國小學生因數與倍數學習進程之探究

全文

(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文. 指導教授：譚克平博士. 國小學生因數與倍數學習進程之探究 The Study of Elementary Students’ Learning Progression for Divisor and Multiple. 研究生：林哲民. 中. 華. 民國. 一 O 二. 年七月.

(2) 中文摘要本研究的目的是希望探討國小學生對於因數與倍數之學習進程，並初步發展因數與倍數學習進程評量試題。基於本研究之研究目的，研究者進一步提出兩點研究問題，陳述如下：. 1. 國小學生對於因數與倍數之學習進程的內容為何? 2. 本研究所初步開發之因數與倍數學習進程評量試題的可行性為何?. 在研究流程方面，研究者首先對國內外學習進程的相關文獻進行討論，以釐清學習進程的意涵、特徵與研究方法；再根據所討論出的學習進程研究方法發展國小因數與倍數學習進程架構，並透過評量施測的方式檢驗此架構的內容。. 本研究所採用的研究方法是文獻分析法與調查研究法。研究者係以過去對於因數與倍數的相關研究文獻為基礎，同時為兼顧過去的研究結果與現階段學生的實際表現情形，研究者針對高雄市某國小 6 位六年級學生以及二、三、四、五年級各 2 位學生，共 14 位學生進行訪談，以瞭解不同年級學生在因數與倍數相關概念上的表現，並協助發展初步的學習進程架構。. 擬定初步學習進程的內容後，研究者將以此學習進程的內容進行試題的開發，對用以測量學生在學習進程中所屬階層的評量試題進行初步的發展。在評量施測階段，研究者蒐集高雄市某五所國小三、四、五、六年級共 619 位學生做為研究對象進行施測，以檢驗研究者所初步發展之學習進程與學生的學習表現是否相符。. 本研究一共發展出三套學習進程，包含整除概念學習進程、因數概念學習進程以及倍數概念學習進程，研究的結果發現：（1）在整除概念學習進程中學生必 I.

(3) 須先初步理解整除的概念，才能進一步掌握「a 被 b 整除」與「a 整除 b」的語言使用；（2）在因數概念學習進程中，學生必須先從乘、除法算則理解因數關係，才能進而掌握因數的概念，之後開始留意到兩數共同的因數，而發展出公因數的概念，最後能夠從公因數的概念理解中，精緻出最大公因數的意涵；（3）在倍數概念學習進程中，學生必須先從乘、除法算則理解倍數關係，才能進而掌握倍數的概念，之後開始留意到兩數共同的倍數，而發展出公倍數的概念，最後能夠從公倍數的概念理解中，精緻出最小公倍數的意涵；（4）學生在初步掌握因、倍數概念的意涵時，即能夠開始留意到「因、倍數互逆」的關係，並且隨著學生對於因、倍數概念的掌握程度，學生能夠進而對「因、倍數互逆」的關係進行瞭解與交叉應用；（5）學生能夠解決高層次的例行性試題，但卻無法解決較低層次的非例行性試題。. 本研究所初步開發的學習進程評量，在整除概念試題的部分，能夠將 498 位學生進行學習進程階層的歸類，占總樣本數的 80.4%；在因數概念試題的部分，能夠將 348 位學生進行學習進程階層的歸類，占總樣本數的 76.7%；在倍數概念試題的部分，能夠將 453 位學生進行學習進程階層的歸類，占總樣本數的 73.2%；研究者認為本評量工具在測量學生學習進程階層的功能上，具有一定程度的可行性，並且在進行調整與修正後，將能夠對學生在學習進程中的階層表現有更高的解釋能力。根據上述的研究發現，本研究建議，未來的研究者可以針對學生的學習採用追蹤性的研究方式，以本研究所發展的學習進程內容，針對學生在整除、因數或倍數概念的學習過程進行更深入的探討，在評量工具的設計與使用方面，試題設計應兼顧例行性試題與非例行性試題，並建議使用更多的評量試題以及多元的判準原則來判斷學生的所屬階層。關鍵字：學習進程、整除、因數、倍數 II.

(4) The Study of Elementary Students’ Learning Progression for Divisor and Multiple Che-Ming Lin Abstract The purpose of my dissertation is to look for the elementary school students’ learning progressions on the divisor and multiple and to develop initially the assessments about the learning progressions on the divisor and multiple.. On the base of my research purposes, I have two research questions as follows.. 1. What are the contents of the elementary school students’ learning progressions on the divisor and multiple?. 2. How well are my initial assessments concerning the learning progressions on the divisor and multiple?. When it comes to my research procedures, I discussed the relative paper, native or foreign, at first so as to clarify the meaning, the character, and the research mode of the learning progressions. Then I based on the discussed research modes to develop my learning progression instrument for elementary school students on the divisor and multiple, and I tested my instrument by testing some elementary school students.. My research methods are survey research and documentary analysis. Based on III.

(5) the relative research paper about divisor and multiple and based on the past research results and based on the nowadays students’ performance, I asked fourteen students, including six 6-grade, two 2- grade, two 3- grade, two 4-grade, two 5-grade students in Kaohsiung, so that I may understand those different grades students’ performance on the concept of divisor and multiple, and that would help me develop my learning progression instrument.. After my initial instrument, I built my assessment to test the attributive level of the students. In this stage, there were 619 students, ranging from 3-grade to 6-grade of five elementary schools in Kaohsiung, participating my assessment and finally I tested their scores and their performance to see whether they agreed with.. There are three learning progressions in my research, including the learning progression of concept of being divided with no remainder, the learning progression of concept of divisor, and the learning progression of concept of multiple. Based on my result, I found that (1) on the learning progression of concept of being divided with no remainder, the students had to clear the concept first, then they would differ the sentence “A is divisible by B” from the sentence “A divides B”; (2) on the learning progression of concept of divisor, students have to understand the relation among every element from multiplication and division first, then they will know the concept of divisor; after they master the concept of divisor, they look out that a number may, at the same time, be a divisor of two different numbers, and they will develop the concept of common divisor; at last, they extract the meaning of great common divisor from understanding the concept of common divisor; (3) on the learning progression of concept of multiple, students have to understand the relation among every element from multiplication and division first, then they will know the IV.

(6) concept of multiple; after they master the concept of multiple, they look out that a number may, at the same time, be a multiple of two different numbers, and they will develop the concept of common multiple; at last, they extract the meaning of least common multiple from understanding the concept of common multiple; (4) when they first understood the meaning of divisor and multiple, they knew the inverse relation of divisor and multiple; also, with their extent about those concepts, they may apply the concept of inverse relation of divisor and multiple; (5) students could solve the highest level routine examinations, yet could not solve lower level non-routine examinations.. Based on the assessment, I distributed 498 students (80.4%, accounting for all 619 students) to my learning progression of concept of being divided with no remainder, 348 students (76.7%, accounting for 454 students) to my learning progression of concept of divisor, and 453 students (73.2%, accounting for 619 students) to my learning progression of concept of multiple. I thought that my assessment did work for some extent, and after some adjusting and revising, it may explain much more about students’ levels of learning progressions.. From the above result, I suggest that the future researcher use my learning progression instrument to track students’ learning circumstance so that they may do some more conferring. As for the assessment, I suggest that the future researcher give consideration on routine tests and non-routine tests, as well as use more quantity of tests and multi-principles to judge which level the students have.. Keywords: learning progression, being divided with no remainder, divisor, multiple. V.

(7) 目. 錄. 第壹章緒論 ............................................................................................1 第一節. 研究動機................................................................................................ 1. 第二節. 研究目的................................................................................................ 5. 第三節. 研究問題................................................................................................ 6. 第四節. 名詞釋義................................................................................................ 7. 第五節. 研究範圍與限制.................................................................................... 9. 第貳章文獻探討 ..................................................................................10 第一節. 學習進程的發展.................................................................................. 10. 第二節. 學習進程的意涵.................................................................................. 13. 第三節. 學習進程的特徵.................................................................................. 16. 第四節. 學習進程的研究方法.......................................................................... 20. 第五節. 學習進程與學習軌跡的異同.............................................................. 29. 第六節. 因數與倍數相關文獻之探討.............................................................. 35. 第參章研究方法 ..................................................................................47 第一節. 研究設計與構想.................................................................................. 47. 第二節. 研究過程.............................................................................................. 49. 第三節. 研究對象.............................................................................................. 52. 第四節. 研究工具.............................................................................................. 54. 第五節. 資料處理與分析.................................................................................. 64. VI.

