𝐴𝑥+𝑡:𝑇−𝑡 ̅̅̅̅̅̅| = 𝛿𝑡 𝑉𝑡. 將(2)代入上式，可得到調整前後之保額與宣告利率與預定利率之差的關係式為 𝐶𝑡+1 = 𝐶𝑡 (1 + 𝛿𝑡 )，𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1. (6). 經由歸納法得到第𝑡期保額與每一年度宣告利率與預定利率之差的關係式為 𝐶𝑡 = 𝐶1 ∏𝑡−1 𝑙=1 (1 + 𝛿𝑙 )，𝑡 = 2, … , 𝑇. (7). 9. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(16) 第四節. 解約機制. 許多種情況會導致保單持有人產生解約行為，例如財務不穩定導致無法如期繳交保費、有突發的資金需求等，而本文根據 Bacinello (2003a)之假設，採用保單持有人根據保險契約的續約價值與解約價值之大小來抉擇是否解約。解約價值又稱為解約金。若續約價值大於解約金，則保單持有人將選擇繼續持有保單，反之，若解約金大於續約價值，則保單持有人將選擇解約。根據 Bacinello (2003a)，假設解約時點僅限於每期期末，因此當保單持有人得知下一期的保額之後，便可以決定是否解約。當保單持有人解約時，所得到的解約金，是指保單價值準備金扣除解約費用後之金額。Bacinello (2003a)提出兩種解約金的計算公式：第一種為將保額以一定的解約參數𝜌1，並考量解約的時間與契約有效時間的差距予以折現，令{𝑅𝑡 ,. 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1}為每一期的解約金，其公式為 𝑅𝑡 = 𝐶𝑡+1 (1 + 𝜌1 )−(𝑇−𝑡) ，𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1. 第二種為根據當時的責任準備金扣除解約費用之後的金額，其公式為 𝑅𝑡 = 𝑘𝑉𝑡+ = 𝑘𝐶𝑡+1 𝐴𝑥+𝑡:𝑇−𝑡 ̅̅̅̅̅̅| ，𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1. (8). 其中1 − 𝑘為解約費用率。因(8)式與台灣情形較為類似，故本文採用此解約金公式。目前台灣壽險業解約金的公式大致上為 𝑡 (𝑎 + 𝑏 ) 𝑡𝑉 , 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑘 𝑘 解約金 = { 𝑉 ,𝑘 ≤ 𝑡 𝑡 其中𝑘 = 𝑚𝑖𝑛{10, 𝑛}，𝑛為繳費年期，𝑡為保單年度，𝑎與𝑏為常數(每家保險公司的係數不同)。. 10. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(17) 第四章. 研究方法. 利率變動型保單含有三種風險：死亡風險、財務風險與解約風險；死亡風險指保險金給付時間之不確定性，財務風險指保險金額之多寡的不確定性，解約風險指保單持有人解約或續約之不確定性。本文根據 Bacinello (2001, 2003a, and 2003b)的作法，假設死亡風險與財務風險是相互獨立。與死亡風險有關現金流量，都在風險中立的死亡測度之下進行評價。所謂風險中立的死亡測度，根據精算的理論，是利用資料量足夠多所建構而成的死亡率模型，例如：保險業共同認定的經驗生命表，在此死亡率模型下，與死亡或生存有關的現金流量，皆可根據被保險人的個別年齡、性別，計算其平均值，而不需考慮保險公司個別的效用。本章將介紹二維度樹模型建構之過程，首先說明短期利率與區隔資產帳戶之隨機過程假設，接著導出遞迴公式計算保單價值及解約選擇權價值，最後結合上述內容來建構二維度樹狀結構，利用二維度樹模型來評價隨機利率下利率變動型壽險之可解約公平保費。. 11. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(18) 第一節. 隨機模型. 財務風險是反映在保險公司的區隔資產帳戶價值之不確定性。此區隔資產帳戶價值為隨機過程。假設購買之標的資產組合可以無限分割。在風險中立機率測度𝑄下(risk-neutral measure)，假設風險中立機率測度𝑄與風險中立之死亡測度為獨立，𝑆𝑡 表示於時間點𝑡區隔資產帳戶價值，在財務風險中立測度之下，定義每單位區隔資產帳戶價值的動態過程為 𝑑𝑆𝑡 = 𝑟𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑠 (𝜌𝑑𝑊1𝑄 (𝑡) + √1 − 𝜌2 𝑑𝑊2𝑄 (𝑡)) 𝑆𝑡. (9). 其中𝑟𝑡 為無風險利率，因(9)式中的區隔資產帳戶價值之報酬率𝑟𝑡，為一隨機過程，本文採用 Hull and White (1990)模型，在風險中立機率測度𝑄下，定義短期利率之動態過程為 d𝑟𝑡 = 𝜅(𝜃𝑡 − 𝑟𝑡 )𝑑𝑡 + 𝜎𝑟 𝑑𝑊1𝑄 (𝑡). (10). 其中 𝜅為均數復歸之速度， 𝜎𝑟 為短期利率之波動度，𝜎𝑠 為區隔資產帳戶價值之波動度，𝜌為區隔資產帳戶之報酬率與短期利率之相關係數。在風險中立機率測度𝑄與訊息集ℱ𝑡 = 𝜎{(𝑊1𝑄 (𝑠), 𝑊2𝑄 (𝑠): 𝑠 < 𝑡 )}下，𝑑𝑊1𝑄 (𝑡)與𝑑𝑊2𝑄 (𝑡)為兩獨立布朗運動。 𝜃𝑡 為確保利率模型能與期初利率期間結構一致的時間函數，此時間函數可由市場利率求得，其公式如下： 𝜃𝑡 =. 1 𝜕𝑓 𝑀 (0, 𝑡) 𝜎𝑟2 + 𝑓 𝑀 (0, 𝑡) + 2 (1 − 𝑒 −2𝜅𝑡 ) 𝜅 𝜕𝑡 2𝜅. (11). 其中𝑓 𝑀 (0, 𝑡)為由市場利率較準之瞬間遠期利率曲線如下， 𝑓. 𝑀 (0,. 𝑡) = 𝑅. 𝑀 (0,. 𝜕𝑅 𝑀 (0, 𝑡) 𝑡) + 𝑡 𝜕𝑡. (12). 其中𝑅 𝑀 (0, 𝑡)為到期時間𝑡之零息公債殖利率。然而市場僅公布有限個到期期限之殖利率，無法對於即期殖利率曲線進行微分，雖然可透過有限差分法 (finite difference) 進行近似，但往往產生遠期殖利率曲線不平滑之現象，容易得到一組不合常理之數值。因此本研究假設即期殖利率曲線服從一組三次多項式，如下 12. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(19) 𝑅 𝑀 (0, 𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝛽2 𝑡 2 + 𝛽3 𝑡 3. (13). 其中(13)式多項式之係數可由線性最小平方法校準之。如此一來可平滑化遠期利率曲線又可避免異常值之產生。. 第二節. 可解約之公平保費與解約選擇權價值. 在每一年度末，保戶根據未來的現金流量計算出續約價值與解約價值來決定是否解約。若續約價值大於解約價值，則保單持有人將選擇繼續持有保單，反之，若解約價值大於續約價值，則保單持有人將選擇解約。令𝑌𝑡 表示時間𝑡之續約價值，在時間𝑡至𝑡 + 1之間，如果被保險人死亡則獲得保額𝐶𝑡+1 ，否則保戶之契約價值為𝐹𝑡+1 。根據財務風險與死亡風險獨立之假設，續約價格𝑌𝑡 計算方法如下： 𝑡+1. 𝑌𝑡 = 𝐸𝑡𝑄 (𝑒𝑥𝑝 (− ∫𝑡. , 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 − 1 (14). 𝑟𝑢 𝑑𝑢) (𝑞𝑥+𝑡 𝐶𝑡+1 + 𝑝𝑥+𝑡 𝐹𝑡+1 )). 其中𝐸𝑡𝑄 代表在風險中立機率測度𝑄下，給定訊息集ℱ𝑡 之條件期望值。𝑞𝑥+𝑡 代表 𝑥 + 𝑡歲被保人於一年內死亡機率；𝑝𝑥+𝑡 代表𝑥 + 𝑡歲被保人於一年後存活機率， 𝑟𝑢 代表瞬時短期利率，𝐹𝑡+1為時間點𝑡 + 1之契約最佳價格，亦即 (15). 𝐹𝑡+1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑌𝑡+1 , 𝑅𝑡+1 }. 其中𝑅𝑡+1 由(8)式及(2)式計算。特別的是，在時間點𝑇 − 1，如果契約依然有效，在時間𝑇 − 1至𝑇之間不管投保人是否身故，投保人在契約到期時點𝑇可獲得保額 𝐶𝑇 。因此契約價值在到期時會等於𝐶𝑇 ，則在時間𝑇 − 1續約價值為 𝑇. 𝑄 𝑌𝑇−1 = 𝐸𝑇−1 (𝑒𝑥𝑝 (− ∫𝑇−1 𝑟𝑢 𝑑𝑢) 𝐶𝑇 ). (16). 比較續約價值與解約價值，則契約價值為 𝐹𝑇−1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑌𝑇−1 , 𝑅𝑇−1 }. (17). 以(16)式為起始值帶入(17)式與(14)式遞迴計算，則可從時間𝑇 − 1計算至時間 0，得到續約價值𝑌0 ，即為契約公平價格。 13. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(20) 為了使二維樹模型在計算上可行，後續現金流之間的遞迴關係推導如下。為簡化式子，區隔資產帳戶之相對價格為 𝑎𝑡 = 𝑡+1. 𝑒𝑥𝑝 (− ∫𝑡. 