二弦冪內減一弦冪者 二弦冪內減一弦冪者 二弦冪內減一弦冪者
二弦冪內減一弦冪者，，，一弦因，一弦因一弦因三一弦因三三弦也三弦也弦也。弦也。。 。
三弦冪內減一弦冪者三弦冪內減一弦冪者三弦冪內減一弦冪者三弦冪內減一弦冪者，，，二弦因四弦也，二弦因四弦也二弦因四弦也。二弦因四弦也。。 。
三弦冪內減三弦冪內減三弦冪內減三弦冪內減二二二弦冪者二弦冪者弦冪者，弦冪者，，一，一一弦因一弦因弦因五弦因五五弦也五弦也弦也。弦也。。 。 四四四四弦冪內減一弦冪者弦冪內減一弦冪者弦冪內減一弦冪者弦冪內減一弦冪者，，，三，三三弦因三弦因弦因五弦因五五弦也五弦也弦也。弦也。。 。
四四四四弦冪內減弦冪內減弦冪內減弦冪內減二二二弦冪者二弦冪者弦冪者，弦冪者，，二弦因，二弦因二弦因六二弦因六六弦也六弦也弦也。弦也。。 。
四四四四弦冪內減弦冪內減弦冪內減弦冪內減三三三弦冪者三弦冪者弦冪者，弦冪者，，一，一一弦因一弦因弦因七弦因七七弦也七弦也弦也。弦也。。 。
五五五五弦冪內減一弦冪者弦冪內減一弦冪者弦冪內減一弦冪者弦冪內減一弦冪者，，，四，四四弦因四弦因弦因六弦因六六弦也六弦也弦也。弦也。。 。
五弦冪內減二弦冪者五弦冪內減二弦冪者五弦冪內減二弦冪者五弦冪內減二弦冪者，，，三弦因七弦也，三弦因七弦也三弦因七弦也。三弦因七弦也。。 。
五弦冪內減三弦冪者五弦冪內減三弦冪者五弦冪內減三弦冪者五弦冪內減三弦冪者，，，二弦因八弦也，二弦因八弦也二弦因八弦也。二弦因八弦也。。 。
五弦冪內減四弦冪者五弦冪內減四弦冪者五弦冪內減四弦冪者五弦冪內減四弦冪者，，，一弦因九弦也，一弦因九弦也一弦因九弦也。一弦因九弦也。。 。 各弦冪相減者皆準之各弦冪相減者皆準之各弦冪相減者皆準之各弦冪相減者皆準之
松永在此探討各弦冪間相減的關係，利用已提及的四斜適等(托勒密定理)來解 決這類的問題，觀察圖 3-23(1)，已知 AB
= BC = CD
，因此 AB 、BC
、CD
為a ，
1AC
、BD 為a ， AD 為
2a ，根據四斜適等，可以知
3AC BD × = AB CD × + BC × AD
， 即a
22= a
12+ × a
1a
3⇒a
22− a
12= × a
1a
3，不難發現二弦冪與一弦冪差的關係。D C
A B
E D
C
A B
F E
D C
A B
圖 3-23 四斜適等弦冪差應用圖(1)(2)(3)
觀察圖 3-23(2)，已知 AB
= BC = CD = DE
，，因此 AB 、DE 為a ， BD 為
1a ，
2AD 、 BE 為 a ， AD 為
3a ，根據四斜適等，可以知
4a
32= a
12+ × a
2a
4⇒a
32− a
122 4
a a
= ×
，可以得到三弦冪與一弦冪差的關係；同理觀察 圖 3-23(3)，知2 2
3 2 1 5
a = a + × a a
⇒a
32− a
22= × a
1a
5，得到三弦冪與二弦冪差的關係。松永在此二弦冪開始，一直提到五弦冪與各弦冪的關係，依照松永給的書寫方式，與最後一 句話各弦冪相減者皆準之各弦冪相減者皆準之各弦冪相減者皆準之各弦冪相減者皆準之，相信松永有掌握到一般式的形式，只是沒有給出一般 式的術文內容。底下藉由圖 3-24，來求出弦冪差的一般式，以圓心 O 點為圓心，
點 A 旋轉
θ
、2θ
、…、(m + n
)θ
度依序得到A 、
1A 、…、
2A
m n+ ，則A A
1 n、A A
m m n+ 為a (以下皆同)，
nA A
0 m、A A
n m n+ 為a ，
