各種到達時間之風險演算法

3.4 節以及 3.5 節所提出之演算法雖然能提供最短路徑之旅行時間誤差範 圍，但均未考慮發生機率之問題；然而實際生活中，不論任一條路線其旅行時 間誤差值可能極大，若能提供具體的旅行時間以及發生機率，對旅行者而言將 有相當大的助益。因此本節將加入風險之考量，提出第三個演算法，主要在於 探討在某一時間點從起點出發，可準時於預計時間範圍內到達的機率風險，藉 由機率之參考值可讓旅行者依據其遲到之風險自行選擇出發時間。

以下本節將先定義欲求解之問題，再說明求解方法和演算法架構，最後以 一簡單範例說明。

3.6.1 問題定義

此演算法主要在一個具有方向性之網路，且已知欲出發之時間以及欲選擇 之路徑，探討到達迄點N 的所有可能時間範圍以及其相對應的發生機率問題，

以下簡稱為「A3 演算法」。

3.6.2 求解方法

由於利用反推之演算法無法解決時間範圍所相對應之機率問題，亦即為若 設定預計到達迄點之時間範圍，往回推之計算結果為從出發點會有各種出發時 間範圍，然而每個出發時間範圍到達迄點的時間範圍之機率應互相獨立，無法 合併計算，故此演算法採用正推之方式。此外，標記設定法之時間複雜度優於 標記修正法，因此本演算法主要修正自標記設定法[8]，並加入 Miller-Hooks and

Mahmassani [6]第一個演算法之機率概念。求解過程中，對每一節點而言，均 具有一個永久標籤向量，其中每一個標籤均需紀錄兩項資訊，一項提供從該節 點可能準時到達迄點的出發時間範圍，預設值為零，另一項則紀錄從該節點到 達迄點的可能發生機率。此外，需設定 SE list 用來記錄永久標籤被更新的節 點集合，由於本演算法採用反推之計算方式，因此一開始需先將迄點加入至 SE list。

基於此演算法須同時考慮各種旅行時間之情況，因此為避免造成時間複雜 度呈指數型成長，故僅針對單一路徑做探討，且須先得知欲從起點出發之時 間，故計算採用正推之方式，即從起點作為起始點，依設定之路徑順序往後推 算。演算法中的每個步驟均需計算目前節點i 之下游點 j 的每一可能出發時間 範圍和相對應之機率，設為暫時標籤，並且和節點j 目前已存在的永久標籤向 量比較，若有重複的出發時間範圍，則將其相對應之發生機率和暫時標籤加 總，並更新至目前的標籤中，否則即加入至節點j 永久標籤向量；如此反覆計 算直到SE list 為空集合即可求解。

不同於Miller-Hooks and Mahmassani [6]之概念在於本演算法不僅提供最 短路徑之最小旅行時間可能性，並探討此路徑上之所有可能旅行時間以及相對 應之發生可能性；此外，本演算法不侷限於針對最短路徑作討論，而可隨著起 始設定路徑之不同而加以計算，故亦能探討所有路徑之各種可能性。

3.6.3 求解步驟

步驟一：初始化並建立 Scan Eligible List。

設定上午尖峰、下午尖峰以及離峰時段之範圍，令欲從起點 O 出發之時 間為 ，且 ＝ ，其發生機率 。從迄點N 開始計算，並加入 至SE list。

1 1 2

2

nt

O

nt

_O

nt

_O

p

_O

= 1

根據欲選擇之路徑，記錄該路徑中各節點之下游點標籤 ，其中迄點N 的下游點 ，將欲選擇路徑之各節點加入至SE list，list 之順序從

ns

2_i

N

ns

_N

=

起點O 開始依序加入，最後為迄點 N，因此演算法之計算從起點 O 開始。

1

一節線的時間範圍個數， v 為預設路徑中所經節點之個數。

證明：

在本演算法初始化時，需將預設路徑中的所有節點加入至SE list，任一節 點只有被加入SE list 一次的機會，一旦計算完被移除後，就不可能再加到 SE list，因此假設該路徑的經過節點數為 v，節線數為 v-1，則 SE list 之節點個數 最多為v。

計算SE list任一節點時，未跨越時段之情況下，每一節線的時間範圍個數 為I，整條路徑須計算的節線數為v-1，因此至多須計算 次，如圖3-3 所示，

節點X

I^ν−1

1紀錄的到達時間範圍個數為 1，從節點X1至X2的節線時間範圍個數為

I，因此到達X2的時間範圍增為I個，至節點X3則增為I²個，依此類推。

圖 3-3 A3 演算法未跨越時段之網路

若需跨越時段，經過分割後最糟情況，每一節線的時間範圍個數會由原 本的I個增加為α個，若從起點至迄點總共跨越時段次數為β，則跨越時段的節 線須紀錄之時間範圍個數為 個，未跨越時段須記錄個數減為 ，如圖 3-4 所示，節點X

α

β I^ν−1−β

1紀錄的到達時間範圍個數為1，跨越節點X1至X2的節線屬於 不同時段，因此該節線時間範圍個數為α，因此到達X2的時間範圍增為α個，

從節點X2至X3未跨越時段，因此節點X3需記錄到達時間範圍增為Iα個，依此 類推，故得知時間複雜度為Ο(

α

^β

I

^ν−1−β)。

X1 ․․․

1

X2

I I I I

XD

X3

I^v-1 I²

I

X1 ․․․

1

X2

I

α α

XD

α X3

α^βI^{v -1-β} αI

α

1

圖3-4 A3 演算法含跨越時段之網路

▌ 根據論點8 得知此演算法的時間複雜度過於龐大，因此為減少運算次數，

並且避免不必要的資訊，可先過濾過小的機率值，即不予紀錄機率值太小的時 間範圍；此外，若有重複的時間範圍，則將其可能發生的機率值合併，可有效 減少每個節點所需紀錄的時間範圍個數，如此可避免隨著網路節點數的增加，

造成最後迄點所需紀錄的時間範圍個數顯著的成長。

3.6.5 演算法之範例

測試範例網路同3.4.4 節之網路範例，並以 3.4.4 節所求得之最短路徑 1－

＞2－＞4 作為預設之選擇路徑。欲求解早上八點三十分從起點 1 出發，則到 達迄點4 之各種旅行時間範圍以及相對應之機率問題。以下為方便計算均將時 間顯示轉化成以分鐘為單位表示。

Iteration 1 步驟一：

V = {1,2,4}

A = {a,d}

定義尖離峰時間範圍

上午尖峰時段 = AM 7:30 ～ AM 9:00 = 450 ～ 540 下午尖峰時段 = PM 5:00 ～ PM 7:30 = 1020 ～ 1170 離峰時段 = 一天中尖峰時段以外的時間

起點O = 1

預計出發時間

nt

₁¹ =

nt

₁² =AM 8:30 = 510

預計出發時間的機率值

p

₁ = 1

步驟四：更新節點標籤

γ

₄¹[1]=540，

γ

₄²[1]=546.75

536---540 0.056 540---546.75 0.084 1—2—4

540.5---549.429 0.06

540.727---552.375 0.56 543---553.714 0.24 假設在每個時間範圍內的每個時間點之機率為均值分配，將結果以每 15 分鐘為範圍表示，則經過合併簡化後，最後結果可顯示如表3-8。

表3-8 合併到達時間風險之測試結果

路徑 到達時段 相對應機率

536---540 0.056 1—2—4

540---553.714 0.944

在文檔中 探討時間相依之可能旅行路徑問題 (頁 50-60)