𝑆𝑡+1 𝑆𝑡. ，折現因子為 𝑏𝑡 =. 𝑟𝑢 𝑑𝑢)。則根據(9)與(10)式，隨機過程(𝑎𝑡 , 𝑏𝑡 )相對於短期利率𝑟𝑡 為馬. 可夫過程。因此或有給付𝑋之無套利價格，在時間𝑡，風險中立測度𝑄下為𝐸𝑡𝑄 (𝑋) ≜ 𝐸 𝑄 (𝑋|ℱ𝑡 ) = 𝐸 𝑄 (𝑋|𝑟𝑡 )。令𝑌0 表示可解約利變型壽險的公平保費，基本保額為𝐶1 且契約期間為𝑇。 (18). 定義在時間點𝑇 − 1，𝐻𝑇−1 = 𝐸𝑇−1 (𝑏𝑇−1 ) 在時間𝑡 = 𝑇 − 2, … ,1， 𝐻𝑡 = 𝑞𝑥+𝑡 𝐸𝑡 (𝑏𝑡 ) + 𝑝𝑥+𝑡 𝐸𝑡 (𝑏𝑡 (1 + 𝛿𝑡+1 )𝑚𝑎𝑥 {𝐻𝑡+1 , 𝑘𝐴𝑥+𝑡+1:𝑇−𝑡−1| }). (19). 則可解約利率變動型壽險之公平保費為 (20). F0 = 𝑌0 = 𝐶1 𝐻0. 證明：令𝑌𝑡 = 𝐶𝑡+1 𝐻𝑡 透過(14)(15)式與(16)式，則可由數學歸納法求得(18)式與(19) 式之遞迴公式。根據給定資訊集ℱ𝑡 ，在時間𝑡時，參考過去資訊所計算出的保額 𝐶𝑡+1 ，以及透過(19)式計算且只與未來資訊有關的𝐻𝑡 。契約價值𝑌𝑡 可由上述兩項相乘而得，亦即𝑌𝑡 = 𝐶𝑡+1 𝐻𝑡。接著，為計算利變型壽險隱含的解約選擇權價值，定義𝑃𝐵 為不可解約利率變動型壽險的公平保費；𝑃𝑠 為可解約利率變動型壽險的公平保費，則解約選擇權之價值如下解約選擇權價值＝𝑃𝑠 − 𝑃𝐵. (21). 14. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(21) 第三節. 二維度樹模型. 直覺上，可以利用樹結構來計算美式選擇權，CRR (Cox et al. (1979))模型提供了一種簡單且有效的方法來評價固定利率之下可提早履約之單一資產商品，例如美式選擇權、百慕達選擇權。鑑於隨機利率下，標的資產也為隨機過程，必須建構標的資產與無風險利率的兩維度樹模型，如 Ho et. al. (1995) 所提出。但這些方法用於計算長期合約時非常耗時。因此，我們可藉由條件期望值之方法計算 (19) 式之𝐻𝑡 。如下： 𝐻𝑡 = 𝑞𝑥+𝑡 𝐸𝑡 (𝑏𝑡 ) + 𝑝𝑥+𝑡 𝐸𝑡 (𝑏𝑡 𝐸((1 + 𝛿𝑡+1 )|𝑏𝑡 )𝑚𝑎𝑥 {𝐻𝑡+1 , 𝑘𝐴𝑥+𝑡+1:𝑇−𝑡−1| }) (22) 𝑡+1. 其中𝑏𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫𝑡. 𝑟𝑢 𝑑𝑢)。這裡主要的想法為𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 與𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 之聯合機率分配，. 透過(9)與(10)式，其服從二維常態分配。因此𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 給定 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 之條件機率分配為常態分配，亦即𝑎𝑡 給定𝑏𝑡 (或𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 )為對數常態分配。在時間𝑡，給定資訊集ℱ𝑡 ， 1. 2 𝑎𝑡 = 𝑒𝑥𝑝{𝜇𝑎|𝑏,𝑡 + 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ∙ 𝑊} = 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟𝑎|𝑏,𝑡 − 2 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ) + 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ∙ 𝑊} (23). 其中𝜇𝑎|𝑏,𝑡 與𝜎𝑎|𝑏,𝑡 分別表示 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 給定 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 條件分配之平均數與標準差。令 1. 𝑆𝑡+1. 2 𝑟𝑎|𝑏,𝑡 = 𝜇𝑎|𝑏,𝑡 − 2 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ，而𝑊為標準布朗運動，則區隔資產帳戶相對價格𝑎𝑡 或. 𝑆𝑡. 在 CRR 二元樹架構下，其漂移項為𝑟𝑎|𝑏,𝑡，條件波動度為𝜎𝑎|𝑏,𝑡。證明請見附錄一。結合遞迴公式以及上述條件期望值的方法，建構二維度樹模型，以下說明建構二維度樹模型之步驟：第一步驟為建立利率樹。在現實生活中，利率不會無止境上漲或無止境下跌，而是會以某個利率水準為基準，當利率過高時或過低時就會往利率水準的方向變動，這與 Hull and White (1994)發表的三元樹模型概念一樣，因此本研究在隨機利率樹的建構上採用 Hull and White (1994)二階段三元樹模型。 d𝑟𝑡 = 𝜅(𝜃𝑡 − 𝑟𝑡 )𝑑𝑡 + 𝜎𝑟 𝑑𝑊1𝑄 (𝑡). (24). 15. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(22) 第一階段為建立期初值為零，且𝜃𝑡 = 0，對稱於𝑟 ∗ = 0，服從以下𝑟 ∗ 隨機過程之三元樹 𝑑𝑟 ∗ = −𝜅𝑟 ∗ 𝑑𝑡 + 𝜎𝑟 𝑑𝑊. (25). ∗ 𝑟𝑡+∆𝑡 − 𝑟𝑡∗ 服從期望值為−𝜅𝑟 ∗ ∆𝑡，變異數為𝜎𝑟2 ∆𝑡的常態分配。定義利率樹上的利. 率間距為∆𝑟 ∗ = 𝜎𝑟 √3∆𝑡，且任一節點(𝑖, 𝑗)代表時間為𝑡 = 𝑖∆𝑡，利率𝑟 ∗ 為𝑗∆𝑟 ∗ 的結點。透過一階與二階常態分配的動差函數與機率總和等於一的條件來求得下一期利率上升機率𝑝𝑢 ，利率持平機率𝑝𝑚 ，利率下跌機率𝑝𝑑 。在第一階段下，當期的利率變化到下一期，會有三種走勢如圖 4-1，當利率過高時路徑為(c)，當利率過低時路徑為(b)，其餘一般情況路徑則為(a)。圖 4-1、利率三元樹路徑圖. (b). (a). (c). 圖 4-1 三種利率走勢所對應之上升機率𝑝𝑢 、持平機率𝑝𝑚 、下跌機率𝑝𝑑 分別為 (a) 𝑝𝑢 =. 1 1 2 2 2 + (𝜅 𝑗 ∆𝑡 − 𝜅𝑗∆𝑡) 6 2. 𝑝𝑚 =. 2 − 𝜅 2 𝑗 2 ∆𝑡 2 3. 𝑝𝑑 =. 1 1 2 2 2 + (𝜅 𝑗 ∆𝑡 + 𝜅𝑗∆𝑡) 6 2 16. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(23) (b) 𝑝𝑢 =. 1 1 2 2 2 + (𝜅 𝑗 ∆𝑡 + 𝜅𝑗∆𝑡) 6 2. 1 𝑝𝑚 = − − 𝜅 2 𝑗 2 ∆𝑡 2 − 2𝜅𝑗∆𝑡 3 𝑝𝑑 =. 7 1 2 2 2 + (𝜅 𝑗 ∆𝑡 + 3𝜅𝑗∆𝑡) 6 2. 𝑝𝑢 =. 7 1 2 2 2 + (𝜅 𝑗 ∆𝑡 − 3𝜅𝑗∆𝑡) 6 2. (c). 1 𝑝𝑚 = − − 𝜅 2 𝑗 2 ∆𝑡 2 + 2𝜅𝑗∆𝑡 3. 𝑝𝑑 =. 1 1 2 2 2 + (𝜅 𝑗 ∆𝑡 − 𝜅𝑗∆𝑡) 6 2. 根據 Hull and White (1994, 2008)，我們定義𝑗𝑚𝑎𝑥 ≤. 0.184 𝜅∆𝑡. ，且𝑗𝑚𝑖𝑛 = −𝑗𝑚𝑎𝑥。圖 4-2. 表示第一階段利率樹結構。圖 4-2、Hull and White 第一階段利率樹結構圖. 17. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(24) 然而第一階段建構的利率樹和當時市場所觀察到的利率期間結構未必相同，所以第二階段要將𝑟 ∗ 上的節點能完全符合期初利率期間結構，把𝑟 ∗ 三元樹轉為𝑟三元樹，定義𝛼𝑖 = 𝛼(𝑖∆𝑡)為𝑟在𝑟三元樹中𝑖∆𝑡時的利率減去對應的𝑟 ∗ 三元樹中𝑟 ∗ 在𝑖∆𝑡 時的利率，亦即𝛼𝑖 = 𝑟 − 𝑟 ∗，其中𝛼0 為現在到∆𝑡時間的即期利率(spot rate)。𝑄𝑖,𝑗 為一個在利率走到節點(𝑖, 𝑗)時支付 1 元，否則報酬為零的商品之現值。𝛼𝑖 與𝑄𝑖,𝑗 可以在期初期間結構完全吻合的條件下以往前推法(Forward induction)求出，得到下列公式。 𝑛. 𝛼𝑖 =. 𝑖 𝑙𝑛 ∑𝑗=−𝑛 𝑄 𝑒 −𝑗∆𝑟 𝑖 𝑖,𝑗. ∗ ∆𝑡. − 𝑙𝑛𝑃(0, 𝑖 + 1). ∆𝑡. 其中𝑃(0, 𝑖 + 1)為在𝑖 + 1到期之零息債券價格，𝑛𝑖 = min(𝑖, 𝑗𝑚𝑎𝑥 )。一旦求出𝛼𝑖 ，則𝑄𝑖+1,𝑗 可由下列公式計算。 𝑄𝑖+1,𝑗 = ∑ 𝑄𝑖,𝑙 𝑞𝑙,𝑗 𝑒𝑥𝑝(−(𝛼𝑖 + 𝑙∆𝑟 ∗ )Δ𝑡) 𝑙. 其中𝑞𝑙,𝑗 為結點(𝑖, 𝑙)到結點(𝑖 + 1, 𝑗)的機率。