國小因數與倍數教材內容分析

在九十二年教育部公布的九年一貫課程綱要中強調，課程應該以學習 者為主體，以知識的完整面為教育主軸，以終身學習為教育目標（教育部，

2003）。在這樣的原則下，數學領域在教學時應該要能培養學童正向的數 學態度，並根據學童每個階段不同的發展與需求，發展適合的教材與教 法，如此才能讓學童培養自我學習及「帶著走」的數學能力，習得重要數 學概念與精熟的演算能力後，未來在涉獵以數學為基礎的其他科學領域 時，更能事半功倍。

九年一貫數學學習領域教學目標（引自教育部，2003）：

一、 能掌握數、量、形的概念（第一階段）。

二、 能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感（第二階 段）。

三、 能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常 生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積 公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念（國小階段）。

四、 能理解坐標的表示，並熟練代數的運算及數的四則運算；能理解 三角形及圓的基本幾何性質，並學習簡單的幾何推理；能理解統計、

機率的意義，並認識各種簡易統計方法（國中階段）。

希望透過課程目標的達成，讓學生不只培養演算能力，更要訓練學童 的抽象能力及推論能力，甚至要能利用數學來進行溝通、討論。而在情意 方面，課程目標也希望學童能培養欣賞數學的態度及能力。其次，除了基 本計算能力之外，學童更應該學習應用問題的解題方法，如此才能奠定下 一階段數學的基礎，完成數學領域一貫性的學習。以下針對數學領域在國 小階段，有關因數與倍數的能力指標、分年細目、分年細目詮釋、教材內 容及最大公因數與最小公倍數的詮釋作說明：

壹、能力指標：

九年一貫數學領域將因數與倍數規劃在第二階段及第三階段實施，此 階段中相對應的能力指標如表 2－2－1 所示。

表 2－2－1 因數與倍數概念之第二及第三階段能力指標

能力指標 能力指標內容說明

N－2－04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。

N－3－01 能認識質數、合數，並做質因數分解。

N－3－02

能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用 來將分數約成最簡分數。

貳、分年細目

課程綱要裡的分年細目再將有關因數與倍數概念的三個能力指標，細 分成五、六年級的實施細目，如表 2－2－2 及表 2－2－3 所示。五年級先 介紹因數、公因數、倍數與公倍數，到了六年級才介紹最大公因數、最小 公倍數、質數與合數概念。

一、五年級分年細目

表 2－2－2 因數與倍數概念之五年級分年細目 數與量

分年細目 對照指標

5－n－03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N－2－04 二、六年級分年細目

表 2－2－3 因數與倍數概念之六年級分年細目 數與量

分年細目 對照指標

6－n－01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數 N－3－01

表 2－2－3（續）

＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。

6－n－02

■以 1－n－07（幾個一數），2－n－08（九 九乘法），3－n－04(除法)為前置經驗，理

100）。 ■在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到

或 60＝15×4＝（3×5）×（2×2）＝2×2×3×5

＝2²×3×5 等。（★）

從分年細目詮釋可以發現國小階段針對因數與倍數概念的介紹，希望

概念包含了最基本的因數與倍數關係。單元內希望學生藉由判斷被除數、

除數以及商皆為整數，且餘數是 0 的算式來瞭解整除的意義。在賴容瑩

（2005）的研究中發現，多數的國一學童認為整除就是「沒有餘數」，而 忽略「商是整數」之條件。

有了整除的觀念之後，教材接著安排讓學生以固定數量的正方形紙卡 排成不同形狀的長方形，並找出所有不同的組合。此活動希望學童透過不 旋轉排好的長方形或正方形，瞭解固定數量的紙卡可以被哪些整數整除。

題目類型如：「用 8 張小正方形紙卡，可以排成怎樣的長方形？說說看，

你是怎麼排的？這些情形要怎麼記？」學生以 1 張 1 行，可以排 8 行，記 成 8÷1＝8，或是以 2 張 1 行，可以排 4 行，記成 8÷2＝4，接著依序找出 所有不同的排列組合（在不旋轉的情形下）。此時就能導入因數的概念，1、

2、4、8 都能整除 8，所以 1、2、4、8 都叫作 8 的因數。

接著透過同類型的佈題，讓學童能歸納出，在整除的算式「被除數÷

除數＝商」中，除數和商都是被除數的因數。此過程的概念在其他學者的 研究中發現，學童容易接受整除算式中，除數是被除數的因數，但卻容易 忽略商也是被除數的因數（林珮如，2002）。而在利用整除算式找出某數 的所有因數時，也要讓學童能歸納出，當除數大於或等於商時，表示已經 找到所有的因數，即找因數時有對稱性。再者，學童能找出某數所有的因 數後，要引導學生觀察到並發現，每個數最大的因數為本身，最小的因數 都是 1。

