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TestGraf98在國小六年級學童因數與倍數概念之試題編製與分析研究

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Academic year: 2021

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國立臺中教育大學數學教育研究所

在職進修教學碩士論文

指導教授:胡 豐 榮 博士

TestGraf98 在國小六年級學童因數與倍

數概念之試題編製與分析研究

研究生:陳 智 遠 撰

中華民國一○○年六月

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摘 要

本研究旨在藉由自編的「國小六年級因數與倍數概念試卷」,透過統 計軟體 SPSS、Excel 及試題分析軟體 TestGraf98 來繪圖,以探討六年級 學童對此分測驗的應答情形和可能出現的迷思概念,以作為改進教學內容 或進行補救教學的依據。根據研究結果,得到以下結論: 一、試卷與試題特徵曲線分析 (一)整分試卷的α係數為.885,試題平均難易度為.51,試題平均鑑別 度.584。 (二)每道試題的選項特徵曲線依照其形狀,本研究歸納出三種類型。 二、國小六年級學童因數與倍數概念的理解情形 (一)因數概念: 1. 部份學童找因數或公因數時有遺漏或多找的情況。 2. 針對最大公因數的應用題,部份學童會不清楚該使用最大公因數或 最小公倍數來解題。 3. 部份學童對於短除法的使用雖然計算正確,但卻不了解其意義。 (二)質數與合數概念: 1. 部份學童會有認為所有的質數都是奇數。 2. 部份學童會把 1 當成質數。 3. 部份學童會把較大的奇數當作質數。 4. 部份學童會把 2 當成合數。 (三)倍數概念: 學童能求出某數的倍數,但若試題要求其倍數範圍後,部份學童便 無法正確解題。 關鍵字:因數與倍數、試題選項特徵曲線、迷思概念。

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Abstract

The purpose of this study is to investigate the sixth-grade students’ reactions

and possible misconceptions about “Factor ” and “Multiple” by using a

self-made test which analyzed with software like SPSS, Excel and graphed

with TestGraf98. The conclusions can be utilized by teachers as reference for

their normal and remedy teaching. The conclusions are as below:

I. The analysis of the test and the item option characteristic curve:

a. The reliability coefficient of Cronbach α of the formal test is .885.

The average difficulty index of the items is .51 and the average

discrimination index of the items is .584.

b. According to the item option characteristic curve of each item, three

types can be generalized from the study.

II. The sixth grade students’ comprehension about the concept of “Factor and

Multiple”:

a. Concept of factor:

(a) Some students would omit or find more when finding factors or

common factors of integers.

(b) When solving problems of greatest common factor, some students are

not sure whether they should use greatest common factor or least

common multiple.

(c) Some students don’t comprehend the meaning of short division though

they can operate it correctly.

b. Concept of prime and composite number:

(a) Some students would think that all the odd numbers are prime

(6)

(b) Some students think integer 1 is a prime, too.

(c) Some think the larger odd numbers are prime numbers as well.

(d) Some of them think integer 2 is a composite number.

c. Concept of multiple:

Students are able to find the multiples of integers, but if the range

of the multiples is restricted, then some of them are not able to find the

multiples accurately.

Keywords: factor and multiple, item option characteristic curve,

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目 錄

第一章

緒論

第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的與待答問題……… 3 第三節 名詞釋義……… 4 第四節 研究之範圍與限制……… 6

第二章 文獻探討

第一節 兒童因數與倍數概念的探討及相關研究……… 7 第二節 國小因數與倍數教材內容分析……… 30 第三節 選項特徵曲線與試題分析理論……… 39

第三章

研究方法

第一節 研究架構……… 47 第二節 研究對象……… 48 第三節 研究工具……… 49 第四節 研究程序……… 62 第五節 資料整理……… 63

第四章

研究結果與討論

第一節 測驗的分析……… 65 第二節 試題選項特徵曲線與學童作答情況分析……… 71 第三節 學童因數與倍數概念理解情形及迷思概念探討……… 105

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第五章

結論與建議

第一節 結論……… 127 第二節 建議……… 134

參考文獻

中文部分 ……… 137 英文部分 ……… 141

附錄

附錄一 選擇題試題檢核表……… 143 附錄二 國小六年級因數與倍數概念預試試題……… 144 附錄三 國小六年級因數與倍數概念正式試卷……… 151

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表 次

表 2-2-1 因數與倍數概念第二及第三階段能力指標……… 31 表 2-2-2 因數與倍數概念之五年級分年細目……… 31 表 2-2-3 因數與倍數概念之六年級分年細目……… 31 表 2-2-4 因數與倍數概念之細目詮釋……… 32 表 3-2-1 預試樣本人數分配……… 48 表 3-2-2 正式樣本人數分配……… 48 表 3-3-1 六年級學童因數與倍數概念預試試題內容架構分布………… 52 表 3-3-2 六年級學童因數與倍數概念預試試題雙向細目……… 53 表 3-3-3 預試試卷之信度分析……… 56 表 3-3-4 預試試題難易度、鑑別度及點二系列相關係數分析………… 57 表 3-3-5 六年級學童因數與倍數概念正式試卷雙向細目……… 59 表 3-3-6 六年級學童因數與倍數概念正式試卷試題內容架構分布…… 61 表 3-5-1 晤談資料編碼方式……… 63 表 4-1-1 正式試卷之信度分析……… 65 表 4-1-2 正式試卷試題難易度、鑑別度及點二系列相關係數分析…… 67 表 4-1-3 正式試卷試題難易度分析……… 68 表 4-1-4 試題難易度等級……… 68 表 4-1-5 正式試卷試題鑑別度分析……… 69 表 4-1-6 鑑別度評鑑標準……… 70 表 4-3-1 因數概念試題各選項的選答率……… 105 表 4-3-2 公因數概念試題各選項的選答率……… 107 表 4-3-3 最大公因數概念試題各選項的選答率……… 109 表 4-3-4 質數與合數概念試題各選項的選答率……… 114

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表 4-3-5 質因數分解概念試題各選項的選答率……… 116

表 4-3-6 倍數概念試題各選項的選答率……… 117

表 4-3-7 公倍數概念試題各選項的選答率……… 120

表 4-3-8 最小公倍數概念試題各選項的選答率……… 121

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圖 次

圖 2-2-1 國小因數與倍數教材地位架構圖……… 34 圖 2-3-1 選項特徵曲線圖(一)……… 41 圖 2-3-2 選項特徵曲線圖(二)……… 41 圖 2-3-3 選項特徵曲線圖(三)……… 42 圖 2-3-4 選項特徵曲線圖(四)……… 42 圖 2-3-5 選項特徵曲線圖(五)……… 43 圖 2-3-6 選項特徵曲線圖(六)……… 43 圖 2-3-7 選項特徵曲線圖(七)……… 44 圖 2-3-8 選項特徵曲線圖(八)……… 44 圖 2-3-9 選項特徵曲線圖(九)……… 45 圖 2-3-10 選項特徵曲線圖(十)……… 45 圖 3-1-1 研究架構圖……… 47 圖 3-3-1 六年級學童因數與倍數概念圖……… 51 圖 3-4-1 研究程序圖……… 62 圖 4-2-1 第一類型之試題選項特徵曲線……… 71 圖 4-2-2 第二類型之試題選項特徵曲線……… 72 圖 4-2-3 第三類型之試題選項特徵曲線……… 73 圖 4-2-4 試題 1 之試題選項特徵曲線……… 74 圖 4-2-5 試題 2 之試題選項特徵曲線……… 75 圖 4-2-6 試題 3 之試題選項特徵曲線……… 76 圖 4-2-7 試題 4 之試題選項特徵曲線……… 77 圖 4-2-8 試題 5 之試題選項特徵曲線……… 78 圖 4-2-9 試題 6 之試題選項特徵曲線……… 79