由上述說明計算出每一期的𝛼𝑖 後，透過𝑟 = 𝑟 ∗ + 𝛼𝑖 ，便可得到與市場一致的利率樹𝑟如圖 4-3。圖 4-3、Hull and White 第二階段利率樹結構圖. 18. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(25) 第二步驟為建立區隔資產帳戶相對價格的二元樹。在每個契約年度末，保單持有人需選擇解約或續約，因此要計算每個年度末解約價值與續約價值，解約價值依照(8)式計算。而續約價值需考量與區隔資產帳戶價值連動的宣告利率，用於累積保單價值準備金。這部分則利用區隔資產帳戶相對價格的二元樹模型來計 (𝑖,𝑗). (𝑖,𝑗). 算。給定利率樹上第𝑡個年度末對應之利率值𝑟𝑡+1 ，計算出𝑏𝑡. (𝑖,𝑗). = 𝑒𝑥𝑝 (−𝑟𝑡+1 ) ，. 再藉由𝑎𝑡 給定𝑏𝑡 (或𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 )為對數常態分配來建構區隔資產帳戶價值之二元樹，如圖 4-4。 1. 2 𝑎𝑡 = 𝑒𝑥𝑝{𝜇𝑎|𝑏,𝑡 + 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ∙ 𝑊} = 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟𝑎|𝑏,𝑡 − 2 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ) + 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ∙ 𝑊} (26). 圖 4-4、利率與區隔資產帳戶之二維度樹結構. (𝑖,𝑗). {𝑟𝑡+1 }. 𝑛𝑡. 𝑗=1. (𝑖). 𝑟𝑡. (𝑖,𝑗). 𝑏𝑡. (𝑖,𝑗). = 𝑒𝑥𝑝 (−𝑟𝑡+1 ). (𝑖,𝑗,𝑙). 𝑛. {𝑎𝑡+1 }. 𝑙=1. ⋮ (𝑖,𝑗). 𝑏𝑡. (𝑖,𝑗,𝑙). ⋮. (𝑖,𝑗,𝑙). 1 + 𝛿𝑡+1 = 𝑒𝑥𝑝 (𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑡+1 ). 19. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(26) 第三步驟為遞迴計算利變型壽險之公平保費。 (𝑖,𝑗). 𝑏𝑡. (𝑖,𝑗). 𝐸((1 + 𝛿𝑡+1 )|𝑏𝑡. (𝑖,𝑗). (27). = exp (−𝑟𝑡+1 ) (𝑖,𝑗,𝑙). ) = ∑𝑛𝑙=1(1 + 𝛿𝑡+1 ) ∙ 𝑞𝑖,𝑗,𝑙. (28). 其中，𝑞𝑖,𝑗,𝑙 為區隔資產帳戶相對價格二元樹之對應機率，結合前兩步驟的樹結 (𝑖,𝑗). 構，利用(27)式計算出條件期望值𝐸((1 + 𝛿𝑡+1 )|𝑏𝑡. (𝑖). )，則可計算出𝐻𝑡 ，. 3𝑛 (𝑖). (𝑖,𝑗). 𝐻𝑡 = ∑ 𝑞𝑖,𝑗 (𝑞𝑥+𝑡 𝑏𝑡 𝑗=1. (𝑖,𝑗). + 𝑝𝑥+𝑡 𝑏𝑡. (𝑖,𝑗). 𝐸((1 + 𝛿𝑡+1 )|𝑏𝑡. (𝑗). )𝑚𝑎𝑥 {𝐻𝑡+1 , 𝑘𝐴𝑥+𝑡+1:𝑇−𝑡−1| }). (29). 其中，𝑞𝑖,𝑗 為利率樹之對應機率。根據(27)(28)與(29)式，從時間𝑇 − 1計算至時間 0，則得出公平保費𝑌0 = 𝐶1 𝐻0 。. 20. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(27) 第五章. 數值分析. 本章架構首先討論在不可解約機制下，比較二維度樹模型價格與公平保費之封閉解，以確認二維度樹模型的精確性及收斂程度。接著分析各個參數對於可解約公平保費以及解約選擇權價值的敏感度分析。. 第一節. 不可解約利率變動型壽險公平保費. 假設保戶解約所得之解約金為 0，也就是𝑘 = 0。鑑於前述保單持有人會比較續約價值及解約價值來抉擇是否解約，在解約價值為零的情況下，保單持有人絕不會解約。則此契約變為不可解約之利率變動型壽險，其不可解約公平保費有三種算法，第一種可透過(27)式計算保費之封閉解， 𝑡. 𝑇. ∑𝑇𝑡=1 𝐸 (𝑞𝑥+𝑡 𝐶𝑡 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫0 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) + 𝐸 (𝑝𝑥+𝑇 𝐶𝑇 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫0 𝑟𝑢 𝑑𝑢)). (30). 計算過程請見附錄二。第二種透過二維度樹模型在𝑘 = 0的設定下計算，第三種為蒙地卡羅模擬法，透過這三種方法來確認二維度樹模型的精確性。對於契約期間為四年之利率變動型壽險，設定基本保額𝐶1 = 1，短期利率 𝑟0 = 0.37% ，均數復歸速度𝜅 = 0.3，短期利率波動度𝜎𝑟 = 3%，區隔資產帳戶價值之波動度𝜎𝑠 = 15%，利率與資產之相關係數𝜌 = 0.1，參與率𝜂 = 60%，預定利率𝑖𝑔 = 3%，投保年齡𝑥 = 20。採用自台灣經濟新報 (TEJ)取得之台灣公債殖利率，樣本期間為 2009/01 至 2016/10，資料頻率為月資料，即利用該月份最後一個交易日作為當月利率資料，用以估計𝜃𝑡。在各種時間間隔下，比較二維度樹模型與封閉解及蒙地卡羅模擬之價格。n=2, 4, 6, 12, 20 分別表示樹模型每年之時間間距，亦即半年期、季期、兩月期、月期、18.25 天期。其中，蒙地卡羅模擬為模擬每月利率及每月區隔資產帳戶價值之 10000 條路徑。本研究中使用之死亡率概率數據摘自台灣壽險業第五回經驗生命表(民國 101 年)。計算結果如表 5-1。當 n=20 時，二維度樹模型與封閉解之間的差距在 0.01 元（基本保額 1 元）之內。本文選擇 n=20 作為後續分析依據。透過蒙地卡羅模擬收斂至封閉解的特性，由. 21. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(28) 圖 5-1 到圖 5-2 確認封閉解之準確性。由圖 5-3 到圖 5-4 得知，當時間間距越小 (n 越大)二維度樹模型價格趨於收斂。二維度樹模型. 封閉解. n=2. n=4. n=6. n=12. n=20. 0.2 1.5%. 0.90092. 0.89903. 0.89840. 0.89778. 0.89754. 3.0%. 0.91406. 0.91090. 0.90988. 0.90887. 0.3 1.5%. 0.90094. 0.89892. 0.89826. 3.0%. 0.91328. 0.91012. 0.90910. 𝜿. 𝜎𝑟. 蒙地卡羅模擬價格. 標準誤. 0.90741. 0.90863. 0.00144. 0.90848. 0.90735. 0.90805. 0.00148. 0.89760. 0.89734. 0.90742. 0.90879. 0.00144. 0.90811. 0.90771. 0.90723. 0.90868. 0.00148. 表 5-1、利率參數之敏感度分析. 二維度樹模型. 封閉解. n=2. n=4. n=6. n=12. n=20. 0.1 15%. 0.91328. 0.91012. 0.90910. 0.90811. 0.90771. 20%. 0.88935. 0.88608. 0.88503. 0.88401. 0.3 15%. 0.90094. 0.89892. 0.89826. 20%. 0.87858. 0.87387. 0.87089. 𝝆. 𝜎𝑠. 蒙地卡羅價格. 標準誤. 0.90723. 0.90868. 0.00148. 0.88360. 0.90896. 0.90463. 0.00193. 0.89760. 0.89734. 0.91507. 0.91003. 0.00148. 0.87089. 0.87031. 0.91008. 0.90455. 0.00194. 表 5-2、資產參數之敏感度分析. 22. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(29) 圖 5-1、不可解約公平保費封閉解與蒙地卡羅模擬收斂情形(𝜅 = 0.2) 0.93. 不可解約公平保費. 0.925 0.92 0.915 0.91 0.905 0.9 0.895 0.89 0.885 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. 9000. 10000. 模擬次數 Monte Carlo Simulation. expected value. 圖 5-2、不可解約公平保費封閉解與蒙地卡羅模擬收斂情形(𝜅 = 0.3) 0.93. 不可解約公平保費. 