(8) 第肆章資料分析 ..................................................................................66 第一節. 因數與倍數之文獻分析...................................................................... 66. 第二節. 訪談之資料分析.................................................................................. 74. 第三節. 初步發展期之學習進程...................................................................... 95. 第四節. 因數與倍數學習進程評量試卷之資料分析.................................... 102. 第伍章研究結果的討論與建議 ........................................................136 第一節. 研究結果的討論................................................................................ 136. 第二節. 建議.................................................................................................... 148. 參考文獻.................................................................................................150 一、中文部分.................................................................................................... 150 二、英文部分.................................................................................................... 153. 附錄.........................................................................................................157 附錄一訪談劇本.............................................................................................. 157 附錄二專家效度問卷...................................................................................... 168 附錄三評分規準.............................................................................................. 185 附錄四三年級施測問卷.................................................................................. 192 附錄五四年級施測問卷.................................................................................. 198 附錄六五、六年級施測問卷.......................................................................... 208. VII.

(9) 表. 次. 表 2-1. 學習進程的特徵統整 ................................................................................... 19. 表 2-2. 學習進程的相關文獻彙整表 ....................................................................... 21. 表 2-3. 因、倍數相關能力指標與分年細目之對應 ............................................... 36. 表 2-4 NCTM 數學課程標準之內容節錄 ............................................................... 37 表 2-5. 各版本教科書因數與倍數內容之教學順序 ............................................... 38. 表 2-6. 學生在整除概念的錯誤類型 ....................................................................... 41. 表 2-7. 學生在因數與倍數相關概念的錯誤類型 ................................................... 45. 表 3-18 各學校之學生人數分配表 ........................................................................... 53 表 3-29 訪談重點的分類 ........................................................................................... 55 表 3-310 因數與倍數學習進程評量試卷試題發展依據與試題類型...................... 58 表 3-411 專家對評量試題之建議與修正結果 .......................................................... 60 表 3-512 學習進程評量試卷試題之評分者一致性 .................................................. 61 表 3-613 因數與倍數學習進程評量試卷試題分配與各試題施測年級之彙整 ...... 62 表 4-114 學生在整除概念之錯誤類型的順序推斷 .................................................. 70 表 4-215 學生在因數相關概念之錯誤類型的順序推斷 .......................................... 72 表 4-316 學生在倍數相關概念之錯誤類型的順序推斷 .......................................... 73 表 4-417 五、六年級學生對於因數與倍數相關概念的理解情形 .......................... 85 表 4-518 學生在因、倍數相關概念理解的人數分配情形 ...................................... 89 表 4-619 訪談的發現與學生的錯誤類型 .................................................................. 94 表 4-720 整除概念的初步學習進程 .......................................................................... 96 表 4-821 因數概念的初步學習進程 .......................................................................... 97 表 4-922 倍數概念的初步學習進程 .......................................................................... 99 表 4-1023 不同年級學生在整除概念試題得分的平均值與標準差 ...................... 102 VIII.

(10) 表 4-1124 整除部分各試題之難度與鑑別度 .......................................................... 103 表 4-1225 不同年級學生在因數概念試題得分的平均值與標準差 ...................... 103 表 4-1326 因數部分各試題之難度與鑑別度 .......................................................... 103 表 4-1427 不同年級學生在倍數概念試題得分的平均值與標準差 ...................... 104 表 4-1528 倍數部分各試題之難度與鑑別度 .......................................................... 104 表 4-1629 整除概念學習進程中各階段學生於本試卷試題的表現 ...................... 106 表 4-1730 樣本 5-74 在整除概念試題的作答表現 ................................................. 108 表 4-1831 樣本 5-48 在整除概念試題的作答表現 ................................................. 109 表 4-1932 因數概念學習進程中各階段學生於本試卷試題的表現 ...................... 115 表 4-2033 倍數概念學習進程中各階段學生於本試卷試題的表現 ...................... 123 表 4-2134 整除與因數概念學習進程各階層人數對應表 ...................................... 133 表 4-22 35 整除與倍數概念學習進程各階層人數對應表 ..................................... 133 表 4-2336 因數與倍數概念學習進程各階層人數對應表 ...................................... 134 表 5-137 本研究所歸納之整除概念學習進程 ........................................................ 138 表 5-238 本研究所歸納之因數概念學習進程 ........................................................ 140 表 5-339 本研究所歸納之倍數概念學習進程 ........................................................ 143. IX.

(11) 圖. 次. 圖 2-1 Wilson 的學習進程樣貌 ............................................................................... 13 圖 2-2. 學習進程類比為攀爬一道心智山坡 ........................................................... 14. 圖 2-3. 適時地放大觀察的焦點 ............................................................................... 14. 圖 2-4 Alonzo 與 Steedle 對於力與運動文獻所做的整理 ..................................... 24 圖 2-5 Alonzo 與 Steedle 所發展之學習進程的初步版本 ..................................... 26 圖 2-6. 次序性選擇題的評量範例 ........................................................................... 27. 圖 2-7 Clements 與 Sarama 的學習軌跡範例 ......................................................... 30 圖 2-8. 康軒版五上數學課本對整除概念的陳述 ................................................... 38. 圖 2-9. 康軒版五上數學課本對於因數概念的陳述 ............................................... 39. 圖 2-10 康軒版五上課本對於倍數概念的陳述 ....................................................... 39 圖 2-11 康軒版五上課本對於因數與倍數關係的陳述 ........................................... 39 圖 2-12 康軒版五上課本對於公因數概念的陳述 ................................................... 40 圖 3-1. 研究步驟與流程圖 ....................................................................................... 51. 圖 3-2. 自編學習進程評量試卷發展流程 ............................................................... 57. 圖 4-1. 教科書中採用整除概念對因數概念進行描述 ........................................... 66. 圖 4-2. 教科書中對於「幾的幾倍」的描述 ........................................................... 67. 圖 4-3. 教科書中採用「幾的幾倍」的數學語言對倍數概念進行描述 ............... 68. 圖 4-4. 第 0 階層學生在第 1 題的選項與作答表現示例 ..................................... 110. 圖 4-5. 第 1 階層學生在第 1 題的選項與作答表現示例 ..................................... 110. 圖 4-6. 第 1 階層學生在第 1 題的選項與作答表現示例 ..................................... 110. 圖 4-7. 第 2 階層學生在第 1 題的選項與作答表現示例 ..................................... 111. 圖 4-8. 第 3 階層學生在第 1 題的選項與作答表現示例 ..................................... 111. 圖 4-9. 第 3 階層學生在第 1 題的選項與作答表現示例 ..................................... 112 X.

(12) 圖 4-10 第 3 階層學生在第 8-2 題的作答表現示例 .............................................. 118 圖 4-11 第 4 階層學生在第 9-1 題的作答表現示例 .............................................. 119 圖 4-12 第 2 階層學生在第 6-1 題的作答表現示例 .............................................. 120 圖 4-13 學生在第 6-3 題的作答表現示例 .............................................................. 120 圖 4-14 學生在第 6-3 題的作答表現示例 .............................................................. 121 圖 4-15 第 3 階層學生在第 7-2 題的答題表現 ...................................................... 127 圖 4-16 第 4 階層學生在第 9-2 題的答題表現 ...................................................... 128 圖 4-17 第 2 階層以下的學生在第 6-2 題的答題表現 .......................................... 129 圖 4-18 第 3 階層的學生在第 6-3 題的答題表現 .................................................. 130 圖 4-19 第 4 階層的學生在第 6-3 題的答題表現 .................................................. 131 圖 4-20 研究者初步推測整除、因數、倍數各概念階層之間的對應關係 ......... 135 圖 4-21 研究者初步推測因數與倍數學習進程各概念之間的關係 ..................... 135 圖 5-1. 研究者初步歸納整除、因數、倍數各概念學習進程之間的關係 ......... 145. 圖 5-2. 研究者初步歸納因數與倍數概念學習進程之間的關係 ......................... 145. XI.

