松永良弼《方圓雜算》之內容分析

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(1)國立臺灣師範大學數學系數學教碩班碩士論文. 指導教授：洪萬生. 博士. 左台益. 博士. 松永良弼《方圓雜算》之內容分析. 研究生：林建宏. 撰. 中華民國一百零二年六月 i.

(2) 摘要《方圓雜算》成書時間約在 1739 年左右，已是江戶時代(1603 年—1867 年) 中期。德川幕府第四代將軍德川家綱繼位時僅 11 歲，許多諸侯不滿其統治，常發生叛變與暴動。德川家綱為了避免這類事件，下令將幕府機構整備的更加完善，把前三代將軍所施行的武力政治改為文治政治，是德川幕府安定期的起始點，也是日本學術界所稱的『文藝復興』時期。在產業部分，生產力的提升造就了經濟繁榮；在文藝方面，社會安定，各階層的人開始專注於各種技術，於是有「藝道化」的產生，如茶道、劍道、花道、…，其中還有關於和算的「算道」；在教育方面，因為人民經濟的穩定，使人民開始重視孩子的教育，私塾教育造就了許多流派，在和算部分有家元—免許制。此時和算時期流行寺廟的算額和遺題繼承，在社會中促進了各和算家深入研究數學，把數學推向更高等的數學研究，也擺脫了中國數學知識體系，發展出屬於日本文化的和算。松永良弼(1692?~1744)，曾師承關孝和的正統傳人荒木村英，也是關流的第二代傳人，對和算貢獻良多，主要在於圓理的發展，繼承了建部賢弘在圓理上的成就。松永在圓理上的著作，除了較有名的《方圓算經》外，亦還有《方圓雜算》一書，兩書同為處理圓理的書籍，雖皆有角術、圓周率、弧背率等內容，然而兩書內容確差異頗大，沒有太大的關聯性。此外，《方圓算經》編排嚴密，章節明確，術文彼此間關聯不大，像是一本公式書；而《方圓雜算》編排雜亂，沒有章節的分隔，但術文間有密切的關係，像是一本理論書。筆者認為《方圓雜算》可能是松永在《方圓算經》完成後，想進一步用不同的方法探索圓裡的一本書，此書的主軸是「相似形」，書的前半卷松永利用「相似形」搭配已知的性質，如合分比、開平方、托勒密定理，發展出許多的幾何性質，部分幾何性質有其功用，如求累斜數、求逐斜矢術，部分幾何性質純粹得到關係式，如累斜勾股適等標。松永試圖利用「相似形」接著處理角術、圓周率、弧背數，雖沒有成功，但松永的想法由後面弟子安島直圓傳承下去，為關流的原理開創了另外一條道路。此書以一個主軸「相似形」發展圓理，這種以單一概念延伸出如此多性質的研究，是當時和算家少見的，這種針對主要目標，一步一步往目標前進的研究精神，宛如現在數學家解決問題的模式，展現出松永在《方圓雜算》想法的獨特性。此外，松永《方圓雜算》中，擺脫了傳統的「問-答-術」模式，整本書中除了累斜數與圓中容角兩處有提供數據運算外，沒有出現任和數據，是一本以代數式模式做推理與運算的書，不是傳統的「算術書」，而是一本純理論的「代數書」，需要有更抽象的思考模式，已擺脫傳統的「算術」，進入以符號為主的運算，亦顯示出《方圓雜算》擺脫中國傳統數學的獨特性。關鍵字：松永良弼、方圓雜算、和算 ii.

(3) 致謝首先，非常感謝指導教授洪萬生教授，洪老師在我就讀師大數學系大學部時，就是我非常崇拜的大師，老師在數學史的上課中，總是把數學家故事講得生動活潑，恍如置身於當時代之中，對於數學演變的脈絡，說明得淋漓盡致，總覺得老師在學問上知識淵博，令我非常欽佩。而進入研究所後，亦然而然地踏入數學史的領域，非常感謝老師能承受我們程度不好的風度，耐心地教導我們，陪我們成長，雖然我仍遠不及老師的程度，但就如老師所言，這一切都只是個踏入數學史的入場卷，這條路仍十分漫長。再次感謝洪老師的指導。其次，也很另外兩位感謝口試委員林炎全教授與左台益教授，你們在論文口試的每一個建議與想法，讓我學會了更多更深的思考方向，在你們的引導下，相信會使本論文更加完善，然而更可使我未來在思考問題時會更加深入。再者，要感謝同時期的數學史團隊，數學史的探究往往是深奧難懂，若沒有大家互相鼓勵、一起討論、分享結果，我想自己一個人能做得非常有限，因未有大家的努力，這條路更顯美麗與珍貴。更要特別感謝俊瑋這位準博士，你的想法常常為我開拓出許多小路，也因為這些小路才能開鑿出更大的路，你和洪老師一樣敢去思考問題的態度，也深深地影響我的習慣，讓我在論文寫作時，勇於去探討不一樣的想法，雖沒有亮麗的成果，卻有豐碩的收穫，非常感謝你。還有這次一起畢業的美杏學姊、耀仁同學、傑成同學、家瑋學妹、美倫學妹、裕仁學弟，所為團結力量大，在大家一起努力的動力下，我們終於拿到了數學史的入場卷，希望在台灣的角落，大家可以一起為推廣數學史努力。還有要感謝其他數學使團隊的成員：俊鴻學長、家銘學長、宜瑾學妹、珮瑜學妹、燕華學妹、典蔚學弟、雅茵學妹等。最後要感謝我的同事與家人們，支持我完成別人眼中吃力不討好的夢想，人一輩子的夢想不多，不敢說我的夢想是最美的，但你們都支持我去完成我的夢想，不會鼓勵我逃跑，不停地告訴我夢想就在眼前，人需要力量，感謝你們給我力量，還有我的家人，非常抱歉這段時間不能多陪你們，也感謝你們幫我做了很多事，特別是我的老婆李芳庭，這段時間我都只能在書房努力，所有的家事都辛苦妳了，偶而還要陪陪失落的我，千言萬語也道不盡你的辛苦，感謝老婆！. 林建宏一百零二年七月. iii.

(4) 目錄. 第 1 章導論............................. 1 1-1 研究動機與問題 ...................................................... 1 1-2 研究問題 ............................................................ 2 1-3 研究回顧 ............................................................ 2 1-4 研究限制與研究取向 .................................................. 5. 第 2 章《方圓雜算》的歷史脈絡 ........... 7 2-1 《方圓雜算》成書的時代背景 .......................................... 7 2-2 《方圓雜算》的作者 ................................................. 24. 第 3 章《方圓雜算》前半部內容分析 ...... 33 3-0 《算法綴術草》開平方 ............................................... 33 3-1 求二弦、二矢 ....................................................... 37 3-2 四數適等 ........................................................... 46 3-3 圓中四斜適等之圖與適等別圖 ......................................... 48 3-4 以徑與矢求二斜矢之術與四斜適等 ..................................... 52 3-5 圓徑中累斜數 ....................................................... 55 3-6 倍斜適等與折斜適等 ................................................. 86 3-7 各適等的應用 ....................................................... 93 3-8 圓中累斜勾股適等標 ................................................. 97 3-9 求逐斜矢又術 ...................................................... 103 3-10 依中元求斜弦之術由弧中所容斜 ........................................... 106 3-11 弧頂大弦、外弦 ................................................... 110 3-12 《方圓雜算》前半部總結 ........................................... 114. 第 4 章《方圓雜算》後半部內容分析 ..... 118 iv.

(5) 4-1 角術 .............................................................. 118 4-2 四角方斜率、面與二中徑之零約 ...................................... 132 4-3 圓周率 ............................................................ 138 4-4 弧背術 ............................................................ 142 4-5 圓中容角徑一尺 ................................................... 153 4-6 後半卷總結 ........................................................ 158 4-7 《方圓雜算》與《方圓算經》的比較 .................................. 160. 第 5 章總結論......................... 167 附錄.................................. 170. v.