0.925 0.92 0.915 0.91 0.905 0.9 0.895 0.89 0.885 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. 9000. 10000. 模擬次數 simulation. expected value. 23. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(30) 圖 5-3、封閉解、蒙地卡羅模擬與二維度樹模型收斂情形(𝜅 = 0.2) 0.915. 不可解約公平保費. 0.914 0.913 0.912 0.911 0.91 0.909 0.908 0.907 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. 切割期數(n) non-surrenderable premuim. expected value. Monte Carlo Simulation. 圖 5-4、封閉解、蒙地卡羅模擬與二維度樹模型收斂情形(𝜅 = 0.3) 0.914. 不可解約公平保費. 0.913 0.912 0.911 0.91 0.909 0.908 0.907 0.906 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. 切割期數(n) non-surrenderable premuim. expected value. Monte Carlo Simulation. 24. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(31) 第二節. 可解約利率變動型壽險公平保費敏感度分析. 本節假設基本保額為𝐶1 =10,000，圖 5-5 與圖 5-6 表示利率瞬間波動度𝜎𝑟 對於可解約利變型壽險的公平價值及解約選擇權價值的影響。如果利率瞬間波動度從 1%增加至 5%，則可解約利變型壽險的保費增加 NT575.65 (每萬元保額)，解約選擇權價值增加 NT157.39 (每萬元保額)。如果利率瞬間波動度從 5%增加至 10 ％，則可解約利變型壽險的保費增加 NT1243.83 (每萬元保額)，解約選擇權價值增加 NT480.56 (每萬元保額)。本文研究結果說明雖然解約選擇權價值占整體保費的比例不高，但其對於利率波動的敏感性極高。利率波動度越高，解約選擇權價值增加的幅度越大，這是因為越高的利率波動度，解約選擇權價內的機會越高，因此也越有價值。圖 5-5、短期利率波動度對可解約利變型壽險保費之敏感度. 可解約公平保費. 11000 10500 10000 9500 9000 8500 8000 0. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.1. 0.12. 短期利率波動度. 圖 5-6、短期利率波動度對解約選擇權價值之敏感度 700. 解約選擇權. 600 500 400 300 200 100 0 0. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.1. 0.12. 短期利率波動度. 25. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(32) 圖 5-7 與圖 5-8 表示短期利率參數κ對於利變型壽險的公平價值及解約選擇權價值的影響。如果均數復歸速度從 0.1 增加至 0.4，則可解約利變型壽險的保費減少 NT72.18 (每萬元保額)，解約選擇權價值減少 NT67.058 (每萬元保額)。結果顯示均數復歸對公平保費影響性較低，其中保費減少的額度大多是由解約選擇權價值所貢獻。圖 5-7、均數復歸速度對可解約利變型壽險保費之敏感度 9170. 可解約公平保費. 9160 9150 9140 9130 9120 9110 9100 9090 9080 0.05. 0.1. 0.15. 0.2. 0.25. 0.3. 0.35. 0.4. 0.45. 0.4. 0.45. 均數復歸速度. 圖 5-8、均數復歸速度對解約選擇權價值之敏感度 140 120. 解約選擇權. 100 80 60 40 20 0 0.05. 0.1. 0.15. 0.2. 0.25. 0.3. 0.35. 均速數復歸速度. 26. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(33) 圖 5-9 與圖 5-10 表示利率與區隔資產帳戶價值的相關係數𝜌對於利變型壽險的公平價值及解約選擇權價值的影響。結果顯示可解約公平保費隨著相關係數的升高而降低，而在相關係數為正時，對解約選擇權價值才有較顯著的影響。如果相關係數從 0.1 增加至 0.9，則可解約利變型壽險的保費減少 NT107.34 (每萬元保額)，解約選擇權價值則增加 NT337.91 (每萬元保額)。圖 5-9、相關係數對可解約利變型壽險保費之敏感度 9600. 可解約公平保費. 9500 9400 9300 9200 9100 9000 -1. -0.8. -0.6. -0.4. -0.2. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 0.8. 1. 利率與區隔資產帳戶價值的相關係數. 圖 5-10、相關係數對解約選擇權價值之敏感度 450 400 350. 解約選擇權. 300 250 200 150 100 50 0. -1. -0.8. -0.6. -0.4. -0.2. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 利率與區隔資產帳戶價值的相關係數. 27. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(34) 圖 5-11 與圖 5-12 表示區隔資產帳戶波動度𝜎𝑠 對於利變型壽險的公平價值及解約選擇權價值的影響。如果區隔資產帳戶波動度從 10%增加至 20%，則可解約利變型壽險的保費減少 NT367.74 (每萬元保額)，而解約選擇權價值則增加 NT54.06 (每萬元保額)。研究結果顯示保費與解約選擇權價值對區隔資產帳戶波動度之敏感性與利率波動度之敏感性比較，對區隔資產帳戶波動度之敏感性相對低很多。圖 5-11、區隔資產帳戶價值波動度對可解約利變型壽險保費之敏感度 9350 9300. 可解約公平保費. 9250 9200 9150 9100 9050 9000 8950 8900 0.09. 0.11. 0.13. 0.15. 0.17. 0.19. 0.21. 區隔資產帳戶價值波動度. 圖 5-12、區隔資產帳戶價值波動度對解約選擇權價值之敏感度 100 90 80. 解約選擇權. 70 60 50 40 30 20 10 0 0.09. 0.11. 0.13. 0.15. 0.17. 0.19. 0.21. 區隔資產帳戶價值波動度 28. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(35) 設定短期利率𝑟0 = 0.37% ，均數復歸速度𝜅 = 0.3，短期利率波動度𝜎𝑟 = 3%，區隔資產帳戶價值之波動度𝜎𝑠 = 15%，利率與資產之相關係數𝜌 = 0.1，參與率 𝜂 = 60%，預定利率𝑖𝑔 = 3%，時間間隔 n=20。表 5-3 為每萬元基本保額𝐶1 下，各年齡的基本契約保費𝑃、不可解約保費𝑃𝐵 及可解約總保費𝑃𝑆 之結果。其中基本契約保費𝑃計算公式如下： 𝑡. 𝑇. 𝑃 = ∑𝑇𝑡=1 𝐸 (𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫0 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) + 𝐸 (𝑝𝑥+𝑇 𝐶1 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫0 𝑟𝑢 𝑑𝑢)). (31). 解約選擇權價值約占基本保額𝐶1 約 0.5~0.6%，雖看似佔比不高，但從第一章提及 2017 年利率變動型壽險為保險公司創造了約 6215 億元的保費收入來看，隱含之解約選擇權價值預估約 31~37 億元。因此保險公司於發行利率變動型壽險時，應衡量保單中之解約保險費，充分反應至總保費中，以利投資部門做避險及分散風險之考量。 𝑥. 𝑃. 回饋價值. 𝑃𝐵. 解約選擇權價值. 20. 8897.00. 180.18. 9077.18. 56.49. 9133.67. 21. 8898.13. 179.09. 9077.22. 56.58. 9133.80. 22. 8899.57. 177.70. 9077.27. 56.70. 9133.97. 23. 8901.21. 176.14. 9077.35. 56.81. 