土壤導電度與乾密度、含水特性之關係

導電度（S/m）係電阻率的倒數。Sauer(1955)提出電流在非均質的 多孔隙介質中傳導時，其傳導路徑可分為以下三種(如圖 2-2)：路徑 1 為顆粒與孔隙水所組成；路徑 2 為孔隙液體所組成；路徑 3 則為顆粒 與顆粒所組成，但因為土壤顆粒與顆粒間之接觸面積太小，對於整體 的導電度影響極微，因此路徑 3 通常可忽略不計(Arulanandan and Smith, 1973)，以路徑 1 與路徑 2 為電流的主要傳導路徑。

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圖 2-2 電流於多孔隙介質中三種主要的傳導路徑

（修改自 Sauer,1955）

在不同土壤中細粒料的含量不盡相同，對其傳導路徑亦有不同之 影響。以無細粒料的砂土與礫石而言，其傳導路徑以孔隙水為主

（Jackson, 1973）；對細粒料含量較多之岩石、砂土及黏土，其傳導路 徑則以孔隙水及黏土礦物的表面電荷為主(Rhodes et al., 1976；Urish, 1981)。導電度除了受傳導路徑影響之外，亦受土壤種類、孔隙率、飽 和度、孔隙液體導電度、土壤乾密度、土壤電雙層及溫度等其他因子 所影響；當孔隙率越小，而飽和度、溫度、孔隙液體導電度越大時，

則導電度越大；當土壤種類為黏土時，會產生電雙層，因此導電度較 砂土大。

Archie（1942）對於飽和狀態下岩石與砂礫石的總體電阻率 ρ 與孔 隙率 、孔隙水電阻率 之間的關係，提出經驗公式如下：

(2-5)

其中，ρ 為總體電阻率(ohm-m)；a、m 為待定係數，其與土壤孔 隙形狀、孔隙中所含細粒料含量及膠結程度有關。

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而對於非飽和狀態下的電阻率ρ 與飽和狀態下的電阻率 間亦 有學者提出其關係式（Keller and Frischknecht, 1966;McNeill, 1990）：

； (2-6a)

； (2-6b) 其中，S 為土壤飽和度， 為土壤的臨界飽和度，n1、n2 為經驗 係數；當土壤飽和度 S 大於臨界飽和度 時，則 n1 n2；若土壤飽和 度 S 小於臨界飽和度 時，則 n2=4~5。而參數 取決於岩性，由砂岩 到火成岩， 分別為 0.05~0.5 不等。

Shan and Singh（2005）以導電度的觀點提出了廣義 Archie’s law

（generalized Archie’s law）：

(2-7a)

(2-7b)

(2-7c)

其中， 為導電度， 為孔隙液體之導電度；c、k 為待定參數，

其與土壤種類有關，式(2-7b)中 F 將其定義為結構因子（Formation Factor）。由式(2-7b)可知導電度與體積含水量 略呈正比關係。

因廣義Archie’s law 是採用岩石試體所得之導電度與含水量關係，

Shan and Singh（2005）為探討廣義 Archie’s law 之適用性，整理過去 文獻所使用多種土樣的實驗結果，並配合四種截然不同特性的土壤樣 本，進行 1/F 與 θ 的率定，求取不同土壤特性下的 c、k 值。其結果指 出，在砂土與礫石的土壤中，c 值約等於 1，而 k 值約介於 1.5~2.0；在 靈敏性的黏土中，c 值通常大於 1，而 k 值則介於 1.36~3.5。此外，文 中引述相關文獻（Williams and Hoey, 1987; Rhoades, 1989; Durlesser and

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Stanjek, 1997; Worthington, 1993; Auerswald et al., 2001），認為粘土含 量（CL）與 c、m 值有某種程度的相關性，當 CL≥5%，c=0.6 ， m=0.92 ；當 CL＜5%，c 1.45，m 1.25。由此可知，c、m 值隨不 同種類土壤有某種程度的變異性存在。

Klein and Santamarina（2003）將土壤組構簡化，假設土壤組構是 由飽合狀態無限長平板顆粒相互平行所組成(如圖 2-3)， 為孔隙水厚 度， 為土壤顆粒厚度， 為土壤電雙層厚度，並且考慮土壤中電雙層 的導電度，提出總體導電度為土壤顆粒導電度、土壤孔隙溶液導電度 及土壤電雙層導電度所組成的混合型式，則此土壤總體導電度 可表示 為：