(6) 圖目錄圖 2-1 出島 ................................................................................................... 10 圖 2-5 遺題承繼其中一系 ........................................................................... 21 圖圖圖圖. 2-7 關孝和所奉納的算額 ....................................................................... 23 2-8 關流流派關係史 ............................................................................... 27 2-9 松永良弼《方圓雜算》首頁 ........................................................... 32 3-1 四斜弦圖 ........................................................................................... 38. 圖圖圖圖. 3-2 勾股求斜弦圖 ................................................................................... 40 3-3 求二斜弦圖 ....................................................................................... 42 3-4 弧角表示圖 ....................................................................................... 48 3-5 四斜適等之圖 ................................................................................... 49. 圖 3-6 四斜適等(托勒密)圖......................................................................... 53 圖 3-7 三斜適等圖 ....................................................................................... 55 圖 3-8 累斜適等圖 ....................................................................................... 59 圖圖圖圖. 3-9 累斜適等第一類相似三角形證明圖 ............................................... 62 3-10 累斜適等第一類相似三角形證明圖(一般式)............................... 64 3-11 累斜適等第二類相似三角形圖(奇數弦)....................................... 67 3-12 累斜適等第二類相似三角形圖(4N 弦)......................................... 69. 圖圖圖圖圖圖. 3-13 累斜適等第二類相似三角形圖(4N+2 弦) .................................... 71 3-14 累斜適等第三類相似三角形圖(1)................................................. 74 3-15 累斜適等第三類相似三角形圖(2)................................................. 74 3-16 累斜適等第四類相似三角形圖 ..................................................... 77 3-17 累斜適等第五類相似三角形圖 ..................................................... 79 3-18 累斜適等應用－圓內正五角形圖 ................................................. 82. 圖 3-19 累斜數求法說明圖 ......................................................................... 83 圖 3-20 倍斜適等圖 ..................................................................................... 86 圖 3-21 倍斜適等應用圖(1)......................................................................... 88 圖圖圖圖圖. 3-22 倍斜適等應用圖(2)......................................................................... 89 3-23 四斜適等弦冪差應用圖(1)(2)(3) ................................................... 94 3-24 四斜適等弦冪差應用圖(一般式證明)........................................... 95 3-25 四斜適等應用圖(1)(2)(3) ............................................................... 96 3-26 四斜適等應用圖(一般式證明)....................................................... 97. 圖圖圖圖. 3-27 累斜勾股適等標圖 ....................................................................... 101 3-28 累斜勾股適等標說明圖 ............................................................... 102 3-29 依中元求斜弦之術圖(1)............................................................... 106 3-30 依中元求斜弦之術圖(2)............................................................... 108 vi.

(7) 圖 3-31 弧頂大弦、外弦(原圖)..................................................................110 圖圖圖圖. 3-32 弧頂大弦圖 ....................................................................................111 3-33 外弦圖 ............................................................................................111 3-34《方圓雜算》前半卷數學知識關係圖 .........................................117 4-1 圓中容角圖 ..................................................................................... 153. 圖 4-2 圓中容角說明圖 ............................................................................. 154. vii.

(8) 表目錄表格表格表格表格. 3-0-1 松永良弼開平方過程表格........................................................ 34 3-1-1 求二斜弦過程表格.................................................................... 39 3-1-2 求二矢過程表格........................................................................ 44 3-2-1 四數適等證明表........................................................................ 47. 表格表格表格表格. 3-3-1 圓中四斜適等............................................................................ 50 3-3-2 圓中適等別圖............................................................................ 51 3-3-3 角概念說明表............................................................................ 51 3-4-1「以徑與矢求二斜矢之術」探討............................................. 52. 表格表格表格表格. 3-5-1 三斜適等名稱表格.................................................................... 56 3-5-2 三斜適等術文討論表................................................................ 56 3-5-3 圖 3-7 三斜適等圖中，相似三角形的關係表......................... 57 3-5-4 累斜適等術文討論表................................................................ 60. 表格 3-5-5 累斜適等各相似三角形名稱表................................................ 60 表格 3-5-6 累斜適等第一類相似三角形表格............................................ 61 表格 3-5-7 累斜適等第一類相似三角斜現代符號表................................ 61 表格表格表格表格. 3-5-8 累斜適等第二類相似三角形表格............................................ 65 3-5-9 累斜適等第二類相似三角形現代符號表格............................ 66 3-5-10 累斜適等第三類相似三角形現代符號表.............................. 73 3-5-11 累斜適等第四類相似三角形現代符號表 .............................. 76. 表格表格表格表格表格表格. 3-5-12 累斜適等第五類相似三角形現代符號表.............................. 78 3-5-13 累斜適等第六類相似三角形現代符號表.............................. 80 3-5-14 累斜適等相似三角形應用表(1) ............................................. 82 3-5-15 累斜適等相似三角形應用表(2) ............................................. 84 3-5-16 累斜數數據與過程表.............................................................. 84 3-6-1 倍斜適等對照表........................................................................ 86. 表格 3-6-2 累斜適等相似三角形應用表(3) ............................................... 87 表格 3-6-3 累斜適等相似三角形應用表(4) ............................................... 88 表格 3-6-4 倍斜適等應用表格.................................................................... 90 表格表格表格表格表格. 3-6-5 折斜適等對照表........................................................................ 91 3-6-6 折斜適等應用表........................................................................ 92 3-7-1 累斜適等相似三角形應用表(5) ............................................... 93 3-8-1 累斜勾股適等標表格(1) ........................................................... 97 3-8-2 累斜勾股適等標表格(2) ........................................................... 98. 表格表格表格表格. 3-8-3 累斜勾股適等標說明表............................................................ 99 3-9-1 累斜適等相似三角形應用表(1............................................... 103 3-11-1 弧頂大弦簡易證明表 .............................................................111 3-11-2 弧頂大弦、外弦簡易證明表 .................................................112 viii.

(9) 表格 4-2-1 2 零約術表............................................................................. 134 表格 4-2-2 角術零約術比較表.................................................................. 135 表格 4-2-3 角術公式比較表...................................................................... 137 表格 4-3-1 圓周率相關數據表.................................................................. 138 表格表格表格表格. 4-3-2 圓周率零約術表...................................................................... 139 4-4-1 弧背術檢驗表(1) ..................................................................... 144 4-4-2 弧背術檢驗表(2) ..................................................................... 144 4-4-3 弧背術檢驗表(3) ..................................................................... 147. 表格表格表格表格. 4-4-4 弧背術檢驗表(4) ..................................................................... 147 4-4-5 矢、弦、背數據列表.............................................................. 153 4-7-1 角中徑比較表.......................................................................... 161 4-7-2 平中徑比較表.......................................................................... 162. 表格 4-7-3 距面斜弦比較表...................................................................... 162 表格 4-7-4 圓周率比較表.......................................................................... 163 表格 4-7-5 圓周率比較表.......................................................................... 163. ix.

(10) 第1章章導論 1-1 研究動機與問題織田信長 1573 年結束了戰國時代(1467~1573)，1583 年豐臣秀吉取代了織田信長的地位，1590 年正式統一全日本，豐臣秀吉的「檢地」政策，也使得武士們開始學習算術，再加上政治開始趨於穩定，經濟亦開始發展，文化上形成所謂的安土、桃山文化，此時實用數學的需求已開始增加，在藝道上已有「茶道」的出現。1603 年，德川家康授命為征夷大將軍，建立德川幕府，正式進入日本的江戶時代(西元 1603 年至 1867 年)，德川幕府實行封建制度，來穩定政治局勢，各階層人民安守本分，各司其職，各行各業都穩定的發展，第三代大將軍德川家光開始實行文治政治，當時城市、產業、交通、文化、教育等都相當繁盛，隨著町人的財富抬頭與武士經濟貧困，文化已不再是貴族與武士的專利，一般百姓也開始發展文化，使得江戶時代的文化大為盛行，被稱為「元祿文化」。元祿文化最大的特色就是知識與藝能開始進入民間，人民逐漸重視精神層面的文化活動，茶道、花道、劍道、圍棋……等，各種藝能蓬勃發展，而和算在此時也被當成藝道之一－「算道」，也因為算學的「藝道化」，使得江戶時代的和算，成為日本獨特的數學遺產。 1641 年吉田光由出版《新編塵劫記》，並在書末遺留下 15 個問題，並未留下解答，開啟了和算獨特的「遺題承繼」，造成一股研究數學的風潮，數學名家輩出，形成各個流派，其中最有名的即是以關孝和為首的關流，被視為是當時的主要流派，關孝和雖是個武士，但他的數學能力突出，還曾當過當時的勘定吟味役(現今的會計)，數學著作甚多，有生之年僅有《發微算法》出版，其餘皆為後來弟子依其遺稿而整理出的書。松永良弼是關流第二代宗統傳人，年少時(24 歲)就是讀完關孝和《括要算法》後，功力大增，他著書豐富。一般認為松永對關流最大的貢獻就是促成關流五段免許制度的建立，而其在數學上的貢獻主要有(1)「點竄法」的發明；(2)利用切割的方式去求出圓面積，類似現在的定積分求法；(3)繼承關孝和與建部賢弘在圓理上的成果。他的著作中有許多與圓理的研究有相關，其中《方圓算經》中有許多圓理領域的研究成果，是松永關於圓理研究的重要著書。一般學者認為此書是松永良弼數學著作中最突出的著作。然而，《方圓算經》在術文說明的部分，並不如關孝和與建部賢弘在著作裡的說明那樣清楚，而《方圓雜算》也是松永良弼在圓理上的研究著述，因書名為「雜算」，筆者認為可能是松永良弼把在圓理上相關 1.