9134.16. 24. 8902.77. 174.68. 9077.45. 56.89. 9134.34. 25. 8904.13. 173.41. 9077.54. 56.97. 9134.51. 26. 8905.29. 172.34. 9077.63. 57.04. 9134.67. 27. 8906.56. 171.14. 9077.70. 57.12. 9134.82. 28. 8908.08. 169.68. 9077.76. 57.25. 9135.01. 29. 8909.96. 167.89. 9077.85. 57.38. 9135.23. 30. 8912.26. 165.69. 9077.95. 57.55. 9135.50. 𝑃𝑆. 表 5-3、各年齡費率表. 29. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(36) 第六章. 結論. 就保險公司而言，利率變動型壽險商品可說是攻守皆備的工具。從保險業經營的角度來看，適時調整宣告利率到合理的水準，使宣告利率與市場投資報酬率一致，是有助於保險公司在資產負債的管理。另外從經濟循環的角度來看，利率上下變化是自由競爭市場下的必然現象，也是保險業者經營上無從避免的課題，若保單預定利率一直維持在過往那 6%~8%以上的時代，當面臨現今這種低利率的現象，保險公司的利差損將會越來越嚴重，甚至有可能會發生經營上的危機。現在的低利率環境，正是銷售利率變動型壽險商品的好時機，透過利率變動型商品的存在，雖然預定利率不像過往這麼高，但保險公司能透過有效的資金運用產生報酬來支付利率變動調整值計算金額(增值回饋分享金)，隨著未來利率上升趨勢，保險業者也可獲得一定的利潤，將可以有效降低利差損的問題。就保戶而言，利率變動型壽險商品的收益與整體經濟有著很大的關聯，通常各家壽險公司每月都會公布其宣告利率，而就目前市場上各家壽險公司利率變動型保險商品的宣告利率看來，近期的宣告利率都已高於銀行定存，加上未來利率走揚的趨勢，未來幾年的保單宣告利率也將預期隨之上揚，民眾擁有利率變動型保險商品的保單價值，也將會隨著各保險公司調高宣告利率而增值，如此一來也可對抗通貨膨脹。而民眾購買利率變動型壽險商品時，一定要了解宣告利率並非報酬率，且宣告利率也不是保證利率。民眾投保時切勿單考量宣告利率，必須同時考量各家壽險公司的保險成本、附加費用率等。本文討論內含解約選擇權之利率變動型壽險，在隨機利率下，建構二維度樹模型，針對公平保費及解約選擇權進行評價。解約選擇權因考慮解約時點之隨機性，類似美式選擇權。透過二維度樹模型評價時，不但具有精確度與收斂性質，計算上也十分有效率。根據 Bacinello 的設計，其解約時間點限制於每一年度末，而現今保單的解約時間點大部分為隨時可解約，或是解約時間點較具彈性，以利保單之推行。因此，藉由本文所提出之二維度樹模型，除可評價較長契約期間之. 30. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(37) 保單外，亦可增加解約時點，例如：將每年度末解約的限制改為每月分末解約，甚至於每一個交易日皆可解約。如此保單將更具彈性與競爭力。在二維度樹模型評價利率變動型壽險應用方面，除了用於每年固定時間點解約之利變型保單外，二維度樹模型也可以拓展至多維度樹模型，以應用於金融市場上，例如：根據多組資產價值之投資型保單、變額壽險等。對於一般可解約之連結型保單之資產面定價模式，如 Bacinello (2005)，也可應用本文之二維度樹模型與遞迴公式評價。此外，分期繳保費制度較能符合一般保戶的經濟能力，可將本文的二維度樹模型與遞迴公式，應用到分期繳保費制度，如 Bacinello (2003b)，不但能使保費計算上更又效率，更可以為爭取更多保險公司提高市場競爭力。本文對於未來的研究方向給予以下幾點建議： 1. 本文假設投保者具有非常理性的解約行為，但實際上投保者可能因為個人因素(如：現金之需求)而解約，一般的投保者是否有能力去做最佳的解約決策，以及根據金融經濟學之無套利評價法，與實際解約情況之差距，哪些因素會影響投保者產生解約行為，這部分未來可加入解約模型來探討。 2. 宣告利率的變動會影響公司資產與負債價值，不同之宣告利率，其適合的投資策略也不同，此外，過低的宣告利率會誘發保戶產生解約行為，宣告利率更為保險公司之間競爭力的指標。宣告利率連接保險公司的區隔資產帳戶價值，而壽險業的資產部位大部分為投資債券，投資股票佔比不高，因此未來在區隔帳戶資產模型應選擇以債券為主的動態過程。. 31. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(38) 參考文獻一、中文文獻 [1] 李明黛. (2002). 利率風險對公司經營之影響:台灣壽險市場之實證研究. 政治大學風險管理與保險學系碩士學位論文. [2] 林士貴, 張智凱, & 廖四郎. (2008). 可解約分紅保單之遞迴評價公式. 財務金融學刊, 16(3), 107-147. [3] 賴詩婷. (2011). 隨機利率模型下分紅保單之解約選擇權評價. 逢甲大學統計與精算學系碩士學位論文. [4] 王禕鴻. (2015). 利率變動型壽險探討. 中央大學財務金融學系碩士在職專班學位論文.. 二、英文文獻 [1] Bacinello, A. R., & Ortu, F. (1993). Pricing equity-linked life insurance with endogenous minimum guarantees. Insurance: Mathematics and Economics, 12(3), 245-257. [2] Bacinello, A. R. (2001). Fair pricing of life insurance participating policies with a minimum interest rate guaranteed. ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, 31(2), 275-297. [3] Bacinello, A. R. (2003a). Fair valuation of a guaranteed life insurance participating contract embedding a surrender option. Journal of Risk and Insurance, 70(3), 461-487. [4] Bacinello, A. R. (2003b). Pricing guaranteed life insurance participating policies with annual premiums and surrender option. North American Actuarial Journal, 7(3), 1-17. [5] Bacinello, A. R. (2005). Endogenous model of surrender conditions in equity-linked life insurance. Insurance: Mathematics and Economics, 37(2), 270-296. [6] Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637-654. [7] Briys, E., & De Varenne, F. (1997). On the risk of insurance liabilities: debunking some common pitfalls. Journal of Risk and Insurance, 673-694. [8] Cox, J. C., Ingersoll Jr, J. E., & Ross, S. A. (2005). A theory of the term structure of interest rates. In Theory of Valuation, 129-164. 32. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(39) [9] Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229-263. [10] Hao, J. C. (2011). The pricing for interest sensitive products of life insurance firms. Scientific Research, 2, 194-202. [11] Hilliard, J., A. Schwartz, and A. Tucker (1996). Bivariate binomial options pricing with generalized interest rate processes. The Journal of Financial Research, 19, 585-602. [12] Ho, T. S., Stapleton, R. C., & Subrahmanyam, M. G. (1995). Multivariate binomial approximations for asset prices with nonstationary variance and covariance characteristics. The Review of Financial Studies, 8(4), 1125-1152. [13] Ho, T. S., & LEE, S. B. (1986). Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. The Journal of Finance, 41(5), 1011-1029. [14] Huang, H. C. & Lee, Y. T. (2008). The risk management of interest rate sensitivity policies: Interest rate declaring strategies and investment. 保險專刊, 24, 1-28. [15] Hull, J., & White, A. (1990). Pricing interest-rate-derivative securities. The Review of Financial Studies, 3(4), 573-592. [16] Hull, J., & White, A. (1993). One-factor interest-rate models and the valuation of interest-rate derivative securities. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 28(2), 235-254. [17] Hull, J., & White, A. (1994). Numerical procedures for implementing term structure models I: Single-factor models. Journal of Derivatives, 2(1), 7-16. [18] Hull, J., & White, A. (2008). Dynamic models of portfolio credit risk: A simplified approach. Journal of Derivatives, 15(4), 9. [19] Nelson, D. and K. Ramaswamy (1990). Simple binomial processes as diffusion approximations in financial models, The Review of Financial Studies, 3, 393-430. [20] Vasicek, O. (1977). An equilibrium characterization of the term structure. Journal of financial Economics, 5(2), 177-188. [21] Wei, J. (1993). Valuing American equity options with a stochastic interest rate: A note, The Journal of Financial Engineering, 2, 195-206.. 33. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(40) 附錄一、利率與區隔資產帳戶的條件機率分配以下說明𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 給定 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 之條件機率分配，在時間𝑡至𝑡 + 1，根據(10)式，可推出折現因子𝑏𝑡 為 𝑡+1. 𝑏𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫. 𝑟𝑢 ). 𝑡 𝑡+1. 𝑡+1. = 𝑒𝑥𝑝 (−𝑟𝑡 𝐵(𝑡, 𝑡 + 1) − 𝜅 ∫. 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1)𝑑𝑢 − 𝜎𝑟 ∫. 𝑡. 𝑡. 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢)). 其中 𝑡2. 𝐵(𝑡1 , 𝑡2 ) = ∫ 𝑒 −𝜅(𝑡2 −𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑡1. 1 (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡2 −𝑡1 ) ) 𝜅. 根據(9)式，利用伊藤定理可得區隔資產帳戶價值相對價格𝑎𝑡 的動態過程為 𝑡+1. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 = 𝑟𝑡 𝐵(𝑡, 𝑡 + 1) + 𝜅 ∫ 𝑡. 1 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1)𝑑𝑢 − 𝜎𝑠2 2. 𝑡+1. +∫ 𝑡. (𝜎𝑟 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1) + 𝜎2 𝜌)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) + ∫ 𝑡. 𝑡+1. 𝜎𝑠 √1 − 𝜌2 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢). 為了簡化式子，定義以下兩式 𝑡2. 𝑚1 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡2 )𝑑𝑢 = 𝑡1. 1 1 (𝑡2 − 𝑡1 − (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡2 −𝑡1 ) )) 𝜅 𝜅. 𝑡2. 𝑚2 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡2 )2 𝑑𝑢 𝑡1. =. 1 1 1 2 (𝑡2 − 𝑡1 − (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡2 −𝑡1 ) )) − 3 (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡2 −𝑡1 ) ) 2 𝜅 𝜅 2𝜅. 給定資訊集ℱ𝑡 或短期利率𝑟𝑡 ，𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 和𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 的聯合機率分配為二維常態分配 2 𝜇𝑏,𝑡 𝜎𝑏,𝑡 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 ( ) ~𝑁 ((𝜇 ) , ( 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 𝑎,𝑡 𝜎𝑎,𝑏,𝑡. 𝜎𝑎,𝑏,𝑡 2 )) 𝜎𝑎,𝑡. 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 的期望值與變異數為. 34. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(41) 𝑡+1. 𝜇𝑏,𝑡 = 𝐸(𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 ) = −𝑟𝑡 𝐵(𝑡, 𝑡 + 1) − 𝜅 ∫. 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1)𝑑𝑢. 𝑡 𝑡+1 2 𝜎𝑏,𝑡 = 𝑉𝑎𝑟(𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 ) = ∫. 