(13) 第壹章. 緒論. 本章共分為五節，第一節介紹本研究之研究動機，第二節陳述本研究之研究目的，第三節說明研究問題，第四節針對本研究所牽涉之名詞進行釋義，第五節說明本研究的範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 從教育社會學的觀點來看，教育具有促進社會階層流動的功能（陳奎憙， 2007），位處低社會階層的學生可以透過教育的途徑，來達到向上流動的目的。而學生在接受教育的過程中，數學的學習往往會影響其在總體成就上的表現，佔有舉足輕重的地位。Ernest（1998）亦指出數學在教育中，具有關鍵過濾器（critical filter）的社會功能，可做為決定一個人未來成功與否的重要指標。然而，在學習過程的眾多科目之中，「數學」往往是令許多學生感到困難的學科，並且隨著年級的增長，數學內容越來越漸抽象與複雜，使得學生更容易遭遇學習挫折，因而討厭數學，甚至放棄數學的比例也因此逐年增加。. 回顧過去，臺灣學生在眾多國際數學測驗的表現上，往往名列前茅，表現耀眼；但與其他數學表現優秀的國家相比，臺灣高成就與低成就學生在數學的表現上卻具有相當大的差距。以 PISA 2006 年與 2009 年為例，臺灣學生在數學的表現上分別位居第一名與第五名，但標準差皆位於表現前十名國家中的第一名（臺灣 PISA 國家研究中心，2011）；而在 TIMSS 2007 年的表現上，臺灣國二學生的數學表現高居世界第一，但標準差也位於前十名國家中的第三名（Mullis, Martin & Foy, 2008）；根據以上的數據資料可以看出，臺灣學生的數學表現呈現出兩極. 1.

(14) 化之趨勢。因此，如何幫助低成就學生學習，以提升其數學學習成效，遂成為重要的課題。. 再從教學現場的觀點來看，許多現場教師在進行教學時，對於學生是否理解自己所教學的數學概念往往感到棘手，教師無法有效瞭解學生的學習情況，但又必須兼顧課程進度的前提下，只能當作學生都已經瞭解並繼續更複雜的數學內容教學；另一方面，從學生的角度來看，有些學生在課堂上亦不敢直接向教師表達其學習困境，針對自己學習的困難提出問題，造成在某些數學內容的學習上出現學習斷層，進而影響日後更高層次概念的學習，也因此產生高、低成就學生在學習成效上的落差。. 根據以上，研究者思考：若教師能夠對於學生在特定學習主題的認知層次有所理解，並藉由某些方式瞭解學生目前所處的認知階層，將能夠適時的幫助學生依據其理解層次提供適當的補救教學，以提升其數學學習成效。基於以上的想法，研究者企圖以學習階層的角度切入，來進行本研究內容的發展。. 小學的數學學習是影響學生日後在中學、甚至大學數學與科學學習表現的重要因素，可視為奠定未來學習基礎的重要階段。然而，許多小學生往往在中年級升上高年級時，因為數學難度的增加，造成學習上的挫折，甚至對數學感到恐懼而放棄數學。回顧研究者在小學的教學經驗中，就曾遇過學生直接表示：「我的數學已經沒救了!」而喪失學習數學的意願，著實令人感到不捨，同時，也不禁讓研究者思考應如何運用所學，來對這些學生給予適當的幫助。. 在小學高年級的數學課程中，因數與倍數是學生經常感受到困難的單元，對於剛升上五年級的學生來說，因數、倍數內容經常使他們感到抽象、難以理解；此外，研究者回顧小學中、低年級的數學課程內容，發現學生在升上高年級之前的數學學習過程中，並未接觸過任何與「因數」有關的概念，加上某些低成就的 2.

(15) 學生對於乘、除法的概念與運算仍不熟練，因而導致在因數與倍數的學習上產生許多困難。. 另一方面，從教師的觀點來看，許多現場教師均表示：因數與倍數內容在教學上缺乏實際的具體物，難以進行概念上的描述，許多缺乏抽象思考的學生也因此對因數與倍數內容無法理解，而使得教師在教學上經常感到棘手。. 再從學校的環境來看，黃國勳與劉祥通（2003）指出臺灣大部分的小學由於級務安排的緣故，通常會在學生四年級升上五年級時更換班級導師，而因數與倍數單元又恰巧安排在五年級上學期進行教學；此時，學生與老師正面臨教與學的磨合期，學生對於老師的教學正處於調適階段，老師亦在適應學生的學習反應，對於每位學生的程度也還不甚瞭解，造成在因、倍數的教學與學習上，不僅常令學生感受到學習困難，教師亦感受到教學上的壓力與挫折。. 就學習內容的重要性來看，因、倍數內容在先備知識上牽涉乘、除法概念的學習，其學習成果亦會影響到往後對於等值分數、比例概念，乃至於國中學習因式、倍式、多項式、因式分解、數列與級數等的學習（黃國勳，劉祥通，2003）；可見其在數學的學習上具有承先啟後的作用，同時亦占有相當重要的基礎地位。. 從過去研究的焦點來看，國內對於因數與倍數的研究多集中於對學生迷思概念之探究（例如：林珮如，2002；邱慧珍，2002；陳筱涵，2004）與解題歷程（例如：何欣玫，2004；陳標松，2003；賴容瑩，2005）以及補救教學（例如：于國善，2003；黃士騰，2005；蕭正洋，2003）等為主，並且在各研究的結果中均呈現出許多學生在學習因數與倍數時的迷思概念與錯誤類型，但也往往缺乏對於各迷思概念與錯誤類型之間關聯性的討論。因此，這樣的研究樣貌進而讓研究者思考：在因數與倍數的研究範疇中，是否存在一個新的研究取向，能夠整合過去的研究成果，對老師與學生提供教學與學習上的幫助？於是，在研究所的修課過程 3.

(16) 中，譚克平老師介紹了近年來在科學教育學界蓬勃發展的「學習進程（learning progressions）」理論與其相關研究，也刺激了研究者將學習進程理論引入因數與倍數內容的想法。. 研究者認為學習進程具有將過去研究的結果進行整合的優點，並且在發展出一套學習進程後，將能夠透過學習進程的內容，來瞭解學生當下的學習情況，給予適當的教學幫助；同時，也能夠依據學習進程的內容對學生未來的學習進行預測。基於以上，研究者決定使用學習進程理論做為本研究的研究取向。. 近年來，美國科學教育學界將學習進程視為一個課程改革的革新工具，關於學習進程的相關研究至今仍不斷蓬勃產出；反觀國內目前對於學習進程的研究仍相當缺乏，尚屬於起步的階段；因此，研究者希望能夠借取美國科學教育學界對於學習進程的研究經驗，引入數學教育的研究範疇，並進而發展一套以小學因數與倍數概念為內容的學習進程，同時也將國外學習進程的研究取向介紹給國內，期許能夠激發後續研究者更多相關的研究想法，發揮拋磚引玉之效果。. 期望本研究所發展之學習進程能夠為教師與學生在因數與倍數的教學與學習上有所幫助，並對於後續的研究者有所啟發。. 4.

(17) 第二節. 研究目的. 基於上述之研究動機，研究者希望將科學教育學界近年來所盛行的學習進程理論引用至數學教育領域，以小學因數與倍數內容為其素材，進而發展小學因數與倍數之學習進程架構，並透過所蒐集的資料進行架構內容的驗證。同時，研究者將初步開發一套因數與倍數學習進程評量試題，藉以判斷學生在學習進程中所位屬的階層位置，並在本研究中探討此評量試題的可行性。期待本研究能提供現場教師與學生在教學與學習上一個新的方向。此外，有鑑於國內目前對於學習進程的相關研究仍屬缺乏，研究者亦希望能夠藉由本研究的發展，將學習進程理論介紹給國內的研究者，以激發更多後續的研究想法。因此，本研究之研究目的具體陳述如下：. 一、探討國小學生對於因數與倍數之學習進程。. 二、初步開發因數與倍數之學習進程評量試題。. 5.

(18) 第三節. 研究問題. 本研究的重點在於探討國小學生對於因數與倍數之學習進程；在研究的過程中，研究者發現「整除」概念對於學生在學習因數與倍數概念的過程具有相當重要的影響力，因此，研究者於本研究中將整除概念視為因數與倍數學習內容的一部分，亦將針對學生對於整除概念的學習表現進行探討。. 基於本研究之研究目的，研究者提出二點研究問題，具體陳述如下：. 一、國小學生對於因數與倍數之學習進程的內容為何? (一) 整除概念之學習進程的內容為何? (二) 因數概念之學習進程的內容為何? (三) 倍數概念之學習進程的內容為何? (四) 整除、因數、倍數之學習進程的關聯性為何? 二、本研究所初步開發之因數與倍數學習進程評量試題的可行性為何? (一) 整除概念之評量試題是否能對應學生在學習進程中的表現? (二) 因數概念之評量試題是否能對應學生在學習進程中的表現? (三) 倍數概念之評量試題是否能對應學生在學習進程中的表現?. 6.