(11) 的內容，記錄在此，因此，筆者想要藉由研究《方圓雜算》的內容，進一步探討它與《方圓算經》如何相關，並還原《方圓算經》形成術文的脈絡。. 1-2 研究問題綜合第一節的討論，筆者希望在本篇論文中，討論以下的問題 (1) 松永良弼的著述《方圓算經》中的術文的由來，是否與《方圓雜算》的內容有相關？ (2) 松永良弼《方圓雜算》中有哪些數學成果？ (3) 《方圓雜算》有哪些獨特的想法？ (4) 《方圓雜算》角術、圓周率、弧背術公式的由來？. 1-3 研究回顧基於日文限制，目前可以掌握關於研究日本數學或中日交流的論文或專書，數量並不多，筆者將這些文獻分成三兩部分：(1)關於江戶時代和算的相關內容，還有與中國交流的關係；。(2)江戶時代的歷史背景；。(3)關於松永良弼的生平，還有關於他著書的研究。第一類文獻是關於和算的研究，在日本有早期的遠藤貞資、三上義夫、林鶴一，後期有平山諦，但因這些相關著作都是以日文形式書寫，筆者無法閱讀相關的內容；在中文的文獻中，關於和算的研究主要有徐澤林、馮立昇、城地茂與烏云其其格，以下就他們的研究，做簡單的探討。(1)城地茂的相關著作，大多是關於關孝和的研究，對於關孝和的生平介紹十分詳細；(2)馮立昇《中日數學關係史》，從最早(372 年)藉由朝鮮傳入日本的曆書開始，一直介紹到清末周達訪日帶回日本的書籍為止，整體數學史的脈絡介紹詳細，在該書中第二章「宋元明數學的傳日與其影響」，有談到三本影響日本深遠的數學書與一本影響日本改曆的曆書傳入日 1 本，並探討其影響；第三章「和算與中國傳統的內在關係」，探討了日本和算家對中國傳統數學的繼承與發展；第四章「江戶中後期的中日數學交流」，主要是介紹德川幕府成立後，與封國政策下，陸續傳入的相關數學著作與其影響。此書討論的前提，是建立在兩國數學的交流，探討內容多數以中日比較為主，因此對於和算家後期的發展，探討較為不足；(3)烏云其其格《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》的研究內容，第一章是從和算發生的社會與文化背景切入，以數學社會史的角度去探討為何算術在此時會萌芽，又如何從算數階段，進入到算學的階段；第二章主要是探討和算，與中國傳入知識的聯結；第三章則是針對和算獨有的和算特色做介紹：遺題承繼、奉納算額、和算流派、還有關流的免許制度。 1. 三本數學書是《算法統宗》、《楊輝算法》、《算學啟蒙》，一本曆書是《授時曆》。 2.

(12) 此書的研究幫助學者在探討江戶時代數學發展的相關社會因素，有極大的幫助； (4)徐澤林《和算選粹》的前言，敘述了和算發展史、主要成就與特色、從中國傳統數學的角度去看待和算發展、和算數學知識的來源，他對日本資料與和算相關研究的整理，對筆者了解和算架構、接觸和算文本、還有相關研究成果的探討，有非常大的幫助。此外，徐澤林在每位作者前方，都有對作者相關生平的介紹，還有該作者書籍的相關研究結果，讓筆者對文本的解讀多一個參考依據，是本論文最主要的參考文本。還有其他相關書籍或文章，都有助於筆者對於和算的認識，如洪萬生與其學生所著的《當數學遇見文化》中的<遺題承繼，串起中日代數史>、<探索日本寺廟的繪馬數學>、<天元術 VS 點竄術>，此三個文章，用不同於純學術的角度去書寫數學與文化間的關係，也是在書寫論文時的另一種思考方向。以下是關於和算的相關文獻： (1) 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008。 (2) 徐澤林，《和算選粹補編》，北京：科學出版社，2009。 (3) 烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭典出版社，2009。 (4) 馮立昇，《中日數學關係史》，山東：山東教育出版社，2009。 (5) 城地茂，＜關孝和之故居與他的《楊輝算法》抄本＞，《第七屆科學史研討會彙刊》(台北，2007)。 (6) 城地茂，《改訂在坂日本數理文化交流史》，台北：致良出版社，2009。 (7) 洪萬生等，《當數學遇見文化》，台灣：三民出版社，2009 年。 (8) 曹亮吉，＜和算──日本的傳統數學（一）＞，《科學月刊》，206(台北，1987.02)：第 15 篇。第二類文獻是關於江戶時代的歷史背景部分，主要是(1)林明德《日本史》，此書主要把日本史分成四編，分別為原始古代、中世、近世與近代，其中第三編「近世」，主要在介紹關於江戶時代的政治、經濟與文化背景； (2)鄭學稼《日本史》(四)，鄭學稼著有日本史共四冊，其中第四冊是在介紹江戶時代，分為德川幕府的創建期、興隆期、下坡期、沒落期，在全書最前面，還有附了一些關於江戶時代的圖片，十分有趣，整本書每一小節都是一個主題，所有事件的來龍去脈，皆考據的非常清楚。這兩本書是筆者對於歷史探討的主要依據，並且搭配其他書的論點，試圖還原和算發展相關的歷史背景。以下是關於歷史背景相關的文獻： (1) 林明德，《日本史》，台北：三民出版社，1986。 (2) 鄭學稼，《日本史》(四)，台北：黎明文化事業股份有限公司，1967。《圖解江戶時代》，黃秋鳳譯，台北：易博士文化，城邦文化出版社， (3) 河合敦， 3.

(13) 2009。 (4) 清水昇、川口素生，《德川一族：創造時代的華麗血族》，李美惠譯，台北：遠流出版社，2010。 (5) 宮部美幸，《平成徒步日記：宮部美幸的江戶散步之旅》，章蓓蕾譯，台北：麥田出版社，2012。 (6) 山本博文，《回到江戶生活：比現代東京有趣 100 倍的美好年代》，卓文怡譯，台北：本事文化股份有限公司，2012。 (7) 吉村弘，《3 天讀懂日本史》，洪玉樹譯，台北：大是文化有限公司，2008 年。 (8) 遠藤寬子，《算法少女》，周若珍譯，台灣：小知堂社，2009。 (9) 左學德、王曉燕，＜日本江户時代的幕藩體制與商品經濟＞，《北方論叢》，5(中國，2007.5)。第三類文獻是關於松永良弼的生平與研究，主要有(1)徐澤林在《和算選粹》的松永良弼生平介紹，還有在《和算選粹》和《和算選粹補編》兩書共收錄了松永良弼的作品：《立圓率》、《方圓算經》、《太陰率》、《算法綴術草》、《方圓雜算》、《圓周率》等書，並在收錄原書內容前，簡單敘述該書本的數學成就，並以現代數學符號呈現，以供後人做研究的參考，然而此書在原稿的部分，因為抄寫的關係，少部分會出現錯誤，而在數學成就介紹的部分，少數解讀內容較難聯想，或者有過多詮釋的感覺，需要一一驗證；(2)日本東北大學附屬圖書館和算資料庫，此資料庫中，有多位和算家的著作，經重新掃描後成為電子檔，但許多和算家部分著作仍只有書名，沒有電子檔內容，筆者發現，該資料庫會不定時更新資料，是一手文獻取得的最好途徑；(3)王燕華對於《方圓算經》的研究，研究的書籍是《方圓算經》，正好與《方圓雜算》都是松永良弼在圓理上的著作，作者分析的層面很廣泛，資料相當多，是筆者本論文討論《方圓雜算》與《方圓算經》關聯性，很重要的依據；(4)孫成功《松永良弼《方圓算經》中之級數論》，其研究內容主要是在關注松永良弼在《方圓算經》中所給的級數展開式與現在數學的聯結，並沒有去探討松永是如何得到這些級數展開式，但也提供了研究者在這些展開式間 2. 關係的一種參考； (5)小川束《松永良弼の綴術について》，主要研究內容是松永良弼另一著作《算法綴術草》，對於松永使用開平方的方法，所做的詮釋，雖不能保證就是松永的想法，但提供了一個以當時相關知識下，合理的解釋，開平方的級數展開式也影響著《方圓雜算》在處理開平方時，所使用的級數展開式，是《方圓雜算》很重要的先備知識。以下是關於松永良弼相關的文獻： (1) 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008。 (2) 徐澤林，《和算選粹補編》，北京：科學出版社，2009。 2. 王燕華在＜松永良弼《方圓算經》之內容分析＞頁４中指出，孫成功對《方圓算經》中級數展開式，未有進一步討論與批判，公式中有兩個解讀錯誤，還有做數學是子的推導時有四個式子錯誤，其中論文中，經常用現今的三角函數做推論，此種輝格式詮釋（Ｗhiggish interpretation）松永良弼《方圓算經》的數學想法，可能會造成對松永良弼原始想法解讀的困擾。 4.

