本節將針對因數與倍數的相關文獻進行探討，分為三個部分進行說明，第一 部分探討九年一貫數學學習領域課程綱要以及 NCTM 數學課程標準之因數與倍 數學習內容的安排現況，第二部分針對國內三個版本的教科書內容進行分析，第 三部分為國內因數與倍數之相關研究的回顧與討論。
一、因數與倍數課程綱要之探討
本研究希望藉由因數與倍數課程綱要之探討，瞭解因數與倍數內容的學習範 疇與學習時機。研究者參考教育部於民國九十七年公佈之國民中小學九年一貫數 學學習領域課程綱要，針對因數與倍數內容的部分進行整理與分析，此外，由於 本研究所牽涉之內容包含「整除」的概念，因此，研究者亦將針對課程綱要中，
關於整除概念的部分進行整理。
研究者將九年一貫課程綱要中，與整除以及因、倍數內容相關的能力指標茲 列如下（教育部，2008）：
N-2-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。
N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。
N-3-04 能認識質數、合數，並能用短除法做質因數分解。
N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡分數。
從能力指標的內容可以發現，整除、因數與倍數皆屬於數於量的能力指標範 疇，整除概念的學習階段為三至四年級，因數與倍數的學習階段為五至六年級，
研究者再依據能力指標整理其所對應之分年細目，如表 2-3 所示：
36 分解（質數＜20，質因數＜20，被分解數＜100）。
N-3-04 倍數的概念，課程綱要中進一步說明學生要能「以 1-n-07(幾個一數)，2-n-08(九 九乘法)，3-n-05(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。」而在公因數、公
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除了九年一貫課程綱要之外，研究者亦參考 NCTM 數學課程標準之內容，
並將相關的指標與細目整理如下表 2-4 所示：
表 2-4 NCTM 數學課程標準之內容節錄
主題 指標 細目內容
數與 操作
理解數值操作的意義與彼此之間 的關係
三至五年級
理解乘法與除法的意涵 理解數值的表示法、數值之間的關
聯性與數值系統
六至八年級
能使用因數、倍數、質因數分解以 及質數來解決問題
從表 2-4 的內容中，可以發現 NCTM 數學課程標準將整除、因數與倍數等 相關內容的指標歸納在數與操作的主題範疇中，與國內九年一貫課程綱要的分類 相似；在教學時機方面，國內因數與倍數內容明訂為五年級開始進行教學，而 NCTM 數學課程標準則為六至八年級，可見國內在課程安排上顯得較早，學生 是否具備足夠的認知能力來進行因數與倍數的學習，將在本研究中進行討論。
二、因數與倍數教材之分析
在本研究的過程中，研究者選擇國內三套現行版本的教科書進行分析，分別 為康軒版、南一版以及國家教育研究院版本，以下將針對教科數教學內容的順序 與教材內容分別進行說明：
（一）教學內容的順序
在教學順序的安排上，五年級教科書部分，康軒版與南一版教科書採用相同 的課程安排，首先進行整除概念的教學，再以「因數公因數倍數公倍數」
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為順序進行教學；而國家教育研究院版本則直接以「倍數公倍數因數公因 數」為順序進行教學。
而在六年級教科書部分，三個版本的安排方式皆相同，首先引入質數與合數 概念，接著進行質因數分解的教學，最後引入最大公因數與最小公倍數的概念。
研究者整理各版本的教學順序，如下表 2-5 所示：
表 2-5 各版本教科書因數與倍數內容之教學順序
版本 五年級 六年級
康軒版 整除因數公因數倍數
公倍數
質數與合數質因數分解
最大公因數最小公倍數 南一版 整除因數公因數倍數
公倍數
質數與合數質因數分解
最大公因數最小公倍數 國家教育
研究院版
倍數公倍數因數公因數 質數與合數質因數分解
最大公因數最小公倍數
（二）教材內容的比較
康軒版與南一版在進行整除概念的教學時，皆提到完整的整除概念為：被除 數、除數、商皆為整數，餘數為 0。以康軒版五上數學課本內容為例，如下圖 2-8 所示：
圖 2-8 康軒版五上數學課本對整除概念的陳述
而在引入因數概念的部分，三個版本的教科書皆使用「整除」的概念說明「若 一個整數 a 能夠被另一整數 b 整除，則 b 為 a 的因數」來介紹因數概念。以康軒
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版五上數學課本內容為例，如下圖 2-9 所示：
圖 2-9 康軒版五上數學課本對於因數概念的陳述
倍數概念的部分，三個版本皆以「幾的幾倍」的概念說明「若一個整數 a 為 另一個整數 b 的 c 倍，則 a 為 b 的倍數」來介紹倍數概念。以康軒版五上課本內 容為例，如下圖 2-10 所示：
圖 2-10 康軒版五上課本對於倍數概念的陳述
綜合以上，可以發現學生在進行因數與倍數的學習前，必須先瞭解「整除」
以及「幾的幾倍」的概念，才能夠對因、倍數的意涵有所瞭解。因此，在本研究 中，研究者將探討學生對於「整除」與「幾的幾倍」之概念的表現，並嘗試分析 其與因、倍數學習表現的關係。
此外，康軒版與南一版的五上教科書，在進行完因數與倍數的教學後，亦對 於因數與倍數的關係進行說明，而國家教育研究院版則無。以康軒版五上課本內 容為例，如下圖 2-11 所示：