(19) 第四節. 名詞釋義. 一、學習進程（learning progressions）根據本研究第貳章文獻探討的結果，本研究所謂之學習進程是指學習者在學習某一個主題的過程中，從尚未接受教學，到開始學習，最後至完成此學習階段，學習者對於主題內概念的想法與理解程度，逐漸精緻化並且趨於成熟的發展過程。其詳細內容於第貳章第二節進行探討。. 二、學習軌跡（learning trajectories）本研究所謂之學習軌跡是指學習者在學習某一個主題時，對於其在學習活動中所產生的學習路徑進行描述，其中包含對教學活動的說明以及學習者在學習時的互動過程等。有關於學習軌跡與學習進程之異同，其詳細內容將於第貳章第五節進行探討。. 二、因數與倍數學習內容本研究所謂之因數與倍數學習內容，是指依據民國九十七年國民中小學數學學習領域九年一貫課程綱要所編纂之國小因數與倍數部分，研究中所參考的教科書版本包含康軒版、南一版以及國家教育研究院版。所牽涉之數學概念包含整除、因數、公因數、最大公因數、倍數、公倍數、最小公倍數等，數字範圍為正整數，各概念內容具體陳述如下：. （一）整除：若在一除法算式中，其被除數、除數、商皆為整數，餘數為０，稱為整除。（二）因數：若一整數 a，能夠被另一整數 b 整除，則稱 b 為 a 的因數。. 7.

(20) （三）公因數：若一組整數中的每個數，都能夠被一整數 a 整除，則稱 a 為這組數的公因數。（四）最大公因數：在一組整數的公因數中，存在最大的整數 a，則稱 a 為這組數的最大公因數。（五）倍數：若一整數 a，能夠被另一整數 b 整除，則稱 a 為 b 的倍數。（六）公倍數：若一組整數中的每個數，都能夠整除某一整數 a，則稱 a 為這組數的公倍數。（七）最小公倍數：在一組整數的公倍數中，存在最小的整數 a，則稱 a 為這組數的最小公倍數。. 三、國小學生本研究所謂之國小學生是指 101 學年度之國小各年級學生。. 8.

(21) 第五節. 研究範圍與限制. 本研究考量人力與時間的限制，對於學生的學習過程，無法針對個體學生進行追蹤性的研究；因此，本研究採用橫斷面研究的方式來瞭解學生的學習進程。在發展過程中分為兩個階段，第一階段為因數與倍數學習進程內容之初步發展，研究者針對高雄市某國小 6 位六年級學生以及 8 位二至五年級學生(每年級各 2 位)進行質性的訪談，瞭解其對於乘、除法概念以及因數與倍數概念的理解情形。第二階段為驗證研究者所初步發展的學習進程內容，以高雄市某五所國小三、四、五、六年級共 619 位學生做為研究樣本進行評量施測，以檢驗研究者所初步發展之學習進程與學生實際的表現是否符合。因本研究樣本僅限於高雄市國小學生，所以不宜過度推論到其他區域之學生表現。. 此外，本研究所探討的課程內容考量因數與倍數之先備知識的學習，研究者在所發展之因數與倍數學習進程中將包含學生對於乘、除法概念的理解情形的描述；而在因數與倍數的學習內容則包含整除、因數、公因數、最大公因數、倍數、公倍數、最小公倍數等；數字範圍考量國小學生的學習內容，僅在正整數下進行討論。. 9.

(22) 第貳章. 文獻探討. 本章針對本研究所牽涉之文獻進行探討，分別介紹學習進程的發展、意涵以及其特性，並嘗試澄清學習進程與學習軌跡之差異，最後針對因數與倍數的相關文獻進行回顧與整理。. 第一節. 學習進程的發展. 在科學教育的研究範疇中，學習進程（learning progressions）並非是一個全新的概念。回顧過去的相關文獻，對於學生學習歷程的研究，不同研究者對於此類概念往往有多種不同的稱謂，舉例來說：Driver, Leach, Scott, & Wood-Robinson 等人曾在 1994 年提出概念軌跡（conceptual trajectories）用以描述學習者在學習特定主題時，將知識概念化的顯著過程，並將其視為一個知識獲取的發展程序； Brown 在 1997 年提出發展通道（developmental corridors）的概念來表示學習者從未知，到探索，進而逐步理解，最後可以完整陳述科學事實之過程。. 2001 年，美國國家研究委員會（National Research Council, NRC）於其所出版的專書“Knowing What Students Know”中指出教育評量的發展應該結合學生的學習過程，並建議以學習者的經驗學習與認知模型來做為評量設計之依據，進而使得教學、課程與評量做緊密的結合。此外，書中更進一步指明：若能夠對學習者的學習如何發展有所瞭解，將能夠透過評量的設計，來瞭解學生當前的思維、先前的理解以及預測學生的理解如何隨著時間的推移逐步邁向精緻化的過程等，這些內容都可視為學習進程的初步發展。. Smith, Wiser, Anderson, Krajcik, & Copolla 等人於 2004 年在一份關於學生學習物質與原子理論的研究報告中，使用“learning progressions”一詞並定義其為學 10.

(23) 習者對於概念的理解從簡單到逐漸複雜的思維序列。美國國家研究委員會於 2006 年所出版的專書“Systems for State Science Assessments”中，指出課程標準應參考學生的知識與技能在課程中的發展，並建議以學習進程的概念做為安排與制定課程標準的參考依據；此外，書中亦提到評量的發展必須根基於學生的學習，引入學習進程的概念，將學生在學習過程中各階段的表現，做為評量發展的基礎；並透過學生學習的軌跡，將課程、教學與評量進行連結。. 之後，美國國家研究委員會在 2007 年所出版的專書“Taking Science to School: Learning and Teaching Science in Grades K-8”中，更以一個章節的篇幅來介紹學習進程的概念，並在書中指出當時美國中小學的科學課程涵蓋過多不連貫的學習主題，學習內容過於膚淺與鬆散，以及缺乏對學生在不同年級間知識增長的關注等，同時呼籲應瞭解學生如何學習，探究其學習路徑，進而引入學習進程的概念，將學習進程視為未來組織科學課程與教學的新方向。. 近年來，美國學界對於學習進程的發展越來越漸重視，並將其視為課程改革的革新工具。自 2007 年開始，美國教育研究學會（American Educational Research Association, AERA）在每年的年度會議中皆規劃與學習進程相關的專題研討，並邀請此領域的專家學者，分享此領域的最新研究（引自劉昆夏，2012）；在 2008 年，特別以一個海報的場次專門探討在科學領域中學習進程的發展、評量與效度驗證研究（引自張郁雯，2012）。. 2009 年，美國國家科學委員會（National Science Foundation, NSF）贊助一場專門探討學習進程的會議（http://www.education.msu.edu/projects/leaps），此會議環繞四個學習進程的相關議題進行探討，分別為：（1）學習進程的定義；（2）發展評量引發學生在學習進程的相關回應；（3）利用學習進程來建模與解釋學生的行為表現；（4）學習進程的使用。在此會議之後，美國學界對於學習進程相關. 11.

(24) 議題的研究開始蓬勃發展，美國科學教學研究學會（National Association for Research in Science Teaching , NARST）所出版的國際學術期刊“Journal of Research in Science Teaching”在 2009 年更以學習進程為主題作為專刊，刊登此議題的相關研究（引自劉昆夏，2012）。Duschl, Maeng, & Sezen（2011）針對學習進程的研究進行文獻回顧，其引用的學習進程文獻達 34 篇，發表時間多來自 2008 年以後；可見學習進程的相關議題在近幾年的科學教育研究中，被廣為討論與發展，並且佔有舉足輕重的地位。. 12.