(14) (3) 孫成功，＜松永良弼《方圓算經》中之級數論＞，《第五屆漢字文化圈及鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》，(中國，2002)。 (4) 小川束，＜松永良弼の綴術について＞，《數理解析研究所講究錄》，(日本， 2001)。 (5) 張建傳，＜關孝和與關和流派＞，《內蒙古師範大學學報》35.1(中國，2006)。 (6) 王燕華，＜松永良弼《方圓算經》之內容分析＞，台北：台灣師範大學數學系所碩士論文，2012。 (7) 日本東北大學附屬圖書館和算資料庫，網址： http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G9200001CROSS 。. 1-4 研究限制與究限制與研究取向 1-4.1 研究限制松永良弼雖是關流第二代宗統傳人，然而其生平相關資料並不多，筆者又受限於日文的關係，資料的收集相當不易，只能從有限的文本中去勾勒出松永生平。此外，對于松永的相關研究，試圖以中文、日文、英文搜尋，發現在網路上松永良弼的相關研究也不多，而在台灣關於江戶時代的圖書，大多數仍以介紹歷史居多，鮮少介紹到關於和算的內容，基於以上兩個因素，本論文無法把所有松永良弼的相關研究逐一拿出來比較。《方圓雜算》與《方圓算經》的內容都是以討論圓理為主，松永良弼的生平與重要貢獻，王燕華碩士以在其論文＜松永良弼《方圓算經》之內容分析＞中，做了很詳細的討論與比較，因此，筆者在此論文中，著重於《方圓雜算》所有術文間的相關研究，還有《方圓雜算》與《方圓算經》之間的關係與比較，試圖從中找出松永良弼在數學上尚未被發現的貢獻。. 1-4.2 研究取向在本論文中，鑒於《方圓雜算》不如《方圓算經》般的受到重視，筆者深入探討《方圓雜算》的內容，試圖發掘以下四點：(一)以現代數學符號翻譯《方圓雜算》的內容，呈現松永良弼在《方圓雜算》裡的數學成果； (二)以當時和算發展的脈絡與松永良弼在其所有著作中有的數學知識，試圖去還原《方圓雜算》數學內容的想法；(三)探討《方圓雜算》與《方圓算經》間的關聯；(四)探討《方圓雜算》的方法論以及特色。. 5.

(15) 本論文其他章節的安排如下：第 2 章是《方圓雜算》成書時代背景、《方圓雜算》作者。第 3、4 章詳細分析與討論《方圓雜算》文本內容，第 3 章是《方圓雜算》的前半部，前半部松永主要是用相似形的方法，結合已知其他的性質，如開平方的級數展開式、托勒密定理，得出了許多關於求各斜(弦、矢)的方法。第 4 章是《方圓雜算》的後半部，主要是用不同於傳統的方法，來處理關流圓理相關的角術、圓周率與求背術，並在最後一節，比較《方圓雜算》與《方圓算經》間的關聯。第 5 章提出本論文的總結論。. 6.

(16) 第2章章《方圓雜算》方圓雜算》的歷史脈絡 3. 《方圓雜算》一書是松永良弼(1692?~1744)晚年的六、七年間完成的作品，所 4 處年代是江戶時代的中期，此時整個日本社會處於安定繁榮時期，和算也有極大的發展。《方圓雜算》此書是松永良弼在圓理上除了《方圓算經》外的另一著作，研究本書不應只著重在數學內容的研究，為了對本書有更深入的了解，筆者將在本章討論相關背景，在第 2-1 節討論《方圓雜算》成書的時代背景；在第 2-2 節討論《方圓雜算》作者松永良弼。. 2-1 《方圓雜算》方圓雜算》成書的時代背景《方圓雜算》成書時間約在 1737－1744 年間，此章節從江戶時代的政治、經濟、社會文化與教育、數學發展等四個方向，來了解和算的發展背景。. 2-1.1 政治背景 (一) 對內制度豐臣秀吉於 1598 年過世後，托孤於德川家康等五位大老，5但家康一心想「取而代之」，當然不會擁立六歲的豐臣秀賴，而以石田三成等五奉行6為首的中央集權「文治派」與武功彪炳加藤清正等的「武斷派」形成對立。德川家康拉攏武斷派，不斷地擴大勢力，更不斷地挑撥文治派。 1600 年，石田與反對德川家康的諸大名發動討家康之戰，位處西方，故稱為西軍，而以德川為主的武斷派則為東軍，決戰於美濃的關原，史稱「關原之戰」，因為西軍有大名倒戈，西軍大舉潰散，一敗塗地，德川確立了霸業，懲處西軍大名，增封東軍將士，削弱豐臣秀賴的領地，成功地為自己家業定立了穩定的基礎。 3. 4. 5. 6. 松永良弼的出生在哪一年，沒有明確的年限，此處依據徐澤林，《和算選粹》(中國：科學出版社， 2008)，388。江戶時代分為前期、中期、後期的說明並沒有明確的時間分割點，此處依據高嘉配，＜江戶時代漢學者身份研究＞第二章第一節，他綜合各歷史學家說法，而採用前期：慶長八年－寶永五年(1603－1708 年) → 家康－綱吉；中期：寶永六年－天明八年(1709－1788 年) → 家宣－家治；晚期：寬政元年－慶應三年(1789－1867 年) → 家齊－慶喜。五大老為德川家康、前田利家、毛利輝元、宇喜多秀家與小早川隆景等五人，隆景死後由上杉景勝代之。主要是與豐臣秀吉一起議事。五奉行為淺野長政、石田三成、增田長盛、長束正家、前田弦以等五人，分掌諸政。 7.

(17) 1603 年，德川家康授命為「征夷大將軍」，開幕府於江戶，進入了江戶時代，兩年後，家康就把將軍的職位交給其兒子秀忠，但實際權力仍掌握在家康手中，然而家康心中仍存在一根刺－豐臣秀賴，為了不給豐臣氏有任何復仇的機會，以莫須有的罪名－方廣寺在其鐘上刻有「國家安康、君臣豐樂、子孫殷昌」，有叛亂的意味，1614 年，發起武力衝突，隔年，終於除去心中的大石頭－豐臣氏，再再顯示家康長久鞏固家業的野心。家康為了鞏固其野心還做了許多措施： (1)重新建立幕府。豐臣秀吉在統一天下後，並未廢天皇而自立，也沒有自封為大將軍，反而召集諸侯立誓效忠皇室，假借天皇之威以增長威勢。然而家康也沒有廢天皇而自立，但他卻不安於狹天皇而令諸侯，他認為「狹天皇」仍代表著天下的統治權在天皇手裡，人們心中仍以天皇為統治者，他與他的子孫將沒有立足之地，因此他決定創立幕府，實權掌握統置日本的大權，令天皇只是名義上的君主，藉以宣告主權。其次，豐臣秀吉的舊部屬仍在，若不創立幕府，他就必須留在京都，然而京都周圍全為豐臣秀吉的勢力範圍，簡直是置自己於危險之中，於是家康決定在江戶建立幕府，以地理位置上，江戶不僅具有進戰退守的便利，還可以為子孫奠定穩固的根基。7 (2)對付大名。第一個措施為「大名國替」，將譜代大名、旗本或親族分布在關東地區，藉此保護江戶；而將外樣大名移置邊疆地區或軍事與經濟都差的地區，以削弱大名的實力。8此外還會安排親疏大小不等的諸大名，使其親疏相間彼此牽制，而徹底剝奪大名的政權。第二個措施為「武家諸法度」，是幕府針對大名制定的基本法典，全文共有 13 條，其內容大致有：獎勵文武、儉約，放逐造反者、殺人者，禁止擅自結婚(害怕聯姻)，禁止新建及擅自修築居城。在歷代將軍間仍有小幅度的修改，其中第三代將軍德川家光增加了「參勤交替」的規定，規定大名必須於一定期間待在江戶處理公務、覲見將軍，必須一年在領地，一年在江戶，而妻子則必須住在江戶(當人質)，這種兩地往返，加上江戶地區消費不低，還不時要求大名支付大興土木的金錢，使其財力消耗殆盡，而徹底剝奪大名的金錢。在高壓統治政策下，大名無權又無錢，藉此徹底剝奪大名對抗幕府的能力，以鞏固德川家的權力。 (3)對付皇室。在京都設「所司代」，負控制朝廷之責任，命親信板倉勝重擔任 7 8. 參考鄭學稼著，《日本史》(四)，(台北：三民出版社，1986)，3。「譜代大名」為原德川部屬的親藩，「外樣大名」為關原之戰後從屬德川的藩主。 8.