(2-8) 其中， 為土壤顆粒導電度， 為土壤孔隙液體導電度， 為土 壤電雙層的導電度， 為土壤比表面積， 為土壤顆粒單位重，g 為比 重，e 為孔隙比。

若假設孔隙液體導電度遠大於土壤顆粒導電度，且土壤顆粒表面 積極小時，式(2-8)可改為：

(2-9)

由此可知，對於粗顆粒土壤而言，孔隙間液體的導電度為飽和狀 態下土壤總體導電特性之主要控制因素。

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圖 2-3 土壤組構模型(改繪自 Klein and Santamarina, 2003) Mojid et al.(2007)以 Klein and Santamarina (2003)的無限長平板 顆粒模型之概念為基礎，將土壤顆粒、空氣、孔隙中自由的水體和 黏土的吸附水層等元素所組成之組構假設為如圖 2-4 之有限平板組 合，假定其彼此間以並聯方式連結，則其總體導電度 可表示為

(2-10)

其中，T=l/le，定義為傳輸係數； 為體積含水量； 為黏土的吸附水 層體積與土體體積之比值。(2-10)式與(2-9)式所傳達之意義相似，皆顯 示土體之導電度與孔隙間之液體導電度相關，且與體積含水量成正比；

除此之外，(2-10)式進一步說明了吸附水將造成導電度之增加，且導電 度與吸附水之體積比呈正比。

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圖 2-4 土壤組構模型(Mojid et al., 2007)

前述土壤導電度行為中，其使用之微觀參數(如:As與 )不易於 現場獲得，因此Feng et al.(1999)及Lin(1999)以土壤重量含水量以及 乾密度與導電度關係的觀點，提出導電度EC與含水量 之率定關係 可表示為

√ (2-11)

其中， 為土壤乾密度， 為水密度，c、d 為待定參數。此式顯 示出，隨重量含水量增加，導電度會隨之增加，而當乾密度增加時，

其導電度會隨之下降。

根據上述導電度與含水量之經驗式或經由假設模型所推導出之 關係式可觀察出，導電度與含水量關係之描述有二次多項式、一次 多項式或指數型式，但不管哪種形式，其導電度與含水量間皆具正 相關，僅因考慮的參數或假設的模型之不同而造成描述上有差異，

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其根本上可以兩種基本數學型式進行描述：

第一種為指數型式，其通式可表示為

(2-12) 其中， 及 為標定參數。此種型式可用於描述Archie

（1942）、Shanand Singh (2005)、Klein and Santamarina (2003)所 提出之關係式。Shanand Singh (2005)所提出之經驗式與式(2-12)相 同；Archie (1942)因假設為飽和狀態下的岩石與砂礫石的電阻率，

因此，其所提出之經驗式為式(2-12)之飽和狀態；Klein and Santamarina (2003)所提之理論式，經過簡化過後即為式(2-12)中

及 等於1且體積含水量為飽和狀態的結果。

第二種為多項式型式，其通式為

(2-13)

其中， 、 、 、 、 為標定參數。Feng et al.(1999)、Lin(1999) 及 Mojid , Rose and Wyseure(2007)所提出導電度與含水量關係式屬於 此種型式。Mojid , Rose and Wyseure(2007)於理論式之模型中有考量土 壤電雙層之導電度影響，其所提出之關係式為式(2-13)中，當 =0， =0，

=0 之情形；而 Feng et al.(1999)與 Lin(1999)所提出之關係式中，以乾 密度與重量含水量表示，將其改以體積含水量表示為

√ (2-14)

將等式兩側平方

(2-15)

則其關係式為式錯誤! 找不到參照來源。中，當 ， ， ， ， 時的狀況。

Lin(1999)以土壤微觀來看，提出導電度與含水量之關係式

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√ (2-16) 其中，a、b、c 為待定參數，a 與土壤表面積及土壤單位重有關，b 與含水量與土壤單位重有關，c 與含水量與土壤種類有關。而由式(2-16) 中可知導電度 及含水量 呈正相關。此外，Lin(1999)為探討式(2-16) 之適用性，因此整理過去文獻中所用多種土壤的試驗結果

( =1.32~1.44 g/cm³)，如圖 2-5 所示，其迴歸所得之參數如表 2-1 所示。由得到之迴歸參數可知 c 值隨土壤種類不同，而有某種程 度之變異性；a 與 b 值則隨土壤單位重不同而有一定範圍之差異；另 外，其迴歸值 皆大於 0.95 顯示出良好的迴歸關係。