(25) 第二節. 學習進程的意涵. 回顧過去的科學教育研究文獻，不同研究者對於學習進程的詮釋大多極其相近。Smith et al.（2004）定義學習進程為學習者在學習特定概念時，其關於這個概念的想法依循一個合理的步驟逐漸趨向複雜的思維序列。美國國家研究委員會於其 2006 年所出版的專書“Systems for State Science Assessments”中指出學習進程是指學習者在學習時，其對於某一主題內之概念的想法逐漸精緻化的過程（NRC, 2006）；而在 2007 年的專書“Taking Science to School: Learning and Teaching Science in Grades K-8”中，則定義學習進程是指在一段寬闊的時間跨度下（例如：六到八年級），學習者在學習與理解特定的學習主題時，對於其想法逐漸精緻化的過程描述（NRC, 2007）。. Stevens, Shin, Delgado, Krajcik, & Pellegrino（2007）指出學習進程是描述學生在接受教學的期間，其知識脈絡如何達到精熟的過程；並且說明學習進程並非只呈現知識與理解如何發展，同時也對學習者的知識將如何構築進行預測。 Wilson（2009）將學習進程類比為一連串連續的「思維雲系（thought clouds）」如下圖 2-1 所示，並將其對應到學生在學習時的思維過程，上層增大的雲體代表學習者在這一連串的思維序列中，其想法逐漸精緻且更為宏觀的樣貌。. 圖 2-1. Wilson 的學習進程樣貌（引自 Wilson, 2009） 13.

(26) Alonzo 和 Steedle（2009）指出學習進程是一個順序性的描述，描述學生對於特定概念的理解情形，同時呈現出一個概念發展的模型；學習進程的發展倚賴認知科學的研究，對於學生如何學習特定概念描繪出一道路徑，並且對學生的理解如何從生手轉變為專家進行陳述。. Plummer 和 Krajcik（2010）描述學習進程是一條介於學生的先前知識與所學概念之間的潛在路徑，學生在學習的過程中，對於特定概念的理解沿著這條路徑逐漸邁向精熟。Battista（2011）將學習進程類比為學生在攀爬一道「心智山坡（mental mountain slope）」如圖 2-2 所示；學生在學習的過程中不斷向上，並且透過知識概念的獲得而使得攀爬的程序能夠更順利；此外，從課程發展與教學計劃的觀點來看，研究者必須嘗試決定最有效的攀爬路徑（意指最多學生可以藉此而攀爬成功的路徑）；同時，因應個體學生的學習需要，研究者必須適時地放大觀察的焦點（如圖 2-3 所示），來更精準的幫助學生踏出成功的下一步。Battista 認為這些攀爬的路徑即是所謂的學習進程。. 圖 2-2. 學習進程類比為攀爬一道心智山坡（引自 Battista, 2011）. 圖 2-3. 適時地放大觀察的焦點. （引自 Battista, 2011）. 綜合以上，可以發現不同研究者與研究機構對於學習進程之意涵的描述，有相當程度的相似性，我們可以從這些描述中，看出學習進程的樣貌。研究者整理不同學者對於學習進程的詮釋，將本研究所謂之學習進程定義如下：學習進程是 14.

(27) 指學習者在學習一個主題的過程中，從尚未接受教學，到開始學習，最後至完成此學習階段，學習者對於該主題概念的想法與理解程度，逐漸精緻化並且趨於成熟的發展程序。. 15.

(28) 第三節. 學習進程的特徵. 在使用學習進程之前，研究者對於學習進程的特徵亦必須有所瞭解，以避免誤用學習進程之意涵。Smith et al.（2004）指出學習進程在使用上必須注意以下四點：（1）學習進程並非意指一個必然性的發展過程，事實上，學習的過程並不存在所謂單一正確的順序；（2）實際的學習有如生態演替一般，呈現交錯複雜的成長樣貌；（3）因為缺乏縱向的實徵資料，故學習進程是對於學生學習過程的假設與推論；（4）學習進程參考現有的研究文獻，然而，不同的研究文獻可能建立在不同的研究方法與概念網絡，因此，對於學生的概念發展必須謹慎推論。. 之後，Smith et al.（2006）亦提到，學習進程是以研究的綜合體（research syntheses）以及概念分析（conceptual analyses）做為發展的基礎；意即學習進程是依據過去對於學生學習的實徵研究，將學生在學習某一概念或特定學習主題時的學習表現，進行綜合性的整理，並歸納出可能的先後順序；同時，學習進程也針對學習者所學習的概念進行分析，以推測概念的可能發展情形。. NRC（2006）的專書中指出：理想的學習進程應該以學習者在特定領域其能力如何發展的研究為基礎，然而，許多科學學習相關的研究文獻仍不完整，因此，在使用這些研究發現時，仍需諮詢教師以及對於學生科學學習有所瞭解的專家給予意見與補充；此外，在學習的過程中，不同學習個體可能根據各自的知識以及經驗進行多方向的發展，然而，實際上仍然存在某些學習路徑是經常在學生發展時所依循的，學習進程即是對這些經典的學習路徑進行描述並且以學生的深層理解發展做為發展學習進程的基礎。. 在 NRC（2007）的專書內容中，提出了學習進程的四個關鍵特徵，分別陳述如下：（1）使用現有的研究為基礎：建議學習進程應有系統的使用對於學生學 16.

(29) 習的現有研究做為發展的基礎，來預測學生的學習成長過程；（2）交錯複雜的科學能力：學習進程考慮科學包含多方面的能力（例如：知識理解、應用、科學解釋…等），因此，在發展學習進程時，必須考慮多元能力的發展；（3）環繞核心主題組織概念知識：學習進程的發展是以一個核心的學習主題（例如：原子理論、生物演化、力與運動…等）為基礎，將與此核心主題相關的概念知識進行組織，以形成概念網絡；（4）承認多元方向的成長：學習進程承認並非所有學生都依循相同的發展程序，但學生的發展程序通常會環繞在重要的學習主題而呈現多樣交錯的樣貌。. Briggs 和 Alonzo（2009）認為學習進程的其中一個訴求特色是其具有潛在的功能可以運用於診斷評量，在教育的用途上能夠更容易來瞭解學生對於特定概念的理解狀態。Duschl, Maeng, & Sezen（2011）則認為學習進程的概念能夠將研究與教育實務進行整合，將過去的小尺度研究綜合起來，形成一個對學習者有意義的形式。同時，學習進程亦能夠整合破碎的知識，形成一有系統的知識序列或概念網絡。. Battista（2011）指出學習進程的一個關鍵的成分在於其包含有「階層」的概念，此階層概念是指學習進程具有層次性與階段性，而非筆直向前的樣貌。此外， Battista 透過對學習進程相關的研究文獻進行回顧，指出不同研究之學習進程在結構上的差異，分別陳述如下：（1）時間跨度的差異：不同的學習進程在其所牽涉的時間跨度上有所差異，有些學習進程牽涉學生跨年度的學習，有些則只描述學生在學習某一特定主題或者教學單元時的學習程序；（2）觀點細緻程度的差異：不同的學習進程在其觀點的細緻程度上有所差異，有些學習進程包含學生在理解發展中片刻的改變，有些則僅描述學生在課程中的整體過程；（3）所預設之讀者的差異：學習進程對於其所預設的讀者有所不同，有些學習進程是寫給研究者的，有些是寫給課程制定者，有些則是寫給評量發展者，還有些是寫給教師等；（4） 17.

(30) 發展基礎的差異：學習進程依其在發展過程中所根據的研究而有所差異，有些學習進程僅統整與使用現存對於學生學習的相關研究，有些則除了使用現存的研究外，研究者亦另外進行對於學生學習的縱向或橫斷性研究以詳盡或補充當前研究的綜合體；（5）內容描述上的差異：學習進程在其對於學生學習的描述上有所不同，有些學習進程專注於描述學生學習過程的先後順序，而有些則專注於描述學生認知結構的種類以及其對於概念的想法。. 綜合以上，研究者歸納不同學者與研究機構對於學習進程之特徵描述，整理如表 2-1 所示：. 18.

(31) 表 2-1. 學習進程的特徵統整. 學習進程的特徵. 來源. （1）學習進程並非意指一個必然性的發展過程. Smith et al., 2004. （2）實際的學習如同生態演替般，具有交錯複雜的特性（3）學習進程是對於學生學習過程的假設與推論（4）學習進程的發展必須謹慎參考文獻內容學習進程是以研究的綜合體（research syntheses）以及概念 Smith et al., 2006 分析（conceptual analyses）做為發展的基礎（1）學習進程之發展以過去的研究為基礎，並參考專家. NRC, 2006. 的意見。（2）學習進程是對於多數學生在學習時所依循的經典路徑進行描述（1）使用現有的研究為基礎. NRC, 2007. （2）交錯複雜的科學能力（3）環繞核心主題組織概念知識（4）承認多元方向的成長具有潛在的功能可以運用於診斷評量. Briggs & Alonzo, 2009. （1）將研究與教育實務進行整合. Duschl, Maeng, &. （2）整合破碎的知識，形成一有系統的知識序列或概念. Sezen, 2011. 網絡學習進程包含有「階層」的概念，具層次性與階段性. 19. Battista, 2011.