𝜎𝑟2 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1)2 𝑑𝑢 = 𝜎𝑟2 𝑚2 (𝑡, 𝑡 + 1). 𝑡. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 的期望值與變異數為 𝑡+1. 1 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 + 1)𝑑𝑢 − 𝜎𝑠2 2. 𝜇𝑎,𝑡 = 𝐸(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 ) = 𝑟𝑡 𝐵(𝑡, 𝑡 + 1) + 𝜅 ∫ 𝑡. 2 𝜎𝑎,𝑡 = 𝑉𝑎𝑟(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 ) = 𝜎𝑟2 𝑚2 (𝑡, 𝑡 + 1) + 𝜎𝑠2 + 2𝜌𝜎𝑟 𝜎𝑠 𝑚1 (𝑡, 𝑡 + 1). 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 與𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 的共變異數為 𝜎𝑎,𝑏,𝑡 = 𝐶𝑜𝑣(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 , 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 ) = −𝜎𝑟2 𝑚2 (𝑡, 𝑡 + 1) − 𝜌𝜎𝑟 𝜎𝑠 𝑚1 (𝑡, 𝑡 + 1) 上述證明在給定資訊集ℱ𝑡 ，𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 與𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 的聯合機率分佈僅取決於𝑟𝑡 ，說明了隨機過程(𝑎𝑡 , 𝑏𝑡 )相對於短期利率𝑟𝑡 為馬可夫過程。給定𝑟𝑡 ，𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 |𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 的條件機率分配為常態分配，其期望值與變異數如下 𝜇𝑎|𝑏,𝑡 = 𝐸(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 |𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 ) = 𝜇𝑎,𝑡 +. 𝜎𝑎,𝑏,𝑡 2 (𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 − 𝜇𝑏,𝑡 ) 𝜎𝑏,𝑡. 2 2 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 = 𝑉𝑎𝑟(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑡 |𝑙𝑜𝑔𝑏𝑡 ) = 𝜎𝑎,𝑡 (1 −. 2 𝜎𝑎,𝑏,𝑡 2 2 ) 𝜎𝑎,𝑡 𝜎𝑏,𝑡. 因此在時間𝑡，給定資訊集ℱ𝑡 ，𝑎𝑡 |𝑏𝑡 為對數常態分配，標示如下 1 2 𝑎𝑡 |𝑏𝑡 = 𝑒𝑥𝑝{𝜇𝑎|𝑏,𝑡 + 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ∙ 𝑊} = 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟𝑎|𝑏,𝑡 − 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ) + 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ∙ 𝑊} 2 1. 2 其中𝑟𝑎|𝑏,𝑡 = 𝜇𝑎|𝑏,𝑡 + 2 𝜎𝑎|𝑏,𝑡 ，𝑊為標準布朗運動。. 35. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(42) 附錄二、不可解約公平保費之期望值以下說明不可解約公平保費之期望值的推導， 𝑇. 𝑡. 𝑇. ∑ 𝐸 (𝑞𝑥+𝑡 𝐶𝑡 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) + 𝐸 (𝑝𝑥+𝑇 𝐶𝑇 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 0. 𝑡=1 𝑇. 0. 𝑡−1. 𝑡. = ∑ 𝐸 (𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 ∏(1 + 𝛿𝑖 ) ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 𝑡=1. 0. 𝑖=1 𝑇−1. 𝑇. + 𝐸 (𝑝𝑥+𝑇 𝐶1 ∏(1 + 𝛿𝑖 ) ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 0. 𝑖=1 𝑇. 𝑡 𝑆𝑡−1 (𝑡 = ∑ 𝐸 (𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 𝑒𝑥𝑝 (𝜂 ∙ 𝑙𝑛 − 𝑖𝑔 − 1)) ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 𝑆0 0 𝑡=1. 𝑇 𝑆𝑇−1 (𝑇 + 𝐸 (𝑝𝑥+𝑇 𝐶1 𝑒𝑥𝑝 (𝜂 ∙ 𝑙𝑛 − 𝑖𝑔 − 1)) ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 𝑆0 0. 𝑇. = ∑ 𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 𝑒 𝑡=1. −𝑖𝑔 (𝑡−1). 𝑡 𝑆𝑡−1 𝐸 (𝑒𝑥𝑝 (𝜂 ∙ 𝑙𝑛 − ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 𝑆0 0. + 𝑝𝑥+𝑇 𝐶1 𝑒 −𝑖𝑔(𝑇−1) 𝐸 (𝑒𝑥𝑝 (𝜂 ∙ 𝑙𝑛. 𝑇 𝑆𝑇−1 − ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 𝑆0 0. 𝑇. = ∑ 𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 𝑒 −𝑖𝑔(𝑡−1) 𝐸(𝑒𝑥𝑝(𝑥𝑡 )) + 𝑝𝑥+𝑇 𝐶1 𝑒 −𝑖𝑔(𝑇−1) 𝐸(𝑒𝑥𝑝(𝑥𝑇 )) 𝑡=1. 36. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(43) 為了化簡式子，令 𝑥𝑡 = 𝜂 ∙ 𝑙𝑛. 𝑡 𝑆𝑡−1 − ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢 𝑆0 0. 𝑡−1. = 𝜂 (∫ 0. 𝑡−1 𝑡−1 1 (𝑟𝑢 − 𝜎𝑠2 ) 𝑑𝑢 + ∫ 𝜌𝜎𝑠 𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) + ∫ √1 − 𝜌2 𝜎𝑠 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢)) 2 0 0 𝑡. 𝑡. − 𝑟0 𝐵(0, 𝑡) − 𝜅 ∫ 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑢 − 𝜎𝑟 ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) 0. 0. 1 = − 𝜎𝑠2 𝜂(𝑡 − 1) 2 𝑡−1. + 𝜂 (𝑟0 𝐵(0, 𝑡 − 1) + 𝜅 ∫. 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 − 1)𝑑𝑢. 0 𝑡−1. 𝐵(𝑢, 𝑡 − 1)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢)). + 𝜎𝑟 ∫ 0. 𝑡−1. 𝜌𝜎𝑠 𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) + ∫. + 𝜂 (∫ 0. 𝑡−1. 0. 𝑡. √1 − 𝜌2 𝜎𝑠 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢)) − 𝑟0 𝐵(0, 𝑡). 