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圖 4-2-10 試題 7 之試題選項特徵曲線……… 80 圖 4-2-11 試題 8 之試題選項特徵曲線……… 81 圖 4-2-12 試題 9 之試題選項特徵曲線……… 82 圖 4-2-13 試題 10 之試題選項特徵曲線……… 83 圖 4-2-14 試題 11 之試題選項特徵曲線……… 84 圖 4-2-15 試題 12 之試題選項特徵曲線……… 85 圖 4-2-16 試題 13 之試題選項特徵曲線……… 86 圖 4-2-17 試題 14 之試題選項特徵曲線……… 87 圖 4-2-18 試題 15 之試題選項特徵曲線……… 88 圖 4-2-19 試題 16 之試題選項特徵曲線……… 89 圖 4-2-20 試題 17 之試題選項特徵曲線……… 90 圖 4-2-21 試題 18 之試題選項特徵曲線……… 91 圖 4-2-22 試題 19 之試題選項特徵曲線……… 92 圖 4-2-23 試題 20 之試題選項特徵曲線……… 93 圖 4-2-24 試題 21 之試題選項特徵曲線……… 94 圖 4-2-25 試題 22 之試題選項特徵曲線……… 95 圖 4-2-26 試題 23 之試題選項特徵曲線……… 96 圖 4-2-27 試題 24 之試題選項特徵曲線……… 97 圖 4-2-28 試題 25 之試題選項特徵曲線……… 98 圖 4-2-29 試題 26 之試題選項特徵曲線……… 99 圖 4-2-30 試題 27 之試題選項特徵曲線……… 100 圖 4-2-31 試題 28 之試題選項特徵曲線……… 101 圖 4-2-32 試題 29 之試題選項特徵曲線……… 102 圖 4-2-33 試題 30 之試題選項特徵曲線……… 103

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圖 4-2-34 試題 31 之試題選項特徵曲線……… 104 圖 4-3-1 S01 針對試題 1 之解題過程……… 107 圖 4-3-2 試題 20 之短除法運算過程……… 108 圖 4-3-3 試題 8 之短除法運算過程……… 113 圖 4-3-4 試題 24 之短除法運算過程……… 113 圖 4-3-5 S07 針對試題 17 之解題過程……… 122 圖 4-3-6 S17 針對試題 17 之解題過程……… 123 圖 4-3-7 S22 針對試題 17 之解題過程……… 123 圖 4-3-8 S35 針對試題 17 之解題過程……… 123 圖 4-3-9 S01 針對試題 17 之解題過程……… 125

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第一章 緒論

本研究目的在設計一份優良的因數與倍數概念測驗,來檢視國小六年級學童 對此份測驗的答題情形及可能出現的迷思概念,並藉由這份測驗來瞭解學童對因 數與倍數概念的能力表現。本章分為四節,依序為研究動機、研究目的和待答問 題、名詞釋義和研究之範圍與限制。

第一節 研究動機

數學是一種溝通語言,也是人類重要的資產之一,透過數學,人類學會擬定 策略、解決問題,進而延伸成數學知識,形成人類獨一無二的思維能力。而日常 生活處處都要運用到數學概念,如數與量、幾何、統計與機率等數學概念。其次, 數學是一門注重循序漸進的知識邏輯結構學科,所以在數學教材的規劃皆遵循這 些結構順序,以維持數學教育的穩定性。因此數學不只是一門學科,它更與我們 的生活息息相關,要能使我們的生活過得更便利,就要能將數學靈活的運用在日 常生活中。而數學是科學之母,各科學課程皆以數學為基礎,如物理、化學、地 球科學、資訊科學等。再者,在近年來的國際性學童成就評比,也都包含了數學 領域,可見數學教育的重要性。 研究者任教於國小高年級時,往往和學生一起經歷數學學習的關鍵時期。由 中年級剛進入五年級的學生,常常最令他們頭痛的科目就是數學,而原因就從第 一次月考後可以發現,數學的成就測驗成績無法和過去成績一致,這也是很多學 童開始放棄學習數學的階段。而九年一貫強調以學習者為主體,以知識的完整面 為教育主軸,生存在現代高文明的世界中,數學知識以及數學能力,已經成為日 常生活以及步入職場前應具備的基本能力。因此教師若能瞭解學童學習上的盲 點,培養學生正向的數學態度,並在教學時就能適時給予不同需求之學生協助, 就能讓學童減少對學習數學的恐懼。

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而縱觀高年級數學課程中,其中又以抽象的數學概念,較容易造成學童學習 上的負擔。在研究者過去的教學經驗中發現,學童在面對因數與倍數的概念學習 時,常常無法體會其在生活中的意義,以至於在解題時,只是在這兩個概念間擇 一運用,而非真正的瞭解。甚至部份學童只懂得模仿教師的解題過程,卻不知其 所以然,造成概念的誤解,而產生許多迷思的概念。而過去的文獻中也發現,因 數與倍數概念的單元,是學童感到較困難的單元之一。此外,因數與倍數的數學 概念是國、高中許多相關單元的基礎,若學童無法將些概念釐清,對於未來新的 數學概念學習將會形成另一種負擔,也容易因基礎概念不完整而影響學習成效。 研究者在蒐集因數與倍數相關概念文獻時,發現文獻大多以設計因數或倍數 的電腦輔助學習、創新課程或探討學童學習因數與倍數學習的迷思概念為主,而 研究過程鮮有以量化的試題分析方式,來探討低、中、高成就學童對於因數與倍 數概念試題之不同表現情形。 基於上述理由,所以選定因數與倍數概念作為探討主題,擬設計一份具有良 好信、效度的測驗,再以 Testgraf98 軟體及相關統計軟體來分析六年級學童對 於因數與倍數概念的學習情況以及可能出現的迷思概念,以方便教師在教學時適 時幫助學生釐清概念,同時作為改進教學內容或進行補救教學的依據。

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第二節 研究目的與待答問題

根據前述的研究動機,本研究擬設計一份優良的因數與倍數概念測 驗,並透過試題分析工具,配合 TestGraf98 之繪圖功能,繪製試題選項 特徵曲線,來瞭解受試者與試題之各個選項間的反應情況,並從受試者選 擇各個選項的反應情況來瞭解受試者的因數與倍數學習可能出現的迷思 概念,以方便教師在教學時適時幫助學生釐清概念,同時作為改進教學內 容或進行補救教學的依據。 壹、研究目的: 一、 探討六年級學童因數與倍數概念之測驗的試卷與試題特性。 二、 分析六年級學童因數與倍數概念之測驗的試題選項特徵曲線及作答 情形。 三、 探討六年級學童對因數與倍數概念的學習情形。 貳、待答問題: 一、 試卷之信度及效度與試題的難易度指數及鑑別度指數為何? 二、 學童的作答情形和每一道試題的試題選項特徵曲線為何? 三、 六年級學童對因數與倍數概念的理解情形及迷思概念為何?

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第三節 名詞釋義

為了能更清楚瞭解本研究之用語,茲將針對本研究所提及之相關名詞 定義說明如下:

壹、 國小六年級學童

本研究中所指之國小六年級學童,是指接受過民國九十二年版九年一 貫課程綱要之數學領域課程中五、六年級之因數與倍數單元之學生。

貳、 因數概念

一、 整除 除法算式中,當被除數、除數和商都是整數,而餘數是 0 時,稱 為整除。 二、 因數 一正整數 a 若能整除另一正整數 b,a 稱為 b 的因數。 三、 公因數、最大公因數 一正整數 a 同為兩個以上正整數的因數時,則 a 為這些數的公因 數。在所有公因數中最大者稱為最大公因數。 四、 互質 兩正整數若除 1 以外無其他公因數,則稱這兩個數互質。 五、 質數 一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個因數時,稱為質數。 六、 合數 又稱合成數,大於 1 的正整數中不是質數者稱之。 七、 質因數 某數的因數如果也是質數,稱為該數的質因數。 八、 質因數分解

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把一個數用「質因數相乘的形式」表示出來,這個過程叫作質因 數分解。

參、 倍數概念

一、 倍數 一正整數 a 若能整除另一正整數 b,b 稱為 a 的倍數。 二、 公倍數、最小公倍數 一正整數 a 同為兩個以上正整數的倍數時,則 a 為這些數的公倍 數。在所有公倍數中最小者稱為最小公倍數。

肆、 迷思概念

指學生對某一現象或事物最初始的一種錯誤想像,是有別於目前學科 專家所公認的想法,一方面可能是因為知識的不足,另一方面可能為未具 有足夠的推理能力、邏輯架構的不足,只依據個人的觀點來作判斷,而形 成了錯誤的概念。

伍、 TestGraf98

加拿大麥克基爾大學(McGill University)心理計量學教授 Ramsay (1991)結合了「高低試題鑑別指數」與「核平滑無參數估算法」所發展 的應用軟體,用於二元和多元計分的試題,可以同時分析正確選項與誘答 選項,並可繪製成試題選項特徵曲線(Item Option Characteristic Curve,IOCC),用來分析試題和試題選項特徵。

