在數學教育的研究範疇中，存在一個專門探討學生之數學學習過程的研究典 範，稱為「學習軌跡（learning trajectories）」；本節將就學習進程與學習軌跡的異 同分為兩個部分進行討論，首先介紹學習軌跡的發展與其意涵，接下來再對學習 進程與學習軌跡進行比較，希望能夠藉此澄清兩者之差異。
一、 學習軌跡的發展與其意涵
回顧過去的數學教育相關文獻，Simon（1995）對於學生在學習活動中，其 想法與理解如何發展提出了「假設性學習軌跡（hypothetical learning trajectories）」
的構想，此假設性學習軌跡包含三個主要成分：學習目標（learning goal）、學習 活動（learning activities）以及假設性的學習過程（hypothetical learning process）。
學習目標是指教師預期學生在經過教學後能夠達到的能力水平，而學習活動是教 師為了使學生達到此學習目標所設計之學習情境或任務，假設性學習過程則涉指 學生在進行上述之學習活動時，教師對於其思維與理解將如何發展所做的假設。
Simon 說明其之所以提出「假設性學習軌跡」的概念，在於強調教師基於建 構主義的觀點，來進行教學前的規劃與決策的重要性。而學習軌跡的概念，也能 夠幫助教師根據學生現有知識的理解，對學生的學習過程進行預測，做為計劃數 學概念學習的工具（Simon & Tzur, 2004）。此外，Simon（1995）表示學習軌跡 包含「假設性學習軌跡」與「真實性學習軌跡（actual learning trajectories）」，但 真實性的學習軌跡並無法事先得知，必須在學生實際經過學習路徑後，才能夠對 其進行詳細的說明與描述。
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Steffe（2004）則指出實際的學習軌跡如同一個模型般，此模型描述在一個 數學學習的情境下，學生如何與學習活動產生交互作用，其最初的概念與操作如 何發生顯著的改變等過程，同時學習軌跡也對涉及這些改變的數學教學進行詳細 的描述。
Clements 與 Sarama（2004）提出「概念化學習軌跡（conceptualize learning trajectories）」的想法，描述學生在特定數學學習領域的思維與學習，指出教師設 計教學任務（instructional task）以引發學生的心智過程或心智活動來支持學生達 到數學學習領域中的特定目標，並對學生在教學任務中可能的學習路徑進行預測。
值得注意的是，在 Clements 與 Sarama 所提出的學習軌跡中，他們指明學習軌跡 必須對於教學過程中用以提升和評量學生之思維階層的教學任務進行了詳細的 說明與描述。之後，Clements 與 Sarama 在其 2009 年所出版的專書“Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories Approach”中，對於幼兒的數學學習 軌跡，提出了相當多的範例，如下圖 2-7 所示。
圖 2-7 Clements 與 Sarama 的學習軌跡範例（引自 Clements & Sarama, 2009）
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從圖 2-7 的內容中可以發現，在 Clements 與 Sarama 的學習軌跡中，除了對 於學生在學習時的發展程序進行描述，同時也對教學活動與教學任務進行說明，
並且描述學生於教學過程中的互動表現。
Battista（2011）定義學習軌跡是指學生學習時，對於其思維程序的詳盡描述，
包含了學生學習特定概念主題的策略與想法，並且記錄學生如何解決教師所設計 之教學任務以及在此程序中的社會互動過程等。Battista 亦指出學習軌跡的優點 是其具體的追蹤學生在一個固定課程中的活動情形，詳細描述學生在課程中的思 維想法與策略，專注於理解與反映學生關於此課程的認知結構。此外，他也提到：
學習軌跡包含兩種類型，分別為假設性學習軌跡與真實性學習軌跡；有鑑於學生 的學習背景與心智過程的差異，某些學生可能跨過學習軌跡中的某些階層，直接 躍升至更高的階層進行學習發展，而有些學生則必須經過每一個階層才能夠達到 學習目標；因此，假設性的學習軌跡較真實性的學習軌跡來的單純，真實性的學 習軌跡通常因為個體差異而顯得交錯複雜。
二、學習進程與學習軌跡的異同
對比學習進程與學習軌跡，兩者有許多相似之處，自從 Simon 於 1995 年提 出學習軌跡的想法之後，數學教育學界開始了許多相關的研究，而學習進程則是 近年來逐漸為科學教育學界所重視而蓬勃發展。有一派的學者認為兩者所代表的 意涵是相同的，只因為使用領域的不同而有不同的稱呼（例如：Daro, Mosher, &
Corcoran, 2011; Empson, 2011）；此外，也存在另一派的學者認為兩者雖然意義相 似，但仍存在些許的差異（例如：Battista, 2011; Stevens, Shin, & Krajcik, 2009）。
以下，研究者根據文獻的回顧，首先就學習軌跡與學習進程的相似特徵進行說明，
再就兩者的差異進行對照，最後說明本研究將採用學習進程的原因。