表 2-1 不同特性土樣迴歸參數結果(Lin,1999)

Soil Type c A b

M1 -0.1102 0.0746 0.7932 0.979 M2 -0.1235 0.0955 0.7778 0.952 M3 -0.1595 0.1340 0.6281 0.954 M4 -0.2169 0.1514 0.8873 0.949 M5 -0.1317 0.1310 0.7234 0.976

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圖 2-5 不同土壤種類之正規化導電度與重量含水量關係(Lin,1999) 根據上述導電度與含水量經驗式或經由假設模型所推導出理論 式與經驗式，其中導電度與含水量關係型式有二次多項式、一次多 項式或指數型式，但不管哪種形式皆可觀察出導電度與含水量、乾 密度間皆具有正相關，而綜合上述結果得知影響導電度亦包含孔隙 水導電度、自由水含水量、土壤顆粒導電度、吸附水層導電度、吸 附水層含水量、滲流路徑、土壤種類等影響因子。以上經驗式和模 型推導公式皆是由重模試體做試驗而得到，因此所到的導電度與含 水量關係皆為單一線性關係。

Knight(1991)則是針對岩體進行乾溼循環試驗，試驗方式主要是 將試體放入壓力鍋內，利用高壓蒸氣方式使試體內含水量增加，而 乾側段則是採用自然乾燥方式進行，試體的含水量估計則是利用秤 重法進行，由試驗結果中發現導電度與含水量關係在乾溼循環過程 中並不一致，如圖 2-6 所示，造成此現象為孔隙內水分分佈於乾溼

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循環過程中分布並不一致所造成，在剛開始飽和過程中，試體表面 會先產生一薄膜，隨著飽和度的增加，薄膜逐漸增厚，並使得孔隙 變的不連續，於自然乾燥階段，部分水份則會先流失，與飽和階段 並不相同。

圖 2-6 砂岩乾溼循環試驗之飽和度對應電阻率關係圖(Knight,1991) 2.2 TDR 量測技術與分析方法介紹

2.2.1 TDR 量測基本原理

時間域反射法(Time Domain Reflectometry)，簡稱TDR，是利用 電磁波進行監測與探查之方法。其基本原理類似於雷達原理，由脈 衝電磁波製造器產生一脈衝電磁波進入同軸電纜，再由示波器記錄 因電纜阻抗不連續所造成電磁波反射的訊號。電纜阻抗是由電纜之 斷面幾何與電纜正、負極間絕緣介質所決定，因此，時域反射法係 利用傳輸通路上之阻抗（Impedance）不連續所造成反射脈衝電壓之 改變狀況，最後紀錄傳輸通路上之介質電學性質變化或其通路之斷 面幾何變形。

時間域反射系統(如圖 2-7所示)主要由階躍脈衝產生器(step

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pulse generator)、取樣器(sampler)與示波器(oscilloscope)組成，由階 躍脈衝產生器產生一電磁波進入同軸纜線(coaxial cable)及感測器 (sensor)組成電磁波傳輸系統(transmission line system)，由取樣器記錄 感測器內阻抗(impedance)不連續所造成反射波並顯示於示波器上。

感測器為同軸纜線之延伸，同時可作為訊號傳輸與感測之用途，感 測器之設計主要為了能夠感測其內材料電學變化，並由示波器顯示 時間域反射系統於傳輸過程中之阻抗變化，可藉此由反射訊號得知 材料之電學特性。

圖 2-7 TDR 量測系統示意圖 2.2.1.1 TDR 視介電常數與導電度量測分析

典型之TDR反射波形如圖 2-8所示， 處為電磁波進入土壤 之界面形成之反射，當經過 時間後，可以得到電磁波自感測器底部

反射回來的訊號。若已知感測器於土中的長度為L，電磁波在感 測器中的來回走時為 ，由此可得到電磁波在土壤中之波速，將其與 光速相比值，則可得其視介電常數 ：

(2-17)

其中，c為光速(2.998 m/s)， 為電磁波於感測器中之來回走時，L

16 2-9所示)。而決定感測波形終點時，較常見以雙切線法(Dual tangent

16 2-9所示)。而決定感測波形終點時，較常見以雙切線法(Dual tangent