學童因數與倍數概念理解情形及迷思概念探討

性找法來縮短解題的時間，但並非所有的因數都是成對出現，如本 題所指定的正整數 36，其中一組因數為 6×6＝36，學童便容易遺漏 這類型的因數，而做出錯誤選答。而有學者也發現，部份學童缺乏 因數成對性的概念，所以只能以除法算則，試著找出所有能整除指 定整數的因數；而學童也可能沒有按照順序列舉出因數，造成因數 個數的遺漏(林佩如，2002；王詩惠，2003)。其次在黃國勳及劉翔 通（2002）的研究中也提到，在找出某數的因數時，如果指定的數 字是較大的偶數時，容易會有遺漏的情形。再者，學童常常會遺漏 了 1 或是遺漏了數字本身也是它的因數（黃耀興、邱易斌，1999；

邱慧珍，2002），因此造成多找或少找了因數的個數。

（二）試卷第四題及第十一題為因、倍數關係概念題，學童必須在整除的 算式中，判斷被除數、除數及商之間的因數與倍數關係。由表 4－3

－1 可知，這兩題試題的答對率分別為 45％及 43％，表示有超過一 半以上的學童在面對文字或符號敘述的整除算式時，無法瞭解或類 化其中的因、倍數關係。何東墀及蕭金土（1996）的研究中也提到，

部分學生沒辦法理解因數的概念，並且缺乏因數及倍數關係形成和 類化之能力。換句話說，學童在處理此類問題，無法自行用數字舉 例，以至於題目表達的意思和學童習得之整除算式，在判斷上有認 知上的落差，而做出錯誤選答。此外在林珮如（2002）的研究中也 發現，當學生透過除法算則處理因數的問題時，常常只認為除數才 是被除數的因數，而無法瞭解商也是被除數的因數。

（三）除上述理解情形與迷思概念之外，研究者針對試題 1 進行晤談的過 程中尚有以下發現：

R-S01-0101：請你說說看，這題你是怎麼算出來的？

S01-0101：我是用短除法才會算出來。

R-S01-0102：可以說明你的算式嗎？

S01-0102：就先把它（36）分解。

R-S01-0103：然後呢？

S01-0103：把 3＋3＋2＋2＝10（如圖 4－3－1 所示）。

R-S01-0104：那為什麼最下面的 1 不用加起來？

S01-0104：因為那個不是（36 的）因數。

R-S01-0105：那這個 10 代表什麼？

S01-0105：就是有幾個因數。

R-S01-0106：為什麼可以這樣算？

S01-0106：嗯…，因為這些都是它的因數。

圖 4－3－1S01 針對試題 1 之解題過程

由晤談過程中可以發現此受試者不瞭解短除法的意義，雖然計算的 過程沒有錯誤，但找因數個數的觀念卻不正確，受試者只將某數用 短除法分解完的所有質因數相加，來作為其因數的個數，卻無法解 釋為何以此方式計算。

二、公因數

表 4－3－2 公因數概念試題各選項的選答率

1 2 3 4

第 20 題 0.29 0.42※ 0.15 0.14 第 28 題 0.17 0.09 0.62※ 0.12

選 項 選

答

題 號 率

註：有「※」記號之選項表示為正確答案。

（一）試卷第二十題必須找出所指定兩正整數的所有公因數，由表4－3－

2可知，僅有42％的學童能正確找出所有公因數的個數，而其餘學 童則有多找或遺漏公因數的情形。學童會運用兩種方式來找公因 數，第一種為列舉法，學童會分別列出兩數的所有因數，在將相同 的因數圈選出來，但學童在找因數時會有多找或遺漏的情形，以至 於判斷公因數個數時，容易產生錯誤，此結果與許多研究結果相符

