第二章 運用向量自我迴歸模型預測
第一節 向量自我迴歸模型
第二章 運用向量自我迴歸模型預測
第一節 向量自我迴歸模型
無論是在描述經濟和金融時間序列的動態行為上，或甚至運用於 時間序列的預測， 模型在多變量時間序列的研究分析上皆被廣泛 地採用。在社會學研究領域中，可以使用 模型來描述平均壽命與 人口數的關係；在經濟研究領域中，可以使用 模型來解釋利率與 匯率之間的影響；而在金融研究領域中，股票與其它許多金融商品的 價格更是可藉由 模型來分析之間的互動模式。
若 是 擁 有 筆時間序列 { } ，則可以向量表示成 ( ) ，而當任一時間序列之當期 和所有落後期 資料之間具相關性時，此多變量時間序列的架構可使用 模型來表 示。以下我們介紹何謂 模型。
一個落後期為 的 模型 (記為 ( )) 可表示成
∑ (1) 其中 為 ( ) 常數向量， ( ) 為 ( ) 隨機 向量。 為 ( ) 系數矩陣， ，而 為 ( ) 誤差向 量並符合以下條件：(i) ( ) ；(ii) ( ) 為共變異矩陣並假設為
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模型並得到較小的估計誤差，在建立 ( ) 時可使用如下的模型選取 函式(information criterion，簡稱 IC)來選取 值：
( ) | ̂( )| ( ) (5) 其中 ̂( ) ∑ ̂ ̂ 為誤差項的共變異數矩陣之估計， 為樣 本數的函式， ( ) 為一由使用者自行訂定的懲罰函式。藉由設立不 同的 以及 ( )，使用者可選取使 ( ) 最小的 值作為模型的落 後期數。文獻中最為常見的三個模型選取指標為 Akaike’s Information Criterion (AIC) 、 Schwarz-Bayesian Information Criterion (BIC) ， 以 及 Hannan-Quinn (HQ)。此三種指標函式各別表示如下：
( ) | ̂( )| (6)
( ) | ̂( )| (7)
( ) | ̂( )| 。 (8) 對於其他 ( ) 模型的落後期選取指標，有興趣者可參考 Lütkepohl (1991)的著作。在使用許多時間序列 { } 建立了 ( ) 模型後，若 是對於某一特別變數在 期之後的預測值感興趣，舉例而言，若是使 用數支股票的股票價格建立一 ( ) 模型，並且特別想預測其中一支
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股票在一個月之後的股票價格，那該如何利用已建立的 ( ) 模型幫 助我們作預測呢？
我們可以將這支股票在 個時間單位後的價格，或是任何一個時 間 序 列 在 個時間單位後的價格 表示成 ， 而 此 時 領 先 關 係 (Granger causality) 的分析將有助於我們計算 。
在探討單一變量之預測值的情況下，可將(1)中的研究變量分成二 群，其中第一群為
( ) (9) 第二群為
( ) (10) 而(1)式則可 示成
( ) ( ) ∑ (
) (
) (
)
(11) 其中 和 各別為 ( ) 常數向量和 (( ) ) 常數向量，
、 、 以及 為 的子矩陣，維度各別是 ( )、
( ( ))、(( ) ) 和 (( ) ( ))。 以及 分 別為 ( ) 和 (( ) ) 的誤差向量。
根據式 (1) ， 期 ( ) 之後的隨機向量 可表示成
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∑ ( )( ) ∑ ( ) (12) 其中 ( ) 矩陣可由遞迴式(Hung and Tseng (2012))求得：
( ) {
( ) ( ) (13) 其中 。
將矩陣 ( ) 分割成以下的子矩陣，即
( ) (
( )
( )
( )
( ) ) (14)
其中 ( ) 以及 ( ) 的大小分別為 ( ) 和 ( ( ))。
而在 個時間單位後的感興趣之變量則為
( ( )) 。
一般來說，對於任何計劃進行一項決策時，資訊量的多寡會影響 結果的呈現。而若是使用(12)來計算先前提到的 ̂ ，即某一個時間 序列 在 個時間單位後的估計值，則使用不同的變數會得到不同 的估計值。若將使用到的變數集合起來，則可以稱作變數的資訊集合。
考慮在特定時間點 的兩個資訊集合
{ } (15)
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以及
{ }。 (16) 其 中 與 分 別 對 應 式 (9) 與 (10) 所 包 含 的 變 數 。 並 使 用 ̂ ( | ) 以及 ̂ ( | ) 代表分別藉由資訊集合 以及 所得到 的某一個時間序列 在時間 之估計值，此估計值可利用式(12) 與(13)獲得。