(18) 京都所司代。此外頒布了「公家諸法度」十七條，主要內容是規定天皇的活動限於追求傳統文學及執行禮儀，而公卿的委任需要有征夷大將軍同意，而且將軍有權干涉皇室的婚姻，根據此法度，幕府可以完全控制朝廷的所有行動。最後還把京都附近的伊賀、伊勢、近江等地封給自己的親信，還禁止西部諸大名(可能是反家康聯盟)參覲時停留在京都，徹底封鎖朝廷的政治活動。 (4)控制宗教。因為佛教的盛行，為了進一步可以控制宗教的活動，頒布了「寺 9 院諸法度」，是為了達到統治僧侶的目的，使得佛寺成為幕府的御用機關，不受幕府外的任何命令。德川幕府家康解決上列四個問題後，進一步要統治全國，於是，創立了「幕藩體制」，人事方面分為將軍、大名、武士、農、工、商等階級，身分制度使得大家都有固定的身分，屬於不同的階級，所有身分再進一步細分為各種階層，並有穩固的主從關係，全國土地在各領主之下，從自治的町村起，層層支配，領主不僅擁有租稅權，還具有行政、立法與司法等廣泛的權利，領主在自己的土地上相當於治理一個國家，但他們受幕府監督並對將軍效忠。領有一萬石以上祿米，臣屬於將軍的封建領主稱為大名。德川幕府的「幕藩體制」的領導階層組織結構與前代不同，幕府組織最高官職為大老(非常設)，10負責統括政務，參與重要政策的確定，非常時期由眾老中中選出一位。老中總攬幕府的政務，由祿額兩萬五千石以上的大名遴選，指揮三奉行，掌管政務，約 5~6 人。三奉行分別為寺社奉行、江戶町奉行、勘定奉行，寺社奉行管理寺社，並裁判關東以外地方幕府直轄地的訴訟，類似地方法院；江戶町奉行管理江戶地區各類治安，負責地區各類糾紛裁決的單位，類似首都的法院；勘定奉行，負責租稅收納、會計、並裁決關東內訴訟問題，(其中關孝和即擔任過勘定吟位役，類似今日會計的審計工作)。11還有輔導老中的若年寄，由譜代大名遴選 3 到 5 名，管理旗本、御家人並司職城中的業務。目付隸屬若年寄，監督旗本與御家人的行為。大目付，類似現在的監察院，但此時的大目付為老中的耳目，負責監看各官職。如此嚴密的組織，包含了行政體系、司法體系與監察體系，制度上很完備，但其中行政權與司法權都屬於同一個單位，以現在的角度來觀察，若人民的權利被幕府所侵犯時，司法權完全無法發威，但以當時封建的制度看來，這個問題的缺點遠低於此制度的優點，也因此制度，造就了江戶時代兩百多年的統治。 9. 沒有固定的稱呼，也有「諸宗寺院法度」與「諸宗諸本山法度」的說法。參考林典蔚，＜關孝和《三部抄》內容分析＞(台北：台灣師範大學數學系所碩士論文，2012)， 9。 11 參考劉雅茵，＜關孝和《括要算法》內容分析＞(台北：台灣師範大學數學系所碩士論文，2011)， 22。 10. 9.

(19) (二). 對外關係. 德川家康就任征夷大將軍後的第一個外交行動，就是對朝鮮修好，德川家康受意對馬島的宗義智向朝鮮求和親，但因豐臣秀吉的侵略，造成朝鮮多次不回應，在宗義智的努力與計策下，1609 年恢復與朝鮮的貿易往來。對於明朝，宗義智也多次向朝鮮提出與明朝復交，即增加對馬的歲船，但明朝對於日本侵韓之事，仍非常不滿，在加上當時明朝國內政權不穩固，因此拒絕恢復與日本的貿易，德川家康只得經過呂宋間接對明朝通商，或經由走私貿易來與明朝通商。 1543 年葡萄牙船漂到日本的種子島，賣給日本人兩把鐵槍開始，西方勢力正式與日本接觸，此後葡萄牙與西班牙人接踵而來，同日本進行貿易，西方傳教士藉由貿易船來到日本傳教，當時處於戰國時代，各大名希望藉由海外貿易獲得武器等重要物質，故與耶穌會傳教士關係良好，也因此耶穌會在日本的傳教活動非常順利，後來豐臣秀吉害怕耶穌會是否有野心，故於 1587 年頒布「禁教令」，但未阻止與葡萄牙、西班牙的貿易。德川家康建立江戶幕府後，為了推廣國外貿易，對傳教士的行動採取默許態度，後來發生了一些不愉快的事件，使得家康與西班牙人、葡萄牙人交惡，進一步於 1613 年頒布全國性「禁教令」，此時英國與荷蘭人順勢打進對日本的貿易。1616 年德川秀忠，將對外貿易限定在平戶與長崎兩港。 1624 年德川家光又禁止西班牙人入國與通商，西班牙正式退出對日貿易。1631 年設「奉書」制，禁止「奉書」船以外的船隻出國，1635 年更進一步禁止所有日本人出國和在海外的日本人歸國。1636 年，在長崎港外建立「出島」，見圖 2-1，限制葡萄牙人只能居住在此，除經商之外，嚴禁其出入。1639 年因島原之亂，德川幕府禁止葡萄牙船赴日，改由荷蘭人取代葡萄牙人獨佔對日貿易，此時長崎港成為對外的為一門戶，並且只許中、荷兩國通商，正式進入「鎖國」時期。12. 圖 2-1 出島13. 12 13. 參考林明德，《日本史》。圖片 2-1 參考網站 gokigensan-pictures2.blog.so-net.ne.jp。 10.

(20) 鎖國主要原因有三：一、避免基督教國家界傳教蠶食日本。二、限定對外貿易，壟斷貿易利益。三、加強封建統治體制的確立。. 2-1.2 經濟背景江戶時代因為政治情勢的穩定，社會生產力與各職業的發達，使得江戶時代的經濟發展呈現大幅度的成長，以下從不同的產業進一步探討江戶時代的經濟發展。. (一)農業農業是德川幕府封建制度的主要基本產業，農民佔全國人數比例最高，是江戶時代主要的經濟來源，村是最小的行政單位，構成的分子有「村役人」、「本百姓」、「水吞百姓」。村役人是管理階層，包含(1)「名主」 → 一村之長，擁有較多的土地，由全村農民推舉，管理全村行政；(2)「組頭」 → 輔佐名主；(3)「百姓代」 → 負責監督名主與組頭。而本百姓即自耕農，是農村的主要分子，也是貢租的重要來源。水吞百姓則為佃農或僱農，生活貧苦，是農村裡較低的階層。為了確保貢租的穩定，德川幕府對於各種稅務也有明確的規定，還發布「田地永世買賣禁令」，更禁止農民隨意種植農作物，須按照幕府或藩的規定。德川家光甚至頒布「慶安御觸書」，「慶安御觸書」的內容是對農民的規定。例如不准抽煙，喝茶、衣服要用木棉製作、生活儉樸、要交規定的年貢等等的規定，確保了江戶幕府的財政收入來源和對農民的控制。隨著農村制度的完善，各種農業技術亦有所進步，稻種的改良、新農具的發明、耕作法的改進與肥料的利用，使得農穫量大幅提升，此外也開始各種經濟作物的栽培，倚賴進口的生絲，因養蠶業盛行，到幕府末期甚至可以出口，基本農業價值的大幅提升，也使江戶時代經濟的基本盤穩定地成長。. (二)工業隨著農業的發展，生活水準相對提高，民生各種需求不停的增加，於是各種工業逐漸興起。此處工業仍只是使用工具的手工業，主要有織物、陶瓷、漆器、紙、酒等物品，這些分布在各地的產品後來成為明治以後產業的基礎。而礦山的發掘一直是戰國時代以來富國強兵政策之一，江戶時代因貿易活絡，礦產的需求量大，幕府引進南蠻(西方)的發掘技術，產量的增加，又加上幕府直轄，一度讓幕府的財政非常優渥，但是隨著金銀產量逐減少，幕府的財政大受打擊，轉而向其他行業加稅，也使得整體物價上揚，經濟因此大幅衰退，由此可 11.