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第四節 研究之範圍與限制

本研究基於時間、人力、資源等各項因素,茲將研究範圍與限制針對 研究對象、內容及方法作下述說明:

壹、 就研究對象而言

本研究之目的為設計一份因數與倍數概念之測驗,並透過試題分析工 具,配合 TestGraf98 繪製試題選項特徵曲線,來瞭解受試者對因數與倍 數概念的理解情形。因受限於時間、人力、資源等各項因素,故係以雲林 縣及臺中市某國民小學六年級,共七個班級的學生為研究對象,樣本以原 班級建制進行試題施測。本研究結果只作為改進教學之參考,不適合作過 度解釋,或做普遍性推論。

貳、 就研究內容而言

本研究所探討之內容為九年一貫課程數學領域之五、六年級的因數與 倍數概念。

參、 就研究方法而言

由於研究方法的限制,研究結果的推論只適用於相類似教學情境,並 不宜做過度解釋,對於不同教學情境,此研究結果便無法作推論。

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第二章 文獻探討

本研究透過編製的因數與倍數概念測驗,評量受試學生學因數與倍數 概念之情形。本章將依其相關理論加以探討,共分成三節:第一節為兒童 因數與倍數概念的探討及相關研究;第二節為國小因數與倍數教材內容分 析;第三節為選項特徵曲線與試題分析理論。

第一節 兒童因數與倍數概念的探討及相關研究

壹、兒童因數與倍數概念

數學概念是學習數學重要的一環,學童要能有效學習數學,一定要先 能理解其中的數學概念,才能進而做數學的推理及演繹。相較於其他學科 領域,數學概念的抽象性質往往讓學童在學習上無所適從,再加上部份國 小學童的運思階段發展尚未成熟,抽象的數學概念及思考帶給學童學習上 莫大的壓力。因數與倍數的數學概念除了以乘法及除法作為基礎外,其中 對因數、倍數及其相關知識的定義便包含了許多抽象的數學概念,因此部 份學童雖然能做乘除的運算,但卻無法理解因數與倍數之意涵。 一、因數與倍數的定義 因數與倍數的概念,其基礎為除法原理。定義如下:

若有 a、b 兩正整數,a÷b 的結果存在兩個整數 p、q,使得 a=b×p+ q,且 0≦q<b 的範圍,透過判斷 q 是否為 0,來定義因數與倍數的概念, 以及兩者之間的關係(南一,2010)。若 q=0,則 a=b×p,稱 b、p 是 a 的因數,a 為 b、p 的倍數。簡單來說,一正整數 a 若能整除另一正整數 b, a 稱為 b 的因數,而 b 稱為 a 的倍數。因此因數與倍數的概念間有互逆的 性質且息息相關,若學童能發現其中的對應關係,學習上便能事半功倍; 相反地,學童如果無法釐清因數與倍數概念間相依或互逆之關係,在學習

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的過程中常常無法使用正確的概念知識來解題。 二、因數與倍數的概念階層 因數與倍數的概念建立在下屬概念(sub-concept)與上位概念 (super-concept)之間的階層關係,下屬概念為上位概念的基礎,要學 上位概念,就必須先備有下屬概念才行。劉祥通與黃國勳(2003)認為, 整數乘除法為學習因數概念的下屬概念。學童若尚未具備整數乘除法的能 力,則在學習因倍數時容易產生困難(劉秋木,1996)。而倍數概念也是 建立在相同的上位、下屬之概念階層。 蕭正洋(2003)在倍數補救教學的建議中提到,引入倍數概念之前, 教師必須協助學童釐清單位量與單位數的概念,接著再建立「倍」的概念 及與乘、除算式間的聯結。因此,學童要能有效學習因數與倍數概念,最 重要的是必須先具有整數乘除法之下屬概念,若下屬概念模糊,則容易導 致上位概念也跟著不清楚。 陳怡娟(2007)針對因數與倍數的學習成效,對於異分母加減法學習 的影響所作的研究中發現:因數與倍數的學習和異分母加減法的學習有顯 著相關,顯示學童在進行異分母分數加減計算時,必須使用到因數與倍數 的先備概念。因此教師在教異分母加減法時,必須先確認學生因數倍數概 念是否完善。 三、因數與倍數的概念結構 因數與倍數概念有其結構性,而所謂的專家知識結構,是指由學科專 家根據學理和經驗,分析某概念之上下位關係整理而成的結構。而學童之 知識結構未必與專家知識結構相符合,因此藉由觀察此兩者間的差異,便 能瞭解學童概念形成發展之順序以及概念學習不清楚的地方。 在施美多(2007)有關因數概念之分析研究中指出,學童因數概念之 知識結構發展為:「互質概念」是「質數概念」的下位概念;「合數概念」 是「質數概念」的下位概念;「公因數概念」是「質因數分解概念」的下

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位概念。其次,施秀麗(2007)倍數概念結構分析之研究中也發現,學童 之倍數概念知識結構發展為:「認識乘法的意義」→「認識倍數的意義」 →「認識 2、3、5 的倍數概念」→「能找出指定數的最小公倍數」。 吳育楨(2008)在探討國小六年級學童因數與倍數概念階層的研究中 指出,能力值高的學童,相較於低能力者,其概念 ISM 圖的階層數較少。 其次,各能力分組學童的概念結構圖與專家概念結構圖呈現顯著差異,顯 示受試的六年級學童對因數與倍數概念的學習尚未達到精熟程度。而其研 究建議也提到,針對因數與倍數高階層概念(如公因數應用題)的教學, 必須瞭解是否以具備其下屬概念,方能有效學習上位概念。 劉哲源(2009)認為學童在處理因數與倍數綜合運用題型時,除要具 有因數與倍數單元內的水平概念與垂直概念,有時亦需運用此單元外的輔 助概念。所以學童必須培養整合數學概念連結之能力,方能擬定適合的解 題策略進行解題。 在王環源(2009)分析國小三、六年級學生因數與倍數的分年細目階 層結構之研究中發現,因數與倍數前置經驗分年細目中,1-n-07「能進 行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動」是其他三個分年細目的先備條 件,三者分別為:2-n-07「能在具體情境中,進行分裝與平分的活動」、 2-n-08「能理解九九乘法」及 3-n-04「能理解除法意義」。其次,在 因數與倍數課程階段分年細目中,5-n-03「能理解因數、倍數、公因數 與公倍數」是 6-n-01「能認識質數、合數,並作質因數分解」的先備條 件,屬於下位能力。從以上的研究顯示,數學領域課程中因數與倍數概念 的學習,也隱含了概念的上位與下屬結構。 既然學童之因數與倍數概念的知識結構發展有其順序性,教師在進行 課程教學時便要留意學童是否已具備前置經驗或下位概念,以確保學童能 有效學習新的數學概念,並針對尚未具備的前置經驗做補救教學,以利課 程之進行。

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四、因數與倍數概念的延伸 因數與倍數概念除了是等值分數的先備知識,也是比例概念的基石 (周立勳、劉祥通,1999),更是學習因式、倍式、多項式、因式分解、 數列、級數的基礎(黃國勳、劉祥通,2003)。謝哲仁及林榮貴(2006) 指出因數與倍數概念除了和整數的乘除、分數的約分、擴分、通分及分數 的四則運算有密切相關之外,它也是往後數學學習的重要基礎。 可見因數與倍數概念在數學學習上,是國小與國中課程銜接的一個重 要橋樑,在國小階段若能將因數與倍數相關概念學好,將有助於國中延伸 概念課程之學習。

貳、學童因數與倍數的迷思概念

藉由兒童迷思概念的探討,可以提供教師瞭解學童可能出現的思考模 式,以發現學童學習歷程中的學習障礙,作為教師省思教學的依據,更可 作為補救教學的參考,以協助學童建立正確的數學概念系統。 一、迷思概念的意義 任何概念的形成,若無法與其科學社群所接受的概念相符合,或與專 家概念有出入,即稱為是「迷思概念」(引自施美多,2007)。換句話說, 若學童在學習新的數學概念時,已經具備了一些先備經驗,而這些先備知 識將成為建構新概念的基礎,但也因此學童對於新概念的學習產生了一些 先入為主的想法,造成部份的學習負遷移,而發展出錯誤的、模糊的、不 完整的概念或想法,此概念與專家學者的知識結構概念不相容,即所謂的 「迷思概念」(misconceptions)。 研究者認為,由於數學概念的學習必須由學童主動建構,當學童開始 接觸因數與倍數概念時,學童會以過去乘除法之先備經驗作為基礎,進而 針對新的概念與定義發展屬於自己的想法及規則,過程中並非全部的學童 都能發展出正確的數學概念,例如:學童對於計算公倍數歸納出的方式可