（黃耀興、邱易斌，1999；黃國勳、劉祥通，2002)。第二種方式 為短除法，學童可以利用短除法找出最大公因數，再判斷最大公因 數有哪些因數，即是兩數所有的公因數；或從算出的公因數中，再 加上1及最大公因數。但學童不容易瞭解短除法計算時，各層數字 代表的意義，因此有學童會認為公因數只有短除法左側的質因數2 和7，或是以短除法運算後最下方的兩數2或3作為答案，而做出錯 誤選答，如下圖4－3－2所示。而由上表可知，第一選項也有29％

的學童選答，學童會認為短除法運算後左側的公因數2、7以及其乘 積14（最大公因數）為所有公因數，而遺漏了1，所以做出錯誤選 答。另外也有學童將計算過程中，最外層的相異整數（2、3、7）

當成兩數的所有公因數。

圖 4－3－2 試題 20 之短除法運算過程

針對試題 20 進行晤談過程中，茲將受試者的其他想法說明如下：

S16 的想法：用短除法運算後，將下方的 2×3＝6，在列出 6 的因數

最大公因數為何數。由表 4－3－3 可知，第七題試題的通過率只有 25％，可見此題為偏難的試題。第七題的相關概念，在南一版的六 上課程中有提到：「當甲數能整除以數時，甲數就是甲、乙兩數的 最大公因數。」（南一，2010）學童容易以數字判斷出此關係，如 求出 2 和 14 的最大公因數為 2，但卻無法透過文字敘述，來判斷兩 個有因倍數關係的整數，其最大公因數為何者，顯示學童較無法抽 象思考，或以自行舉例方式解題。因此學童在答題時，容易直接選 出關係式中出現的整數 7，而做出錯誤選答，此錯誤選項有 43％的 學童選擇，顯示學童未能正確判斷出關係式中蘊含的因倍數概念。

而選擇第三選項的學童，只從選項中選出較大的數，未能瞭解最大 公因數的意義。林珮如（2002）也發現，學童會以為最大公因數，

就是找出兩數中最大的數。

在第十八題中，學童要能從兩數的質因數分解中，找出其最大公因 數。由表 4－3－3 可知，只有 54％之學童能找出兩數質因數分解中 重複出現的公因數乘積（即最大公因數），部份學童只從兩數的質 因數分解中選出最大的質因數，當作兩數的最大公因數，而做出錯 誤選答。

（二）除上述理解情形與迷思概念之外，研究者針對試題 7 進行晤談的過 程中尚有以下發現，其類型大致分成六類：

1.直接選擇試題中出現的整數 7

S01 想法：我想甲會等於 7 乘以乙，所以應該是 7。

S03 的想法：因為甲是 7 乘以某一個數來的，所以最大公因數是 7。

以上兩位受試者只能從試題中的等式提取較熟悉的整數 7 作為答 案，並未能明確說明為什麼 7 是兩數的最大公因數。

2.以整數舉例，但不具一般性

S12 的想法：甲＝7×1，所以（甲，乙）＝1。

S24 的想法：甲＝7×7，所以（49，7）＝7。

雖然 S12 與 S24 都能以舉例方式進行解題，但因為決定乙的數值 時，選擇的數字 1 與 7 剛好都是選項之一，所以雖然觀念正確，卻 因舉例不具一般性而選答錯誤。

3.質數互質概念之誤用

S05 的想法：因為甲÷乙＝7，7 是質數，因為被乘數是質數，所以 最大公因數是 1。

受試者 S05 以除法算式中的商 7，作為判斷甲是質數的依據，接著 以「兩相異質數的最大公因數是 1」的概念來判斷甲和乙的最大公 因數，因而得到 1。

4.以餘數來判斷最大公因數

S07 的想法：甲＝21＝7×3，7÷3＝2…1，當某數除以任何數時，除 不盡時，表示最大公因數為 1。

S26 的想法：因為 14 只能 7×2＝14，所以 7÷2＝3…1，1 就是答案。

上述兩位受試者都有以舉例方式來解題，但卻未直接求甲和乙的最 大公因數，而分別算出 7 除以乙的結果，並以餘數 1 作為最大公因 數。S07 的說明「當某數除以任何數時，除不盡時，表示最大公因 數為 1」為錯誤概念，並非所有的組合皆是如此，可見其過度推論。