(21) 見礦產對江戶時代的經濟有一定程度的影響。. (三)商業豐臣秀吉時期已著手貨幣統一的政策，德川家康承繼秀吉的政策，德川幕府一手掌握貨幣發行權，至 1636 年，大量鑄造銅錢(寬永通寶)，使全國貨幣的需求量獲得充分供應，貨幣更加流通。貨幣流通也使得江戶時代金融機構的發達，除了兌換貨幣外，尚經營存放款、開發、收兌匯票，各式各樣與金融相關的行業因此產生，如「兩替業」負責兌換金和銀(大坂地區用銀，江戶地區用金)；還有以旗本的祿米為交易對象的「札差」；以大名為借貸對象的「藏元」及「掛屋」。14 農業、工業、金融與交通的發達，使得商業行為更加活絡。因為幕府採取兵農分離，使得武士都集中在「城下町」，城下町是諸侯使家臣聚居於城下所成立，為地方政治、軍事中心，因為人口聚集，易形成商業區，進一步促使交通發達，江戶就是當時最大的城下町，大坂則成為當時最大的經濟中心，京都因有一千年傳統的皇都，工商業亦十分發達，以西陣織及美術工藝著名，這三個城下町人數至少都達 40 萬以上，而人口達 10 萬以上的城下町，全國共有五十處，為了往來的便利，交通設施的建立是必然的，幹線道路以江戶為中心，「五街道」乃是各大 15. 名參覲必經的交通道路。而海運的部分，主要是運送大量的貨物為主，東以江戶為中心，西以大坂為中心，開闢了「東迴航線」與「西迴航線」。16藉由海陸兩種運輸方式，讓商品的流動更加頻繁。為了應付商業活動的大幅增加，商人也開始專業化，漸有批發商、經紀人、零售商等的分化，後因批發商與經紀人企圖獨佔商業，於是各行業的同業者開始組成行會，稱為「株仲間」，功能主要仍是協定價格、統一品質與調節販賣量，維護同業的權利，避免同業互相傷害，造成不必要的損失。行會受到幕府或諸藩的保護，但必須額外繳交「冥加金」(給與特權，收取捐款，即現代的賄款)、「運上金」(商人貿易、營商許可時的登錄費)，17商人組織的進化，也使商人越來越有錢，為後來的武人統治政治埋下變數。. 14 15. 16 17. 參考鄭學稼著，《日本史》(四)，150~160。東海道－日本橋（江戸）～三條大橋（京都）；1624 年完成，日光街道－日本橋（江戸）～日光坊中（下野），1636 年完成；奧州街道－日本橋（江戸）～白川（陸奧），1646 年完成；中山道－日本橋（江戸）～草津宿（近江），1694 年完成；甲州街道－日本橋（江戸）～下諏訪宿（信濃），1772 年完成。東迴航線：日本海沿岸－江戶；西迴航線：出羽國－下關－大坂－江戶。參考參考林明德，《日本史》，177。 12.

(22) 町人是日本江戶時代一種人民的稱呼，他們主要是商人，部份人是工匠以及從事工業的工作，是江戶幕府的士農工商的身份制度下最低的兩級，隨著商業資本的發展，町人的財富大幅增加，依酒泉彥太夫所著的「江戶見聞錄」，敘述江戶的商人們，均逞奢侈，乘肥馬，衣輕裘，從者甚多，他們的生活方式，與侍無異，所差者無槍耳。由此可看出當時的町人與武士的差別僅在於有無帶刀。江戶初期武士生活優裕，町人的權力根本無法與武士相比，但到了元祿盛世時，社會權力的象徵由權力轉變為金錢，町人的地位逐步進逼武士。三都的商人，也各有不同的生活方式。大坂因為是經濟之都，此處的商人輕視文化、武藝，他們只知道營利而生，享受而活，白天打算盤，晚上盡情享樂，到處揮霍；京都的商人，因為古都的文化薰陶，他們喜歡書畫、古董、謠曲、快樂，溫雅地使用他們的財富，是三都中最有文化氣息的商人，也進一步影響江戶時代的文化(待文化背景時討論)；而江戶的商人，表現豪爽的個性，在許多夜生活的場合中，貴族、武士與商人混雜其中，無等級之分，只有錢多少的差別，往往隨便一出手便是千金，極度豪爽。由此可看出商人的財富豐厚，到了江戶後期，幕府財政狀況開始下滑，許多武士甚至大名的經濟狀況非常不好，為此幕府特別在「武家諸法令」中要求武士要節約，進一步還頒布禁奢令，然而這樣的作為仍無法改善武士與大名的經濟狀況，然而生活仍需過下去，武士與大名只好拿祿米向商人借貸，有很多武士與大名還不出錢，商人又無法控訴，形成很多呆帳，令商人間開始不滿，在加上錢和權的轉換，使得商人的權力大幅提升，最後也是德川幕府衰敗的主要因素之一。由此可看出商業是一把雙面刃，若沒有好好處理，最後傷的最重的仍是自己。. 2-1.3 社會文化與教育江戶時代的文化，有三大特色：一是純日本風格，過去幾個時代都是模仿中國文化移植的，18但江戶時代的鎖國政策，使得江戶的文化受到外來的影響很少，在此鎖國體制下，江戶文化自我發展，形成真正有日本特色的文化；二是文化普及於各階層，屬於庶民文化，奈良、平安時代屬於貴族文化，鐮倉、室町時代則屬於僧侶文化，江戶時代因天下太平，人民生活安定，不僅上游社會文化發達，下層的平民也有文化，學者文人輩出，也誕生了庶民本位的大眾藝術；三是文化的東漸，以往的文化中心都是圍繞著京都、大坂，因為第四代將軍採文治政治，使得江戶開始產生了獨自的文化，後其甚至超越京都與大坂在文化上的地位，成為日本的文化中心。江戶時代文化風氣的興盛大致可分為三個時期。第一個時期為「寬永文化」19， 18 19. 奈良、平安文化模仿隋唐文化，鐮倉、室町文化模仿宋元文化。部分學者認為寬永文化不完全是江戶時代的文化，故不列為江戶時代的文化之一，此處採用的 13.

(23) 主要地區為京都地區，主要分子有武士、朝廷和部分富裕的町人，在幕府和諸藩的積極保護與培養下，形成一個適於幕藩體制的文化，尚保留極濃厚的桃山文化，此時期幕府對朱子學採保護政策，乃是因為其遵守封建秩序的理論，十分適用於幕府，具有特色的建築有桂離宮與日光東照宮，還有茶道的流行。第二時期為「元祿文化」，此時期也被日本學界稱之為「日本的文藝復興」。主要地區為大坂、京都等上方地區，主要分子大部分為富裕的町人和少許的武士，其中特別是經濟都市大坂誕生了許多優秀的藝術與文學家，這也是因為多數的贊助人是大坂富商所致，此外元祿時期的町人靠經濟活動活絡，變得十分富有，反倒是此時期的武士除了較為貧窮外，也因思想受到傳統封建制度(儒學)所束縛，文創受阻，町人就沒有如此的包袱，故武士在元祿時期失去了主導文化的能力。此時期的學術主要仍是儒學(宋代朱子學)，朱子學早在鐮倉時期就傳入日本，在寬永文化時期已受到幕府的重視，到了元祿文化更成為主要的「官學」，最大原因是朱子學符合德川幕府家臣團的身分結構與武家對庶民的絕對優越性，武士階段的君臣關係，必須有一種超越情緒依存的客觀倫理，而儒家思想最重視的就是倫理道德，與德川時代封建社會的結構相當吻合。各地區均有朱子學者，而其中最特別的是筑前的貝原益軒(1630~1714)，廣涉百科之學，想將朱子學擴及經驗科學方面，認為「誠心正意」的道德實踐未必可以保障對客觀事物的認識，因而否定「格物致知」與「誠心正意」之間的關聯性，引起了對經驗科學的重視，影響了日本在科學上的重視。. 20. 除了儒學的發達，這時期還有其他不同的文化產生，以下簡單介紹：(1)史學 → 儒學的興盛，儒學家受到中國史的影響，逐步地發展出日本學史，例如幕府於 1644 年命林羅山編纂日本史，其子林春齋仿效「資治通鑑」的「本朝通鑑」，為日本通史的先驅。(2)科學 → 江戶初期丈量土地、兌換貨幣、商業行為的發生，促使計算法與測量法的發展，吉田光由刊行《塵劫記》，為算盤式計算法的先驅，更開啟了「和算」的發展(詳後)。(3)文藝 → 貴族的文藝已褪色，主流已被庶民取代，町人文藝的抬頭，使得許多文藝作品是貼近市井小民寫實精神觀察，其中有著名小說家井原西鶴、俳諧家松尾芭蕉、劇本家近松門左衛門(武士出身)。(4)藝術 → 江戶時代的藝術脫離了宗教，更貼近一般町人的生活，繪畫開始發達，最值得注意的是以庶民感覺去描繪民眾生活的新風俗畫－「浮世繪」，凸顯出藝術突破了傳統的宗教畫。第三個時期為「化政文化」，主要地區為江戶地區，主要分子一般的町人，當時德川家齊的執政導致社會風氣散漫、頹廢，而化政文化在此環境下，風格較為. 20. 是河合敦在《圖解江戶時代》中的觀點。參考參考林明德，《日本史》，185。 14.