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能過於簡化;或在沒有教師的引導下,無法歸納出公因數應用問題的解題 方式,而只單純用乘法或除法解題等。由上述情形可以發現,學童的數學 概念建構過程會出現與專家知識結構不同的數學概念及規則,即數學的迷 思概念。因此教師在學童建構知識的過程中,便能以引導者的角色介入, 讓學童能透過適當的鷹架協助之下,自我建構出正確的數學概念。其次, 數學知識結構具有前後連貫的性質,一個數學概念是未來相關概念的學習 的基礎,也是關鍵。若學童未能習得先前的數學知識,或錯誤的數學概念 尚未釐清,在進入因數與倍數的學習時,學童便會因錯誤或不足的先備知 識,造成學習成效不佳或發展出更多的數學迷思概念。 二、因數與倍數的迷思概念 數學的迷思概念是影響學童學習的重要因素之一,若能瞭解學童建構 知識過程中可能出現的迷思概念,教師便能提早一步發現學童的學習問 題,適時提供必要的引導及導正,讓學童釐清錯誤概念,提昇學習成效。 以下針對因數與倍數相關之研究,歸納出學童的因數與倍數迷思概念。 (一)由乘法與除法算式判斷因數及倍數關係 因數與倍數概念的引進,大多是以整除算式以及乘法算式來介紹其定 義與概念。而學童對於因數、公因數、倍數、公倍數等概念無法清楚瞭解 其意義,因而造成概念間的混淆,而產生錯誤的概念判斷。 1.謝堅(1995)的研究發現: 當學童運思尚未發展完全,可能混淆除數的意義,不易掌握由單位量 組成總數的倍數意義。 2.何東墀、蕭金土(1996)的研究發現: (1) 部分學生無法理解因數及倍數的概念。 (2) 部分學生缺乏因數及倍數關係形成和類化的能力。 3.林珮如(2002)的研究發現: (1) 學童因語言知識和語意知識不足,不了解因數、公因數、倍數

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與公倍數等專有名詞的意義,導致這些概念混淆,產生錯誤概 念。 (2) 學童因先備知識有誤而導致判斷因數和倍數的錯誤。在乘法算 式「被乘數×乘數=乘積」中,學童把被乘數及乘數判斷為乘積 的倍數、公因數或公倍數等。在除法的算式「被除數÷除數=商」 中,學童把除數及商判斷為被除數的倍數、公因數或公倍數。 4.邱慧珍(2002)的研究發現: (1) 在乘法算式中,學童認為兩數乘積是被乘數的因數、公因數或 公倍數;其次,學童認為兩數乘積是乘數的因數、公因數或公 倍數。 (2) 在乘法算式中,學童認為兩數乘積是被乘數及乘數的因數、倍 數、公因數、最大公因數或最小公倍數。 (3) 在整除的算式中,學童認為被除數是除數的因數、公因數或公 倍數;學童認為被除數是商的因數、公因數或公倍數。 (4) 在整除的算式中,學童認為被除數是除數和商的因數、倍數、 公因數、最大公因數或最小公倍數。 (5) 部份學童沒有因數、倍數互逆關係的概念。 (6) 乘除符號的誤導,將倍數意義與因數概念誤解。 5.賴容瑩(2005)的研究發現: (1) 學童有理解整除概念的困難,多數學生認為整除就是「沒有餘 數」,而忽略商必須是整數之條件。 (2) 許多學童無法瞭解「a可以被b整除」概念中的數與數之關係。 (3) 學童會在「公」、「最大」、「最小」等概念上有誤解的情形發生, 且對兩數之間的因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、 最小公倍數關係容易混淆。 (4) 部份中、低能力學童,僅從題目中的「整除」條件,判斷可能

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與因數或倍數有關,卻無法正確判斷出該找因數或是倍數。 6.謝哲仁、林榮貴(2006)的研究發現: (1) 學童不瞭解因數與倍數的關係。 (2) 學童不瞭解因數、公因數、公倍數專有名詞的意義。 7.施秀麗(2007)的研究發現: (1) 部分學童對因數與倍數的觀念模糊、專有名詞混淆。 (2) 學生缺乏因數、倍數互逆的概念。 (3) 由乘法算式引入倍數概念會比由除法算式引入更容易使學童接 受。 (二)找出某整數的因數 國小因數單元中是讓學童利用整除的方式,來一一列出某整數的因 數。但也因為這樣的方式,在處理過程中需要較細心的計算處理,所以往 往會有遺漏因數的情況。其次,若學童未能瞭解因數的意義,在找某個整 數之因數的過程中,有可能找到整數的倍數,或找到其他非因數的答案, 而出現多找的情形。 1.黃耀興、邱易斌(1999)的研究發現: 在找因數問題上,有1.69%的小朋友常常會漏了1(1是任何數的因數)。 2.林珮如(2002)的研究發現: (1) 學童找因數時出現遺漏或多出的情形。研究結果顯示學童在找 因數時比較容易遺漏的因數是1和自己本身。 (2) 學童不瞭解因數概念,只知用乘法來算,因此找到某數的倍數 而非因數。 (3) 學童認為較大的整數,其因數會比較多。 (4) 學童在找整數的因數時,整數的數字越大越容易出現遺漏因數 的情形。 (5) 學童未察覺1是任何整數的最小因數、整數自己本身是其最大的

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因數。 3.謝哲仁、林榮貴(2006)的研究發現: 學童在找因數時會忽略1是因數。 (三)質數的性質與判斷 質數的定義雖然很簡單,但對於國小學童來說,卻容易因質數之直觀 的性質而影響學童對它的理解。再者,研究者發現當整數的範圍越大時, 學童錯誤判斷其中質數的比率就會越來越高。其原因是學童不容易找到較 大奇整數的因數,而判斷錯誤。 1.陳清義(1996)的研究發現: 學童對質數、奇數、合數、偶數等概念的定義、相互之間的關係混淆 不清。 2.林珮如(2002)的研究發現: (1) 不理解質數這個專有名詞的意義。 (2) 判斷質數有遺漏或多選的情形。 (3) 學童在找質數時,因找到的質數都是奇數,所以會誤認為質數 就是奇數,或誤以為質數就是偶數。 3.謝哲仁、林榮貴(2006)的研究發現: 學童認為奇數就是質數。 4.陳素如(2010)的研究發現: 學童誤以為較大的整數較可能是合數。 (四)找兩整數的公因數、最大公因數 學童處理公因數與最大公因數的問題時,大致上會有兩種迷思概念。 第一種是學童不瞭解其數學概念的意義,所以使用錯誤的解題策略或不知 如何解題;第二種是學童在找因數時已經有錯誤情形產生,連帶影響公因 數以及最大公因數的判斷。此外,研究者也發現,部份學童會利用短除法 來求解,但因為學童對短除法的運算意義並不瞭解,以至於學童只從短除

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法的運算過程中,擷取可能為答案的整數來當作公因數或最大公因數。 1.黃耀興、邱易斌(1999)的研究發現: (1) 學童找公因數會有缺漏的情形。 (2) 學童常忘了「任意兩個數的公因數=1」 2.林珮如(2002)的研究發現: (1) 學童在找公因數時有多寫或有遺漏的情形,且常會遺漏1。 (2) 學童在找整數的公因數時,整數越大越容易出現因數遺漏,因 而也連帶找公因數時,容易出現遺漏公因數的情形。 (3) 學童不瞭解因數、公因數及最大公因數的意義,或對公因數、 最大公因數這些專有名詞認識不清。 (4) 在找公因數時出現多寫或遺漏的情形,因而連帶找最大公因數 時出現錯誤的情形。 3.賴容瑩(2005)的研究發現: (1) 學童在解最大公因數問題時,對於瞭解題意有困難,因無法將 題目中的條件細分,或找出有用的條件,以至於多數中、低能 力學生無法將題目轉譯成數學算式。 (2) 過於依賴短除法,且在計算過程中容易發生錯誤而影響到其解 題。 4.陳素如(2010)的研究發現: (1) 最大公因數和最小公倍數混淆;求三個數的最大公因數或最小 公倍數時之運算方法混淆。 (2) 有直接使用短除法的僵化情形,未能深入思考短除法所求得的 數字之意義。 (五)因數相關概念的應用題 因數概念對國小學童已經是一種抽象的數學知識,而有關因數的應用 題更讓學童在處理時不知所措。研究者在教學過程中發現,學童錯誤解題