𝑡. − 𝜅 ∫ 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑢 − 𝜎𝑟 ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) 0. 0. 1 = − 𝜎𝑠2 𝜂(𝑡 − 1) + 𝑟0 (𝜂𝐵(0, 𝑡 − 1) − 𝐵(0, 𝑡)) 2 𝑡−1. + 𝜅 (𝜂 ∫. 𝑡. 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 − 1)𝑑𝑢 − ∫ 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑢). 0. 0. 𝑡−1. (𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡)) + 𝜂𝜌𝜎𝑠 )𝑑𝑊1𝑄 (𝑢). +∫ 0. 𝑡. − 𝜎𝑟 ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) + 𝜂 ∫ 𝑡−1. 𝑡−1. 0. √1 − 𝜌2 𝜎𝑠 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢). 𝑥𝑡 之期望值為 1 𝜇𝑥,𝑡 = 𝐸(𝑥𝑡 ) = − 𝜎𝑠2 𝜂(𝑡 − 1) + 𝑟0 (𝜂𝐵(0, 𝑡 − 1) − 𝐵(0, 𝑡)) 2 𝑡−1. + 𝜅 (𝜂 ∫. 𝑡. 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡 − 1)𝑑𝑢 − ∫ 𝜃𝑢 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑢). 0. 0. 37. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(44) 𝑥𝑡 之變異數為 2 𝜎𝑥,𝑡 = 𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑡 ) 𝑡−1. = 𝑉𝑎𝑟 (∫ 0. (𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡)) + 𝜂𝜌𝜎𝑠 )𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) 𝑡. −. 𝜎𝑟 ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢) 𝑡−1. 𝑡−1. = 𝑉𝑎𝑟 (∫ 0. 𝑡−1. +𝜂∫ 0. √1 − 𝜌2 𝜎𝑠 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢)). (𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡)) + 𝜂𝜌𝜎𝑠 )𝑑𝑊1𝑄 (𝑢)) 𝑡. +. 𝑉𝑎𝑟 (𝜎𝑟 ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢)) 𝑡−1. 𝑡−1. + 𝑉𝑎𝑟 (𝜂 ∫ 0. √1 − 𝜌2 𝜎𝑠 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢)). 𝑡−1. (𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡)) + 𝜂𝜌𝜎𝑠 )𝑑𝑊1𝑄 (𝑢)). 𝑉𝑎𝑟 (∫ 0 𝑡−1. =∫. 2. (𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡)) + 𝜂𝜌𝜎𝑠 ) 𝑑𝑢. 0 𝑡−1. 2. [(𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡))) + (𝜂𝜌𝜎𝑠 )2. =∫ 0. + 2𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡))𝜂𝜌𝜎𝑠 ] 𝑑𝑢 = 𝜎𝑟2 𝜂2 𝑚2 (0, 𝑡 − 1) +. 𝜎𝑟2 2 1 −2𝜅 (𝑒 (𝑡 − 1 − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 ) + − 𝑒 −2𝜅𝑡 )) 2 𝜅 𝜅 2𝜅. −. 2𝜎𝑟2 𝜂 1 1 (𝑡 − 1 − (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡−1) ) − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 ) 2 𝜅 𝜅 𝜅. +. 1 −𝜅 (𝑒 − 𝑒 −𝜅(2𝑡−1) )) + (𝜂𝜌𝜎𝑠 )2 (𝑡 − 1) 2𝜅. + 2𝜂2 𝜌𝜎𝑟 𝜎𝑠 ∙ 𝑚1 (0, 𝑡 − 1) − 𝑡−1. ∫. 2𝜂𝜌𝜎𝑟 𝜎𝑠 1 (𝑡 − 1 − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 )) 𝜅 𝜅. 2. (𝜎𝑟 (𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1) − 𝐵(𝑢, 𝑡))) 𝑑𝑢. 0 𝑡−1. = 𝜎𝑟2 ∫. (𝜂2 𝐵(𝑢, 𝑡 − 1)2 + 𝐵(𝑢, 𝑡)2 − 2𝜂𝐵(𝑢, 𝑡 − 1)𝐵(𝑢, 𝑡))𝑑𝑢. 0. 38. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(45) =. 𝜎𝑟2 2 1 −2𝜅 (𝑒 − 1) + 2 (𝑡 − 1 − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 ) + − 𝑒 −2𝜅𝑡 )) 𝜅 𝜅 2𝜅. 𝜎𝑟2 𝜂2 𝑚2 (0, 𝑡. 2𝜎𝑟2 𝜂 1 1 − 2 (𝑡 − 1 − (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡−1) ) − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 ) 𝜅 𝜅 𝜅 +. 1 −𝜅 (𝑒 − 𝑒 −𝜅(2𝑡−1) )) 2𝜅. 𝑡. 𝑉𝑎𝑟 (𝜎𝑟 ∫ 𝐵(𝑢, 𝑡)𝑑𝑊1𝑄 (𝑢)) 𝑡−1 𝑡−1. 𝑉𝑎𝑟 (𝜂 ∫. √1 −. 0. 𝜌2 𝜎𝑠 𝑑𝑊2𝑄 (𝑢)). 2 𝜎𝑥,𝑡 = 𝜎𝑟2 𝜂2 𝑚2 (0, 𝑡 − 1) +. 𝑡. = ∫ 𝜎𝑟2 𝐵(𝑢, 𝑡)2 𝑑𝑢 = 𝜎𝑟2 𝑚2 (𝑡 − 1, 𝑡) 𝑡−1 𝑡−1. =∫. 𝜂2 (1 − 𝜌2 )𝜎𝑠2 𝑑𝑢 = 𝜂2 (1 − 𝜌2 )𝜎𝑠2 (𝑡 − 1). 0. 𝜎𝑟2 2 1 −2𝜅 (𝑒 (𝑡 − 1 − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 ) + − 𝑒 −2𝜅𝑡 )) 2 𝜅 𝜅 2𝜅. −. 2𝜎𝑟2 𝜂 1 1 (𝑡 − 1 − (1 − 𝑒 −𝜅(𝑡−1) ) − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 ) 2 𝜅 𝜅 𝜅. +. 1 −𝜅 (𝑒 − 𝑒 −𝜅(2𝑡−1) )) + (𝜂𝜌𝜎𝑠 )2 (𝑡 − 1) 2𝜅. + 2𝜂2 𝜌𝜎𝑟 𝜎𝑠 ∙ 𝑚1 (0, 𝑡 − 1) −. 2𝜂𝜌𝜎𝑟 𝜎𝑠 1 (𝑡 − 1 − (𝑒 −𝜅 − 𝑒 −𝜅𝑡 )) 𝜅 𝜅. + 𝜎𝑟2 𝑚2 (𝑡 − 1, 𝑡) + 𝜂2 (1 − 𝜌2 )𝜎𝑠2 (𝑡 − 1) 最後𝑥𝑡 一階動差期望值為 1 2. 𝐸(𝑒 𝑥𝑡 ) = 𝑒 𝜇𝑥,𝑡 +2𝜎𝑥,𝑡 因此不可解約公平保費之期望值為 𝑇. 𝑡. 𝑇. ∑ 𝐸 (𝑞𝑥+𝑡 𝐶𝑡 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) + 𝐸 (𝑝𝑥+𝑇 𝐶𝑇 ∙ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑟𝑢 𝑑𝑢)) 0. 𝑡=1. 0. 𝑇. = ∑ 𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 𝑒 −𝑖𝑔(𝑡−1) 𝐸(𝑒𝑥𝑝(𝑥𝑡 )) + 𝑝𝑥+𝑇 𝐶1 𝑒 −𝑖𝑔(𝑇−1) 𝐸(𝑒𝑥𝑝(𝑥𝑇 )) 𝑡=1 𝑇. 1 2. 1 2. = ∑ 𝑞𝑥+𝑡 𝐶1 𝑒 −𝑖𝑔(𝑡−1) 𝑒 𝜇𝑥,𝑡+2𝜎𝑥,𝑡 + 𝑝𝑥+𝑇 𝐶1𝑒 −𝑖𝑔(𝑇−1) 𝑒 𝜇𝑥,𝑇 +2𝜎𝑥,𝑇 𝑡=1. 39. DOI:10.6814/THE.NCCU.MB.001.2018.F06.

(46)