(32) 第四節. 學習進程的研究方法. 透過文獻閱讀的過程，研究者發現關於學習進程的研究方法，目前尚未存在一套制式的規準與說明，研究者回顧過去學習進程的相關研究文獻，企圖從各文獻所使用的研究方法中，歸納出一套發展學習進程之步驟。. 為方便讀者進行閱讀，研究者將所蒐集之學習進程文獻整理如表 2-2 所示。從表 2-2 的內容中，可以發現不同的研究者在發展學習進程時，各有其不同的研究方法；但研究者亦發現在這些不同的研究方法中，似乎仍可歸納出某些具有順序性的步驟，分別為：（1）設定學習進程架構，提出假設性學習進程；（2）進行資料蒐集；（3）以所蒐集的資料驗證學習進程等三個主要流程，以下將針對研究者的發現進行詳細的說明。. 研究者在進行文獻回顧的過程中，發現多數的學習進程研究者會先從設定學習進程的架構開始著手，此架構包含了學習進程的各階層內容，階層內容主要可參考課程標準的報告文件、認知科學的相關研究以及過去對於學生學習的實徵研究資料等，以幫助研究者瞭解學生在進行某一主題的學習時，其對於主題內概念的理解能達到何種程度，並做為初步發展學習進程的依據。. 以 Alonzo 與 Steedle（2009）發展力與運動的學習進程研究為例，Alonzo 與 Steedle 首先參考了美國國家科學課程標準(National Science Education Standards, NSES)以及美國科學促進會(American Association for the Advancement of Science, AAAS)的科學素養基準(Benchmarks for Science Literacy)等內容，藉以定義學習進程中最高階層的內容；所謂最高的階層是指在此學習進程中，研究者對於學習者在學習某一特定主題或概念時，所預期能達到的最高水平。. 20.

(33) 表 2-2 學習進程的相關文獻彙整表編號 #1. 年代. 來源. 作者. 2012 國立中山大學劉昆夏教育研究所博士論文. #2. #3. 標題科學概念學習進程的發展、評量與教. 年級 8-9. 學科主題. 資料蒐集. 研究方法. 氧化還原/化學. 1. 次序性選擇題（OMC items）. 根據 BEAR 評量系統開發 28 題次序性選擇題，並透過評. 2. 評量回饋教學. 量回饋教學的教學實驗界定氧化還原的近側發展區（zone of proximal development, ZPD），進而確立學習進程。. 學：以氧化還原為例. 2010 Journal of Research in Science Teaching （JRST）. Plummer & Krajcik. 2009 JRST. Stevens, Delgado, & Krajcik. Building a learning progression for celestial motion: Elementary levels from an earth‐based perspective Developing a hypothetical multi‐ dimensional learning progression for the nature of matter. 1,3,8 天體運動 /地球科學. 1. 天體運動的教學透過文獻的分析，以及對學介入研究文獻生的訪談資料進行質性分 2. 訪談學生. 7-14. 21. 原子結構與電子運動/化學. 析，建構天體運動的學習進程。. 1. 國家級課程標準 1. 透過文獻的整理與回顧 2. 過去對於學生學探討其假設性學習進程。習相關內容的研 2. 透過開放性試題與學生究文獻訪談驗證學習進程。 3. 開放性試題 4. 訪談學生.

(34) 編號. 年代. 來源. 作者. 標題. 年級. 學科主題. 資料蒐集. 研究方法. #4. 2009 Science Education （SE）. Alonzo & Steedle. Developing and assessing a force and motion learning progressions. 7-12. 力與運動/物理. 1. 國家級課程標準１. 透過文獻的整理與回顧 2. 過去對於學生學探討假設性學習進程架習力與運動的研構與評量試題。究文獻２. 透過學生的評量與訪談 3. 次序性選擇題結果修正試題。 4. 開放性試題３. 再次評量，以評量結果修 5. 訪談學生正學習進程。. #5. 2009 JRST. Duncan, Rogat, & Yarden. A learning progression for deepening students' understandings of modern genetics across the 5th–10th grades. 5-10. 遺傳/生物. 遺傳學的相關文獻. 透過文獻的分析，整理不同學習階段的學習表現，提出假設性的學習進程。. #6. 2009 JRST. Mohan, Chen, & Anderson. Developing a multi‐ year learning progression for carbon cycling in socio‐ecological systems. 4, 6-12. 碳循環. １. 開放性試題２. 訪談學生. 藉由不同年級的學生在開放性試題的答題表現與訪談的回應，釐清學習進程的各階段內容。. 22.

(35) 編號. 年代. 來源. 作者. 標題. 年級. 學科主題. 資料蒐集. 研究方法. #7. 2009 JRST. Steedle & Shavelson. Supporting valid interpretations of learning progression level diagnoses. 7-12. 力與運動/物理. 選擇題. #8. 2009 JRST. Schwarz, Reiser, Davis, Kenyon, Acher, Fortus, Shwartz, Hug, & Krajcik. Developing a Learning Progression for Scientific Modeling: Making Scientific Modeling Accessible and Meaningful for Learners. 5-6. 科學建模（scientific modeling）. １. 學生所繪製的模分析學生在教學前後所分別型圖繪製的模型圖以及訪談的資２. 訪談學生料來建構學習進程。. 23. 使用潛在類別分析（latent class analysis）方法來分析學生於評量試題的回應，進以驗證學習進程。.

(36) 最高階層的內容定義完成後，位於最高階層其下的低位階層可以參考過去對於學生學習相關主題的實徵研究資料，透過文獻回顧的方式，整理學生對於此學習進程所牽涉之概念的思維想法，包含迷思概念，或者在概念理解的過程中某些生成的想法等。Alonzo 與 Steedle 回顧過去的研究文獻，並將文獻中描述學生對於力與運動的思維想法進行統整，如圖 2-4 所示。. 圖 2-4. Alonzo 與 Steedle（2009, p. 395）對於力與運動文獻所做的整理 24.

(37) 然而，僅是對於學生思維想法的整理仍不足以形成一連串的低位階層。從學習進程結構的觀點來看，不同階層之間具有順序排列的特性；因此，研究者必須將所整理之學生的思維想法進行歸納，將相似的概念分組置於同一個階層。 Alonzo 與 Steedle 指出，此步驟是依照研究者的想法，對所整理的概念內容進行典型與邏輯性的分類與排序，而非依賴證據的蒐集進行內容的編製。事實上，學習進程結構中的每一個階層，其所包含的學生思維，在階層與階層間，可能具有或多或少的關連性，但由於傳統的實徵研究大多聚焦於學生對於特定概念的想法，而非探究每一個想法之間的關連；因此，在此階段，學習進程所展現的是一種對於學生思維的假設性，而非一項事實的陳述。Alonzo 與 Steedle 依據這樣的原則，訂定出學習進程的初步版本（如圖 2-5 所示）。. 必須注意的是，此時所形成的初步學習進程仍代表研究者對於學生理解發展的直觀想法，基於學習進程具有反覆修正的特性，研究者必須透過學生實徵資料的蒐集，以對此學習進程進行驗證與精緻化。因此，研究者將資料蒐集的階段視為發展學習進程的第二步驟。. 在進行資料蒐集的階段，Battista（2011）指出最精準的方法是依據研究者所設計之學習進程，對學習者進行訪談，以驗證學習進程的內容，但此方法的困難點在於實際的訪談往往必須耗費相當多的時間，對於研究者來說，相當不經濟。另一個方法是使用開放式問題對學習者進行評量施測，以學習者的試題回應進行質性分析，藉此釐出學習進程的內容，此方法的困難點在於學習者有時並無法將其想法與理解在試題回應上進行完整的陳述，造成研究者分析上的困難；因此，在理想的狀況下，如果教師能夠事先幫助學生學習如何精確地描述他們的想法與理由，學生所寫的回應對於學習進程之發展將會更具有參考的價值。此外，還有一個方法是使用選擇題的形式來評量學生的學習表現，此方法的特點在於能夠在短時間內得到大量的學生資料，對研究者來說較不耗費時間，但在選擇題的選項 25.

