嚴格耦合波向量繞射理論

第四章 梯形光柵模擬分析

第五章 疊對誤差比對

第六章 光柵結構參數最佳化演算法 第七章 結論

第二章 嚴格耦合波向量繞射理論

2-1 前言

現今光柵的應用已相當廣泛，諸如積體光學(integrated optics)、光資訊 處理及計算(optical data processing and computing)、全相術(holography)和光 譜(spectroscopy)等等。而分析光柵主要有兩種理論來分析其光柵特性，一種 為傳統上所使用的標量理論(scalar diffraction theory)，另一種為向量繞射理 論(vector diffraction theory)。過去大部分都是使用標量理論來做模擬分析，

其理論基礎多起源於傅利葉光學(Fourier optics)理論，在應用及計算上較為 簡易方便，但是精確性相對地降低，所以在應用於分析上有所限制。而向 量繞射理論則具直接求解馬克斯威爾方程式(Maxwell’s equation) ，滿足適當 的邊界條件，以得到的真實的情況。由於在計算機運算過程中會有少許的 誤差產生，影響到計算的精確度。解決方法只要經過一些數值方法分析，

使運算數值精確度達到所需標準以內，依然能得到相當的精確解。

最先利用耦合波理論(Rigorous coupled wave theory)分析體積型相位光 柵的是Kogenik，他利用一些近似的方法來進行分析，但其方法會使運算的 精確度下降，最後無法得到精確的電磁波方程式解。由於 Kogenik 提出了 一種簡易數值分析方法，雖然所運算的精確度不高，但也因此引領著大家 踏進入此領域，對此數值分析做更多的研究與探討。

近年來計算機科技進步迅速，提出許多新的數學方法來解電磁學之波 動方程式，例如：直接求解法、利用疊代法求解等等。有了許多的數值分 析方法，使得耦合波理論可應用於多種週期性光柵之模擬分析，例如：平 面光波（包含斜向入射以及被吸收）傳播入射體積型光柵(volume gratings)、

表面損耗型光柵(surface relief gratings)、多層鍍膜光柵(gratings with multiple coating layers)等等。其中的代表作為 1981 年 Moharam 和 Gaylord 所提出的 嚴格耦合波理論(rigorous couple wave theory)，可分析體積型平面光柵。1982 年Moharam 又提出利用嚴格耦合波理論分析表面蝕刻型的介電質光柵，此 後也將嚴格耦合波理論應用至 TM 入射、反射式光柵、損耗介值等等分析 研究。

近年來嚴格耦合波理論的相關研究都則偏重於數值演算法的改進。

Moharam 的嚴格耦合波理論雖然在數學上可以得到精確解，但是實際上其 數值計算結果的收斂性質不易控制，而數值方法的精確度對結果的正確與 否有決定性的影響。

在1994 年 Chateau 以 Moharam 的嚴格耦合波理論為基礎提出新的演算 法，可增加精確度與效率。1995 年 Morharam 又提出對稱性與精確度更佳 的數學推導與傳輸矩陣(transmittance matrix)。此外其他也有 Peng、Lalanne 與 Morris 等分別也對不同條件下的嚴格耦合波理論提出其他的演算改進方 法。嚴格耦合波理論分析不但適用於一般的理想光柵形式，也可以計算製

程引入的輪廓誤差對光柵效率的影響，或是應用於其他光電元件中的光柵 結構。而本論文中是以Chateau 的疊代法做為理論基礎來撰寫模擬程式，在 本章將對嚴格耦合波理論作簡單的介紹。

2-2 嚴格耦合波向量繞射理論

嚴格耦合波理論為分析週期性光柵的向量繞射理論。而向量繞射理論 是以馬克斯威爾方程式為出發點，進而找出滿足邊界條件的解。由於光柵 為週期性之結構，因此可利用Fourier 級數來表示電磁場及光柵的折射率分 佈，其中 Fourier 級數的項數即代表數值解的精確度。本節將探討 Chateau 所提出的嚴格耦合波向量繞射理論的計算方法，其中包含了TE 極化態入射 及TM 極化態入射時的情況，並探討當光柵中心無偏移量及具有偏移量時，

其折射率分佈的表示方法。

2-2-1 TE 極化態入射

圖 2.1 為二階光柵之基本幾何架構模型。其入射光之入射面(incident plane)為平行於刻痕方向(pitch direction)，入射角θ，入射區折射率n₁，透射 區折射率n₂，光柵週期為Λ， f 為折射率n₂在光柵週期裡所佔的比例，其定 義為工作週期(duty cycle)，光柵厚度為d。

光柵區的折射率分佈可以使用Fourier 級數描述如下：

∑

−∞

=

=

t

x

t itK x

n z

x

n²( , ) ~ exp[ ] (2.1) 其中n( zx, )為光柵在x,z平面的折射率分佈，n~_t為 Fourier 係數。此部分在後 面 2-2-3 章節將會做加以介紹。

圖 2.1 二階光柵的基本幾何架構圖

由於向量繞射理論是求解符合邊界條件下之馬克斯威爾方程式。故在

利用(2.1)、(2.2)、(2.3)及(2.7)式，消去(2.8)式中的E_y^(t)二階微分

_⎥

而對於多階光柵可以視為多層表面蝕刻型光柵的重疊組合，各層的光

此處的k_x^(t)與(2.4)式所定義的相同，k_Fz^(t) =[k₀²n₁²−(k_x^(t))²]¹²，n₁是入射區介質的

2-2-2 TM 極化態入射

將方程式(2.31)及(2.33)可以改寫成矩陣型式，如下所示：

_∑

{ [ ] } _∑ { [ ] }

∑

若光柵向量不完全沿著 x 軸方向，則

為了討論上下層光柵錯位所造成的繞射效率的改變，先探討當光柵偏

圖 2.5 單層二階光柵(偏移中心s)示意圖

n

n1

Λ f

Λ

圖 2.6 光柵(偏移中心s)折射率分佈圖