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的原因大多為不瞭解題意,或採用有關因數或倍數卻錯誤的解題策略,且 未能解釋其原因。 1.何東墀、蕭金土(1996)的研究發現: 因數的綜合應用是數學學習障礙生之數學問題範圍之一。 2.黃耀興、邱易斌(1999)的研究發現: 在處理應用題的時候,有些學童缺乏整體的構思與整合性的解題策略。 3.Orhun(2002)的研究發現: 學童無法成功的使用題目中所提供的訊息,對文字理解與符號形式的 轉譯,是問題解決過程中主要的困難。 4.林珮如(2002)的研究發現: (1) 學童無法解釋自己的解題過程。 (2) 學童無法將因數、公因數概念應用於相關的應用題(文字題)。 (3) 學童不知道要利用因數或公因數概念來解題。 (4) 學童因先備知識不足,或利用錯誤的數學概念及解題策略,造 成解題錯誤。 (5) 學童的語意知識不足,造成解題錯誤。 (6) 學童會用關鍵字聯想解題,造成解題錯誤。 5.王詩惠(2003)的研究發現: (1) 學童在處理因數的應用題時,需要許多因數概念以外的基模知 識來做整體的構思,因此更增加解題上的困難性。 (2) 即使解題過程正確,但學童卻不瞭解每個數字所代表的涵義。 6.謝哲仁、林榮貴(2006)的研究發現: 學童對於文字題的轉譯有困難。 7.陳素如(2010)的研究發現: 學童對於兩步驟之最大公因數應用問題解題錯誤率偏高,原因乃是對 單位量和單位數之不甚瞭解。

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(六)倍數性質 學童對於某整數的倍數有無限個的性質,雖然懂得其字面上的意思, 但若換個方式讓學童解釋,或透過比較的方式來檢視學童對此概念的理 解,其結果可以發現,部份學童尚未清楚理解此概念的意義。 1.邱慧珍(2002)的研究發現: (1) 學童認為某整數的倍數只有本身一個或有限個。 (2) 學童認為兩個整數中較小者有較多的倍數,也有部份學童認為 兩個整數中較大者有較多的倍數。 2.施秀麗(2007)的研究發現: 學童對於0這個數字容易產生誤解。 (七)找倍數、公倍數及最小公倍數 研究者發現,學童同時學習數個有關倍數的概念時,容易會有混淆的 情形。因此在解題過程中,學童可能使用錯誤的數學概念而造成錯誤。其 次,學童判斷倍數時,也和找因數時有相同的錯誤類型,即多找或遺漏的 情形,而影響答案的正確性。 1.黃耀興、邱易斌(1999)的研究發現: (1) 學童會以為「任何數的公倍數=1」。 (2) 學童在找公倍數時,會有缺漏的情形發生。 (3) 部份學童會把倍數、公倍數的名詞意義混淆不清。 (4) 學童對於最大公因數與最小公倍數的名詞意義會產生混淆。 2.邱慧珍(2002)的研究發現: (1) 學童在找倍數時,會有多找及遺漏的情形。學童會認為1也是某 整數的倍數,或遺漏數字本身亦為其倍數。其次,學童會由於 對倍數概念理解不清、解題不正確,認為倍數只有數字本身, 或與其他名詞概念混淆。 (2) 學童在找公倍數時,會有多找及遺漏的情形。如:學童認為兩

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整數的公倍數只有一個;或認為1是兩整數的公倍數。 (3) 學童將因數、公因數、最大公因數、倍數、公倍數、最小公倍 數等概念之意義混淆。 (4) 學童將兩數的乘積誤以為是其最小公倍數,或將1當成兩數的最 小公倍數,也有學童將兩數相加即為其最小公倍數,或將兩數 分別乘最小數1來求最小公倍數。 3.賴容瑩(2005)的研究發現: 學童在解最小公倍數相關試題時,對於瞭解題意有困難,因無法將題 目中的條件細分,或找出有用的條件,以至於多數中、低能力學生無 法將題目轉譯成數學算式。 4.施秀麗(2007)的研究發現: 部分學童常會以為任意兩數的公倍數即為兩數互乘之乘積。 5.陳素如(2010)的研究發現: (1) 最大公因數和最小公倍數混淆;求三個數的最大公因數或最小 公倍數時之運算方法混淆。 (2) 有直接使用短除法的僵化情形,未能深入思考短除法所求得的 數字之意義。 (八)倍數相關概念的應用題 學童在處理倍數的應用題時,在提取文字訊息時,可能不瞭解題意, 而使用錯誤的解題策略;部份學童對於倍數、公倍數、最小公倍數等相關 概念容易混淆,更造成解應用題時的負擔。 1.黃耀興、邱易斌(1999)的研究發現: 學童在處理應用題的時候,有些人缺乏整體的構思與整合性的解題策 略。 2.Orhun(2002)的研究發現: 學童無法成功的使用題目中所提供的訊息,對文字理解與符號形式的

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轉譯,是問題解決過程中主要的困難。 3.邱慧珍(2002)的研究發現: (1) 學童作答時會忽略公倍數有許多個,而只回答一個,或者隨意 回答幾個公倍數,並未將所有正確答案列出。 (2) 學童雖然能算出最小公倍數的答案,卻無法解釋此答案在題目 中代表的意義。 (3) 在應用最小公倍數概念解連續量的文字題,學童會有將最小公 倍數與最小公因數混淆的情形。 (4) 學童只根據題目中關鍵字來解題,而造成解題錯誤。 (5) 學童因為粗心,而使得答題結果不正確。 (6) 學童因為不會讀題、不懂題意、不知該如何著手計算,而放棄 不作答。 4.謝哲仁、林榮貴(2006)的研究發現: 學童對於文字題的轉譯有困難。 (九)其他: 1.Brainbridge(1981)的研究發現(引自陳麗玲,1992): (1) 缺乏閱讀問題的能力(語言困難、不會閱讀)。 (2) 缺乏解釋問題的能力(問題轉譯、不理解題意)。 (3) 不能理解特定的數學專有名詞(數學概念不清、一知半解)。 (4) 不能熟悉特定的數學程序,如:長除法(long division) (不 會選擇解題計劃、解題策略)。 (5) 對於計算有困難(執行解題策略有困難、不會計算)。 (6) 粗心(計算錯誤、運算錯誤、解題策略和計劃執行的失誤)。 (7) 對基本概念的理解有困難,如:分數的基本概念(數學概念)。 (8) 不能將所學的應用於新的情境。 2.Mayer(1983)在解題理論中提出:

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(1) 語意知識與事實知識不足或錯誤,對數學名詞字彙了解不清, 影響問題轉譯,導致解題錯誤。 (2) 基模知識錯誤影響問題整合,判斷相關資訊與解答解答方法時 有疏失,導致解題時出現遺漏的現象。 三、因數與倍數概念之錯誤類型分析 除上述文獻中提到因數與倍數的迷思概念之外,在陳標松(2003)、 何欣玫(2004)、陳筱涵(2004)與吳秀玲(2008)等研究中也提出學童 因數與倍數學習之錯誤類型。由此可見,學童除了在學習因數與倍數單元 時會遇到困難之外,學童的語文閱讀能力、運思能力、計算能力,甚至是 個人的學習態度,都是影響學習成效很重要的關鍵。此外,研究中針對不 同概念錯誤類型之學童,教師宜採取適合的教學方式予以加強;對於不同 數學溝通能力的學童,教師透過互動式或合作討論方式進行學習,或讓學 童擔任不同角色,以提昇學童的數學溝通能力。茲將其錯誤類型作以下說 明: (一)陳標松(2003)數學學習困難學生因數倍數之錯誤類型分析: 1.乘除法運算概念錯誤(系統性錯誤和粗心錯誤)。 2.語言概念錯誤(題意瞭解錯誤和專有名詞概念錯誤)。 3.策略概念錯誤(解題策略錯誤和隨機反應錯誤)。 (二)何欣玫(2004)因數與倍數概念之錯誤類型分析: 1.語言概念錯誤 (1) 題意瞭解錯誤:對問題的閱讀理解及解釋能力不足,而形成學 習上的困難,如對題目語意轉譯不當、錯誤不當的解釋及看錯 題目。 (2) 專有名詞概念混淆:無法清楚瞭解因數、倍數等專有名詞的意 義,或是將因數、公因數、倍數、公倍數等名詞混淆,而以因 數和倍數或公因數和公倍數之混淆最為嚴重。

