時間相依最短路徑之文獻回顧

本節主要針對過去文獻中所提出之時間相依最短路徑演算法，以及其對於 節線旅行時間之計算方式加以說明。

陳慧琪[1]以考慮是否延後出發時間與繞路行進之情況下，發展所適用之 時間相依最短路徑演算法。乃將旅行時間分為三種型態：1.旅行時間為一時間 相依之隨機變數，且使用單一期望值函數滿足時間相依和尖離峰之特性；2.

旅行時間為一時間相依之隨機變數，且期望值函數隨出發時間所屬時段而變 動；3.將旅行時間視為定性，將ㄧ天分為數個時段，各時段有其相對應的旅行 時間。當旅行時間視為滿足一統計分配之隨機變數時，利用模擬方法來求解，

最後再以標註設定法為基礎加以修正。經由測試結果得知，不論旅行時間為隨 機變數或定性，考慮延後出發與繞路行進之演算法所求得之總旅行時間均較不 考慮之總旅行時間小，因此能提供使用者ㄧ條有效的行前路線建議。

Azaron and Kianfar [3]使用隨機的動態規劃找到從起點至迄點的動態最短

路徑，其節線長度為呈指數分配的獨立隨機變數。每個節點均有一隨連續時間 馬可夫鏈（continuous time Markovprocess）變化的環境變數，每個節線過渡時 期（transition time）的指數分配參數也是起始節點環境變數的狀態函數。假設 到達每個節點，即可得知其環境變數的狀態以及鄰近節點的環境變數狀態，因 此可決定朝最佳的節線前進或等待。在航線規劃問題，儘管已知所有節點的環 境變數，然而在測試範例的時間複雜度卻呈現指數成長，故不適用。

Ziliaskopoulos and Mahmassani [4]主要求解網路中任一節點至一特定終點

（多對一）之定性且時間相依之最小可能時間路徑問題，且適用於非先進先出 (non-FIFO, Non First-In-First-Out)情況。此研究以最佳解的Bellman最適化原則 為基礎，將所考量的時間範圍分割成M個時間間隔(time interval)，且每個節點 及時間間隔均有一個相對應的路段旅行成本。其提出從所有點到終點之最短旅 行成本演算法，乃修正自一對多的標記修正法，採用反推之方式（backward），

意即將特定終點視為起點，網路其他節點視為迄點加以計算；演算法首先由終 點出發，求得終點的所有上游點到達終點的最短旅行成本，將有更新最短旅行 時間值之上游點，加入到Scan Eligible List（SE List）當中；再由SE List當中 挑選第一順位節點出發，求得該點的上游點當中之最短旅行成本值有變化者，

加入到SE List當中，直到SE List當中為空集合時為止。此演算法所需要的演算 時間複雜度為O(V³M³)，其中V為節點總數。

Miller-Hooks and Mahmassani [6]採用 Ziliaskopoulos and Mahmassani [4]之 架構，不同之處在於此篇研究將定性且時間相依之網路改為動態且隨時間變化 之網路，求取尖峰時段不同起點出發（多對一）之時間相依最短路徑。假設隨 機網路節線權重相互獨立，且可適用於非先進先出之網路。第一個演算法針對 每個出發的時間間格，求出從網路中的任一點至迄點之最小可能時間路徑、最 小可能旅行時間以及其相對應的機率下界值；第二個演算法則提升至找出 K 條最小可能時間之路徑和其相對應的機率下界值。此兩種方法均能有效找出最 短路徑，且SE List 架構提供更多資訊時，計算的時間複雜度仍不會增加太多。

Miller-Hooks [7]主要延續 Miller-Hooks and Mahmassani [6]之研究，由原先 提供可能最小旅行時間路徑之機率值，修正為計算最小旅行時間之期望值；此 資訊較符合現況，有助於使用者參考。