(24) 通俗，有強烈的享樂主義與頹廢色彩，文化有多樣化與普遍化，在學問與思想上，科學與考據精神漸次萌芽，一方面反映封建社會的爛熟和低俗化，另一方面在思想上又呈現了邁向近代社會之胎動期。化政時代的主要分子是江戶地區的町人，但藉由商人、文人與旅行者的傳播，使得各地都有小型文化的產生，是一個普及的文化。在文學上，小說類的作品大幅增加，以草雙紙與讀本文主流，草雙紙原本只是畫本，附有若干文句，即插圖比本文更能吸引讀者的故事，後來變成小說的型態，多數是描述遊里的實情。21而讀本是一種借用歷史人物與事件為題材的小說，其中最著名的是瀧澤馬琴的《南總里見八犬傳》。還有其他的文學作品，因與本論文較不相關，故未做進一步探討。這一時期的許多文化內容與元祿文化相近，僅是風格與細膩度的差別，然而在儒學上，除儒學的日漸形式外，此一時期由和歌學之革新所產生的日本古典之研究，逐漸從文學的領域進入具復古主義的思想之學，稱為國學，還有因為鎖國政策的西方貿易國家僅有荷蘭一個國家，從荷蘭傳入的相關知識，稱為蘭學，此兩個學問的興起，也是化政文化的特色之一。江戶時代的教育場所有藩校、寺子屋，藩校設立在各藩，主要是為武士階層的子女提供教育，學習內容多元，有儒學、漢詩、漢文、兵學、經濟等，在藩校表現好的藩士，有機會可以得到各藩大名的任用，到各藩工作，到幕府末年，多達兩百多間藩校，可見江戶時代教育的發達。寺子屋起源於日本中世紀的寺院的教育。當時武士階層的子弟往往被送到領地內的寺廟接受教育，日語中寺子屋的「子」和「小」發音相同，意思相近。寺子屋也因此而得名。到了江戶時代，隨著社會安定，工商業發展，社會需要大量有文化的人才，初等教育的需求進一步增長，寺子屋逐漸脫離寺院在全國各地推 22. 廣。寺子屋首先在江戶，京都的中心城區得到普及。教師的身份初期主要是僧侶，神官，醫生，武士，浪人，書法家。隨著寺子屋需求的增加，平民也加入到教師的隊伍，主要的學習內容是學習讀、寫、算等，其中算的教學主要是以吉田光由的《塵劫記》為主。寺子屋全盛時期多達 15000 多家，其中以和算教學為主的私塾，也叫做「算學道場」，也有和算家靠開設算學道場維生，例如：荒木村英。由此可知算學在此已列為私塾中不可或缺的內容，為和算的發展注入一股力量。. 21 22. 類似現代的風化場所。參考維基百科。 15.

(25) 2-1.4 江戶時代的數學發展江戶時代的數學發展從鐮倉幕府開始，幕府控制軍政大權，皇家失去權力及經濟來源，部分碩學之士轉而投向鐮倉幕府的懷抱，對於新的體制，各種學問均需有不同的人才，早期武士重武而輕文，此時期的武士被逼迫學習各種不同的文化要素，而因應武士有負責攻城掠地時的後勤工作，需要估算出征時所需糧食、運用時間、戰勝後的封地…等，都需要有算的能力，於是算學的發展與武家文化的實用方面有相當的關聯。23此時期武家的算學，主要有兩種含義，其一是實用性質的「算用」，另一則是指以算術進行占、卜，因為占卜與生老病死有密切相關，故當時善於操作算學的人，多數為禪僧和武家的家臣，帶給大眾的是為算術所操控的恐懼。戰國時代，群雄崛起，為了要征服全日本，需要有豐厚的財政能力，為了提高經濟實力，各大名重視農業的發展，興修水利提高農穫量，還有當時稅收政策的調整，「算用」更加受到大名與武士的重視，幾乎成為武家必備的素養或技能，對於精通算學的武士，甚至會參與決定國政算用還有交戰的運籌方略。24豐臣秀吉統一全日本後，迅速建立規模宏大的大阪城，命令各大名離開領地，集中大阪城下町，形成繁榮的商業和貿易中心，此外豐臣秀吉每年實施的「檢地」政策，25通過丈量土地、統一度量衡、進行人口調查、確定了年貢的負擔者，這些政策都使得應用數學的發展產生能量。江戶時代，德川幕府延續豐臣秀吉的許多政策，在水利工程、城池的建造方面仍需要大量的實用數學，此外金融貨幣的兌換，商業交易上形成的行業「兩替商」，其業務有存款、貸款和票據匯兌業務，也使得對算術的要求更加提高，工商業的發達同時帶動交通、運輸、能源、航海，及其他方面的發展，也促進了工程方面數學的發展。整個江戶時代也隨著各行各業的成長，部分職業對「算」的倚賴也逐漸提升，甚至所延伸的問題更加奇怪，也因此傳統的「算」對社會的發展已不太夠，需要更進一步的知識來解決產生的問題，於是異於傳統的「算」開始產生，江戶前期的和算家將傳統的「算用之技」與後來的「算學」有所區分。在早期武家文化裡，「算」是以籌占方式而與當時人們精神生活發生關聯，算盤的引入賦予了新的計算公具，使得「算」與實用數學開始關聯，然而這些實用數學並不需要太多的理論，仍僅注重在「算用之技」，在《割算書》與《諸勘分物》把這類稱為「算用」、「算勘」。社會穩定後，和算家開始把心思放在研究數學學問，「遺題承繼」(待後介紹)的風氣，使得算不再是一種純粹的計算技術，還是一種智 23 24. 25. 此時為實用維度，到江戶時代才達到精神維度。有錢糧的分配、人夫的配置以及築城防禦等軍事算用問題。參考烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》。檢地是全國均使用統一的方法來執行，整理以前複雜的土地擁有權，更新土地制度。 16.

(26) 力性的遊戲，已開始進入「算學」的地步，由「算勘」到「算學」代表當時實用數學的基礎下，進一步出現更深層次的智力追求。. 26. 在此筆者針對(1)中國算盤與算書的影響；(2)實用數學與和算的普及；(3) 遺題承繼；(4)和算繪馬－算額；(5)算學的藝道化。等幾個方向，進一步來討論江戶時代數學發展背景。. (一) 中國算盤與算書的影響算盤傳入日本的時間，並沒有確切的答案，但可以斷定的是傳入時間不會晚於十六世紀中葉，早在明初，載有算盤圖的《魁本對相四言雜志》就傳入日本並被復刻，顯然日本人對於珠算已經有所了解。1562 葡萄牙傳教士弗洛伊斯來到日本，其著作《日歐比較文化》中提到，在他進入日本的時候，算盤已經普遍使用，日本算盤的普及，對日本數學以及國民教育都有極深的影響，激發了日本數學的活力，引發了日本數學的轉變。日本現存的古數學書中，有兩部最早的著作反映的是《算法統宗》傳入前的數學之是內容，此兩本書分別為《算用記》(作者不詳) 與《割算書》(毛利重能 1622 年著)，第一本書是日本現存最早的刊本數學書，而第二本書是在第一本書的基礎上改編而成的，以內容而言，兩本書皆可分成兩個部分：第一部分是珠算算法的說明，第二部分是重應用問題的算法。珠算的傳入使日本商人在計算上簡便了許多，攜帶上不用攜帶一整袋的算籌，僅帶一個算盤即足夠，都造成生活上許多便利，此外還提供日本數學家更為有效的計算手段，提高了數學家處理大量計算工作的能力，使數學家可以把更多的時間放在思考上，為和算的發展奠定了穩固的基礎。27 從十六世紀後半開始，中國數學書籍傳入方式有二，日本與中國外交關係中斷，中日之間的商業往來與文化交流，主要都是民間方式，此是第一種傳入方式；在宋、明時期，中朝兩國關係良好，中國書籍大量傳入朝鮮，並獲得妥善的保存，而日本戰國時代豐臣秀吉侵犯朝鮮期間，間接獲得大量的中國書籍，其中當然包含了許多數學書籍，這是第二種傳入方式。這段時間內至少有幾本中國數學書籍傳入日本：《算法統宗》、《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《數學通軌》、《海洋說詳》、《算學群奇》、《桐陵九章捷徑算法》、《新刻家傳秘訣盤珠算法士民利用二卷》、《新鎸九龍易訣算法》、《新镌校正指明算法》等，28其中影響最大的是《算法統宗》、《楊輝算法》、《算學啟蒙》這三本書，以下簡單介紹此三本書與和算的關係。. 26. 27 28. 參考烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》上海：上海辭典出版社，2009， 67~70。參考馮立昇，《中日數學關係史》(山東：山東教育出版社，2009)，37~ 48。參考徐澤林，《和算選粹》(北京：科學出版社，2008)，14。 17.