(38) 圖 2-5. Alonzo 與 Steedle（2009, p. 397）所發展之學習進程的初步版本. 設計上，研究者仍需參考相關的訪談資料，做為選項設計之依據，以符應學習進程的內容。Battista 並指出，學習進程研究者對於此兩種方式必須考慮進行交替使用，才能夠更精準地瞭解學生的想法，例如有些學生可能無法在選擇題的選項中，找到符合自己解題策略的選項，此時就必須使用開放式的問答題來瞭解學生的理解層次。. 從表 2-2 的內容中，可以發現不同的學習進程研究使用不同的資料蒐集方式。若從評量的觀點進行分析，有些研究使用質性評量進行資料的蒐集，例如 Stevens. 26.

(39) et al.（2009）、Alonzo & Steedle（2009）以及 Mohan et al.（2009）等都曾使用開放性試題來評量學生的學習表現以發展學習進程，Schwarz et al.（2009）則對學生所繪製的模型圖進行質性分析來建構學習進程；使用質性評量的好處在於其能夠幫助研究者以更直接的方式瞭解學習者的想法與理解，由於學習者的想法往往是多樣而複雜的，使用質性評量亦能夠幫助學習進程研究者藉由學習者的回答來修正或設計量化評量的內容。. 而在量化評量的使用方面，Steedle 和 Shavelson（2009）使用選擇題來評量學生對於力與運動的概念，Alonzo 和 Steedle（2009）與劉昆夏（2012）發展次序性選擇題（Ordered Multiple-Choice items, OMC items）以評量學生的理解層次；所謂的次序性選擇題是指依據學習進程的內容而發展的一種創新的題型架構，其形式乍看之下，相當類似於傳統標準化測驗的選擇題型式，創新之處在於次序性選擇題的每一個選項內容都傾向呈現一個質性的理解層次，其評量範例如圖 2-6 所示，出題者希望透過學生所選擇的選項來瞭解學生的學習發展情況（Briggs & Alonzo, 2009）。. 圖 2-6. 次序性選擇題的評量範例（引自 Wilson, 2009）. 有鑑於學習進程具有潛在的功能可以運用於診斷評量，次序性選擇題便是依據學習進程的內容進行選擇題選項的設計，企圖結合傳統選擇題的高效率以及質性問題的豐富程度，將學生於學習進程中每一階層的表現發展成選項內容，研究. 27.

(40) 者可藉由學生的作答將其對應回學習進程，以瞭解與診斷學生的理解層次。次序性選擇題的特點在於其選項的設計，將選擇題的選項與學習進程中各個階層的內容進行連結，以滿足選項的豐富程度，學生透過選項進行試題回應亦能夠方便研究者進行客觀的評分機制（Briggs & Alonzo, 2009）。. Battista（2011）指出在發展學習進程的過程中，不管是質性的評量方法或量性的評量方法都曾被過去的研究者所使用，並且認為兩種方法同樣的謹慎與科學。一般來說，這兩種方法都包含幾點特性，陳述如下：（1）兩種方法都是對先前的研究進行合成與延伸，進而歸納出學生對於某一主題的概念發展模型，意即假設性學習進程；（2）不管是質的方法或量的方法，都必須透過不斷的反覆測試，使得評量任務逐漸精緻化；（3）不管是對先前的研究進行合成與延伸，或是為了精緻化評量任務，都必須環繞學生的訪談以做為發展的依據；（4）學習進程是透過資料的蒐集並不斷反覆修正而逐漸精緻化。. 綜合以上，本研究在研究過程中，研究者將針對發展國小因數與倍數學習進程之研究方法，與指導教授以及研究小組進行討論。有關於本研究之研究方法，將於第三章進行說明。. 28.

(41) 第五節. 學習進程與學習軌跡的異同. 在數學教育的研究範疇中，存在一個專門探討學生之數學學習過程的研究典範，稱為「學習軌跡（learning trajectories）」；本節將就學習進程與學習軌跡的異同分為兩個部分進行討論，首先介紹學習軌跡的發展與其意涵，接下來再對學習進程與學習軌跡進行比較，希望能夠藉此澄清兩者之差異。. 一、學習軌跡的發展與其意涵. 回顧過去的數學教育相關文獻，Simon（1995）對於學生在學習活動中，其想法與理解如何發展提出了「假設性學習軌跡（hypothetical learning trajectories）」的構想，此假設性學習軌跡包含三個主要成分：學習目標（learning goal）、學習活動（learning activities）以及假設性的學習過程（hypothetical learning process）。學習目標是指教師預期學生在經過教學後能夠達到的能力水平，而學習活動是教師為了使學生達到此學習目標所設計之學習情境或任務，假設性學習過程則涉指學生在進行上述之學習活動時，教師對於其思維與理解將如何發展所做的假設。. Simon 說明其之所以提出「假設性學習軌跡」的概念，在於強調教師基於建構主義的觀點，來進行教學前的規劃與決策的重要性。而學習軌跡的概念，也能夠幫助教師根據學生現有知識的理解，對學生的學習過程進行預測，做為計劃數學概念學習的工具（Simon & Tzur, 2004）。此外，Simon（1995）表示學習軌跡包含「假設性學習軌跡」與「真實性學習軌跡（actual learning trajectories）」，但真實性的學習軌跡並無法事先得知，必須在學生實際經過學習路徑後，才能夠對其進行詳細的說明與描述。. 29.

(42) Steffe（2004）則指出實際的學習軌跡如同一個模型般，此模型描述在一個數學學習的情境下，學生如何與學習活動產生交互作用，其最初的概念與操作如何發生顯著的改變等過程，同時學習軌跡也對涉及這些改變的數學教學進行詳細的描述。. Clements 與 Sarama（2004）提出「概念化學習軌跡（conceptualize learning trajectories）」的想法，描述學生在特定數學學習領域的思維與學習，指出教師設計教學任務（instructional task）以引發學生的心智過程或心智活動來支持學生達到數學學習領域中的特定目標，並對學生在教學任務中可能的學習路徑進行預測。值得注意的是，在 Clements 與 Sarama 所提出的學習軌跡中，他們指明學習軌跡必須對於教學過程中用以提升和評量學生之思維階層的教學任務進行了詳細的說明與描述。之後，Clements 與 Sarama 在其 2009 年所出版的專書“Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories Approach”中，對於幼兒的數學學習軌跡，提出了相當多的範例，如下圖 2-7 所示。. 圖 2-7. Clements 與 Sarama 的學習軌跡範例（引自 Clements & Sarama, 2009） 30.

(43) 從圖 2-7 的內容中可以發現，在 Clements 與 Sarama 的學習軌跡中，除了對於學生在學習時的發展程序進行描述，同時也對教學活動與教學任務進行說明，並且描述學生於教學過程中的互動表現。. Battista（2011）定義學習軌跡是指學生學習時，對於其思維程序的詳盡描述，包含了學生學習特定概念主題的策略與想法，並且記錄學生如何解決教師所設計之教學任務以及在此程序中的社會互動過程等。Battista 亦指出學習軌跡的優點是其具體的追蹤學生在一個固定課程中的活動情形，詳細描述學生在課程中的思維想法與策略，專注於理解與反映學生關於此課程的認知結構。此外，他也提到：學習軌跡包含兩種類型，分別為假設性學習軌跡與真實性學習軌跡；有鑑於學生的學習背景與心智過程的差異，某些學生可能跨過學習軌跡中的某些階層，直接躍升至更高的階層進行學習發展，而有些學生則必須經過每一個階層才能夠達到學習目標；因此，假設性的學習軌跡較真實性的學習軌跡來的單純，真實性的學習軌跡通常因為個體差異而顯得交錯複雜。. 二、學習進程與學習軌跡的異同對比學習進程與學習軌跡，兩者有許多相似之處，自從 Simon 於 1995 年提出學習軌跡的想法之後，數學教育學界開始了許多相關的研究，而學習進程則是近年來逐漸為科學教育學界所重視而蓬勃發展。有一派的學者認為兩者所代表的意涵是相同的，只因為使用領域的不同而有不同的稱呼（例如：Daro, Mosher, & Corcoran, 2011; Empson, 2011）；此外，也存在另一派的學者認為兩者雖然意義相似，但仍存在些許的差異（例如：Battista, 2011; Stevens, Shin, & Krajcik, 2009）。以下，研究者根據文獻的回顧，首先就學習軌跡與學習進程的相似特徵進行說明，再就兩者的差異進行對照，最後說明本研究將採用學習進程的原因。. 31.

