第三章 運用最大交叉相關預測
第一節 時間序列的交叉相關
在討論兩個時間序列 { } 與 { } 之間的關係時，會考慮到序列 { } 是否與序列 { } 的過去資料有相關。例如近幾個月份的消費者物 價指數(CPI)可能會影響下個月份的利率水準，亦或是近幾年的年均二 氧化碳濃度與下一年的年均溫有相關等等。而兩個時間序列在不同時 間的相關性，則稱作交叉相關(cross correlation)。在不同領域或不同主 題的研究，會對在特定時間差之下的交叉相關感興趣。像是政府今年 度的貨幣供給政策通常不會反應在今年度的物價或薪資所得，而是反 應在下一年度的物價或薪資所得，此時可能會針對時間差為一年之貨 幣供給量時間序列與物價時間序列的交叉相關進行探討。
時間序列 { } 與 { } 相差 期的交叉相關係數可以表示成
( ) ( )
其中分子為相差 期的共變異數，分母則為兩時間序列的標準差相乘。
有關時間序列的交叉相關性質，在許多領域都已經有相當大量的 研究與應用。舉例而言，Conlon (2010) 利用時間序列之間的交叉 相關性，對許多與財務相關時間序列之間的動態調整現像進行分析，
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像是普爾指數(S&P 500)以及道瓊指數(Dow Jones)等。Y. H. Zhang (2004) [32]也探討了週期性之期數差距對於時間序列間之交叉相 關所造成的影響。
以上研究的重點多是放在兩個時間序列的交叉相關上，但就多個 時間序列之線性組合與另一時間序列的交叉相關性而言，卻顯少有相 關文獻對此進行討論。以下將介紹此類型的交叉相關。
考慮一隨機向量
( ) 其中 包含了 個時間序列，即
(
)
以及未來 期的時間序列 。而 個時間序列( )與時間序列
差距 期的交叉相關可以表示成
( ) ( )
其中
( ) (
)
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為 個時間序列( )的線性組合， 為此線性組合的標準差，
則是時間序列 { } 的標準差。而樣本交叉相關則可以表示成
̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ̂ 其中
̂ ( )
∑ ( ̅ )( ̅)
並且
̂ ∑ ( ̅)
以及
̂ ∑ ( ̅ )
。
個時間序列( )如何藉由不同線性組合，使得組合後的時間序 列與某一特定的時間序列 { } 具有最大的交叉相關呢？這部份將在 下一節作介紹。
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第二節 運用最大交叉相關預測
在第一節所使用的符號，皆沿用自第二章的符號定義。 代表 第 個時間序列， 則是 個時間序列所形成的向量， 即是所有落後 期之內的 個時間序列所形成的向量，而 ̂ 則是感興趣之研究 變數往未來推 期的預測值。第三章主要是想嘗試藉由尋找在給定 之 下的
( )
來求得 ̂ ，即 的估計式。
對於如何找尋 ，其實存在不只一種方式。Brockwell and Davis (2009) 提出一種藉由定義向量空間，採用投影向量至另一向量群所形 成的空間，求得 的最佳線性估計值。由於是討論單變量與多變量之 線性組合間的相關性，所以也可在無任何前提假設下直接採用最小平 方法，並以最小化平均期望誤差平方為目標式求出 。當然也能夠使 用線性複迴歸的模式求解 。不論是採用以上方法中的任一種，都會 得到相同的結果，在此示範以最小化平均期望誤差為目標式求解。
在給定 值與 值之下，考慮目標式
( ( )) (22)
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其中
( ) (23)
則誤差平方為
( ) (24)
令(23)對 ( ) { } { } 作微分後等於零，即
( )
( ) { } { } (25)
求解(24)的 個方程式，可得到
( ) { } { }.
而藉由最大化 與 的交叉相關，所得到 的估計式為
̂ (26)
其中
( ) (
)
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上述方法中，是給定預測期 以及 個解釋變數之下求出最大 交叉相關係數。若是考慮模型精簡的概念，則或許選取較少變數能使 得模型較易於解釋或是具有較好的預測能力。
在第二章當中針對如何決定 ( ) 模型的落後期 ，提出模型選 取指標(5)來進行判斷。由(5)可以看出，此指標是以最小化估計誤差以 及解釋變數數量為目標。若是將目標設定為最大化交叉相關性與最小 化解釋變數數量，則在給定 值之下，可以考慮一解釋變數數量之選 取準則
( ) ( ) (27) 其中 為一控制參數(tuning parameter)，並且為了測試較少變數是否會 具有較佳之預測效果的想法，並欲與第二章的 ( ) 模型進行比較，
故考慮 值的範圍為 { }。若是想進一步放入預測效果的訊息，
則可以根據以下方式選取最佳控制參數 ，即
( ) (28)
其中 ( ) 是給定 值後代入(27)式中解出 和 (或 ̂ ) 並求 得之預測平方誤差(Mean Prediction Squared Error)，即
( ) ( ̂ ) 。 (29)
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當 時，我們可以得到最佳的 值、 值及最佳預測平方 誤差
( ) ( ) 。 (30)