Fu and Rilett[9,10]之目的在於估計每天固定發生的網路狀態下之動態起 迄點之旅行時間。首先將網路依照都市型態分為三個區域，假設區域中的每條 節線旅行時間曲線一致，並將一天時間依照尖離峰分為三個時段，以離峰時段 之旅行時間為基礎，尖峰時段旅行時間則設定為常態分配變數。此研究提出一 兩階之feed forward 類神經網路（Artificial Neural Network, ANN）將不同時段 之旅行時間行為模式化，結果驗證類神經網路可預測在動態網路下兩地間的旅 行時間，亦可追蹤兩地間的動態旅行時間型態，且在非循環式的壅塞網路下，

此法預測之旅行時間可能亦較佳。

Davies and Lingras[5]放鬆區別（distinct）所有節點的限制，求解動態網路 最短路徑（shortest walk）問題。類似於 Fu and Rilett[9,10]之作法，並假設節 線權重（weight）為已知的時間函數。主要採用基因演算法（Genetic Algorithms, GAs），延伸至重新規劃最短路徑問題（GAs for Rerouting Shortest Paths, GARSP），其犧牲結果的準確率以取得更迅速的執行時間；然而，GARSP 僅 適用於較單純之網路，於高度動態，節線成本呈非線性之網路下，所得結果較 修正後的Dijkstra 演算法差。

Fu and Rilett[9,11]主要求解在給定網路的出發時間下，求得從起點至迄點 的最小路徑。首先將網路節線的旅行時間設定為連續的隨機變數，且其機率分 配和一天的時間是相依的，並假設可獲得不同時間點的平均值和變異數，以及 二次微分。此研究根據 K 條最短路徑演算法，在網路上沒有交通事故發生之 前提下，提出一套啟發式演算法，其測試結果找出較佳解，且僅小幅增加 K 值和計算時間，然而其節線旅行時間資料為虛擬值，故無法得知是否適用於實 際路網。

Fu and Rilett[12]探討於資訊可從智慧型運輸系統獲得之情況下，求解動態 與隨機最短路徑問題（Dynamic and Stochastic Shortest Path Problem, DSSPP）。

動態與隨機網路表示每條路徑之旅行時間均為一機率變數，且其機率分配與該 節線出發的時間有關，意即此類網路中的節線旅行時間為連續時間型的隨機過 程（continuous-time stochastic process），且假設在不同時間點，每個節線的旅 行時間相互獨立。首先利用統計方法了解動態與隨機網路中的路徑旅行時間平 均值與變異數的關係，證明隨機動態最短路徑問題在計算上相當棘手複雜，故

此研究根據 K 條最短路徑演算法概念，將時間相依最短路徑求解總旅行時間 的問題，轉換為求解到達時間的問題，並利用泰勒展開式將旅行時間期望值展 開，利用取其二階近似值的方式，求解到達時間的期望值。其測試結果發現K 值越大結果越好，且增加的計算時間均在可容忍範圍，但是節線旅行時間資料 卻為虛擬值，故無法得知是否適用於實際路網。

Waller and Ziliaskopoulos[16]主要探討在考慮時間和空間相依之旅行成本 下的隨機最短路徑問題，適用於當使用者已進入網路後，仍可依實際狀況隨時 調整其路線規劃。空間相依的最短路徑問題（Spatially Dependent Online Shortest Path, SD-OSP）即假設節線的成本相依性只受鄰近節線影響，此研究 設定每一節線只和其一上游點相依（one-step spatial dependence），且網路節線 成本必須大於零，亦不允許在節點上等待；空間相依最短路徑問題（Temporally Dependent Online Shortest Path, TD-OSP）假設到達任一節點時，即可得知連結 此節點之節線成本，且未來短期的節線成本可根據目前的觀察值產生；時空相 依 的 最 短 路 徑 問 題 （Temporally Spatially Dependent Online Shortest Path, TSD-OSP）有兩項假設前提，為須有即時監控系統收集下游點的資訊，且經 過一節線所需的旅行時間很小，不至於在經過期間其旅行時間成本會有所改 變。此兩種問題均修正自多對一的標註修正法，求解定性且隨時間而變的最短 路徑，且即使增加網路複雜度，求解品質和計算時間均不會改變太大。