有因數的概念基礎後，接著引入公因數的概念。課程中以列舉法列出 兩數所有的因數，再圈選出相同者來作為解題方式。而公因數的應用題往 往是學童最傷腦筋的題型，原因歸咎於學童轉譯題意有困難，以至於誤解 題意而不知該求公因數或公倍數，而有很高的錯誤率（林珮如，2002；黃 寶彰，2002）。題目類型如：「10 個男生和 15 個女生合起來編組，每組男 生一樣多，女生一樣多，全部都分完，可以怎麼分？」過程中可以透過實

物操作，讓學生發現此題型是要求兩數的所有公因數。

二、倍數與公倍數

國小倍數教材的安排，先是利用乘法解題來找出某數的整數倍，以引 入倍數的概念，即某數的整數倍。接著學童要能在給定範圍內，找出某數 所有的倍數，其方法有兩種。第一種為列舉法；第二種則是利用除法，將 給定範圍的上界值除以要找其倍數之整數，求商到個位，來找範圍內最大 及最小的倍數。題目類型如：「50 以內，8 的倍數有哪些？」學童可以用 8

×6＝48，或以 50÷8＝6…2，再以 8×6＝48 求解。此外過程中要能引導學生 發現，一個整數的倍數中，最小的是本身，且倍數的個數有無限多個。

有倍數的概念基礎後，課程接著讓學童判斷兩數是否是倍數關係，除 了利用乘法解題外，這類題型也要求學生利用整除來判斷，並讓學童歸納 出整除算式中，被除數是除數和商的倍數。

公倍數的概念是指某兩數以上共同的倍數，課程中以列舉法分別列出 兩數的倍數，再圈出相同者為兩數的公倍數。過程要能引導學童發現，幾 個數的公倍數會有無限多個，且兩數的乘積一定是這兩數的公倍數。

此外，在公倍數的應用題上，題目類型如：「一包花片有三十幾個，5 個一堆、7 個一堆都剛好分完，這包花片有多少個？」學童要能知道利用 找出 5 和 7 的公倍數的方式來解題。

三、質數和合數

六年級的因數與倍數課程會先介紹質數與合數的概念，透過列舉 2～9 每一個整數的所有因數，發現有些數只有兩個因數，而且都是本身和 1，

藉此導入質數和合數的觀念，過程中要適時提醒 1 不為質數，也不為合數。

學童在判斷質數時，容易認為奇數就是質數，質數就是奇數，教師要能適 時引導學生釐清此迷思概念，同時要能發現唯一的偶質數是 2。

四、最大公因數

接著在六年級會正式導入短除法的解題方式，透過短除法，要求學童

將某數用質因數相乘的形式表示出來，這個過程叫作質因數分解。至於最 大公因數的概念，課程先安排學生分別將指定的兩數作質因數分解，再圈 出相同的質因數，相乘後便是兩數的最大公因數，有此解釋的過程，學生 便能比較容易瞭解為何可以利用短除法求出兩數的最大公因數。然而過程 中要能舉例說明一些較特別的情況，如：若甲數能整除乙數時，甲數就是 甲、乙兩數的最大公因數。若兩數的最大公因數是 1，則稱這兩個數互質。

學生在學習互質的概念時，容易將任意兩個奇數判斷成互質，因此在教學 過程中，必須協助學生釐清此概念，學童要能將兩數作質因數分解，以免 遺漏了兩數除了 1 以外的公因數。

最大公因數應用題的題目類型如：「把一張長 16 公分、寬 12 公分的 長方形色紙，剪成大小相同且邊長為整數公分的正方形，全部剪完，可以 剪成最大的正方形邊長為幾公分？」學童要能瞭解這類型的題目必須利用 求兩數的最大公因數為解題方式。

五、最小公倍數

課程中介紹兩數的最小公倍數的概念，是透過分別將指定的兩數作質 因數分解後，再圈出相同的質因數，再和其他非共同質因數相乘，便是兩 數的最小公倍數。此後，再讓學生使用短除法，用共同質因數去除，直到 沒有共同質因數，再將共同質因數和其他非共同質因數相乘，也能求解。

其次教師也要能引導學生發現，當乙數是甲數的倍數時，乙數就是甲、乙 兩數的最小公倍數。若甲、乙兩數互質時，兩數的最小公倍數就是甲數和 乙數的乘積。教師在教學時宜多舉實例，過多的文字說明反而會造成學童 學習的負擔，產生更多不清楚的概念，造成反效果。

最小公倍數的應用題目類型如：「用長 6 公分、寬 4 公分的長方形，

可以拼成最小邊長多少公分的正方形？」學童要能瞭解此種類型的題目就 是求兩數的最小公倍數。

六、倍數判斷

教材安排透過觀察活動，分別列舉出 2 和 5 的數個倍數，讓學生從中 發現 2 的倍數，其個位數字是 0、2、4、6、8。而若個位數字是 0 或 5，

則此數是 5 的倍數。其次引導學生將 3 的倍數的各個位值的數字加起來，

觀察是否能被 3 整除，而發現一個整數的各個位值數字的和能被 3 整除 時，這個數就會是 3 的倍數。

觀察是否能被 3 整除，而發現一個整數的各個位值數字的和能被 3 整除 時，這個數就會是 3 的倍數。