mA A
n m為a
m n− ，A A
0 m n+ 為a
m n+ ，根據四斜 適等，可得知A A
0 m× A A
n m n+= A A
1 n× A A
m m n++ A A
n m× A A
0 m n+ ，得到2 2
m n m n m n
a = a + a
−× a
+ ，因此
a
m2− a
n2= a
m n−× a
m n+ (m > n
)………(甲)當 m=5、n=3 時，
a
52− a
32= a
5 3−× a
5 3+= × a
2a
8，故五弦冪內減三弦冪者五弦冪內減三弦冪者五弦冪內減三弦冪者，五弦冪內減三弦冪者，，二弦因，二弦因二弦因二弦因 八弦也八弦也八弦也八弦也。。。。
Am+n
Am An
B
A0
圖 3-24 四斜適等弦冪差應用圖(一般式證明)
二弦三弦相乘二弦三弦相乘二弦三弦相乘二弦三弦相乘，，，內減一弦二弦相乘者，內減一弦二弦相乘者內減一弦二弦相乘者，內減一弦二弦相乘者，，一弦因四弦也，一弦因四弦也一弦因四弦也。一弦因四弦也。。。
三弦因四弦三弦因四弦三弦因四弦三弦因四弦，，，內減一弦因二弦者，內減一弦因二弦者內減一弦因二弦者，內減一弦因二弦者，，二弦因五弦也，二弦因五弦也二弦因五弦也。二弦因五弦也。。 。
又減二弦因三弦者又減二弦因三弦者又減二弦因三弦者又減二弦因三弦者，，，一弦因六弦也，一弦因六弦也一弦因六弦也。一弦因六弦也。。 。
三弦因五弦三弦因五弦三弦因五弦三弦因五弦，，，內減一弦因三弦者，內減一弦因三弦者內減一弦因三弦者，內減一弦因三弦者，，二弦因六弦也，二弦因六弦也二弦因六弦也。二弦因六弦也。。 。
又減二弦因四弦者又減二弦因四弦者又減二弦因四弦者又減二弦因四弦者，，，一弦因七弦也，一弦因七弦也一弦因七弦也。一弦因七弦也。。 。
三弦因六弦三弦因六弦三弦因六弦三弦因六弦，，，內減一弦因四弦者，內減一弦因四弦者內減一弦因四弦者，內減一弦因四弦者，，二弦因七弦也，二弦因七弦也二弦因七弦也。二弦因七弦也。。 。
又減二弦因五弦者又減二弦因五弦者又減二弦因五弦者又減二弦因五弦者，，，一弦因八弦也，一弦因八弦也一弦因八弦也。一弦因八弦也。。 。
四弦因五弦四弦因五弦四弦因五弦四弦因五弦，，，內減一弦因二弦者，內減一弦因二弦者內減一弦因二弦者，內減一弦因二弦者，，三，三三弦因三弦因弦因六弦因六六弦也六弦也弦也。弦也。。 。
又減二弦因三弦者又減二弦因三弦者又減二弦因三弦者又減二弦因三弦者，，，二，二二弦因二弦因弦因七弦因七七弦也七弦也弦也。弦也。。 。
又減三弦因四弦者又減三弦因四弦者又減三弦因四弦者又減三弦因四弦者，，，一弦因八弦也，一弦因八弦也一弦因八弦也。一弦因八弦也。。 。
四弦因六弦四弦因六弦四弦因六弦四弦因六弦，，，內減一弦因三弦者，內減一弦因三弦者內減一弦因三弦者，內減一弦因三弦者，，三弦因七弦也，三弦因七弦也三弦因七弦也。三弦因七弦也。。 。
又減二弦因四弦者又減二弦因四弦者又減二弦因四弦者又減二弦因四弦者，，，二弦因八弦也，二弦因八弦也二弦因八弦也。二弦因八弦也。。 。
又減三弦因五弦者又減三弦因五弦者又減三弦因五弦者又減三弦因五弦者，，，一弦因九弦也，一弦因九弦也一弦因九弦也。一弦因九弦也。。 。
五弦因六弦五弦因六弦五弦因六弦五弦因六弦，，，內減一弦因二弦者，內減一弦因二弦者內減一弦因二弦者，內減一弦因二弦者，，四，四四弦因四弦因弦因七弦因七七弦也七弦也弦也。弦也。。 。
又減二弦因三又減二弦因三又減二弦因三又減二弦因三弦者弦者弦者，弦者，，三，三三弦因三弦因弦因八弦因八八弦也八弦也弦也。弦也。。 。