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(3) 語意知識不足:對「被整除」、「整除」、「除」、「除以」 的字彙混淆。 2.認知概念錯誤 (1) 運思能力不足:對算式中的因數與倍數定位不明白,所以求因 數與倍數的方法錯誤或將題目中出現的兩個數字不合邏輯的進 行加減乘除,部分受試者運用短除法來解題,但是不明白短除 法的意義,而導致錯誤解題。 (2) 粗心錯誤:學生本身具備解題能力,卻因不夠細心而導致錯誤 結果。 (3) 運算系統錯誤:因為練習不足或思考不周,而缺乏乘法或除法 的概念或計算技能,而影響因數與倍數的解題。 (4) 直觀法則影響:學童會認為數字愈大者,其因數個數會愈多; 質數就是奇數或奇數就是質數;忽略1或是數字本身也是任何整 數自己的因數。 3.策略概念錯誤 (1) 解題策略錯誤:因為概念不清或使用關鍵字解題,如看到「共 有」就用加的,看到「分」就用除的,而導致乘除法策略判斷 錯誤。 (2) 計劃監控失誤:因為不能有效的檢視自己的解題過程,所以無 法找出完整的因數個數或條件內的倍數個數,或是疏忽運算過 程的某一步驟。 4.個人態度錯誤 (1) 厭惡思考:部分學童會寫出一些無關緊要的語句、仿照前一題 的作答模式,胡亂的完成解題、將題目的數字直接相加減或相 乘除或是空白不作答。 (2) 猜測:胡亂猜想答案或機械化的作答方式。

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(三)陳筱涵(2004)國一學生因數與倍數單元錯誤類型分析: 1.學童對專有名詞概念易產生混淆或有錯誤概念。 2.解題時受該單元學習經驗影響,做出錯誤的推論。 3.新知識與舊經驗互相干擾混淆、做錯誤的聯結或推論。 4.解題時錯誤的使用運算規則。 5.解應用題時,易受題目中無關訊息的干擾而無法解決問題。 6.學童的語意知識不足,轉譯題意有困難。 7.先備知識的不足。 (四)吳秀玲(2008)診斷學生在因數倍數單元的錯誤類型有: 1.基本概念的錯誤。 2.名詞定義不熟悉或名詞混淆的錯誤。 3.處理語言訊息能力不足的錯誤。 4.數學語言表達困難的錯誤。 5.運算及解題的錯誤。 四、因數與倍數學習困難之分析 部份研究者也針對學童在學習因數與倍數之困難與障礙來作分析,茲 將此類研究結果作以下說明: (一)李浚淵(2003)針對國小五年級之因數與倍數課程,編製診斷評量, 施測後,發現使用不同版本教材的學生,其學習障礙的階段概念並 不完全相同。但造成大部分學童學習障礙的原因,乃是進入因數與 倍數單元學習之準備知識-「測量運思概念」不足,因此需要進行 補救教學。 (二)黃寶彰(2003)根據中小學教師的問卷調查結果發現,六、七年級學 童在「因數與倍數」、「分數」、「文字符號」、「比與比例」四個概念 有學習困難。而從這些學童的試題表現資料可以發現有關因數與倍 數的學習困難,其說明如下:

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1. 學童在計算因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍 數、最小公因數、最大公倍數時,容易因為粗心而出現遺漏或多選 的情形,或因為專有名詞混淆或對陌生名詞的不清楚,而出現顛倒 或錯誤的答案。其中七年級學童在因數、公因數、最小公倍數的學 習困難比六年級學童更嚴重。 2. 學童在處理有關最大公因數及最小公倍數的應用題時,學童主要的 困難是轉譯題意,或不清楚該利用最大公因數或最小公倍數來解 題。 結論: 由上述的相關研究中所提出的因數與倍數迷思概念以及錯誤類型可 以發現,要先讓學童培養正確的數學態度和正面的學習動機,教師在課程 上的安排便要能引起學童的興趣,由於因數與倍數的概念比較抽象,剛升 上高年級的學童多數的認知發展尚處於具體運思期,若教學時只透過數字 或列式來向學童解釋這些概念,學童較無法將其內化及類化。因此,教師 要能透過實際的操作或圖形舉例,提供主動探索的情境,讓學童接收更多 類型的數學訊息,並從中獲得「做中學」的經驗,多鼓勵學童嘗試解題、 思考,建構正向的學習環境,才是學習數學的第一步。 其次,綜合幾年來的研究結果,學童的迷思概念類型已有許多的文獻 來作為參考。由此可知,教師必須在有限的時間內,引導學童學會新的數 學概念,同時又要能兼顧部份學童容易產生的迷思概念以及錯誤類型,對 教師及學童來說都是一大挑戰。因此若能以這些迷思概念及錯誤類型作為 補救教學與數學概念診斷教學的依據,同時利用數學領域教學時數以外的 時間來進行診斷及補教教學,如此一來才能讓有學習問題的學童能更有時 間來修正自己的錯誤概念。 再者, 除數學概念之外,迷思概念的成因也包含閱讀理解、語文能 力等其他因素。因此學童要能有效學習數學絕非單單只要瞭解數學相關概

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念,而必須在語文能力方面也要能多加補強,才不至於連數學語意上的瞭 解都出現問題,而無法進一步學習數學解題。

參、因數與倍數之其他相關研究

過去文獻除了探討學童的因數與倍數知識結構、迷思概念、錯誤類型 之外,在瞭解學童的學習障礙之餘,也有許多研究者提出增進因數與倍數 教學與學習的創新模組,以下將針對這類的相關研究作說明: 一、資訊融入因倍數教學及補救教學 (一)黃士騰(2005) 藉由網際網路平台與多媒體影音的功能,將資訊化 課程融入在數學科因數補救教學上,其研究結果顯示: 1. 學童在實施此教學前後的測驗表現,達顯著差異。 2. 根據歷程紀錄,顯示學童對於線上課程的學習方式有高度的興 趣。 (二)謝哲仁、林榮貴(2006)以「國小因數與倍數單元」設計補救教學 活動,利用電子試算表的功能,建構一個可經由操作及探索的視覺 化學習環境。此研究之主要發現如下: 1. 透過以行動為主的電腦設計圖形表徵後,個案學生能內化因、 倍數概念的關係,因而能以不同的解題策略來解決新問題。 2. 文字題的轉譯雖然較為困難,但學童能依操作電腦設計圖形表 徵的情形,理解題意、成功解題。 3. 經由晤談發現,依據表徵理論設計的動態化系統進行教學,個 案學生可以自行更改題目中的參數,因而提高學生對學習的興 趣。其動態的表徵連結與回饋系統設計,有助於其個案的學習 及建立答題的信心與成就感。 (三)洪志宏(2007)設計有關國小因數與倍數之互動式數位學習教材及 網站,以電腦動畫演繹抽象的數學概念,並提供可操作練習的互動

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式網頁,藉以提升國小數學因數、倍數之學習成效。研究結果發現: 1. 實驗組學童在有關於因數、倍數之成就測驗成績顯著優於一般 傳統教學之對照組學童。 2. 大多數學童對互動式數位學習教學系統,都持正向反應。 3. 利用互動式網頁進行教學,加入聲音、動畫效果,使題目活潑、 生動、趣味化,可提升學生的學習興趣。 4. 透過視覺化心智工具的互動式操作網頁,給予學童自行操弄的 實做經驗,能夠幫助學生理解抽象數學概念,並正確運用數學 算式找出最大公因數及最小公倍數。 (四)柯重吉(2007) 探討多媒體電腦輔助教學對「因數倍數」學習成就、 數學學習態度以及師生間口語互動行為的改變。其研究結果如下: 1. 實驗教學後,電腦輔助教學之因數倍數學習成就顯著優於一般 教學方式。 2. 實驗教學後,電腦輔助教學之班級學生,數學學習態度優於一 般教學方式。 3. 一般教學與電腦輔助教學之師生口語互動有顯著的差異。 (五)邱家麟(2008)運用激發式動態呈現教學設計(TAID)與高互動即時 反饋系統(EduClick 3)設計五年級因數與倍數教學模組,並運用 於補救教學。此研究之發現如下: 1. 此教學模組對於三名低成就學童有立即、正向之成效且具有保 留效果。 2. 運用資訊融入教學的方式進行因數與倍數補救教學,能提昇學 童對數學的學習動機以及增進他們對數學的自信心。 3. 進行補救教學時,宜採能力分組或個別化教學,其教學成效更 顯著。 4. 對不同的對象可採不同的教學策略,先備能力好的學生運用本