5.關係式的誤判

S31 的想法：28（甲）＝7×4（乙），商（指乘積 28）是乘數的最大 公因數。

S33 的想法：7×乙＝甲，乙和 7 是甲的因數，所以甲是 7 和乙的最 大公因數（公倍數才對）。

由上述晤談可發現，兩位受試者對於乘法等式中的因、倍數概念尚 未成熟，所以過程中的推論都有錯誤的地方。

6.找錯的兩數之最大公因數

R-S34-0701：請你說說看，這題你是怎麼算出來的？

S34-0701：先把乙設為 6。

R-S34-0702：然後呢？

S34-0702：然後再把兩數的因數列出來，6 的因數有 1、2、3、6，7 的因數有 1、7，再找出兩數相同的因數，就是最大公因數。

R-S34-0703：所以最大公因數是多少？

S34-0703：是 1。

試題中應求甲和乙的最大公因數，而 S34 卻求 7 和乙之最大公因 數，而作出錯誤選答。

（三）試卷第八、二十四題為最大公因數的應用題。由表 4－3－3 可知，

兩題的通過率為 49％及 55％，可見學童面對最大公因數應用問題 的通過率大約只有一半，顯示其餘一半的學童對於處理最大公因數 的應用題，是有困難的。在過去文獻中發現，學童在處理因倍數的 文字題時，常常不知道該利用最大公因數或是最小公倍數來解題

（黃寶彰，2002）。學童在利用短除法來處理此兩題試題時，由上 表可得知，只有約半數的學童能從算式中，擷取出最大公因數，如 下圖 4－3－3 及圖 4－3－4 中之 13 和 21（3×7）。部份學童只能從 運算式子中，選擇兩數的某一個公因數作為最大公因數，如圖 4－3

－4 中，左側的公因數 3 或 7；或以短除法算式最下方兩數的乘積 作為最大公因數，如圖 4－3－3 中 7 和 11 的乘積以及圖 4－3－4 中 3 和 4 的乘積。可見這些學童並未真正瞭解短除法運算過程中，

各層運算數字的真正涵義，因此只能從觀察到的數字中，任意挑選 出一個作為答案。林珮如（2002）的研究也指出，學童在解決最大 公因數之文字題方面，其主要困難是轉譯題意，以至於有誤解題 意、使用關鍵字解題等錯誤發生。

圖 4－3－3 試題 8 之短除法運算過程

圖 4－3－4 試題 24 之短除法運算過程

（四）試卷第二十五題學童需要判斷兩數是否互質。由表 4－3－3 可知，

有 59％的學童做出正確選答，而其餘三個選項平均各有一成多的學 童選答。學童面對大於 50 的奇數時，較不容易找出其因數，因此 找公因數時容易錯誤判斷。另外學童也容易因為兩數都是奇數，就 直接判斷兩數互質，但沒有詳細檢驗，兩數是否有除了 1 以外的公 因數，甚至沒有檢驗其中較小的數是否能整除大的數，來判斷兩數 是否有因倍數關係。而其他相關研究中也指出，學童面對一個較不 常見的整數時，常常會直觀認定它就是質數（王詩惠，2003），進 而判斷給定的兩數為互質關係。

貳、質數概念

念間之關係有混淆不清楚的情形(陳清義，1996)。

研究者針對試題 12 進行晤談過程中，茲將受試者把 1～10 中質數與 合數之特殊分類方式說明如下：

S22 的想法：質數有 2、3、5、7、9，合數有 4、6、8、10。

S27 的想法：質數有 1、3、5、7、9，合數有 2、4、6、8、10。

S31 的想法：質數有 3、5、7、9，合數有 2、4、6、8、10。

S32 的想法：質數有 1、3、5、7，合數有 2、4、6、8、9、10。

S32 的想法：質數有 1、3、5、7，合數有 2、4、6、8、9、10。