又減三弦因四弦者又減三弦因四弦者又減三弦因四弦者又減三弦因四弦者，，，二，二二弦因二弦因弦因九弦因九九弦也九弦也弦也。弦也。。 。
除了各弦冪差的關係外，松永也提供了各弦相乘的關係式，同樣藉由四斜適 等，即可很容易得到各弦相乘的關係式，觀察圖 3-25(1)，可知
0 2 1 4 0 1 2 4 1 2 0 4
A A × A A = A A × A A + A A × A A
⇒a
2× = × + × a
3a
1a
2a
1a
4 ⇒a
2× − × a
3a
1a
21 4
a a
= ×
，故二弦三弦相乘二弦三弦相乘二弦三弦相乘二弦三弦相乘，，，內減一弦二弦相乘者，內減一弦二弦相乘者內減一弦二弦相乘者內減一弦二弦相乘者，，，一弦因四弦也，一弦因四弦也一弦因四弦也一弦因四弦也。。。二弦乘三弦只。 有這個關係式，然而後面三弦以上與其他弦相乘，卻都不只一個關係式，藉由 圖 3-25(2)與圖 3-25 (3)來說明三弦乘各弦與二弦乘各弦間的不同，圖 3-25 (2)與圖 3-25 (3)中的A A
0 3 即為三弦，三弦與四弦相乘，其中四弦的起始點位置，可以有A
1 與A 兩個點，終點分別為
2A 與
5A ，由圖 3-25 (2)可得
6a
3× = × + × a
4a
1a
2a
2a
5，由 圖 3-25 (3)可得a
3× = × + × a
4a
2a
3a
1a
6，所以三弦乘以四弦可以得到兩組關係式。同樣的三弦乘以 t 弦(t>3)，起始點位置可以有
A 與
1A 兩個點，故可以得到兩組關
2 係式；四弦乘以 t 弦(t>4)，起始點位置則可以有A 、
1A 與
2A 三個點，故可以得到
3 三組關係式；由此類推，若 m 弦乘以 t 弦(t>m)，起始點位置則可以有A、
1A 、……、
21
A
m− 共 m-1 個點，故可以得到 m-1 組關係式。
A4 A3
A2
A0 A1
A6 A5
A4 A3
A2
A0 A1
A6 A5
A4
A3 A2
A0 A1
圖 3-25 四斜適等應用圖(1)(2)(3)
接下來觀察 m 弦乘以 t 弦(t>m)關係式的一般式，圖 3-26 中，
A (0<n<m)是起
n 始點，因為 t 弦故A
n t+ 是終點，根據四斜適等，可以得到A A
0 m× × A
nA
n t+=
0 n m n t n m 0 n t
A A × A A
++ A A × A A
+ ⇒a
m× = × a
ta
na
n t m+ −+ a
m n−× a
n t+ ，因此
a
m× − × a
ta
na
n t m+ −= a
m n−× a
n t+ (0<n<m)………(乙)An+t
Am
A0 An
圖 3-26 四斜適等應用圖(一般式證明)
觀察(甲)、(乙)兩式，其中(乙)式
a
m× − × a
ta
na
n t m+ −= a
m n−× a
n t+ 中，t 必須大於 m。觀察其他情狀，發現若 t＜m 時，可能會造成a 與
ma 無法交錯的情形，因此不
t 去探討 t＜m 時；那若 t＝m 時呢，把(乙)式中的 t 換成 m，則a
m× a
m− × a
na
n m m+ −m n n m
a
−a
+= ×
，進而得到a
m2− a
n2= a
m n−× a
m n+ ，也就是(甲)式，因此可以把(甲)(乙) 兩式合併為t=m
m t n n t m m n n t
a a a a
+ −a
−a
+ × − × = ×
甲式 乙式 t>m