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教學模組進行補救教學活動,能提升其文字題的解題能力;能 力較弱的學生可協助透過視覺、圖像及察覺關係來瞭解基本概 念。 (六)林清煌(2008)以國中數學領域「因數與倍數」、「最大公因數與最 小公倍數」單元為例,研發數位指導教材,並結合貝氏網路的電腦 適性診斷測驗,並探討數位教材之實施成效。其研究結果如下: 1. 在教學成效上,「最大公因數與最小公倍數」單元中,實驗組 之前測成績優於對照組。但在「因數與倍數」單元中,實驗組 與對照組之成績並無顯著差異。 2. 在補救教學成效上,兩個單元中,實驗組皆明顯優於對照組。 3. 在兩個單元中,補救教學皆能提高實驗組學生的學習成效,且 低分組學生後測成績進步幅度最大,可見此數位指導教材教 學,對低分組學生的幫助最大。 (七)林大森(2009)透過診斷式評量,找出學童因數與倍數的迷思概念, 並設計電腦遊戲輔助學童學習。其研究結果發現,此教學策略可以 提昇學童因數與倍數之學習成效、學習態度、學習數學的信心與數 學探究動機,並降低數學焦慮;此外,針對「調適型」、「收斂型」 與「同化型」之學生的數學學習態度有實質上的幫助。而其研究建 議: 1. 讓學童採用合作學習,可以提昇學習效益。 2. 設計診斷學童解題策略的電腦遊戲,將有助適時提供補救教 學。 3. 以遊戲式的學習模式,能維持學生動機並吸引其注意力。 二、開發教學模組與教學建議 (一)王詩惠(2003)開發因數教學模組,設計出一系列有趣且包含實作 的教學活動,進行補救教學,並檢驗其成效。其研究結果如下:

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1. 大部分的實作活動教學及佈置能充分達到教學目標。 2. 部份實作活動因設計問題可能降低學童學習動機或模糊學習 焦點。 3. 透過實作活動,將有助於學童瞭解「因數的成對性」、「質數與 合數」及「互質」等概念。 4. 透過實作活動,可以導正學童「數字越大,因數個數就越多」、 「公因數只指兩個數共同擁有的因數」及「因數一定比本身還 要小」的迷思概念。 5. 學童經由實作活動以及師生討論,能增進對文字題的理解。但 在解題方面,部分學童仍無法用數學符號來列式。 (二)黃國勳(2003)為幫助學童克服因數學習的困難,設計高年級的因 數教學模組,其研究的結果顯示: 1. 大多數中低程度學童能在大班教課的第一階段教學中理解因 數的基本概念。 2. 第二階段的小組補救的教學實施後,除了程度最差的學童仍然 無法有效保留「因數配對」的概念外,其餘三位學童均能建構 「因數配對」的隱藏性知識。 (三)于國善(2004)對三位國小學童實施補救教學後,探討前後概念改 變之情形,其研究發現與建議如下: 1. 此補救教學對低成就學童,在「因數先備知識」、「因數概念與 計算」、「公因數概念與計算」等三方面都能產生良好的學習效 果;唯「因數文字題」方面,補救教學對低成就學童的幫助仍 十分有限。 2. 以生活情境為教學設計重點,配合具體物操作,可以更有效的 讓低成就學童瞭解題意,且成功列出並解試算式。 3. 避免使用「關鍵字」教學,而忽略了概念的理解。

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(四)黃培甄(2005)設計因數與倍數創新架構,並進行實驗教學,以探討 教學成效以及學習保留效果。此創新架構課程之特色在於先引入倍 數教材再引入因數教材,並透過乘法分解記錄引入因數教材及整合 強化因數與倍數的關係。其研究結果如下: 1. 實驗組學童對於測驗之整體答對率為0.9 以上,表學童學習成 效極佳。 2. 透過實驗教學可提升低分組學童學習成效,維持中高分組學童 學習水平。 3. 學童於紙筆測驗應用問題中,解題策略充分表現可接受實驗教 學所引入的紀錄,且運用自如。 4. 實驗組學習成效、學習保留效果優於採用甲版本之控制組。 5. 實驗教學成效優於各版本之教學成效。 6. 創新架構、甲版本、丙版本應可保留學童因數與倍數概念。 (五)林怡如(2008)所編製之聆聽能力測驗,探討聆聽理解能力與公因 數公倍數之數學成就相關情形。其研究發現如下: 1. 學童之聆聽理解能力與數學成就有顯著相關;且其理解程度層 次與數學成就達顯著正相關。 2. 數學成就低分組與聆聽能力總分達顯著相關。 3. 聆聽理解能力與公因數公倍數之數學成就均與學生既存之基 模相關。 4. 聆聽理解能力與公因數公倍數之數學成就呈現中度相關。 (六)沈志龍(2009)之研究目的在探討數學史融入因數與倍數教學,對 國小學童數學學習態度之影響。其研究結果顯示,數學史融入數學 中,能有效提升學童因數與倍數之學習態度。且從學習回饋問卷也 發現,融入數學史之教學更能提高學童的學習興趣。 (七)陳孟訓(2009)實施數學閱讀活動教學模式,探討對於國小五年級

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學童因數與倍數學習成效之研究,其結果發現: 1. 透過數學閱讀方式引導教學的實驗組學童,在學習成效以及學 習保留效果方面都優於對照組。 2. 在實驗教學下,中高能力學童對於因數、倍數、公因數及公倍 數之高層次概念,皆能理解題目概念,且成功解題。但低能力 學童對於以上概念卻只能模仿教師解題,或停留在題意瞭解 上。

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第二節 國小因數與倍數教材內容分析

在九十二年教育部公布的九年一貫課程綱要中強調,課程應該以學習 者為主體,以知識的完整面為教育主軸,以終身學習為教育目標(教育部, 2003)。在這樣的原則下,數學領域在教學時應該要能培養學童正向的數 學態度,並根據學童每個階段不同的發展與需求,發展適合的教材與教 法,如此才能讓學童培養自我學習及「帶著走」的數學能力,習得重要數 學概念與精熟的演算能力後,未來在涉獵以數學為基礎的其他科學領域 時,更能事半功倍。 九年一貫數學學習領域教學目標(引自教育部,2003): 一、 能掌握數、量、形的概念(第一階段)。 二、 能熟練非負整數的四則與混合計算,培養流暢的數字感(第二階 段)。 三、 能熟練小數與分數的四則計算;能利用常用數量關係,解決日常 生活的問題;能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積 公式;能報讀簡單統計圖形並理解其概念(國小階段)。 四、 能理解坐標的表示,並熟練代數的運算及數的四則運算;能理解 三角形及圓的基本幾何性質,並學習簡單的幾何推理;能理解統計、 機率的意義,並認識各種簡易統計方法(國中階段)。 希望透過課程目標的達成,讓學生不只培養演算能力,更要訓練學童 的抽象能力及推論能力,甚至要能利用數學來進行溝通、討論。而在情意 方面,課程目標也希望學童能培養欣賞數學的態度及能力。其次,除了基 本計算能力之外,學童更應該學習應用問題的解題方法,如此才能奠定下 一階段數學的基礎,完成數學領域一貫性的學習。以下針對數學領域在國 小階段,有關因數與倍數的能力指標、分年細目、分年細目詮釋、教材內 容及最大公因數與最小公倍數的詮釋作說明:

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壹、能力指標:

九年一貫數學領域將因數與倍數規劃在第二階段及第三階段實施,此 階段中相對應的能力指標如表 2-2-1 所示。 表 2-2-1 因數與倍數概念之第二及第三階段能力指標 能力指標 能力指標內容說明 N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-01 能認識質數、合數,並做質因數分解。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,並用 來將分數約成最簡分數。

貳、分年細目

課程綱要裡的分年細目再將有關因數與倍數概念的三個能力指標,細 分成五、六年級的實施細目,如表 2-2-2 及表 2-2-3 所示。五年級先 介紹因數、公因數、倍數與公倍數,到了六年級才介紹最大公因數、最小 公倍數、質數與合數概念。 一、五年級分年細目 表 2-2-2 因數與倍數概念之五年級分年細目 數與量 分年細目 對照指標 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-2-04 二、六年級分年細目 表 2-2-3 因數與倍數概念之六年級分年細目 數與量 分年細目 對照指標 6-n-01 能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數 N-3-01