(27) (1)《算法統宗》《算法統宗》是一部重要的中國傳統數學著作，在珠算知識的介紹非常詳盡，從簡單的數學知識入門，進一步介紹傳統的數學知識(以《九章算術》為主)，最後再搭配日常生活中的數學知識和難題雜法做結尾，是一部內容充實的數學著作。29 傳到日本的說法主要有兩種：一是毛利重能奉豐臣秀吉的命令，二次前往明朝，都不受到明朝重視，藉由這兩次訪明朝時，順手帶回《算法統宗》，毛利重能再把這本書介紹給吉田光由；二是《算法統宗》是吉田家族以特別被日本政府允許對外貿易的船隻「角倉號」，與中國進行貿易，經貿易路線帶回日本，藉由吉田素庵將內容傳授給吉田光由，吉田光由藉《算法統宗》為藍本，書寫出《塵劫記》一書。這兩種說法都各有支持的學者，目前多數學者較為贊同傳日方式應以第二種說法較有依據，然而吉田光由是藉由誰學習《算法統宗》，目前的爭議性仍頗大。 30. 江戶時代的日本進入了封建社會的高速成長時期，社會發展對於數學的要求也提高了許多，原有的數學基礎已不夠滿足社會的需求，《算法統宗》作為明代數學的代表性成果，富有商業性與實用性的特點，受到日本學者的喜好，吉田光由從小就開始學習《算法統宗》中的知識，以《算法統宗》為藍本，於 1627 年書寫出《塵劫記》一書，在日本廣泛的流播，又在 1641 年書寫《新編塵劫記》後，留下了十二題難題，為後來和算家間「遺題承繼」的開端。吉田光由最大的貢獻就是將《算法統宗》的數學知識藉由《塵劫記》一書來呈現，又保有當時日本的社會風情與文化，還有「遺題承繼」，前者可以顯示《算法統宗》將日本從「算」開 31 始提升到「算學」的階段。 (2)《楊輝算法》《楊輝算法》是南宋數學家楊輝三種著作的統稱，包含《乘除變通本末》、《續古齋奇算法》、《田畝比類乘除捷法》，其中《續古齋奇算法》對縱橫圖的構成規律有所概括，屬於新的數學內容。《田畝比類乘除捷法》介紹了 22 個二次方程和 1 個四次方程式及其解法，是用增乘開平方法解三次以上的高次方程式最早的例子。《楊輝算法》傳入日本的時間不詳，但此書在 16 世紀末前以傳入日本。《楊輝算法》對江戶初期的和算有較大的影響，三上義夫托石黑家後人找到關孝和的抄本，其後所付文字為：「寬文辛丑仲夏下浣日寬文辛丑仲夏下浣日，訂寫訖，關孝和」顯示出寬文辛丑仲夏下浣日，訂寫訖，關孝和關孝和對此書十分了解，而就數學內容來看，《楊輝算法》中解高次數字方程的問 29. 30 31. 參考陳威男＜明代算書《算法統宗》內容分析＞，《算法統宗》卷一至卷二介紹數學知識與珠算常識，卷三至卷十二介紹以《九章算術》為主的傳統數學知識，卷十三至卷十七為歌訣表述的各類算題以及寫算、指算、縱橫圖等雜法。參考馮立昇，《中日數學關係史》，46~47。參考馮立昇，《中日數學關係史》，第二章第三節。 18.

(28) 題，求同餘式的解法、重差數及縱橫圖，都對關孝和有深刻的影響，在關孝和與建部賢明、建部賢弘和著的《大成算經》中，多次引用《楊輝算法》的內容。在建部賢弘的《算學啟蒙諺解大成》中，也可以發現引自《楊輝算法》的內容，這說明楊輝的著作對和算家理解和消化中算知識有很大的作用。平山諦更進一步認為《楊輝算法》與《算學啟蒙》是對關孝和的數學研究影響最大的中國書籍。32 (3)《算學啟蒙》《算學啟蒙》是元代數學家朱世杰所著的數學入門書，從最簡單的乘除口訣等知識介紹起，一直講到較高深的天元術知識，是一本由淺到深的數學書。傳日時間也不詳，根據研究最晚在 16 世紀末已從朝鮮傳入日本。. 33. 傳入後有吉田光由的弟子久田玄哲於 1658 年，對此書作詳著為《算學啟蒙訓點》。1672 年星野實宣對《算學啟蒙》作注解《新編算學啟蒙注解》，星野實宣的注解與說明，對當時的學習者有很大的幫助，之後《算學啟蒙》在日本開始廣泛的流傳。1690 年關孝和弟子建部賢弘的《算學啟蒙諺解大成》刊行，此書是建部賢弘對《算學啟蒙》做了更加詳細的注解，解明了全部的數學方法，其內容對於元代數學知識，特別是天元術和線性方程組的解法在日本起了很大的作用。然而在建部賢弘的《算學啟蒙諺解大成》發行前，仍有不少的著作是受到《算學啟蒙》的影響，1671 年澤口一之刊行了《古今算法記》，在書中多次提到《算學啟蒙》一書，他在《古今算法記拔》中提到：夫算道之理，夫算道之理，總謂之則方圓之二也，總謂之則方圓之二也，然方理易得，然方理易得，圓理難明，圓理難明，近世刊行閱算近世刊行閱算雖有弧矢弦法，非正術，故謬甚多焉， ……既如算學啟蒙》有古新蜜書，雖有弧矢弦法，非正術，故謬甚多焉，…… 既如《算學啟蒙》有古新蜜 (密 ) 之三術，雖然予窮考之，圓理妙術有之，明故有厚志人可面授焉＂之三術，雖然予窮考之，圓理妙術有之，明故有厚志人可面授焉＂由此可看出澤口一之的《古今算法記》是有參考過《算學啟蒙》，而其內容也有與《算學啟蒙》相同的地方，而接著關孝和發行了第一本數學書《發微算法》即是為了解答《古今算法記》15 個遺題而作，全部用天元術解題，從此確立了天元術在和算中的中心位置。而《算學啟蒙》除了天元術外，與增乘開方法完全相同的開方術、垛積術以及解線性方程組的方法，也對和算產生了重要的影響34。. 32 33 34. 參考馮立昇，《中日數學關係史》，第二章第四節。參考馮立昇，《中日數學關係史》，66。參考馮立昇，《中日數學關係史》，第二章第四節。 19.

(29) (二) 實用數學與和算的普及前面已提到從戰國時期開始就有許多生活中需要用到數學的地方，從豐臣秀吉的檢地政策，到攻打城池所需的糧草還有工程進度，都顯示出對實用數學的依賴。而德川時代，幕府十分重視農業的發展，將農業視為天下之本，檢地政策的沿用、定租與納貢政策、掌握農曆按季節播種、農業副產品的市場價格，他們的生活與實用數學密切相關，農民掌握實用數學技能的必要性有所提升。接下來讓我們來觀察工人的部分，前面章節已提到，修築水利、興建工程、興建橋梁都需要用到測量，進一步計算出所要的結果，而一般的手工藝，物品的大小、所需的材料、甚至混和的比例，也都確切的需要數學的計算，因此江戶幕府設有各種「普請役」，35大多數由下級武士充任。而江戶時代商人的部分，所需的實用數學更不在話下，商人每人人手一個算盤，原料的成本與成品的價格、貨幣的兌換、借貸的利息等，36都需要非常精確的計算，算盤此計算器的出現，讓商人在商業行為中更加便利，是所有階層的人中最早了解實用數學在生活中的重要性。從上列的敘述中，不難發現江戶時代各階層對於實用數學的需求性明顯比戰國時代高出許多，這也是著於和算發展重要因素之一。從吉田光由 1627 年的著作《塵劫記》的內容，即可看出《塵劫記》內容與實用數學相關，因而可以在江戶時代的日本廣泛的流傳。其內容包括：第一卷珠算基本知識第二卷各種貨幣的換算、借貸利息計算、以及米、布、雜貨交易的商業計算。第三卷與第四卷有關土木建築方面的計算，以及求面積、體積的方法。這些主要都是役人所需要的數學知識。37 在前面章節有提到江戶時代教育的發達，武士的教育是在幕府直轄學校或藩校中進行，以往皆以儒學為主，配合社會的變遷，許多藩校也開始教導算術，甚至會聘請和算家到藩校教導學生。而平民教育的主要地點為寺子屋與私塾，其師匠來源較為廣泛，戰國時代以前主要教導內容為識字與閱讀，江戶時代也因應實用數學的發達，開始教導算術，內容上是以《塵劫記》為主的實用性算學知識和珠算，為當時期的數學教育奠定重要的基礎。. 35 36 37. 負擔公家設施的修築與治水工程。「賴母子」計算就是一種計算利息的方法。參考劉雅茵，＜關孝和《括要算法》內容分析＞，14。 20.