圖 2-11 康軒版五上課本對於因數與倍數關係的陳述
在公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數的部分，三個版本的教科書內 容皆是以因、倍數的概念進行延伸，來進行概念的介紹，此處僅引用康軒版五上
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課本介紹公因數內容為例，如下圖 2-12 所示
圖 2-12 康軒版五上課本對於公因數概念的陳述
進行教科書分析的過程中，研究者亦發現三個版本的教科書在引入新的數學 概念時，皆採用實際的數字關係做為例子進行概念介紹，而非使用具一般性的數 學定義陳述。因此，在與指導教授以及研究小組討論後，於本研究中，若學生能 夠對於數學概念舉出適合的例子，包含正例與反例，研究者即認為其已掌握此數 學概念之意涵。
三、因數與倍數相關研究之探討
研究者針對國內因、倍數相關的研究文獻進行回顧，企圖瞭解在過去研究中，
學生於因、倍數內容的學習表現。以下將分別對整除、因數與倍數概念之相關的 文獻內容進行探討，並對學生的錯誤類型進行整理。
（一）學生在整除概念的錯誤類型
整除概念是學習因、倍數概念的重要基礎，從過去的研究中，可以發現學生 在整除概念的學習表現上，主要有幾種錯誤類型，分述如下：
１. 學生尚未建立整除概念
學生無法理解整除之意涵，即學生尚未建立整除的概念，例如：學生無法 理解 72 是否能被 12 整除（陳標松，2003）。
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２. 學生對於整除的概念不完備
賴容瑩（2005）的研究發現多數學生在解釋整除概念時，僅會提到「沒有 餘數」之條件，只有少數中、高能力學生會提到「商為整數，餘數為 0」的條 件；顯示某些學生對於整除概念的理解只保留部分條件，而不會留意到整除必 須建立在「被除數、除數、商皆為整數，餘數為 0」的完整條件之下。
３. 學生對於「a 被 b 整除」與「a 整除 b」產生混淆
從過去的研究中發現，學生對於「a 被 b 整除」與「a 整除 b」產生錯誤認 知或混淆，某些學生不知道「a 被 b 整除」中兩者的關係代表「a ÷ b」或將其 誤解為「b ÷ a」之形式（陳清義，1996；陳筱涵，2004），而某些學生則無法分 辨「a 整除 b」與「a 被 b 整除」，認為兩者代表相同之意涵（賴容瑩，2005；
黃玉雙，2011）。
針對過去文獻對於學生在整除概念的錯誤類型，研究者整理如下表 2-6 所 示：
表 2-6 學生在整除概念的錯誤類型
錯誤類型 來源
學生尚未建立整除概念 陳標松，2003 學生對於整除的概念不完備 賴容瑩，2005 學生對於「a 被 b 整除」與「a 整除 b」
產生混淆
陳清義，1996；陳筱涵，2004；
賴容瑩，2005；黃玉雙，2011
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（二）學生在因、倍數相關概念的錯誤類型
研究者整理過去文獻，彙整各研究之結果，將學生於因數與倍數相關概念的 錯誤類型分述如下：
１. 未建立因、倍數相關概念
學生對於因數概念的認知錯誤，並使用某些錯誤的規則來定義與解釋因數
（黃寶彰，2003；黃玉雙，2011；賴容瑩，2005），例如：某些學生會認為一整 數 a，只要比整數 a 小的數都是 a 的因數，顯示此類學生對於因數概念的理解 錯誤，即尚未建立因數概念。
在倍數部分，同樣有學生尚未建立倍數概念的情形（邱慧珍，2002；黃玉 雙，2011；賴容瑩，2005），例如：某些學生對於倍數概念的認知不清，認為被 除數不是除數的倍數，也不是商的倍數。
公因數與公倍數概念亦會因為學生未建立正確概念而產生錯誤詮釋之情形
（邱慧珍，2002；陳標松，2003；賴容瑩，2005），例如：學生認為公因數就是 兩個數所有的因數。賴容瑩（2005）的研究中發現，學生對於「最大」、「最小」、
「公」的意義容易產生忽略或誤解。
此外，由於因數與倍數在課程安排上屬於相同的數學單元，兩概念教學的 時間相近，因此容易造成某些未建立因、倍數概念的學生對於兩者之意涵產生 混淆（林珮如，2002；黃耀興、邱易斌，1999；黃玉雙，2011；何欣玫，2004；
施秀麗，2007；劉伊祝，2008；陳筱涵，2004），例如：某些學生看到「3 × 4=
12」會認為 3 是 12 的倍數。
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學生對於公因數與公倍數亦會產生概念混淆（邱慧珍，2002；劉伊祝，2008；
黃玉雙，2011），例如：學生認為 3 與 7 的公倍數為 1，即為公因數與公倍數概 念混淆的例子。最大公因數與最小公倍數在過去的文獻中，也出現學生產生混 淆之例（黃寶彰，2003；陳筱涵，2004）。
２. 因、倍數概念不完備，僅能從部分條件來詮釋與判斷
學生對於因數概念的理解不完備，導致在進行因數的判斷上僅能以某些條 件進行判斷，例如：學生能夠從「15 ÷ 3 = 5」得知 3 是 15 的因數，但卻無法 從此算式中得知 5 也是 15 的因數（黃國勳、劉祥通，2003）。
學生對於倍數概念的表現，也有類似的情況，例如：學生能夠從「39 ÷ 3 =
學生對於倍數概念的表現，也有類似的情況，例如：學生能夠從「39 ÷ 3 =