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表 2-2-3(續) <20,質因數<10,被分解數<100)。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數 互質的意義,理解最大公因數、最小公倍數的 計算方式,並能將分數約成最簡分數。 N-3-02

參、分年細目詮釋

教師能依據能力指標、分年細目及其詮釋規劃課程,並基於學生的個 別差異作調整,以符合以學生為主體的學習。而課程綱要裡的細目詮釋更 清楚的說明各能力指標下,學生所應學到的最低限度,以及教師在教學上 應注意的相關數學概念,如表 2-2-4 所示。 表 2-2-4 因數與倍數概念之細目詮釋 分年細目 能力指標 細目詮釋說明 5-n-03 能理 解因數、倍數、 公因數與公倍 數。 N-2-04 說明: ■以 1-n-07(幾個一數),2-n-08(九 九乘法),3-n-04(除法)為前置經驗,理 解因數、倍數的概念。 ■用列表的方式,尋找兩數的公因數與公倍 數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩 數的公倍數。 6-n-01 能認 識質數、合數, 並作質因數的 分解(質數< 20,質因數< 10,被分解數< N-3-01 說明: ■在 5-n-03,製作整數的因數表時,可以 發現有一些整數不能再被分解,這些數稱 為質數,他們的因數只有 1 與自己而已。 大於 1 且不是質數的整數(或有 3 個以上 因數的整數)稱為合數。

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100)。 ■在對一數做因數分解的練習裡,發現遇到 質數就必須停下來。同時在紀錄分解的樣 式及整理中(此時的質因數乘積不寫成指 數形式),發現不管怎麼分解,形式都一 樣。 ■例:60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×2×3×5, 或 60=15×4=(3×5)×(2×2)=2×2×3×5 =2²×3×5 等。(★) ■牽涉因數分解的細目(參見 6-n-02), 都應遵循如下原則:質因數<10,被分解 數<100。 ■讓學童熟悉 20 以內的質數之倍數(小於 200)。並可從活動中,讓學童掌握 2、3、 5 的倍數規則。 6-n-02 能認 識兩數的最大 公因數、最小公 倍數與兩數互 質的意義,理解 最大公因數、最 小公倍數的計 算方式,並能將 分數約成最簡 分數。 N-3-02 說明: ■最大公因數、最小公倍數的初步教學,以 列舉觀察為主,待學童熟悉其意義後,再 介紹短除法,計算兩數的最大公因數與最 小公倍數,數目大小原則參見 6-n-01。 ■兩數的最大公因數是 1 稱為互質。注意區 辨互質與質數的不同。例如 14 與 15 雖然 都是合數,但兩者互質。 在詮釋中用(★)標明者,表示不應該出現在教學現場與教科書中。

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從分年細目詮釋可以發現國小階段針對因數與倍數概念的介紹,希望 學童透過觀察的方式來歸納其概念性質,而公因數、公倍數、最大公因數 及最小公倍數的找法,也是透過列舉方式,待學童瞭解其概念後,才慢慢 引進短除法的計算。但也因如此,部份學童一旦事先或事後學會短除法 後,在處理相關因數與倍數問題時,便會有僵化的情形(陳素如,2010), 即學童並未真正理解短除法之意義,而造成過多的誤用。

肆、國小因數與倍數教材內容分析(以南一版數學為例)

依數學領域課程綱要,國小因數與倍數的課程應規劃在國小五、六年 級,茲就教材地位分析如圖 2-2-1 所示。 教材內容說明如下: 一、因數與公因數 國小課程在進入因數與倍數單元前,會先說明何謂整除,因為整除的 六上 單元一 最大公因數與最小公倍數 ● 能經驗質數和合數。 ● 能察覺正整數的的最 大公因數、最小公倍 數、互質、質因數及做 質因數分解。 四下 單元一 ● 三、四位數 乘、除以三、 四位數。 五上 單元二 因數與倍數 ● 能理解整除的意義。 ● 能理解因數及公因數 的意義及找法。 ● 能理解倍數及公倍數 的意義及找法。 六上 單元二 分數的除法 ● 認識最簡分數。 ● 分數除以分數。 圖 2-2-1 國小因數與倍數教材地位架構圖

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概念包含了最基本的因數與倍數關係。單元內希望學生藉由判斷被除數、 除數以及商皆為整數,且餘數是 0 的算式來瞭解整除的意義。在賴容瑩 (2005)的研究中發現,多數的國一學童認為整除就是「沒有餘數」,而 忽略「商是整數」之條件。 有了整除的觀念之後,教材接著安排讓學生以固定數量的正方形紙卡 排成不同形狀的長方形,並找出所有不同的組合。此活動希望學童透過不 旋轉排好的長方形或正方形,瞭解固定數量的紙卡可以被哪些整數整除。 題目類型如:「用 8 張小正方形紙卡,可以排成怎樣的長方形?說說看, 你是怎麼排的?這些情形要怎麼記?」學生以 1 張 1 行,可以排 8 行,記 成 8÷1=8,或是以 2 張 1 行,可以排 4 行,記成 8÷2=4,接著依序找出 所有不同的排列組合(在不旋轉的情形下)。此時就能導入因數的概念,1、 2、4、8 都能整除 8,所以 1、2、4、8 都叫作 8 的因數。 接著透過同類型的佈題,讓學童能歸納出,在整除的算式「被除數÷ 除數=商」中,除數和商都是被除數的因數。此過程的概念在其他學者的 研究中發現,學童容易接受整除算式中,除數是被除數的因數,但卻容易 忽略商也是被除數的因數(林珮如,2002)。而在利用整除算式找出某數 的所有因數時,也要讓學童能歸納出,當除數大於或等於商時,表示已經 找到所有的因數,即找因數時有對稱性。再者,學童能找出某數所有的因 數後,要引導學生觀察到並發現,每個數最大的因數為本身,最小的因數 都是 1。 有因數的概念基礎後,接著引入公因數的概念。課程中以列舉法列出 兩數所有的因數,再圈選出相同者來作為解題方式。而公因數的應用題往 往是學童最傷腦筋的題型,原因歸咎於學童轉譯題意有困難,以至於誤解 題意而不知該求公因數或公倍數,而有很高的錯誤率(林珮如,2002;黃 寶彰,2002)。題目類型如:「10 個男生和 15 個女生合起來編組,每組男 生一樣多,女生一樣多,全部都分完,可以怎麼分?」過程中可以透過實

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物操作,讓學生發現此題型是要求兩數的所有公因數。 二、倍數與公倍數 國小倍數教材的安排,先是利用乘法解題來找出某數的整數倍,以引 入倍數的概念,即某數的整數倍。接著學童要能在給定範圍內,找出某數 所有的倍數,其方法有兩種。第一種為列舉法;第二種則是利用除法,將 給定範圍的上界值除以要找其倍數之整數,求商到個位,來找範圍內最大 及最小的倍數。題目類型如:「50 以內,8 的倍數有哪些?」學童可以用 8 ×6=48,或以 50÷8=6…2,再以 8×6=48 求解。此外過程中要能引導學生 發現,一個整數的倍數中,最小的是本身,且倍數的個數有無限多個。 有倍數的概念基礎後,課程接著讓學童判斷兩數是否是倍數關係,除 了利用乘法解題外,這類題型也要求學生利用整除來判斷,並讓學童歸納 出整除算式中,被除數是除數和商的倍數。 公倍數的概念是指某兩數以上共同的倍數,課程中以列舉法分別列出 兩數的倍數,再圈出相同者為兩數的公倍數。過程要能引導學童發現,幾 個數的公倍數會有無限多個,且兩數的乘積一定是這兩數的公倍數。 此外,在公倍數的應用題上,題目類型如:「一包花片有三十幾個,5 個一堆、7 個一堆都剛好分完,這包花片有多少個?」學童要能知道利用 找出 5 和 7 的公倍數的方式來解題。 三、質數和合數 六年級的因數與倍數課程會先介紹質數與合數的概念,透過列舉 2~9 每一個整數的所有因數,發現有些數只有兩個因數,而且都是本身和 1, 藉此導入質數和合數的觀念,過程中要適時提醒 1 不為質數,也不為合數。 學童在判斷質數時,容易認為奇數就是質數,質數就是奇數,教師要能適 時引導學生釐清此迷思概念,同時要能發現唯一的偶質數是 2。 四、最大公因數 接著在六年級會正式導入短除法的解題方式,透過短除法,要求學童

參考文獻

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