(44) （一）學習進程與學習軌跡的共同特徵. 有些研究者認為：學習進程與學習軌跡同樣描述學生的學習過程，僅在其學科喜好上有所不同，科學教育研究者使用學習進程一詞進行描述，而數學教育的研究者則使用學習軌跡來對學生的學習過程進行說明（Daro, Mosher, & Corcoran, 2011; Empson, 2011）。. Battista（2011）從建構主義的觀點出發，指出學習進程與學習軌跡兩者都能夠幫助教師設計教學程序，在教學進行時，亦能夠隨時根據學生的理解發展程度，適時地進行教學的調整以呼應學生的需要。此外，從評量與課程發展的角度來看，學習進程與學習軌跡皆能夠運用於形成性評量與總結性評量的發展，並做為課程發展的指標。. （二）學習進程與學習軌跡的差異. 對於學習進程與學習軌跡的差異，不同的研究者各有其不同的看法，以下將分別針對幾個面向進行說明。. 從學習範圍的角度來看，Stevens, Shin, & Krajcik（2009）認為學習軌跡所牽涉的學習範圍較小，但觀點較為聚焦；此外，Stevens 等人並將學習軌跡視為學習進程的子集合，用以描述學生如何從學習進程中的某一階層移動到下一階層。同時，學習軌跡提供特定的教學策略以及學習任務，用以幫助學生在學習的過程中有所前進與成長。. Barrett, Cullen, Sarama, Clements, Klanderman, Miller, & Rumsey（2011）認為學習軌跡比學習進程在其內容描述上更為細膩，並進一步說明：由於學生的概念觀點並不容易被發現，即使使用臨床晤談的方式，有時也無法對學生的想法完全 32.

(45) 掌握，因此學習軌跡使用直接、非正式的學生行為表現資料以及學習進程來引導教師在教學過程中與學生的對話，進而對學生在特定概念的典型思維(typical ways of thinking)於學習軌跡中進行陳述。Barrett 等人認為使用學習軌跡可以幫助研究者瞭解學生在學習時的觀點與想法，並對學生的學習進行較詳細的描述，而學習進程則僅對於學生在某階段的行為表現進行概略性的陳述。. Sarama, Clements, Barrett, Van Dine, & McDonel（2011）亦指出，相較於學習軌跡，學習進程所描述的內容稍微攏統，有時只呈現學生在學習某主題時的幾個特定階段的能力表現情形，但有時某些學習進程亦會對教學活動的程序進行描述。. Duschl, Maeng, & Sezenw(2011)透過文獻的回顧，指出學學習進程與學習軌跡具有以下幾點的不同：. １. 在科學教育學界，研究者使用較多的方法來發展學習進程。２. 在數學教育學界，學習軌跡的研究者使用較多訪談的方式，來確認學習者的理解階層。３. 許多的科學教育研究者倚賴概念改變的研究資料來發展學習進程。. Battista（2011）指出學習進程與學習軌跡兩者間之關鍵的差異在於學習軌跡包含對教學活動的描述，而學習進程則否。此外，學習進程與學習軌跡兩者雖然皆可以被運用在評量發展以及做為課程發展的指標，但兩者通常所預期的使用者與隨後的發展是有些許差異的。. Battista 進一步說明：若使用者之目的在於設計或測試一套課程，其可能傾向使用學習軌跡，並以此課程做為學習軌跡發展的基礎，瞭解學生在此課程中的反應情形。倘若使用者預期要發展一套評量系統，並希望能夠將此評量系統進行 33.

(46) 推廣，則此使用者可能傾向使用學習進程，並以此套評量架構做為發展學習進程的基礎，瞭解學生在此評量內容中的表現情形。. 綜合以上，可以看出，學習軌跡與學習進程兩者之差異在於：學習進程在使用上較具一般性，能夠對應到不同課程中的學生表現；而學習軌跡則以一套固定的教學序列為基礎，倘若教學序列進行更換，學生的學習軌跡可能有所改變，但學習軌跡的優點在於其能夠對學生在課程中的反應進行詳細的描述，瞭解學生的在此教學活動中的學習歷程（Battista, 2011）。. Delgado 與 Morton（2012）指出學習軌跡所牽涉的時間架構通常比學習進程要來的短，可能是一節課，或僅僅是一個單元的學習內容，但學習軌跡對於學生學習的描述觀點比學習進程來的精細；而學習進程通常所牽涉的學習範圍較為廣泛，可能是一個宏觀的學習主題，但其內容僅對於學生學習時的幾個重要階段進行描述。. 根據以上，本研究之所以使用學習進程來做為研究取向的原因如下：. 1.. 在本研究中，研究者並不會涉入教學的活動，也不會對教學活動進行陳述，此外，研究者期望本研究的發現在未來能夠進行一般性的推廣；因此，根據 Battista（2011）的說法，研究者傾向使用學習進程做為本研究之發展方向。. 2.. 本研究的範圍牽涉小學五、六年的因數與倍數課程，並往前深入因倍數的先備知識（包含乘、除法、整除等概念），學習範圍橫跨多個年級，因此，根據 Delgado 與 Morton（2012）的觀點，本研究應採用學習進程較為適合。. 34.

(47) 第六節. 因數與倍數相關文獻之探討. 本節將針對因數與倍數的相關文獻進行探討，分為三個部分進行說明，第一部分探討九年一貫數學學習領域課程綱要以及 NCTM 數學課程標準之因數與倍數學習內容的安排現況，第二部分針對國內三個版本的教科書內容進行分析，第三部分為國內因數與倍數之相關研究的回顧與討論。. 一、因數與倍數課程綱要之探討本研究希望藉由因數與倍數課程綱要之探討，瞭解因數與倍數內容的學習範疇與學習時機。研究者參考教育部於民國九十七年公佈之國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要，針對因數與倍數內容的部分進行整理與分析，此外，由於本研究所牽涉之內容包含「整除」的概念，因此，研究者亦將針對課程綱要中，關於整除概念的部分進行整理。. 研究者將九年一貫課程綱要中，與整除以及因、倍數內容相關的能力指標茲列如下（教育部，2008）：. N-2-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。 N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-04 能認識質數、合數，並能用短除法做質因數分解。 N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡分數。. 從能力指標的內容可以發現，整除、因數與倍數皆屬於數於量的能力指標範疇，整除概念的學習階段為三至四年級，因數與倍數的學習階段為五至六年級，研究者再依據能力指標整理其所對應之分年細目，如表 2-3 所示：. 35.

(48) 表 2-3 年級. 因、倍數相關能力指標與分年細目之對應分年細目. 三年級 3-n-05. 對應能力指標能理解除法的意義，運用÷、＝做橫式紀錄. N-2-04. (包括有餘數的情況)，並解決生活中的問題。五年級 5-n-04 5-n-05. 能理解因數和倍數。. N-3-03. 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數 N-3-03. 與最小公倍數。六年級 6-n-01. 能認識質數、合數，並用短除法做質因數的 N-3-04. 分解（質數＜20，質因數＜20，被分解數＜100）。 6-n-02. 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍 N-3-05. 數。 6-n-03. 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡 N-3-05. 分數。. 從分年細目的內容中，可以看出學生在三年級時，應能夠理解除法的意義，其中包含整除的概念，課程綱要中針對此分年細目的說明為「理解商與餘數的意義，並能由餘數判斷是否整除，知道餘數要小於除數的約定，以及被除數減餘數後就可以被整除的事實。」；在因數與倍數的部份，五年級的學生應理解因數與倍數的概念，課程綱要中進一步說明學生要能「以 1-n-07(幾個一數)，2-n-08(九九乘法)，3-n-05(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。」而在公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數等部分，學生在五年級時要能「用列表的方式，尋找兩數的公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。」六年級的學生則因已學習質數的相關概念，因此可以使用短除法求兩數的最大公因數與最小公倍數。此外，由於本研究的範圍僅探討因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數以及最小公倍數等內容，故不對質數相關內容進行討論。. 36.