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（一）學習進程與學習軌跡的共同特徵
有些研究者認為：學習進程與學習軌跡同樣描述學生的學習過程，僅在其學 科喜好上有所不同，科學教育研究者使用學習進程一詞進行描述，而數學教育的 研究者則使用學習軌跡來對學生的學習過程進行說明（Daro, Mosher, & Corcoran, 2011; Empson, 2011）。
Battista（2011）從建構主義的觀點出發，指出學習進程與學習軌跡兩者都能 夠幫助教師設計教學程序，在教學進行時，亦能夠隨時根據學生的理解發展程度，
適時地進行教學的調整以呼應學生的需要。此外，從評量與課程發展的角度來看，
學習進程與學習軌跡皆能夠運用於形成性評量與總結性評量的發展，並做為課程 發展的指標。
（二）學習進程與學習軌跡的差異
對於學習進程與學習軌跡的差異，不同的研究者各有其不同的看法，以下將 分別針對幾個面向進行說明。
從學習範圍的角度來看，Stevens, Shin, & Krajcik（2009）認為學習軌跡所牽 涉的學習範圍較小，但觀點較為聚焦；此外，Stevens 等人並將學習軌跡視為學 習進程的子集合，用以描述學生如何從學習進程中的某一階層移動到下一階層。
同時，學習軌跡提供特定的教學策略以及學習任務，用以幫助學生在學習的過程 中有所前進與成長。
Barrett, Cullen, Sarama, Clements, Klanderman, Miller, & Rumsey（2011）認為 學習軌跡比學習進程在其內容描述上更為細膩，並進一步說明：由於學生的概念 觀點並不容易被發現，即使使用臨床晤談的方式，有時也無法對學生的想法完全
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掌握，因此學習軌跡使用直接、非正式的學生行為表現資料以及學習進程來引導 教師在教學過程中與學生的對話，進而對學生在特定概念的典型思維(typical ways of thinking)於學習軌跡中進行陳述。Barrett 等人認為使用學習軌跡可以幫助 研究者瞭解學生在學習時的觀點與想法，並對學生的學習進行較詳細的描述，而 學習進程則僅對於學生在某階段的行為表現進行概略性的陳述。
Sarama, Clements, Barrett, Van Dine, & McDonel（2011）亦指出，相較於學習 軌跡，學習進程所描述的內容稍微攏統，有時只呈現學生在學習某主題時的幾個 特定階段的能力表現情形，但有時某些學習進程亦會對教學活動的程序進行描 述。
Duschl, Maeng, & Sezenw(2011)透過文獻的回顧，指出學學習進程與學習軌 跡具有以下幾點的不同：
１. 在科學教育學界，研究者使用較多的方法來發展學習進程。
２. 在數學教育學界，學習軌跡的研究者使用較多訪談的方式，來確認學習者的 理解階層。
３. 許多的科學教育研究者倚賴概念改變的研究資料來發展學習進程。
Battista（2011）指出學習進程與學習軌跡兩者間之關鍵的差異在於學習軌跡 包含對教學活動的描述，而學習進程則否。此外，學習進程與學習軌跡兩者雖然 皆可以被運用在評量發展以及做為課程發展的指標，但兩者通常所預期的使用者 與隨後的發展是有些許差異的。
Battista 進一步說明：若使用者之目的在於設計或測試一套課程，其可能傾 向使用學習軌跡，並以此課程做為學習軌跡發展的基礎，瞭解學生在此課程中的 反應情形。倘若使用者預期要發展一套評量系統，並希望能夠將此評量系統進行
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推廣，則此使用者可能傾向使用學習進程，並以此套評量架構做為發展學習進程 的基礎，瞭解學生在此評量內容中的表現情形。
綜合以上，可以看出，學習軌跡與學習進程兩者之差異在於：學習進程在使 用上較具一般性，能夠對應到不同課程中的學生表現；而學習軌跡則以一套固定 的教學序列為基礎，倘若教學序列進行更換，學生的學習軌跡可能有所改變，但 學習軌跡的優點在於其能夠對學生在課程中的反應進行詳細的描述，瞭解學生的 在此教學活動中的學習歷程（Battista, 2011）。
Delgado 與 Morton（2012）指出學習軌跡所牽涉的時間架構通常比學習進程 要來的短，可能是一節課，或僅僅是一個單元的學習內容，但學習軌跡對於學生 學習的描述觀點比學習進程來的精細；而學習進程通常所牽涉的學習範圍較為廣 泛，可能是一個宏觀的學習主題，但其內容僅對於學生學習時的幾個重要階段進 行描述。
根據以上，本研究之所以使用學習進程來做為研究取向的原因如下：
1. 在本研究中，研究者並不會涉入教學的活動，也不會對教學活動進行陳述，
此外，研究者期望本研究的發現在未來能夠進行一般性的推廣；因此，根據 Battista（2011）的說法，研究者傾向使用學習進程做為本研究之發展方向。
2. 本研究的範圍牽涉小學五、六年的因數與倍數課程，並往前深入因倍數的先 備知識（包含乘、除法、整除等概念），學習範圍橫跨多個年級，因此，根 據 Delgado 與 Morton（2012）的觀點，本研究應採用學習進程較為適合。
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